动力气象 第二章 环流与涡度

d 1 p r p r dp
dt 3 s
s
s
p-α平面上积分路径S所包围的面积
4 2
S
p
0
p0 p0 3 p0 6 p d 积分路径S所包围的力管数
dt 3
d p r p d
dt 3 s
p p d
d p d
dt 3
4 2 0
r
2
V
r
dt 4
s
s
V
r
V
sin
r
Vrr
V
r
nVrr
dA dt
s
s
单位时间内闭合曲线所围面积的伸展或收缩
d
2
dA
dt 4
dt
δr
vr
θ
v
2 vr
vr
d
2
dA
n
d
2
nA
dt 4
dt
dt
2
nA
2
sin
A
2
d d2 nA
n
dt 4
dt
2 d dt
2 d (Asin) dt
3. 这种环流在大气斜压状态不变的情况下是否会无限增长？ 不会，因为摩擦作用总是和力管的动力作用相反，并且 随着环流的加大而作用加强，最后总会与力管的作用相 互抵消而形成一个稳定的环流
p
4.科氏力
d
2 V
r
dt 4
s
BC A B C A
d
2
V
i
AB边风速u, CD边风速
u u y y
y
AD边风速v, CB边风速 v v x
x
此闭合小四边形的环流为
D
C
v
ux (v v x)y (u u y)x vy
x
y
Au B
(v u )xy
x y
x
涡度是单位面积的环流
• 圆周运动与旋转运动
涡度：流体个别质点旋转的强弱 环流：流体某一个有限面积旋转的总趋势
w
y
v
z
i
u z
w x
j
v x
u y
k
i j k
方向：逆时针旋转涡度为正，顺时针旋转涡度为负 动力气象学中主要关心的是垂直涡度
• 涡度反映了旋转性的强弱 • 矢量 • 无辐散量
3. 环流与涡度的关系
• 利用stokes定理
V
r
V
n
s
r V
s k
r r r
j
在x,y平面中任取一长方形，边长δx，δy
Σ
造成面积变化的原因：环线所围面积的变化（水平辐合辐 散、A扭转），及纬度的改变（流体的南北运动）
例：假设中心在赤道上半径为100千米的圆形区域内的空气， 起始时相对于地球是静止的，如果这个圆形气团沿着一等 压面不变半径移向北极，则到北极时将以何速度作何运动？ 围绕周线的环流将是
V
d
r
dt dt
dt
s
s
j
i
A’
A
B’
B
速度变化
物质线变化
δr的这种变化是由于 构成δr的流点的速度 不同而引起的
气压梯度力、科氏力、重力、摩擦力
t+δt t
V
d
r
V V
V2 V2
dt
22
V2 2
0
s
s
s
end
start
物质线的变化不会改变环流的大小
d dV r
dt dt
s
向分量的线积分
r V
V
r
V cos
r
s
s
s k
r r r
S: 物质线，随时间变化 流体元不变，逆时针方向为正
r: 相邻两点的矢径差
j
: r与V的夹角
i
• 流体沿闭合曲线的流动趋 势，也表明转动的倾向
• 标量
V
r
udx vdy wdz
s
s
V
r
udx vdy wdz
4. 绝对涡度与绝对环流
绝对涡度:
a
V
r
r
2
r R
k xi yj
yi
xj
2
z
R
v R
v xi
v yj
y
x
a
V
r
r
2
行星涡度
相对涡度
分析上式
i) 分量形式:
i:
w y
v z
j:
u w 2 cos 2 cos
z x
z
s
s
z
2u0
2u0
u0
u0
u0 (xr xl ) 2u0 (xl xr ) u0 (xr xl )
u0 (xr xl ) 2u0 (xl xr ) 3u0 (xr xl )
注意点： • 环流取逆时针方向为正，顺时针方向为负 • 环流是一个标量
2. 涡度：速度场的旋度
V
动力气象学
涡旋运动是地 球流体动力学 中的一个很重 要的特点
• 经典力学中常用角动量守恒来分析与旋转有关的运动 • 对于大气这样的连续流体，如何定义“转动” • 环流和涡度是流体转动的主要度量
环流：表征有限面积内旋转的总趋势 涡度：表征个别质点旋转的微观度量
第一节 环流 涡度
1. 环流定义：
在流体中任取一闭合曲线，流体速度在此曲线上的切
牵连环流: 面积, 纬度
第二节 环流定理
环流：流体某一个有限面积旋转的总趋势
实际问题中，关注流体旋转性强弱随时间的 变化
主要目的不是计算环线上的环流，而是关心 环流随时间变化的动力学关系 —— 环流定理
s
k
一、相对环流定理的推导
r r r r
V
d d
V
r
dt dt
d
s
dV r
k:Leabharlann Baidu
v x
u y
f
f
ii) 相对涡度与牵连涡度的相对大小:
对大尺度运动:
iii) 无辐散量
~ V Ro 1
f fL
行星涡度是主要的
绝对环流:
a
V
r
r
V r
r
r
S
S
S
Γ相对环流
牵连环流
rr r n
S
n
2
n
2
n
2 A
2Asin 2
Σ
a 2sinA 2
k : 摩擦力系数，大于零
气旋性环流 0, d 0, 气旋性环流减弱 dt 1
反气旋性环流 0, d 0， 反气旋性环流减弱 dt 1
摩擦力总是使得环流减弱
2.重力
d g r
dt 2 s
g
d r
dt 2 s
s
x
x
y
y
z
z
0
s
重力对环流变化没有影响
3.气压梯度力——力管项
环流的加速度=加速度的环流 ——Kelvin定理
影响环流的物理因子
dV dt
1
p
2V
g
Fr
d
dt
1 p r
2 V
r
g r
Fr
r
s
s
s
s
气压梯度力 科氏力 重力 摩擦力
二、各项物理意义
1.摩擦力
d
dt
1
s
Fr
r
Rayleigh 摩擦力： Fr kV
d
kV
r
k
dt 1 s
S
p
其他常用形式：
p0 p0 3 p0 6 p
d dt
3
s
1
p
r
A
(p )
ndA
( p
)
1
p
1
p
1
2
p
d dt
3
A
1
2
p
ndA
A
R
p
T p
ndA
1. 只要等压面与等比容面相交就不为零—斜压，力管项存 在的充要条件是大气的斜压性，故斜压性是产生环流加 速度的动力因素
2. 斜压项的作用使得热空气上升、冷空气下沉。如果大气 开始是静止的，则这种环流伴有的空气旋转会使得等比 容面跟着旋转，最后趋于向等压面平行。这说明，大气 斜压性自身存在使斜压性减弱的因素，在这个过程中， 大气中的全位能转换为动能