人教版数学备课资料选修Ⅱ重点知识导学

选修Ⅱ重点知识导学一、要点回顾Ⅰ、概率与统计1．离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机实验所出现的结果的，但二者之间又有着本质的区别：对于离散型随机变量而言，它可能取的值按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，此时无法对其中的值一一列出．随机变量是随机实验的实验结果和实数之间的一个对应关系．这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的．这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数)(xf的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ξ的自变量是实验结果．所以，把实验结果记为ω，随机变ξ．量为)(ω2．求离散型随机变量的分布列，首先确定ξ取哪些值，必须找全离散型随机变量ξ的所有可能值及每个变量所对应的概率(P(ξ= k))；二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布列，在二项式和独立重复实验相结合的基础上对其进一步认识；要熟悉和会利用分布列运算数学期望与方差，并能根据其结果进行数据分析，解决实际问题．3．概率统计的基本思想是用样本的分布去估计总体的分布，而抽取的样本必须具有客观性、公平性和广泛性的代表性，常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样，简单随机抽样是从总体中逐个抽取的，它一般使用于总体中的个体数较少的时候；而当总体中的个体数较多时，一般采用系统抽样；而如果总体是由差异明显的几部分组成的，则一般采用分层抽样．在三种抽样中，简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，其它两种抽样方法是建立在它的基础之上的，三种抽样方法的共同点是，它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性；三种抽样方法各有其特点和是适用范围，在具体问题中要选用相应的抽样方法．4．因为每种抽样方法对于每个个体被抽取的概率都是一样的，所以应根据问题的特征判断抽样方法(简单随机抽样、分层抽样、系统抽样)；在总体分布估计中，①选确定分组的组数，其方法是最大数据与最小数据之差除组距得组数，频数，③画出直方图和累积频率图；正态②计算每组的频数与频率，其中频率=总数总体在现实生活中应用广泛，利用标准正态分布表，可以求出正态总体N(μ，σ)在任何一区间内取值的概率．Ⅱ、极限1．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为推理步骤，是命题具有后续传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后续正整数都成立，两步合在一起为完全归纳法步骤称为数学归纳法．这两步各司其职缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．2．数学归纳法证题的步骤是：设p(n)是关于正整数n的命题，如果①当n 取第一个初始值n(如n = 1或n = 2)时，命题成立；②假设n = k时(k∈N*)命题成立，由此推出n = k＋1时命题也成立，那么p(n)对所有正整数n都成立．在用数学归纳法证题时，上面两个步骤缺一不可，证明格式要完整规范．在①中，证明了n = n时命题p(n)成立，便为下面的递推奠定了基础；在②中证明了一个新的命题：“若当n = k 时命题p(n)成立，则当n = k ＋1时命题p(n)也成立”，这就为递推提供了依据．将①和②综合起来，就可以得出对一切正整数n ，命题p(n)都成立．3．⑴求数列极限的基本思路是“求和——变形——利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限．⑵常见的几类数列极限的类型和方法有：①00或∞∞型，解此类极限应将分子、分母分别求和再化简转化．②已知极限值确定参数，解此类问题需要借用待定系数法．⑶要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件．⑷实际应用中的极限思想应引起高度注意．⑸注意无穷等比数列各项和公式S =11a q-的灵活运用． 4．函数极限常见的两种类型．①分子与分母均是x 的多项式时，x →∞的极限，分式呈∞∞型，则∞→x lim 101101k k k l l l a x a x a b x b x b --++++++=000a k l b l k l k ⎧=⎪⎪⎪>⎨⎪<⎪⎪⎩当时当时不存在当时其中a i 和b j 都是与x无关的常数，k 和l 均为自然数，且a 0≠b 0．②分子与分母均是x 的多项式时，x →x 0的极限，分式呈00型，这种类型的函数，其极限可能存在，也可能不存在．5．以前学过的指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次复合而得出的函数称为初等函数．基本初等函数和初等函数在其定义域内每一点都是连续函数，在求连续函数在某点x 0的极限时，可直接用0lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数在定义域内一点的极限值就是函数在这点的函数值，这样就使求极限的问题得到了简化．6．观察函数图象的变化趋势是确定函数极限的重要的直观手段，但求函数的极限通常是利用极限运算法则转化为常见函数的极限．涉及∞∞，∞－∞，00等不同待定式的求极限问题，常用的解题方法有：“消因式法”，即分解出(x －a)类型因式，消去公因式；“因式有理化法”，即将题中的无理因式，先乘以共轭因式，进行有理化后，再用消因式法．7．函数)(x f 在点x 0处连续必须满足三个条件：①函数)(x f 在点x = x 0处有定义； ②0lim x x →)(x f 存在；③0lim x x →)(x f =)(0x f ，即函数)(x f 在点x 0处的极限值等于这一点的函数值．如果上述三个条件中有一个不满足，那么函数)(x f 在点x 0处就不连续．因此，对于连续函数，要注意点x 0必须是)(x f 的定义域内的点．Ⅲ、导数1．导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，较之传统方法具有简捷明快、容易掌握等特别明显的优越性，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化．高考对导数在旧知识应用的考查，形成五大热点：热点1——利用导数的几何意义处理曲线的公切线问题；热点2——利用导数研究三次函数、分式函数的性质问题；热点3——利用导数研究函数的单调性、单调区间以及已知函数的单调性，确定函数式中的参变量变化范围等问题；热点4——利用导数处理含参数的恒成立不等式问题；热点5——利用导数解决实际问题中的最优化问题．2．运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考试卷中，所占的地位是比较重的．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数)(x f 的定义区间；②求)(x f '，令)(x f '= 0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数)(x f 的间断点(即)(x f 无定义点)在横坐标上各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④确定)(x f '在各小区间内的符号，根据)(x f '的符号判断)(x f 在每个相应小开区间内的增减性．Ⅳ、复数1．复数有关问题一可以转化为实数范围内的代数问题，二可以转化成平面几何问题．在复习过程中，要充分利用相关知识，实现问题的转化．2．复数与实数的一个重要区别是：两个复数如果不全是实数，就不能比较大小，因此，不等式的性质在复数集中不适用．所以，若z 1，z 2∈C ，则仅有z 1= z 2或z 1≠z 2一种关系成立；用“＜”或“＞”连接的式子一定是实数式．3．两个复数相等的充要条件是：a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d ，其中a 、b 、c 、d 均为实数．在这里，特别注意公式成立的前提条件是a 、b 、c 、d ∈R ，若忽视这一条件，就会出现概念性的错误．因此，解决复数相等问题，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．4．虚数单位i 和ω(－21+23i)的常用性质是：①(1±i)2=±2i ；②i i +-11=－i ，i i -+11= i ； ③ωn + ω1+n + ω2+n = 0 (n ∈N)；④ ω3= 1；⑤i n + i 1+n + i 2+n + i 3+n = 0 (n ∈N)．求解计算时，要充分利用位i 和ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i 和ω的计算问题．二、特别提示1．要注意期望与分布列的关系离散型随机变量的分布列和数期望虽然都是从整体上刻画随机变量的，但二者大有不同．分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而期望却反映了随机变量取值的平均水平．就是说，期望这一概念是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量ξ的一切可能值x，与对应的概率P(ξ= x)的乘积的和就叫做1随机变量ξ的数学期望．2．要注意随机变量与总体分布的联系对于多次重复抛掷一枚硬币的实验来说，每次抛掷硬币的结果，既可以看成从由很多这种实验结果组成的总体中抽取的一个个体值，也可以看成在同一随机实验下相应的随机变量所取的一个值．这样将总体与随机变量沟通后，总体分布也就是相应的随机变量的概率分布，因此就可以利用概率的理论来研究统计问题，从中可以看到概率论与统计学之间的有机联系．3．频率分布与相应的总体分布的关系频率分布是随着样本的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会变成一条光滑曲线——反映总体分布的概率密度曲线．基于频率分布与相应的总体分布的关系，在通常情况下并不知道一个总体的分布，因此我们常常是从总体中抽取一个样本，用样本的频率去估计相应的总体分布．4．用数学归纳法证明命题时，难在第二步，即在假设n = k时命题成立，推出n = k＋1时命题也成立，要顺利地完成这一步主要依赖于观察、归纳、恒等变形、适当放缩等方面的能力．在推导过程中，必须用到“归纳假设”，否则就不是数学归纳法．5．应用函数极限的运算法则时应注意下列问题：⑴各个函数的极限都应存在；⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个；6．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．7．我们讨论的函数最值是在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导的．在闭区间[a，b]上连续，保证函数有最大值和最小值；在开区间(a，b)上可导，才能用导数求解，求其极值．8．解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整个复数内容)．如遇到复数就设z = a＋b i(a、b∈R)，有时会给解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质(比如z∈R⇔z =z；z为纯虚数⇔z ＋z= 0且z≠0；z z= | z |2等)，充分运用整体思想求解，则能事半功倍．9．复数模的最值问题经常采用数形结合的方法进行思考，就是说，利用复数的模的几何意义及复数集与平面点集的一一对应关系，可将复数问题转化为几何问题，利用几何方法来解决，这类题目比较多，应善于总结归纳．。