冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷(山东专版)(解析版)

冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷（山东专版）
一、单选题 1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，集合{}21,B x x n n A ==+∈，则A B =I
（ ）
A ．
{}1 B ．
{}1,3
C ．
{}2,4
D ．
{}0,1,3
【答案】B 【解析】 【分析】 先根据{}0,1,2,3,4A =，化简{}{}21,13
579B x x n n A ==+∈=，，，，，再求交集. 【详解】 因为{}0,1,2,3,4A =
，
所以{}
{}21,13
579B x x n n A ==+∈=，，，，， 所以A B =I {}1,3.
故选：B 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，复数11
11i i
--+的共轭复数是（ ） A ．i B ．i -
C ．1
D ．-1
【答案】B 【解析】 【分析】
先把复数化简，然后可求它的共轭复数. 【详解】
因为
()1i 1i 11
i 1i 1i 2
+---==-+, 所以共轭复数就是i -. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
3．命题p ：对任意x R ∈，210x +>的否定是( ) A ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +≤ B ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +> C ．p ⌝：不存在0x R ∈,0210x +≤ D ．p ⌝：对任意x R ∈，210x +≤
【答案】A 【解析】
试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在0x R ∈，0210x +≤. 考点：全称命题的否定
4．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ） A ．
5
21
B ．
715
C ．
1115
D ．
221
【答案】B 【解析】 【分析】
由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论. 【详解】
从10个球中任取2个球共有2
10C 种取法， 其中“有1个红球1个白球”的情况有1
1
37C C （种），
所以所求概率11
132
77
C 15p C C ==. 故选:B. 【点睛】
本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.
5．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r
，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若
AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u u
r u u u r ，则mn 的最小值为（ ）
A ．
49
B ．
53
C ．
43
D ．3
【答案】A 【解析】
根据在ABC ∆内有一点，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r
，点P 为重心，有()
13
AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再根据,,M N P 共线，有()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，得到
11
313m n
+=，然后用基本不等式求解. 【详解】
因为在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC
++=u u u r u u u r u u u r
r
，
且,PB PA AB PC PA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以30PA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r
()
13
AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为,,M N P 共线，
所以()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，
又因为AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u u
r u u u r ， 所以()1nAC mAB AP λλ+-=u u u u r u u r u u u r
，
所以()1,1133n m λλ==-， 所以
11313m n
+=，
所以11133m n =
+≥=， 所以49mn ≥，当且仅当
1133m n =，11
313m n +=，即23
m n ==时，取等号. 故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．在数列{}n a 中，12a =，
121
2n n n
a a a ++=()*n ∈N ，若对*n N ∈，不等式2122312n n a a a a a a m m ++++<-+L 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(2,)-∞-+∞U
B ．(,1][2,)-∞-+∞U
C ．(,2)(1,)-∞-+∞U
D ．(,2][1,)-∞-+∞U
【答案】B 【解析】
先利用递推公式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消和放缩求出数列的和，最后再利用恒成立问题和不等式进行求解。

【详解】
数列
{}n a 中，()11
21
2,2n n n n a a n N a
a ++==
∈即11112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列 ()111111(1)222n n n d n a a =+-⨯=+-=所以12411,4(1)1n n n a a a n n n n n +⎛⎫=⋅==- ⎪++⎝⎭
故12231
n n a a a a a a +++⋯+111
11412231n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭
14141n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 又2
122312n n a a a a a a m m +++⋯+<-+恒成立，只需满足224m m -+≥即可
解得：21m m ≥≤-或即(,1][2,)m ∈-∞-⋃+∞ 故选：B 【点睛】
此题考查根据递推关系求数列通项公式，数列求和放缩，不等式恒成立等问题，属于一般性题目。

7．函数4cos e x y x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
试题解析：函数为||
4cos x y x e =-偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D ，
0x =时，413,y =-=舍去C ，选A.
考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象. 8．已知圆(
)(2
2
1:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线2
21:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当
点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =
A
．B
．C
．D
【答案】D 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化
111MF MN C D +-…，当且仅当1,,M C D 三点共
线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得点1M 的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化
11MF MN FC ≤+-，当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成
立，求得2M 的坐标，从而求出12M M ，得解.
【详解】
由已知得：(()13,,2,0C F ，记2C 的准线为l ,如图,过点M 作l 的垂线,垂足为D ,过点1C 作l 的垂线，垂中为1D ，则
111||||||||=||1=1
MF MN MD MN MD MC C D +=++--,
当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN +取得最小值，
则点1M
的坐标为(，
()111||||=||1||11
MF MN MF MC MF MC FC ---=-+≤+,
当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN -取得
最大值，
又直线1FC
的方程为2)y x =-
，由22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，解得1x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，或4
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以2M
的坐标为(4,，
所以2212(41)(4222)17M M =-+-=,
故选：D .
【点睛】
本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.
二、多选题
9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在
[)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A ．样本中支出在
[)50,60元的频率为0.03
B ．样本中支出不少于40元的人数为132
C ．n 的值为200
D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[)50,60元
【答案】BC 【解析】 【分析】
根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定. 【详解】
样本中支出在
[)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3-++⨯=，故A 错误；
样本中支出不少于40元的人数为
0.036
60601320.03
⨯+=，故B 正确； 60
2000.3
n =
=，故n 的值为200，故C 正确； 若该校有2000名学生，则可能有0.32000⨯=600人支出在[50，60）元，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】
此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征. 10．下列有关说法正确的是（ ） A ．当0x >时，1
lg 2lg x x +
≥；
B ．当0x >2
≥；
C ．当0,2πθ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，2sin sin θθ+的最小值为
D ．当0a >，0b >时，114a b a b ⎛
⎫⎛⎫
++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】
由基本不等式的条件和结论判断． 【详解】
A. 当01x <<时，lg 0x <，1
lg 2lg x x
+
≥不成立，错误；
B. 当0x >0>2
≥，正确； C. 当0,2πθ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，设sin t θ=，则01t <<，2sin sin θθ+2t t =+，函数2y t t =+在(0,1)上递减，无最
小值，C 错，实际上2sin sin θθ+
≥=2sin sin θθ=
，即sin θ=
可能的，即
D. 当0a >，0b >时，1
2a a +≥，12b b +≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭恒成立，D 正确、 故选：BD ． 【点睛】
本题考查基本不等式，解题时注意基本不等式的条件，特别注意在用基本不等式求最值时，等号成立的条件能否满足．
11．已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8
x π=
对称:
D ．函数()f x
的图象可由函数2y x =的图象向左平移
4
π
个单位得到 【答案】BC 【解析】 【分析】
先将
()2221f x sin x sin x =-+化简为(
)24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再逐个选项判断即可．
【详解】
2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛
⎫=-+=+=+ ⎪⎝
⎭
A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；
B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数，结论正确；
C 选项，
因为8f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设
(
)g x x
=
，则
()
2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，结
论错误． 故选：BC ． 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且1
2
EF =
，则下列结论中正确的是（ ）
A ．AC BE ⊥
B ．//EF 平面ABCD
C ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等
D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】
对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】
可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，111
1224
BEF
S =
⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的
体积为
1134224
⨯⨯=
为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.
三、填空题 13．函数
()x f x e x =+在0x =处的切线的方程为______.
【答案】21y x =+ 【解析】 【分析】 首先求出导函数()1x f x e '=+，从而可求()0012f e '=+=，再求出切点()0,1，利用点斜式即可求解.
【详解】 由
()x f x e x =+，所以()1x f x e '=+，所以()0012f e '=+=，
当0x =时，则
()01f =，
所以在0x =处的切线的方程为：()120y x -=-，即21y x =+.
故答案为：21y x =+ 【点睛】
本题主要了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.
14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．
【答案】1
2
【解析】
试题分析：根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下，中，上），（下，上，中），共6种；其中该人可以乘上上等车的情况有（中、上、下），（中、下、上），（下，上，
中），共3种；则其概率为
31
62=；故答案为12
考点：本试题主要考查了等可能事件的概率计算．
15．已知椭圆()222
210x y a b a b +=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =u u u r u u u r
，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
设()0,B b ，(),0F c ，()11,A x y ，()22,C x y ，由线段AB 中点为K ，且2CF FK =u u u r u u u r
，可得F 为ABC ∆的重心，运用三角形的重心坐标公式，以及AC 的中点在椭圆内，结合离心率公式可得范围.
【详解】
由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =u u u r u u u r
，
可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A
x y ，()22,C x y ，
由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=，
即有
AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +=
=，1222
y y b
y +==-， 由题意可得点M 在椭圆内，可得22
91
144
c a +<，
由c e a =
，可得2
13e <，即有03
e <<
.
故答案为：⎛ ⎝⎭
. 【点睛】
本题考查椭圆离心率取值范围的求解，根据题意得出F 为ABC ∆的重心是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
16．已知函数y ＝f (x )在R 上的图象是连续不断的一条曲线，且图象关于原点对称，其导函数为f '(x )，当x ＞0时，
x2f'(x)＞﹣2xf(x)成立，若∀x∈R，e2x f(e x)﹣a2x2f(ax)＞0恒成立，则a的取值范围是_____.
【答案】0≤a＜e
【解析】
【分析】
构造g(x)＝x2f(x)，利用x2f'(x)＞﹣2xf(x)，可得g（x）在(0，+∞)上单调递增，转化e2x f(e x)﹣a2x2f(ax)＞0，为g(e x)＞g(ax)，即可得e x＞ax，分x=0,x>0,x<0三种情况讨论，参变分离即得解.
【详解】
令g(x)＝x2f(x)，
因为x＞0时，x2f'(x)＞﹣2xf(x)
可知x＞0时g'(x)＝2xf(x)+x2f(x)＞0，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为函数y＝f（x）在R上的图象是连续不断的一条曲线，且图象关于原点对称，
所以g(x)为R上单调递增的奇函数，
因为e2x f(e x)﹣a2x2f(ax)＞0，所以g(e x)＞g(ax)，
即可得e x＞ax，
当x＝0时，1＞0恒成立，
当x＞0时，a
x
e
x
＜恒成立，所以a()
x
min
e
x
＜，
当x＜0时，a
x
e
x
＞恒成立，所以
max
()
x
e
a
x
＞，
令h（x）
x
e
x
=，h'（x）
2
1
x
e x
x
-
=
（）
，
所以h（x）在(﹣∞，0)，(0，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
h（1）＝e，
当x＜0时，h（x）＜0，
所以0≤a＜e，
【点睛】
本题考查了函数和导数综合，考查了学生转化划归，数学分析，数学运算的能力，属于较难题.
四、解答题
17．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3
C π
=．
（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求,a b ;
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值． 【答案】（Ⅰ）2a b ==；（Ⅱ）2
A π
=或6
A π
=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由ABC ∆的面积等于3及3
C π
=
可得333-，再由余弦定理可得228a b +=，解得
2a b ==；
（Ⅱ）先对sin sin()2sin 2C B A A +-=进行三角变换，化简得sin cos 2sin cos B A A A =，由此可得cos 0A =或sin 2sin B A =，分别得2
A π
=
或6
A π
=
．
试题解析：（Ⅰ）根据三角形面积公式可知：11sin 22S ab C ==
=推得333-； 又根据三角形余弦公式可知：2222214
cos 228
a b c a b C ab +-+-===
推得228a b +=．[ 综上可得2a b ==．
（Ⅱ）sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-=
sin cos 2sin cos B A A A =当cos 0A =时，2
A π
=
当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立224{2a b ab b a +-==，得a b ==222b a c =+，,36C A ππ=∴=Q ，
综上2
A π
=
或6
A π
=
．
解二：sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-=
sin cos 2sin cos B A A A =
当cos 0A =时，2
A π
=
当cos 0A ≠时，21
2sin sin sin(
)sin 32
A B A A A π==-=+，
3sin 02)0,
650,,6
6
6
0.
6
6A A A A A A A Q 即π
ππππππ∴=-=<<∴-<-<
∴-
==
综上2
A π
=
或6
A π
=
．
考点：1正弦定理与余弦定理；2．三角变换；3．三角形面积公式． 18．公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）设2n
n n b a =+，求数列
{}n b 的前n 项和n
T
.
【答案】（1）n a n =；（2）2n
n b n =+，()
()12212
n n n n T +=
+-. 【解析】 【分析】
(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 (1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,
故()()2
2
2
141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.
又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=.
即n a n =.
(2) 22n
n
n n b a n =+=+,故()()
12121222...212...22...2n n
n T n n =++++++=++++++
()()()()122121212
12
2
n n n n n n -+=
+
=
-++-.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.
19．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒.现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P .点M 、N 分别在PC 、PD 上，且A 、B 、M 、N 四点共面.
（1）求证：MN BD ⊥；
（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，平面BMN 与平面BCD 夹角为30°，求PC 与平面BMN 所成角的正弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 15
5
【解析】 【分析】
(1)本题首先可以设2AB =，通过题意即可得出AD 的长，然后根据余弦定理即可计算出BD 的长并根据勾股定理判断出AB BD ⊥，最后根据线面平行的相关性质即可得出//AB MN 并证得MN
BD ⊥；
(2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出PC 与平面BMN 所成角的正弦值。

【详解】
（1）不妨设2AB =，则4AD =，
在ABD ∆中，根据余弦定理可得2222BD AB AD AB AD COSA =++⋅⋅，计算得23BD = 因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥.
因为//CD AB ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以//CD 平面ABMN . 又平面ABMN ⋂平面PCD MN =，所以//CD MN . 而CD BD ⊥，故MN
BD ⊥.
（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥， 因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN
AB ⊥，
因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30︒，所以30DBN ∠=︒，
从而在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点， 如图，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B
，()0,0,2P
，()
C
，()N
，()
M ，
()1,0,0NM =u u u u r
，()BN =u u u r
，()
2PC =-u u u r ，
设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则由0
0n NM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r
r ，
得0
x z =⎧⎪+=，令1y =
，得(0,1,n r =. 设PC 与平面BMN 所成角为θ，则(
)
sin 905n PC cos n PC
θθ︒
⋅=-==⋅u u u
r r u u u r r 。

【点睛】
本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。

20．某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：
年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）
（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数
X 近似服从正态分布()2
,N μσ，其中
2225σ≈，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分
布模型，解决以下问题：
（i ）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；
（ii ）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差. 附：若随机变量
X 服从正态分布()2
,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9554P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=.
【答案】（1）29
550
；（2）（i ）1683；（ii ）33,24.
【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解． （2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解． 【详解】
（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A ，则事件A 包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.
由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，
则由古典概型的概率计算公式可得2211116126126182
10029
()550
C C C C C C P A C +++==. 所以两人得分之和小于35的概率为
29
550
. （2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数
X 的估计值为：
(0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200
⨯+⨯+⨯0.006210)10179+⨯⨯=（个）.
又由2225σ≈，得标准差15σ
≈，
所以高二年级全体学生的跳绳个数
X 近似服从正态分布()2
179,15N .
（i ）因为17915164μσ-=-=，所以10.6826
(164)10.84132
P X
->=-
=，
故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为
20000.84131682.61683⨯=≈（人）.
（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为
12
， 所以1~3,
2B ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3. 所以0
3
03111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
13
113
(1)1228
P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
21
23113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
3
33
111
(3)1228
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
故ξ的分布列为：
所以13
()322
E ξ=⨯=，113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题．
21．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点（
0,，（
的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx +1与A 交于A ，B 两点. （1）写出C 的方程； （2）若OA OB ⊥u u u r u u u r
，求k 的值.
【答案】（1）x 2
2
4
y +=1；
（2）±12 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件可判断动点轨迹为椭圆，结合题意写出椭圆方程即可； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及向量垂直，即可求得参数k . 【详解】
（1）设P （x ,y ），由椭圆定义可知，
点P 的轨迹C 是以（
0,，（
2的椭圆. 它的短半轴
b =
=1，
故曲线C 的方程为x 2
2
4
+=y 1.
（2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），
其坐标满足2
214
1y x y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消去y 并整理得（k 2+4）x 2+2kx ﹣3＝0，
故x 1+x 2224k k =-
+，x 1x 2
23
4
k =-+， 若OA OB ⊥u u u r u u u r
，即x 1x 2+y 1y 2＝0.
而y 1y 2＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1，
则x 1x 2+y 1y 222
222332444
k k k k k =---++++1＝0，
化简得﹣4k 2+1＝0， 解得k ＝±12
. 【点睛】
本题考查根据定义求解椭圆方程，以及直线与椭圆相交时，求参数的值，属综合基础题. 22．已知函数2
1()ln (0)2
f x x a x a =
->． （1）若2a =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程． （2）求()f x 在区间[1,e]上的最小值．
（3）若()f x 在区间(1,)e 上恰有两个零点，求a 的取值范围．
【答案】（1）2230x y +-=．（2）见解析．（3）21e,e 2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：（1）把a=2代入可得
()11f '=-，()1
12
f =
，进而可得方程，化为一般式即可； （2）可得
x=
，1
e
e ≥，三种情形来讨论，可得最值；
（3）由（2）可知当0＜a≤1或a≥e 2时，不合题意，当1＜a ＜e 2时，需()()21
10211021(e)=e 02a lna f f a ⎧-<⎪⎪
⎪
=>⎨⎪
⎪->⎪⎩
，解之可得a 的范
围．
试题解析：（1）当2a =时，()212ln 2f x x x =-，()2
f x x x
'=-， ∴()11f '=-，()1
12
f =
， ∴
()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()1
12
y x -
=--，即2230x y +-=． （2）()2a x a
f x x x x
='-=-．
由于0a >及定义域为
()0,+∞，所以令()0f x '=
得x =
21 ①
1≤，即01a <≤，则(1,e)x ∈时，
()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增， ∴()f x 在区间[1,e]上的最小值为()112
f =． ②
若1e <，即21e a <<，
则(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，
∴()f x 在区间[1,e]
上的最小值为1(1ln 2
f a a ）=-． ③
e ≥，即2e a ≥，则(1,e)x ∈时，()0
f x '<，()f x 在[1,e]上单调递减， ∴()f x 在区间[1,e]上的最小值为21(e)=e 2
f a -． 综上所述，当01a <≤时，()min 12
f x =； 当21e a <<时，()()min 11ln 2
f x a a =-； 当2e a ≥时，()2min 1e 2
f x a =-． （3）由（2）可知当01a <≤或2e a ≥时，
()f x 在()21,e 上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点． 当21e a <<，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则
()()2110
211021(e)=e 02a lna f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪->⎪⎩，即2e 1<e 2a a >⎧⎪⎨⎪⎩，故21e<<e 2a ． 所以，a 的取值范围为21e,e 2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.。