习题课(二) 平面向量

2．已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，
如果 c∥d，那么
()
A．k＝1 且 c 与 d 同向
B．k＝1 且 c 与 d 反向
C．k＝－1 且 c 与 d 同向
D．k＝－1 且 c 与 d 反向 解析：选 D ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若 k＝1，则 c＝a
＝0，可得
－3(c－3)＋16＝25－3c＝0，
所以 c＝235.
②∵
uuuur
AB
＝(－3，－4)，
uuuur
AC
＝(c－3，－4)＝(2，－4)，
∴cos
A＝
uuur uuur uuAuBuruAuuCur | AB || AC |
＝－6＋16＝ 5 20
5 5.
[方法技巧] (1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点
A．3
B．2
C．1
D．0
()
(2)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中
点，则
uuuuuuur
EB
＋
uuuur
FC
＝
()
A．
uuuur
BC
B． AD uuuuuuur
1 uuuur C. 2 BC
1 uuuuuuur D. 2 AD
(3)若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，
A．2
B．3
()
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C．4
D．6
(2)已知点
A(0,1)，B(3,2)，向量
uuuuuuur
AC
＝(－4，－3)，则
向量 ＝ uuuuuuur BC
()
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
(3)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，
C(c,0)．
①若
[集训冲关]
1. 已知两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结
论正确的是
()
A．a∥b
B．a⊥b
C．|a|＝|b|
D．a＋b＝a－b
解析：选 B 因为|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和减法 法则，知以 a，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故 该平行四边形是一个矩形，所以 a⊥b.
BC
＝－23
uuuuuuur
AB
－
uuuuuuur
AD
＝－23a－b.∵C，G，E
三点共线，∴
m－－231＝n－－11，即 3m－2n＝1.
联立m3m＋－4n2n＝＝1，1， 解得mn＝＝1737.，
∴
uuuuuuur
AG
＝37a＋17b.
高频考点二 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x12＋y12. a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量坐标与起点、终点坐标的关系及向量的模
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
uuuuuur
AB
＝(x2－x1，y2－y1)，
| |＝ uuuuuuur AB
x2－x12＋y2－y12.
[典例] (1)设向量 a＝(2,4)与向量 b＝(x,6)共线，则实数 x＝
高频考点三 平面向量的数量积
(1)平面向量数量积 ①a，b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则|a||b|·cos θ 叫 作 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos θ.规定 0·a＝0. 当 a⊥b 时，θ＝90°，这时 a·b＝0. ②a·b 的几何意义： a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0，故 a⊥b.
②因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以cos sin
α＋cos β＝0， α＋sin β＝1.
由此得，cos α＝cos(π－β)，
由 0＜β＜π，得 0＜π－β＜π.
又 0＜α＜π，故 α＝π－β.
相交于点
G，
若
uuuuuuur
AB
＝a，
uuuuuuur
AD
＝b，则
uuuuuuur
AG
＝(
)
A. 27a＋17b
B. 72a＋37b
C. 37a＋17b
D. 47a＋27b
解析：选 C
设
uuuuuuur
AG
＝ma＋nb(m，n∈R)，则
uuuuuuur
AG
＝m AB ＋4n AF uuuuuuur
么 a 和 b 的夹角 θ 的大小为
()
A．30°
B．45°
C．75°
D．135°
(3)已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α ＜π.
①若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； ②设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值． [解析] (1)∵―B→C ＝―A→C －―A→B ＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)， |―B→C |＝1， ∴ 12＋t－32＝1，解得 t＝3，∴―B→C ＝(1,0)， ∴―A→B ·―B→C ＝2×1＋3×0＝2.
2.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，
D 是半圆弧的两个三等分点，uAuuuBuuur ＝a，
AC ＝b，则 AD ＝ uuuuuuur
uuuuuuur
()
A．a－12b
B. 12a－b
C．a＋12b
D. 12a＋b
解析：选 D 连接 CD，由点 C，D 是
半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且
习题课二提升关键能力平面向量
高频考点一 平面向量的有关概念及线性运算 (1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确
定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若 a ∥b，b∥c，则 a∥c”是假命题，因为当 b 为零向量时，a 与 c 为任意向量，两者不一定平行．
(2)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线 也可以平行．
有关系． (2)对向量坐标运算注意 a∥b，a·b 的坐标运算形式易混
淆．
[集训冲关]
1．已知向量 a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则 b 可以为
A．(1,2)
B．(1，－2)
C．(2,1)
D．(2，－1)
()
解析：选 A 设 b＝(x，y)，则 a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为 (a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得 y－2x＝0， 只有 A 满足．
则当 t 为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线
上．
[解析] (1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错
误的，对于④，与非零向量 a 共线的单位向量是|aa|或－|aa|， 故④也是错误的．
(2)由向量的加法法则，得
uuuuuuur
BE
＝12(
uuuuuur
BA
＋
uuuuuuur
＋
uuuuuuur
AC
)＝12×2
uuuuuuur
AD
＝
uuuuuuur
AD
，故选
B.
[答案] (1)D (2)B
(3)解：设
uuuuuur
OA
＝a，
uuuuuuur
OB
＝tb，OuuuuCuuur
＝13(a＋b)，
∴
uuuuuuur
AC
＝
uuuuuuur
OC
－
uuuuuur
OA
＝13(a＋b)－a＝－23a＋13b，
＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c 与 d 不平行，
排除 A，B.若 k＝－1，则 c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b
＝－(－1,1)，即 c∥d 且 c 与 d 反向．
3．已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m， n∈R)，则 m－n 的值为________． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝ ＝－9，8， ∴mn＝＝52，， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3
BC
)，CF uuuuuuur
＝12(
uuuuuur
CB
＋
uuuuuur
CA
)，
因此
uuuuuuur
EB
＋
uuuuuuur
FC
＝－12(
uuuuuur
BA
＋
uuuuuuur
BC
)－12(
uuuur
CB
＋
uuuuuur
CA
)＝－12
(
uuuuuur
BA
＋
uuuuuur
CA
)＝12(
uuuuuuur
AB
[方法技巧] (1)辨别向量概念问题时：一要紧扣相关定义，二要注意 零向量易忽视． (2)平面向量的线性运算： ①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共 起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求 首尾相连向量的和用三角形法则． ②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已 知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
CD＝12 AB ＝12a，所以 AD＝ AC ＋CD uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
＝b＋12a.
3.
如图，在平行四边形
ABCD
中，
uuuuuuur
AE
＝
1 3
AB ，AF uuuuuuur uuuuuuur
＝14
uuuuuuur
AD
，CE
与
BF
uuuur
AB
＝
uuuuuuur
OB
－
uuuur
OA
＝tb－a.
要使
A，B，C
三点共线，只需
uuuuuuur
AC
＝λ
uuuuuuur
AB
，
即－23a＋13b＝λ(tb－a)．
又非零向量 a，b 不共线，∴13－＝λ＝λt，－23，
∴tλ＝＝1223，.
∴当 t＝12时，三向量终点在同一条直线上．
x1x2＋y1y2＝0
|x1x2 y1y2|≤
x21＋y12x22＋y22
[典例] (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知―A→B ＝(2,3)，―A→C ＝(3，
t)，|―B→C |＝1，则―A→B ·―B→C ＝
()
A．－3
B．－2
C．2
D．3
(2)如果向量 a 和 b 满足|a|＝1，|b|＝ 2，且 a⊥(a－b)，那
代入 sin α＋sin β＝1 得，sin α＝sin β＝12，
而 α＞β，所以 α＝56π，β＝π6.
[方法技巧] (1)平面向量数量积的计算方法： ①已知向量 a，b 的模及夹角 θ，利用公式 a·b＝|a||b|cos θ 求解． ②已知向量 a，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． (2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利 用数量积的运算律化简，再进行运算． (3)计算|a|时注意|a|＝ a2，易出错．
uuuuuuur
AB
uuuuuuur
·AC
＝0，求
c
的值；
②若 c＝5，求 cos A 的值．
[解析] (1)∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得 x＝3.
(2)法一：设 C(x，y)，
则
uuuur
AC
＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以xy＝＝－－24，，
从而
uuuur
BC
＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选
uuuuuuur
，∵F，G，B
三点共线，
∴m＋4n＝1.连接
AC，则CG ＝ AG － AC ＝ uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur
AG
－(
uuuuuuur
AB
＋
uuuuuuur
AD
)＝(m－1)a＋(n－1)b，CuuuuEuuur
＝
uuuuuuur
BE
－
uuuuuuur
(3)相等向量一定是平行向量． (4)向量 a 的单位向量为|aa|. (5)λa 依然是一个向量，与 a 的方向相同(λ>0)或相反 (λ<0)．
[典例] (1)下列命题中，正确命题的个数是
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量 a 共线的单位向量是|aa|.
(2)由 a·(a－b)＝0，∴a2－a·b＝0， ∴a·b＝1.
又 cos θ＝|aa|··b|b|＝1×1
＝ 2
22，且
0°≤θ
≤180°，
∴θ＝45°.
[答案] (1)C (2)B (3)解：①证明：由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
(2)已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
结论
几何表示
坐标表示
模 夹角 a⊥b 的条件
|a|＝ a·a cos θ＝|aa|·|bb|
a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|
|a|＝ x21＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
A.
法二：
uuuur
AB
＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
uuuur
BC
＝
uuuur
AC
－
uuuur
AB
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选 A.
[答案] (1)B (2)A
(3)解：①
uuuur
AB
＝(－3，－4)，
uuuur
AC
＝(c－3，－4)．
由
uuuur
AB
uuuur
·AC