2018-2019高中数学选修2-1模块检测(解析版)

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2018年高中数学人教A版选修2-1第1章常用逻辑用语检测(A)习题含解析.docx

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题第一章检测 (A)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 命题“若A? B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4解析 :因为原命题为假,所以其逆否命题为假.因为逆命题为真,所以其否命题为真.故共有 2 个真命题 .答案 :B2 若p:x= 2,且y= 3,则p 为 ()A. x≠2 或 y≠3B.x≠2,且 y≠3C.x= 2 或 y≠3D.x≠2 或 y= 3解析 :因为“且”的否定为“或”,所以p:x≠2 或 y≠3.故选 A.答案 :A3 如果命题“p∧q”是假命题,“p”是真命题,那么()A. 命题 p 一定是真命题B.命题 q 一定是真命题C.命题 q 一定是假命题D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题解析 :由于“非 p”是真命题 ,则 p 一定是假命题 ,故 A 错 ;由于“p 且 q”是假命题 ,p 是假命题 ,则 q 可能是真命题 ,也可能是假命题.答案 :D4“x=2kπ+ ( k∈ Z)”是“tan x= 1”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 :“tan x= 1”的充要条件为“x=k π+ (k∈Z)”,而“x= 2kπ+ (k∈Z )”是“x=k π+ (k∈Z)”的充分不必要条件,故“x= 2kπ+ (k∈Z)”是“tan x=1”成立的充分不必要条件 .答案 :A5 命题“对任意x∈R ,都有x2≥0”的否定为()A. 对任意 x∈R,都有 x2< 02B.不存在 x∈R,使得 x < 0C.存在 x0∈R ,使得≥0D.存在 x0∈R ,使得<0答案 :D6 设命题p:若a>b ,则ac>bc ,q: < 0? ab< 0,给出下列四个由p,q 构成的新命题 :(1)p∨ q;(2)p∧q;(3) p;(4) q.其中真命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :由已知可知 p 为假 ,q 为真 ,则(1)p∨q 为真 ;(2) p∧q 为假 ;(3)p 为真 ;(4)q 为假 ,故选 C.答案 :C7 命题“?x∈R ,x2≠x”的否定是 ()A. ? x? R,x2≠xB. ?x∈R ,x2=xC.?x0? R, ≠x0D.?x0∈R,=x 0答案 :D8 已知命题p:?x∈ R,2x2+ 2x+< 0;命题 q:?x∈R ,sin x-cos x=,则下列判断正确的是 ()A. p 是真命题B. q 是假命题C. p 是假命题D.q 是假命题解析 :因为 ? x∈R ,2x2+ 2x+≥ 0,所以 p 为假命题 ;当 x= 时 ,sin x-cos x=-,故命题 q 为真命题 .答案 :D9 下列说法错误的是()22A. 命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题是“若 x -3x+ 2= 0,则 x= 1”21≠0,则2B.若命题 p:? x∈R ,x +x+p:?x∈R,x +x+ 1=0C.若 p∨ q 为真命题 ,则 p,q 均为真命题2D. “x> 2”是“x -3x+ 2> 0”的充分不必要条件解析 :C 中“p∨ q”为真命题 ,则 p,q 不一定均为真命题,可能一真一假 .答案 :C10“a≤0”是“函数f(x)=| (ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 :函数 f(x)的图象有以下三种情形:a= 0a> 0a< 0由图象可知f(x)在区间 (0,+ ∞)内单调递增时,a≤ 0,故选 C.答案 :C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是.答案 :圆的切线到圆心的距离等于半径12“存在α,β,使cos(α-β)= cosα-cosβ”是命题 (填“全称”或“特称”),该命题是(填“真”或“假”)命题 .答案 :特称真13 存在实数x0,y0,使得2 + 3≤ 0,用符号“?”或“? ”可表示为,其否定为.答案 :?x0 ,y0∈R ,使 2 + 3 ≤ 0?x,y∈R,都有 2x2+ 3y2> 014 已知命题甲:x≠1,且y≠2,乙:x+y≠3,则甲是乙的.(填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”)解析 :非甲 :x=1 或 y= 2,非乙 :x+y= 3.∵非甲非乙 ,非乙非甲 ,∴乙甲 ,甲乙,∴甲是乙的既不充分也不必要条件.答案 :既不充分也不必要条件15 若α表示平面,a,b表示直线,给定下列四个命题:①②③a⊥a∥ α,a⊥ b? b⊥ α; a∥ b,a⊥ α? b⊥ α;α,a⊥ b? b∥ α;④a⊥ α,b⊥ α? a∥ b.其中正确命题的序号是.解析 :①错误 ,b 也可能在α内 ; ②正确 ,a∥b,a⊥ α? b⊥α,这是直线与平面垂直的性质;③错误 ,还有可能④正确 ,这是直线与平面垂直的性质定理.b 在α内 ;答案 :②④三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)指出下列命题的构成形式,并写出构成它的命题.(1)36 是 6 与 18 的倍数 ;(2) x= 1 不是方程x2+ 3x-4= 0 的根 .解:(1)是“p∧ q”的形式 ,其中 p:36 是 6 的倍数 ,q:36 是 18 的倍数 .(2)是“ p”的形式 ,其中 p:x=1 是方程 x2+ 3x-4=0 的根 .17(8分)指出下列各题中,p 是 q 的什么条件 :(1)p:(x-2)(x-3)= 0,q:x-2= 0;(2)p:四边形的对角线相等 ,q:四边形是平行四边形 ;(3)p:(x-1)2+ (y-2)2= 0,q:(x-1)(y-2)= 0;(4)在△ABC 中 ,p:A>B ,q:BC>AC.分析要求 p 是 q 的什么条件 ,关键在于分析出p 能否推出 q,q 能否推出p.解 :(1)∵( x-2)(x-3)= 0 x-2= 0(可能 x-3=0),而 x-2= 0? (x-2)(x-3)= 0,∴p是 q 的必要不充分条件 .(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.2222(3)∵(x-1) + (y-2) = 0? x= 1,且 y= 2? (x-1)(y-2)= 0,而 (x-1)(y-2)=0 (x-1) + (y-2) = 0,∴p是 q 的充分不必要条件 .(4)在△ABC 中,大边对大角 ,大角对大边 ,则A>B ? BC>AC.故 p 是 q 的充要条件 .18(9分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假:(1)全等三角形一定相似 ;(2)末位数字是零的自然数能被 5 整除 ;(3)若- + (y+ 1) 2= 0,则 x= 2 且 y=- 1.解:(1)逆命题 :若两个三角形相似 ,则它们一定全等 ,假命题 ; 否命题 :若两个三角形不全等 ,则它们一定不相似 ,假命题 ;逆否命题 : 若两个三角形不相似 ,则它们一定不全等 ,真命题 .(2)逆命题 :若一个自然数能被 5 整除 ,则它的末位数字是零,假命题 ;否命题 :若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被 5 整除 ,假命题 ;逆否命题 : 若一个自然数不能被 5 整除 ,则它的末位数字不是零,真命题 .(3)逆命题 :若 x=2 且 y=- 1,则- + (y+1)2 =0,真命题 .否命题 :若- + (y+ 1)2≠0,则 x≠2 或 y≠-1,真命题 .逆否命题 : 若 x≠2 或 y≠-1,则- + (y+ 1)2≠0,真命题 .19(10分)写出下列命题的否定,并判断原命题与其否定的真假:(1)所有自然数的平方是正数 ;(2)任意实数 x 都是方程 5x-12= 0 的根 ;(3)?x∈R,x2-3x+ 3> 0;(4)有些合数不是偶数 .解 :(1)所有自然数的平方是正数,假命题 ;否定 :有些自然数的平方不是正数,真命题 .(2)任意实数x 都是方程 5x-12= 0 的根 ,假命题 ;否定 :?x0∈R ,5x0-12≠0,真命题 .(3)? x∈R,x2-3x+ 3> 0,真命题 ;否定 :?x0∈R ,-3x0+ 3≤ 0,假命题 .(4)有些合数不是偶数,真命题 ;否定 :所有的合数都是偶数,假命题 .20(10分)设命题p:函数f(x)= lg-的定义域为R;命题q:不等式< 1+ax 对一切正实数 x 均成立 .如果命题 p∨ q 为真命题 ,命题 p∧ q 为假命题 ,求实数 a 的取值范围 .分析 p∨ q 为真命题 ,p∧ q 为假命题 ,则说明 p 与 q 中一真一假 .先分别求出 p 和 q 为真命题对应的 a 的取值范围 ,再分 p 真 q 假,p 假 q 真这两种情况讨论 .解 :命题 p 为真命题 ? 函数 f(x)= lg-的定义域为R? ax2-x+a> 0 对任意实数x 均成立 .人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题因为当 a= 0 时 ,-x> 0,其解集不为R,所以 a≠0,所以-解得 a> 2.所以命题 p 为真命题 ? a> 2.命题 q 为真命题?-1<ax 对一切正实数-对x 均成立 ? a>一切正实数 x 均成立 .因为 x>0,所以>1,所以+ 1> 2,所以< 1.所以命题 q 为真命题 ? a≥ 1.根据题意 ,知命题 p 与 q 有且只有一个为真命题,当命题 p 为真命题 ,且命题 q 为假命题时 ,a 不存在; 当命题 p 为假命题 ,且命题 q 为真命题时 ,a 的取值范围是 [1,2] .综上所述 ,命题 p∨ q 为真命题 ,命题 p∧ q 为假命题时 ,实数 a 的取值范围是 [1,2] .。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四) 模块综合检测含答案解析

阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分 15 16 17 18 19 20 得分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________． 3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________．7．方程x 23＋m －y 21－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________． 11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2P A ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．14．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点． (1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA ·OB ＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面 P AO?18．(本小题满分16分)已知点⎝⎛⎭⎫1，32是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．19．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答案1．对任意实数x ，都有x ≤12．解析：否命题是条件结论都否定．答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)． ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：15．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a .又因为点P 在直线y ＝b3ax 上，所以－b 2a ＝b3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324. 答案：3246．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4，所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2. 答案：27．解析：若x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，1－m >0⇒－3<m <1， ∴m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a 2>2，得1＋m >2，所以m >1. 答案：m >19．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．答案：充分不必要10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)， P (x ，－1,3)，所以AP ＝(x －4，－2,0)，AB ＝(－2,2，－2)，AC ＝(－1，6，－8)．由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以AP 、AB 、AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC ，即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，0＝－2m －8n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1，x ＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. 答案：43313．解析：可得A (32x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，则AB ＝(－32x,3y )，OQ ＝(－x ，y )，故OQ ·AB ＝32x 2＋3y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＞0，t －1＞0，4－t ≠t －1，即1＜t ＜4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1；当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52，故①②正确．答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p24＝－p 2， ∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴若p 成立，即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，即m 的取值范围是(－1,4)．17．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设Q (0,1，z )，则OP ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， 1BD ＝(－1，－1,1)，∴OP ∥1BD ，∴OP ∥BD 1，AP ＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ ＝(－1,0，z )，当z ＝12时，AP ＝BQ ，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . 18．解：(1)由题意知，c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，a 2＝43b 2.又1a 2＋94b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3) ＝16(12k 2－3m 2＋9)>0，即4k 2－m 2＋3>0.又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3m 2－12k 23＋4k 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝3m 2－12k 24(m 2－3)＝k 2，即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝34.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<6，且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m |1＋k 21＋k 2|x 1－x 2|＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 又因为m 2≠3，所以S △OPQ ＝33m 2(6－m 2)<33×m 2＋6－m 22＝ 3.所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋z 2＝02x 2＋2z 2＝0可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63. 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。

2018_2019学年高中数学模块综合试卷(二)新人教B版选修1_2

模块综合试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确考点三段论题点三段论的结论答案 C解析因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－i a ＋i为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( ) A. 2 B.11 C. 3 D. 6考点复数的模的定义及应用题点利用定义求复数的模答案 C解析由题意得2－i a ＋i＝t i(t ≠0)，∴2－i ＝－t ＋ta i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z |＝3，故选C.3．已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑10i ＝1x i ＝17，则∑10i ＝1y i 的值等于( ) A ．3 B ．4 C ．0.4 D ．40考点回归直线方程题点求回归直线方程答案 B解析依题意x ＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过样本点的中心(x ，y )，所以y ＝－3＋2x ＝－3＋2×1.7＝0.4，所以∑10i ＝1y i ＝0.4×10＝4. 4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6考点程序框图题点循环结构的程序框图答案 B解析程序运行如下：开始a ＝4，b ＝6，n ＝0，s ＝0.第1次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1；第2次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2；第3次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3；第4次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4.此时，满足条件s >16，退出循环，输出n ＝4，故选B.5．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如表所示：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的回归直线方程为y ^ ＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )A ．67B ．68C ．68.3D ．71 考点回归直线方程题点样本点的中心的性质答案 B。

高中数学模块质量检测(含解析)新人教A版选修2-1

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．命题“对任意的x∈R,x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R,x3，0－x错误!＋1≤0B．存在x0∈R，x错误!－x错误!＋1≤0C．存在x0∈R，x3，0－x2，0＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞03．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈（0,错误!）,x＞sin xB．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2C．∀x∈R，3x＞0D．∃x0∈R，lg x0＝04．方程x＋｜y－1｜＝0表示的曲线是( )5．已知直线l过点P（1，0，－1）,平行于向量a＝（2,1，1），平面α过直线l与点M（1,2，3），则平面α的法向量不可能是（）A．（1，－4，2） B．(错误!，－1，错误!）C．(－错误!,1，－错误!) D．（0,－1，1)6．以椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点为圆心，且与双曲线错误!－错误!＝1的渐近线相切的圆方程是（）A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝07．如图，在三棱锥O－ABC中,点D是棱AC的中点，若错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则错误!等于（）A．a＋b－cB．a－b＋cC.错误!a－b＋错误!cD．－错误!a＋b－错误!c8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x9．在空间直角坐标系O－xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a 为非零向量,且<a，i〉＝45°，<a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( ）A．30° B．45°C．60° D．90°10．若命题p：∀x∈R,ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≤－3或a＞2 B．a≥2C．a＞－2 D．－2＜a＜211．已知A（1，2,3）,B（2，1，2），C（1，1，2）．O为坐标原点,点D在直线OC 上运动,则当错误!·错误!取最小值时，点D的坐标为（)A．（错误!，错误!，错误!） B．(错误!，错误!，错误!）C．(错误!，错误!，错误!） D．（错误!，错误!,错误!）12．已知F1，F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( ）A．(1,1＋错误!) B．(1＋错误!，＋∞）C．(1－错误!,1＋错误!) D．（错误!,错误!＋1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________。

2018-2019年高二选修2-1模块综合测试卷含答案

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(0，±12)D ．(±12,0)C [∵c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，∴c ＝12.又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)．]2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0C [全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定结论，即存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.]3．如图1所示，已知平行六面体OAB -CO 1-A 1B 1C 1，点G 是上底面O 1A 1B 1C 1的中心，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO 1→＝c ，则用a ，b ，c 表示向量OG 为→( )图1A.12(a ＋b ＋2c ) B ．12(2a ＋b ＋c ) C.12(a ＋2b ＋c )D ．12(a ＋b ＋c )A [OG →＝OO 1→＋O 1G →＝OO 1→＋12(OA →＋OC →)＝12a ＋12b ＋c ，，故选A.]4．已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3，命题q ：∀x ∈R ，x 2－6x ＋10≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．(﹁p )∧(﹁q )C ．(﹁p )∨qD ．(﹁p )∧qB [对于命题p ，当a ＋b ＝1时，由于1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故1a ＋1b ≠3，命题p 是假命题；对于命题q ，x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1≥0，故命题q 是真命题．从而﹁p 为真命题，﹁q 为假命题，(﹁p )∨(﹁q )为真命题，(﹁p )∧(﹁q )为假命题，(﹁p )∨q 为真命题，(﹁p )∧q 为真命题．故选B.]5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A.3 B ．2 C.5D ． 6C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bxa ，代入抛物线方程并整理，得ax 2－bx ＋a ＝0，因为渐近线与抛物线相切，故b 2－4a 2＝0，即b 2＝4a 2.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ 5.]6．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.]7．给出下列结论：①命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x ∈(0,2)，3x ≤x 3”； ②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ＝12”； ③若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [根据全称命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②是错误的；③中，若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 都是真命题或p ，q 一真一假，所以③是错误的；④中，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，得1－m ＝2x >0，∴m <1，而函数y ＝log m x 为减函数，则0<m <1，所以④是错误的，故选A.]8．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B ．x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1A [圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.]9．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a ＜log 12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4B [对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b 2，得a >b2＞0，不一定有a ＞b ＞0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.]10．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0)B [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， ⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1 ⇒k AB ＝－x2y⇒k PQ ＝yx ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)．]11．已知m ，n ，s ，t 为正实数，m ＋n ＝4，m s ＋nt ＝9，其中m ，n 是常数，且s ＋t 的最小值是89，满足条件的点(m ，n )是双曲线x 22－y 28＝1一弦的中点，则此弦所在的直线l 的方程为( )A ．x ＋4y －10＝0B ．2y －y －2＝0C ．4x ＋y －10＝0D ．4x －y －6＝0D [s ＋t ＝19(s ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫m s ＋n t ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n ＋ns t ＋mt s ≥19(4＋2mn )，当且仅当mt 2＝ns 2时等号成立．由题意19(4＋2mn )＝89，所以mn ＝4.又m ＋n ＝4，故m ＝n ＝2.设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由线段AB 的中点是(2,2)，知直线l 的斜率一定存在，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4.设直线l 的斜率为k ，则x 212－y 218＝1，x 222－y 228＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)8＝0，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×44＝4，所以直线l 的方程为y －2＝4(x －2)，即4x －y －6＝0，故选D.]12．如图2所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角是( )图2A.π6 B ．π4 C.π3D ．π2A [以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．则A (3，1,0)，B 1(0,0,3)，C 1(0,2,3)，AB 1→＝(－3，－1,3)，B 1C 1→＝(0,2,0)，BB 1→＝(0,0,3)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x －y ＋3z ＝0，2y ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)，∵cos 〈BB 1→，n 〉＝BB 1→·n |BB 1→||n |＝33×2＝12，∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为12， ∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上．)13．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________.(1,0)x＝－1[圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.]14．已知命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x＞－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”及“﹁p”形式的复合命题中真命题是________．﹁p[p为假命题，因为a的符号不确定，q为假命题，因为a，b的大小不确定．所以p∧q假，p∨q假，﹁p真．]15．如图3所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．【导学号：33242347】图31515[如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系．A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，则C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)，|C 1D →|＝3，|A 1C →|＝5，C 1D →·A 1C →＝1，cos 〈C 1D →，A 1C →〉＝C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|＝1515，故异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为1515.]16．如图4所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：图4①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2.其中正确式子的序号是________．②③ [椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF |，都为a －c ，所以②正确；两椭圆比较有a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以①错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即c 1a 1＞c 2a 2，整理可得c 1a 2＞a 1c 2，所以③正确，④错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知命题p ：若函数f (x )＝1－x3，则实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根．若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.[解] 若命题p 为真命题，∵f (x )＝1－x3，f (m )＜2， ∴1－m3＜2，解得m >－5；若命题q 为真命题，则关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，等价于函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－m 有交点，数形结合(图略)，可知－m >0，∴m <0.若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则存在两种情况： ①当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－5m ≥0，，∴m ≥0；②当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5.综上，若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)·x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．[解] 当p 为真时，有Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＞2或m ＜－2. 当q 为真时，有Δ＝16(m －2)2－16＜0，解得1＜m ＜3.由题意，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴命题p 与命题q 一真一假． ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2或m ＜－2，m ≤1或m ≥3，解得m ＜－2或m ≥3.②若q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(1,2]∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值. [解] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本小题满分12分)如图5所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.图5(1)求证：PD ⊥平面P AB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2,2)．又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 21．(本小题满分12分)如图6所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,1)，离心率e ＝32.图6(1)求椭圆C 的方程．(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，求出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．[解](1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1c a ＝32，a 2＝b 2＋c2可得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝(x 2－x 1)y 1＋x 1(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝(my 2＋1)y 1＋(my 1＋1)y 2y 1＋y 2＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－2mm 2＋4－2mm 2＋4＝4.故直线A ′B 与x 轴交于定点(4,0)．22．(本小题满分12分)如图7所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.图7(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O -EF -C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.[解] 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．(1)依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →＝(1，－1,2)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD →＝0n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,2,1)，又EG →＝(0,1，－2)，可得EG →·n 1＝0.又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF . (2)易证，OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →＝(－1,1,2)．设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则 ⎩⎨⎧n 2·EF →＝0n 2·CF →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0－x ′＋y ′＋2z ′＝0. 不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因为有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以二面角O -EF -C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF →＝(1，－1,2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721.所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。

人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案

2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．已知命题p ：函数()log 05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ，则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ；④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2．其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题，所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确． 10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确． 11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意，所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．15．【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ＝{1|a a >且a ≠2}，所找的记为集合{}1A a a =>，则B ⇒A ，B /⇐A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q ⌝∧假，①正确；对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ⌝：∃非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，使≠b c ．p ⌝为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-≠a b c ，则≠b c ．否命题为真命题． 18．【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【解析】命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且240a a -<”．解得0≤a <4．命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，则140a ∆=-≥，得14a ≤．因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故P Q ⌝∧为真命题，或P Q ⌝∧为真命题，则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得a <0或144a <<．所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ∆=->⇔<，并且10a<，从而a <0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．【答案】a ≤9．【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324x x <<⎧⎨<<⎩，即2<x <3．∴q ：2<x <3．设{}290|2A x x x a =-+<，B ＝{x |2<x <3}，∵p q ⌝⌝⇒，∴q ⇒p ．∴B ⊆A ．∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2290x x a -+<．∴2<x <3满足不等式292a x x <-．∵当2<x <3时，222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即2819928x x <-≤，∴a ≤9． 21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直，得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：22cos cos 0x x -≠，所以cos x ≠0或1cos 2x ≠．而当[]0,x ∈π时，cos2π=0，1cos 32π=，故存在2x π=或3x π=，使向量OP OQ ⊥成立，因而p 是假命题． 22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：∵33220a b ab a b ++--=，即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+， ∴()()2210a ab b a b -+-=+，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭，只有1a b+=．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．。

2018-2019学年高中数学模块综合检测(含解析)北师大版选修1-2

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－ 12在第四象限．2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图(如图)：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法解析：选A 综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．故选A.3．复数a ＋i1－i为纯虚数，则它的共轭复数是( )A ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：选D ∵复数a ＋i1－i＝a ＋i1＋i 1－i 1＋i ＝a －1＋1＋a i 2为纯虚数，∴a －12＝0，1＋a2≠0，解得a ＝1. ∴a ＋i1－i＝i ，则它的共轭复数是－i.4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：选B 等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.6．已知x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n x 2n ＋33x 2n ＋1(n ∈N *)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n >x n ＋1C ．存在正整数n (n ≥2)，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n (n ≥2)，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 8．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：选D 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.9．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为( )x 3 4 5 6 y2.5m44.5A ．3.5 C ．2.5D ．2解析：选B ∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋m ＋4＋4.54＝m ＋114，又(x ，y )在线性回归方程上， ∴m ＋114＝0.7×4.5＋0.35，∴m ＝3.10．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计3070100附表：P (χ2≥k 0)0.10 0.05 0.025 k 02.7063.8415.024χ2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.经计算，统计量χ2≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( ) A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A 根据题意得χ2≈4.762>3.841，故应该有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此选A.11．已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为h 1，h 2，h 3，h 4，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.4VkB.3VkC.2VkD.V k解析：选B 根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k.12．函数f (x )在[－1,1]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)解析：选A 因为α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π.所以π2>β>π2－α>0.所以0<cos β<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α<1，1>sin β>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α>0.又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z ＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2， ∴z ＝21＋i ＝21－i2＝1－i ，∴z ＝1＋i. 答案：1＋i14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2；第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3；第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1.答案：116．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则a 2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋12＋n ＋22＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z ＝1－i2＋31＋i2－i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数．解：由已知得复数z ＝1－i2＋31＋i 2－i ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝3＋i2＋i2－i2＋i＝5＋5i 5＝1＋i.(1)因为复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z 1＝－1＋i.(2)因为z 2＋az ＋b ＝1－i ，所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝4，所以复数z 2＝－3＋4i ，所以z 2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如表：积极支持教育改革不太赞成教育改革总计工作积极5573128工作一般 98 52 150 总计153125278对于该教委的研究项目，根据上述数据，能否有99%的把握认为对待教育改革的态度与工作积极性有关？解：根据题意可得χ2＝278×55×52－73×982128×150×153×125≈13.959>6.635，所以有99%的把握认为对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b ＋2＋1b a ＋2≤23，只需证明ba ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证3b 2＋12ab ＋3a 2≤4a 2＋10ab ＋4b 2. 即证(a －b )2≥0，这显然成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23. (2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，∴2a ≤b ＋2,2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4，这与a ＋b >4矛盾，∴af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.20．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f x1－f x，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)证明：根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f x ＋a1－f x ＋a ＝1＋1＋fx 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x ，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ] ＝－1fx ＋2a＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．21．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各等式两边分别相加得：(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.(1)类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值． (2)根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值．解：(1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …，(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1，将以上各式两边分别相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋13－1－n －3·1＋n n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．(2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝16×100×101×201－4×16×50×51×101＝166 650.22．(本小题满分12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .解：(1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1nt i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝1210＝1.2，a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．。

2018～2019学年度高中数学选修2-1教师用书配套课件整理学案模块质量评估

模块质量评估一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题解析】选D.可采用特殊值法进行判断,令a＝1,b＝－1,满足a>b,但不满足a2>b2,即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”;再令a＝－1,b＝0,满足a2>b2,但不满足a>b,即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”.2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( )A.a2B.a2C.a2D.a2【试题解析】选C.如图,＝(＋),＝,·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.3.对∀k∈R,则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是 ( )A.两条直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线【试题解析】选D.分别令k＝0,1及k>0且k≠1或k<0可知:方程x2＋ky2＝1不可能为抛物线.4.给出下列命题:①若给定命题p:∃x0∈R,使得＋x0－1<0,则p:∀x∈R,均有x2＋x－1≥0;②若p∧q为假命题,则p,q均为假命题;③命题“若x2－3x＋2＝0,则x＝2”的否命题为“若 x2－3x＋2＝0,则x≠2”. 其中正确的命题序号是 ( )A.①B.①②C.①③D.②③【解题指南】写出原命题的否定,可判断①;根据复合命题真假判断的真值表,可判断②;写出原命题的否命题,可判断③.【试题解析】选A.若给定命题p:∃x 0∈R,使得＋x0－1<0,则p:∀x∈R,均有x2＋x－1≥0,故①正确;若p∧q为假命题,则p,q存在假命题,但不一定均为假命题,故②错误;命题“若x2－3x＋2＝0,则x＝2”的否命题为“若 x2－3x＋2≠0,则x≠2”,故③错误.5.一条线段的长等于10,两端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,M在线段AB上且＝4,则M的轨迹方程是( )A.x2＋16y2＝64B.16x2＋y2＝64C.x2＋16y2＝8D.16x2＋y2＝8【试题解析】选B.设M(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2＋b2＝100.因为＝4,所以即代入a2＋b2＝100,得25x2＋y2＝100,即16x2＋y2＝64.6.已知双曲线－＝1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A, B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p＝( )A.1B.C.2D.3【试题解析】选C.因为双曲线的离心率e＝＝2,所以b＝a,所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x,与抛物线的准线x＝－相交于A,B,所以△AOB的面积为××p＝,又p>0,所以p＝2.7.已知非零向量a,b,c,若p＝＋＋,那么|p|的取值范围是( )A.[0,1]B.[1,2]C.[0,3]D.[1,3]【试题解析】选C.p2＝＝3＋2≤3＋2×3＝9,所以0≤|p|≤3.8.已知F1(－3,0),F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2＝α.当α＝时,△F1PF2的面积最大,则m＋n的值是 ( )A.41B.15C.9D.1【试题解析】选B.由＝|F1F2|·|y P|＝3|y P|,知点P为短轴端点时,△F1PF2的面积最大.此时∠F1PF2＝,得a＝＝2 ,b＝＝,故m＋n＝15.9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,E为棱AB的中点,则D1E与平面BC1D所成角的正弦值为 ( )A. B.C. D.【试题解析】选A.建系如图,则B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,1,0),C1(0,2,2),＝(－2,2,－2),＝(2,1,－2),＝(－2,－2,0),＝(－2,0,2).所以·＝0,·＝0,为平面BC1D的法向量.因为cos<,>＝＝,所以D1E与平面BC1D所成角的正弦值为.10.若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )A.(1,)B.(,＋∞)C.(1,]D.[,＋∞)【试题解析】选B.双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知,应有>2,故e＝＝＝>.11.已知抛物线C:y2＝8x与点M(－2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·＝0,则k＝( )A. B. C. D.2【试题解析】选D.y2＝8x的焦点为(2,0),由题可知直线AB斜率存在,可设为y ＝k(x－2),所以所以y＝k,即y2－y－2k＝0,又设A(x1,y1),B(x2,y2),y1＋y2＝,y1y2＝－16.·＝(x1＋2,y1－2)·(x2＋2,y2－2)＝0,(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0,即＋(y1－2)(y2－2)＝0,所以＋(＋)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0,即＋＋4－16－＋4＝0,解得k＝2.12.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD, PA＝AD＝AC,点F为PC的中点,则二面角C－BF－D的正切值为( )A. B.C. D.【试题解析】选D.如图所示,连接BD,AC∩BD＝O,连接OF.建立如图所示的空间直角坐标系.设PA＝AD＝AC＝1,则BD＝.所以B,F,C,D.结合图形可知,＝且为平面BDF的一个法向量,由＝,＝,可求得平面BCF的一个法向量n＝.所以cos<n,>＝,sin<n,>＝,所以tan<n,>＝.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.命题“∃x0∈R,2－3ax0＋9<0”为假命题,则实数a的取值范围是________.【试题解析】因为∃x0∈R,2－3ax0＋9<0为假命题,所以∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题,所以Δ＝9a2－4×2×9≤0,即a2≤8,所以－2≤a≤2.答案:[－2,2]14.过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C,使·＝0,则双曲线离心率e的取值范围是________.【试题解析】设双曲线的方程为－＝1,A,B,C(0,t),由·＝0,得t2＝－c2≥0,e≥.答案:15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________.设与B1C交于O点,连接A1O.因为BC1⊥B1C,A1B1【试题解析】连接BC⊥BC1,A1B1∩B1C＝B1,所以BC1⊥平面A1B1C,所以A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.所以∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角,设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中,A1B＝,BO＝,所以sin∠OA1B＝＝＝.所以∠OA1B＝30°.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.答案:30°【一题多解】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),C(0,1,0).所以＝(1,0,1),＝(0,1,0).设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x,y,z),则所以令z＝－1,得x＝1.所以可取n＝(1,0,－1),又B(1,1,0),所以＝(0,1,－1),cos<n,>＝＝＝.所以<n,>＝60°,所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.答案:30°16.下列命题中,正确的是__________.①空间向量a与b的夹角为60°,a＝(2,0,0),|b|＝1,则|a＋b|＝;②已知命题p:∀x∈R,3x>0,则p:∃x 0∈R,≤0;③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件;④设M＝{1,2},N＝{a2},则“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件.【试题解析】①中,|a|＝2,所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝2×＝1,所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝7,所以|a＋b|＝,正确;②全称命题的否定是特称命题,所以p:∃x 0∈R,≤0,故②正确;由2a>2b可知a>b,另外由a>b,可知2a>2b,所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件,所以③不正确;“N⊆M”,则有a2＝1或a2＝2,解得a＝±1或a＝±,所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件,故④正确.答案:①②④【补偿训练】有下列命题:①双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点;②“－<x<0”是“2x2－5x －3<0”的必要不充分条件;③若a,b共线,则a,b所在的直线平行;④若a,b,c 三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;⑤∀x∈R,x2－3x＋3≠0.其中是真命题的有__________.(把你认为正确命题的序号都填上)【试题解析】①中的两曲线的焦点均为(±,0),正确;对于②,不等式2x2－5x－3<0的解为－<x<3,所以不正确;③中a,b所在的直线也可能重合,所以不正确;④举反例,如空间直角坐标系中x,y,z轴的方向向量,所以不正确;⑤∀x∈R,x2－3x＋3＝＋>0,正确.答案:①⑤三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知命题p:方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:∀x∈R,4x2－4mx＋4m－3≥0.若(p)∧q为真,求m的取值范围.【试题解析】p真时,m>2.q真时,4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立.Δ＝16m2－16(4m－3)≤0,1≤m≤3.因为(p)∧q为真,所以p假,q真.所以即1≤m≤2.所以所求m的取值范围为[1,2].18.(12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB＝,AF＝1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE.(2)AM⊥平面BDF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD＝N,连接NE.则点N,E的坐标分别为N,E(0,0,1).所以＝.又点A,M的坐标分别是A(,,0),M,所以＝.所以＝且NE与AM不共线,所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝.因为D(,0,0),F(,,1),所以＝(0,,1).所以·＝0,所以⊥.同理⊥,且DF∩BF＝F,所以AM⊥平面BDF.19.(12分)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC＝2AD＝2AB＝2,∠ABC＝90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD.(1)求证:CD⊥AB.(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离.【试题解析】(1)由已知条件可得BD＝2,CD＝2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB ⊂平面ABD,所以CD⊥AB.(2)以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),所以＝(0,－2,0),＝(－1,0,－1),＝(－1,1,0).设平面ACD的法向量为n＝(x,y,z),则⊥n,⊥n,所以令x＝1,得平面ACD的一个法向量为n＝(1,0,－1),所以点M到平面ACD的距离d＝＝.20.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l:y＝kx＋m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.【试题解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0),且a＋c＝3,a －c＝1,所以a＝2,c＝1,所以b2＝3,所以＋＝1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0,Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0.又x1＋x2＝－,x1·x2＝,所以y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以k AD·k BD＝－1,即·＝－1,所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0,＋＋＋4＝0,7m2＋16mk＋4k2＝0,解得m1＝－2k,m2＝－,且满足3＋4k2－m2>0.当m＝－2k时,l:y＝k(x－2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;当m＝－时,l:y＝k,直线过定点.综上可知,直线l过定点,定点坐标为.21.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC＝90°,AB＝AC＝2,A1A＝4,A1在底面ABC的射影为BC的中点O,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.【试题解析】(1)连接A1O,AO.因为AB＝AC＝2,D是B1C1的中点.所以A1D⊥B1C1,因为BC∥B1C1,所以A1D⊥BC,因为A1O⊥面ABC,所以A1O⊥AO,A1O⊥BC,又因为A1D∥AO,所以A1O⊥A1D,因为BC∩A1O＝O,所以A1D⊥平面A1BC.(2)因为在三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC＝90°,AB＝AC＝2,A1A＝4,O为BC中点,所以AO⊥BC,以OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴,建立坐标系如图.所以O(0,0,0),B(0,,0),B1(－,,),A1(0,0,),即＝(0,,－),＝(0,,0),＝(－,0,),设平面BB1C1C的法向量为n(x,y,z),即得出得出n＝(,0,1),||＝4,|n|＝2,因为n·＝,所以cos<n,>＝＝,可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为.22.(12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD＝∠CBD,AB＝BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D－AE－C的余弦值.【试题解析】(1)取AC中点O,连接OD,OB.由∠ABD＝∠CBD,AB＝BC＝BD知△ABD≌△CBD,所以CD＝AD,由已知可得△ADC为等腰直角三角形,D为直角顶点,则OD⊥AC,设正△ABC边长为a,则OD＝AC＝a,OB＝a,BD＝a,所以OD2＋OB2＝BD2,即OD⊥OB,又OB∩AC＝O,所以OD⊥平面ABC,又OD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)以OA,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,由(1)得当E为BD中点时,平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,故可得A,D,C,E,则＝,＝,设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1,y1,z1),则即令z1＝1, 则x1＝1,y1＝,所以n1＝,同理可得平面AEC的一个法向量n2＝, 所以cos<n1,n2>＝＝＝,因为二面角D－AE－C的平面角为锐角,所以二面角D－AE－C的余弦值为.。

【配套K12】2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2模块综合检测：-含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限． 2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确．3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i. 7．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 第一次运行得s ＝1＋(1－1)2＝1，k ＝2；第二次运行得s ＝1＋(2－1)2＝2，k ＝3；第三次运行得s ＝2＋(3－1)2＝6，k ＝4；第四次运行得s ＝6＋(4－1)2＝15，k ＝5；第五次运行得s ＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k 的值是5，故选C.8．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y ^＝7.19x ＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而估计值，当x ＝10时，y ＝145.83，故身高在145.83 cm 左右．9．执行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为2，则输入的x 的最大值是( )A ．8B ．11C ．12D ．22解析：选D分析该程序框图可知⎩⎨⎧x2－1>3，12⎝⎛⎭⎫x2－1－2≤3.解得⎩⎨⎧x >8，x ≤22.即8<x ≤22，所以输入的x 的最大值是22，故选D.10．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 017的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4. 记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数为f (n )，则f (2 017)＝f (503×4＋5)＝f (5)， ∴52 017与55的末四位数相同，均为3 125.11．某程序框图如图所示，若该程序输出的结果是163，则判断框内可填入的条件是( )A ．i <4?B ．i >4?C ．i <5?D ．i >5?解析：选C 依题意知，初始值i ＝1，T ＝0，P ＝15，第一次循环：i ＝2，T ＝1，P ＝5；第二次循环：i ＝3，T ＝2，P ＝1；第三次循环：i ＝4，T ＝3，P ＝17；第四次循环：i ＝5，T＝4，P ＝163.因此循环次数应为4，故“i <5？”可以作为判断框内的条件，故选C.12．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( )A ．141B ．191C ．211D ．241解析：选B 由题意，x ＝－1＋3＋8＋12＋175＝7.8，y ＝3＋40＋52＋72＋1225＝57.8，因为回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，所以57.8＝6×7.8＋a ^，所以a ^＝11，所以y ^＝6x ＋11，所以x ＝30时，y ^＝6×30＋11＝191，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______．解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 答案：514．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表根据列联表数据，求得K 2≈__________.解析：由计算公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2≈7.469. 答案：7.46915．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2；第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3；第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1. 答案：116．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2020＝2 017×1 010.答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c .18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i25＝1－3i ，所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 19．(本小题满分12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．试画出小流域综合治理开发模式的结构图．解：根据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构图如图所示．20．(本小题满分12分)某商品在销售过程中投入的销售时间x 与销售额y 的统计数据如下表：用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额．(参考公式： b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1 (x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －，y －表示样本平均值) 解：由已知数据可得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，所以∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，∑5i ＝1(x i －x －)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b ＝0.01，a ＝y －－b x －＝0.47.故y ^＝0.01x ＋0.47令x ＝6，得y ^＝0.53.即该商品6月份的销售额约为0.53万元．21．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ] ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．22．(本小题满分12分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2的观测值k ＝1 000×(360×180－320×140)500×500×680×320≈7.35>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．。

2018学年高中数学选修2-1模块综合检测含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题，选B ．3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．18B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1a ＝－8， ∴a ＝－18．4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D ． 5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．5 32B ．212C ．372D ．3 52解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)．又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0． ∴2n ＝5，n ＝52．∴|a |＝1＋4＋254＝3 52．6．下列结论中，正确的为( )①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件； ④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由綈p 为假⇒p 为真⇒p ∨q 为真，故③正确．7．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中， m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1．① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝ m ＋nm ＝2，②联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316． 8．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1， 5 ]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x ．由条件知，应有ba >2，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>5．9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α．当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15．10．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( ) A ．55B ．33C ．255D ．63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO ．建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0．∴OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0．由于OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA 〉＝55，∴sin 〈n ，OA 〉＝255． 11．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54解析：选B 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52． 12．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24D ．23解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得ca ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a＝14．故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ―→·OA ―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由OP ·OA ＝4得x ×1＋y ×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0．答案：x ＋2y －4＝014．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题，∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤22．答案：[－22，2 2 ]15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝12． ∴e ＝ca ＝2．答案：216．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E (2,0,1)，F (1,2,0)， ∴EF ＝(－1,2，－1)．又平面CDD 1C 1的一个法向量为OD ＝(0,2,0)，cos 〈EF ，OD 〉＝4 6×2＝63，故所求角的正弦值为63．答案：63三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0．若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2．q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3． ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2．∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A -A 1C -B 的正切值大小．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°．由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1．又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C ．(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD ． ∵AB ⊥A 1C ，AD ∩AB ＝A ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A -A 1C -B 的平面角．在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝62．在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63．法二：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°．由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ．如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB ＝(1,0,0)，A C 1＝(0，3，－3)．∵AB ·A C 1＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0， ∴AB ⊥A 1C ．(2)取m ＝AB ＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．由(1)知：BC ＝(－1，3，0)，设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·A C 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，∴x ＝3y ，y ＝z ．令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝3×1＋1×0＋1×032＋12＋12·12＋02＋02＝155， ∴sin 〈m ，n 〉＝ 1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，∴tan 〈m ，n 〉＝63． ∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63．19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．解：(1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，D (2a,0,2a )，所以CM ＝(a ，－a,0)，EM ＝(a ，a ，－a )，所以CM ·EM ＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，所以CM ⊥EM ．(2) CE ＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM ，n 〉＝CM ·n | CM ||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°．20．(本小题满分12分)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ ＝23DP ．(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使OE ＝12(OM ＋ON )(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0,0)，DQ ＝(x －x 0，y )，DP ＝(0，y 0)，又DQ ＝23DP ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ， ∵点P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1．(2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE ＝12(OM ＋ON )，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，∴椭圆上存在点M ，N 满足OE ＝12(OM ＋ON )，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0．21．(本小题满分12分)如图，已知点E (m ，0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ．由题意，知直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋1，2k 1．同理点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2 k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时等号成立， ∴△EMN 面积的最小值为4．(2)证明：由题意，得直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ．又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝⎛⎭⎫2k21＋m ，2k 1．同理点N ⎝⎛⎭⎫2k22＋m ，2k 2． ∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (2,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA |．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，则是否存在实数λ，使得PQ ＝λAB ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵AC ·BC ＝0，∴AC ⊥BC ，∠ACB ＝90°．又|OC －OB |＝2|BC －BA |，即|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形． ∵A (2,0)，∴C (1,1)．又点C 在椭圆上，a ＝2， ∴1a 2＋1b 2＝1，∴b 2＝43， ∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 243＝1．(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝1对称．设k PC ＝k (k ≠0且k ≠±1)，则k C Q ＝－k ，则直线PC 的方程为y －1＝k (x －1)⇒y ＝k (x －1)＋1，①直线CQ 的方程为y －1＝－k (x －1)⇒y ＝－k (x －1)＋1，②将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0．③ ∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根，∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1． k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q ＝k ·6k 2－21＋3k 2－2k －12k 1＋3k 2＝－4k 1＋3k 2－12k 1＋3k 2＝13．而k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ＝λAB ．又|PQ |＝(x P －x Q )2＋(y P －y Q )2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22 ＝160k 2(1＋3k 2)2＝1609k 2＋1k2＋6≤2303，当且仅当9k 2＝1k 2，即k 2＝13，k ＝±33时取等号．又|AB |＝10，∴λmax ＝230310＝233．。

2018-2019年人教版高中《数学选修2-1》试题(题后含答案)11

2018-2019年人教版高中《数学选修2-1》试题（题后含答案）单选题（共5道）1、方程（x+）2+（y-）2=0所表示的曲线的图形是（）ABCD2、曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()．A－9B－3C9D153、设F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P，使（+）•=0（O为原点）且|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）AB-1C+1D4、已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取最小值时，双曲线-=1的离心率为（）ABCD5、已知=（-3，2，5），=（1，x，-1），且•=2，则x的值是（）A6B5C4D3简答题（共5道）6、如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．7、如图，边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1．（1）求证：A1D⊥EF；（2）M为EF的中点，求DM与面A1EF所成角的正弦值．8、过双曲线-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：•为定值．（2）若=，求动点M的轨迹方程．9、如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上且，，，是的中点，四面体的体积为.（1）求二面角的正切值；（2）求直线到平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使异面直线与所成的角为，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由.10、如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B-AC-A1的大小；（3）求此几何体的体积．填空题（共5道）11、在平面直角坐标系中，已知两点A（2，5），B（0，1），若点C满足=λ1 +λ2（O为坐标原点），其中λ1、λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹方程为______．12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线与直线所成的角为▲．13、直线是曲线的一条切线，则实数b＝．14、已知函数f（x）=ax3﹣bx2的图象过点P（﹣1，2），且在点P处的切线恰与直线x﹣3y=0垂直．则函数f（x）的解析式为（）15、正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．-------------------------------------1-答案：tc解：由（x+）2+（y-）2=0，得x=-且y=．∴ab ＞0，方程（x+）2+（y-）2=0表示椭圆在第二象限的部分，ab ＜0，则x＞0，y＜0，无选项．故选：B2-答案：C3-答案：tc解：取PF2的中点A，则+=2，∵（+）•=0，∴2•=0，∴⊥，∵O是F1F2的中点，∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|-|PF2|=（-1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e= ==+1．故选C．4-答案：tc解：由m＞0，n＞0，+=1得：1=+≥2，可得mn≥8，当且仅当n=2m=4，mn取得最小值8．即有双曲线-=1为-=1，即有a=2，b=2，c==2．e==．故选：C．5-答案：tc解：∵=（-3，2，5），=（1，x，-1），∴•=-3×1+2x+5×（-1）=2，解得x=5故选：B------------------------------------- 1-答案：2-答案：（1）证明：由题知，∵A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，A1E∩A1F=A ∴A1D⊥平面A1EF ∵EF平面A1EF ∴A1D⊥EF（2）解：由（1）知A1D⊥平面A1EF，连接A1M，则∠A1MD为DM与面A1EF所成角∵边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点∴|BD|=2，|BM|=，|DM|=|BD|﹣|BM|=在直角△A1MD中，|A1D|=2，∴sin∠A1MD=∴DM与面A1EF所成角的正弦值为．3-答案：解．（1）∵双曲线-x2=1的上支可表示为函数y=，且y′=×=设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=（x-x0）即y-y0=（x-x0），即y0y-3x0x=3，与渐近线方程y=x联立，解得A(，)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±x0≠0）；与渐近线y=-x联立，解得B(，)，∴•=+=+=2（定值）（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由=知=+，由（1）有即再由P（x0，y0）在双曲线-x2=1 （y＞0）上∴-=1，∴-=1故所求轨迹为-=1(y＞0)．4-答案：（1）；（2）；（3）不存在.试题分析：（1）根据四面体的体积及底面积可求出.，为中点，所以，这样可得为二面角的平面角.在中即可求得其正切值.（2）由于面面，所以只需在面ABCD内过点D作交线BG的垂线，即可得PD在面PBG内的射影，从而得PD与面PBG所成的角.（3）存在性的问题，一般都通过建系来求.dsgjghmk两两垂直，故可分别以为轴建立坐标系.假设存在且设然后用向量的夹角公式求y,如果能求出满足条件的y则存在，若不能求出满足条件的y，则不存在.试题解析：（1）由四面体的体积为.∴设二面角的大小为为中点，∴同理∴∴3分（2）由∴为等腰三角形，GE为的角平分线，作交BG的延长线于K,∴由平面几何知识可知：，.设直线与平面所成角为∴8分（法二：建系）（3）两两垂直，分别以为轴建立坐标系假设存在且设∴又直线与所成的角为∴化简得：不满足∴这样的点不存在 12分5-答案：（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1．因为O是AB的中点，所以OD=．则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，则OC∥面A1B1C1．（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．作BH⊥A2C2于H，连CH．因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．又因为AB=，BC=，AC=．所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，即：所求二面角的大小为30°．（3）因为BH=，所以=．=•2=1．所求几何体体积为=．（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1．因为O是AB的中点，所以OD=．则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，则OC∥面A1B1C1．（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．作BH⊥A2C2于H，连CH．因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．又因为AB=，BC=，AC=．所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，即：所求二面角的大小为30°．（3）因为BH=，所以=．=•2=1．所求几何体体积为=．-------------------------------------1-答案：C点满足=λ1+λ2且λ1、λ2∈R，且λ1+λ2=1，∴A、B、C三点共线．∴C点的轨迹是直线AB又A（2，5），B（0，1），∴直线AB的方程为：=整理得2x-y+1=0故C点的轨迹方程为2x-y+1=0故答案为：2x-y+1=0．2-答案：略3-答案：ln2－1试题分析：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程，∴ln2=×2+b，∴b=ln2-1．故答案为：ln2-1点评：小综合题，利用导数研究曲线上某点切线方程，是导数几何意义的基本应用，本题对运算能力有较好的考查。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第一章章末综合检测 Word版含解析

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是()A．存在x∈R，使得e x≤x2B．任意x∈R，使得e x≤x2C．存在x∈R，使得e x＞x2D．不存在x∈R，使得e x＞x2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，e x≤x2”．2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又aα，∴a⊥b.3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(非p)或q B．p且qC．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)解析：选D.∵p真q假，∴非p假，非q真，故选D.4．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是()A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B.l∥α，lα，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，lα，mα，则l∥α.6．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.∵p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列命题不正确的是() A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D.对D，m与n可能平行，也可能异面，D不正确，A、B、C中命题均正确．8．下列命题中，真命题是()A．任意x∈R，x2≥xB．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题C．存在x∈R，x2≥xD．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题解析：选C.对A，当x∈(0，1)时，A为假命题；B的逆命题为：“若x2＝1，则x＝1”，此命题为假命题，B为假命题；对C，当x＝1时成立，C为真命题；对D，D的逆否命题为：“若sin x＝sin y，则x＝y”．此命题为假，例如sin 30°＝sin 150°，但30°≠150°，D为假命题，故选C.9．已知a、b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝a·b x2＋(b2－a2)x－a·b，若“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f(x)＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”，是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的必要不充分条件．10．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m ＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．解析：由题意x＝2⇒x2－2x＋c＝0，∴22－2×2＋c＝0，∴c＝0.答案：012．若命题“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，∴其否定：“对任意x＜2 014，x≤a”为真命题，∴a≥2 014.答案：[2 014，＋∞)13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b －c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．答案：充要14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假，则实数m的取值范围是________．解析：p或q为假，则非p和非q均为真．非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋m＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．答案：[2，＋∞)15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.其中真命题的编号是________．解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；∴②是假命题；对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假：(1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；(3)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题．17．(本小题满分10分)(2014·孝感市高二检测)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由非p 是非q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.(等号不同时成立) 故所求实数a 的取值范围是[0，12]． 18．(本小题满分10分)已知命题p ：函数y ＝(a －1)x 在R 上单调递增，命题q ：不等式x ＋|x －3a |＞1的解集为R ，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则a －1＞1⇒a ＞2，q 真⇔x ＋|x －3a |＞1恒成立，设h (x )＝x ＋|x －3a |，则h (x )min ＞1.∵h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3a ，x ≥3a 3a ， x ＜3a ，易知h (x )min ＝3a ， ∴3a ＞1，即a ＞13. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则a ＞2且a ≤13，矛盾． ②若p 假q 真，则a ≤2且a ＞13⇒13＜a ≤2，综上可知，a 的取值范围是(13，2]． 19．(本小题满分12分)已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，结合集合M ，P 可得－3≤a ≤5.故－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．证明：当－3≤a ≤5时，集合P ＝{x |a ≤x ≤8}，集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，故M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}．综上可知，－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．20．(本小题满分13分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a ，b ，c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a ，b ，c 使题设命题成立．∵f (x )图像过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故有a ＋b ＋c ＝1.∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ， ∴x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a ＞0，1－2a ＞0，∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14. ∴存在一组常数a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．。

2019秋高中数学模块综合评价(含解析)新人教A版选修2_1

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A2．命题：“∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1≤0 B ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1>0 C ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0 D ．∃x 0∈R ，使x 2－x 0＋1<0 答案：C3．在空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，则该四面体的体积为( )A ．2 B.43C.223D.23答案：D4．在空间四边形ABCD 中，AB →·AD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．不确定答案：B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案：C6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：因为|a |＝|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值等于( )A.13 B.14C.19D.35答案：A8．三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.答案：A9．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 1|－|PF 2|＝±6，所以|PF 2|＝9或－3(舍去)．答案：B10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33答案：D11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1)解析：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，所以p2＝1，所以该抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：B12．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知命题p ：∀x ∈R(x ≠0)，x ＋1x≥2，则¬p ：____________．解析：首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x＜2.答案：∃x 0∈R(x 0≠0)，x 0＋1x 0＜214．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos∠F 1PF 2＝________．答案：3515．在四面体O ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x4OB →＋x4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．答案：116．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：不存在三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由题意p ：－2≤x －3≤2，所以1≤x ≤5. 所以¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，所以¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又因为¬p 是¬q 的充分而不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，解得2≤m ≤4，所以m 的取值范围为[2，4]．18．(本小题满分12分)求适合下列条件的标准方程． (1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，求它的标准方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝2，经过点M (－5，3)，求它的标准方程．解：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，可得焦点在x 轴，所以a ＝5，b ＝3，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为离心率e ＝2，所以a ＝b ，又因为双曲线经过点M (－5，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－9b 2＝1，a ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b ，解得：a 2＝b 2＝16或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b 无解．所以双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <3)的焦点为F ，点Q (m ，22)在抛物线C 上，且|QF |＝3.(1)求抛物线C 的标准方程及实数m 的值；(2)直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若△AOB (O 为坐标原点)的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)因为抛物线C 过点Q (m ，22)，所以2pm ＝8，又因为|QF |＝3，m ＋p2＝3，因为0<p <3，解得p ＝2，m ＝2，所以y 2＝4x ，m ＝2. (2)因为y 2＝4x 的焦点F (1，0)，设所求的直线方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得：y 2－4my －4＝0，因为直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，所以Δ＝16m 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16，所以△AOB 的面积为12×|OF ||y 1－y 2|＝1216m 2＋16＝4，解得m 2＝3，所以m ＝±3，所以所求直线l 的方程为x ＝±3y ＋1.20．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点． (1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2)求二面角A A 1D B 的余弦值．(1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，C (－1，0，0)，所以AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)．因为AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1. 又BD 与BA 1交于点B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)解：连接AD ，设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0)．因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量．由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→为平面A 1BD 的法向量．cos 〈n ·AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32×22＝－64，故二面角A A 1D B 的余弦值为64. 21．(本小题满分12分)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0，取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0，取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝12.因此二面角E AG C 为60°.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，求证：1|MN |＋1|PQ |为定值．(1)解：因为e ＝c a ＝22，所以b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，所以a 2＝2b 2，所以椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.又点(2，2)在椭圆上，所以222b 2＋（2）2b 2＝1，解得b 2＝4，所以a 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由(1)得椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由已知直线MN 的斜率不为0，设其方程为y ＝k (x ＋2)，由直线MN 与PQ 互相垂直，可得直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1，所以|MN |＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝42（1＋k 2）2k 2＋1. 同理|PQ |＝42（1＋k 2）k 2＋2.所以1|MN |＋1|PQ |＝2k 2＋142（1＋k 2）＋k 2＋242（1＋k 2）＝3k 2＋342（1＋k 2）＝328. 所以1|MN |＋1|PQ |＝328为定值．。

2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章章

章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中是命题的个数为()①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.A.1B.2C.3D.4解析根据命题的概念，判断是不是命题.①不是陈述句，不是命题.②疑问句.没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.③是假命题.0既不是正数也不是负数.④是假命题.如x＝3，y＝－ 3.⑤是祈使句，不是命题.答案 B2.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.答案 C3.设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析结合函数单调性的定义求解.由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件. 答案 A4.设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( ) A.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数 D.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D. 答案 D5.下列命题中的假命题是( ) A.存在x ∈R ，sin x ＝52 B.存在x ∈R ，log 2x ＝1 C.任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0D.任意x ∈R ，x 2≥0解析因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，存在x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图像可知，任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0；对于D ，根据二次函数图像可知，任意x ∈R ，x 2≥0. 答案 A6.下列命题正确的是( )A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件B.命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0C.已知p：1x＋1>0，则綈p：1x＋1≤0D.存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝π2成立解析对于A，在△ABC中大边对大角，由a>b得A>B，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A<cos B；又由A，B∈(0，π)，cos A<cos B时得A>B，故a>b，故A正确.对于B，命题p的否定綈p应为：存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0，故B不正确.对于C，p：1x＋1>0⇔p：x>－1，故綈p为x≤－1，而不是1x＋1≤0，故C不正确.对于D，sin x＋cos x的最大值为2，小于π2，故D不正确.答案 A7.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析全称命题：任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.答案 C8.命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数解析先对命题取逆，然后取否可得“若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数”，选A. 答案 A9.下列命题中真命题的个数是( ) ①任意x ∈R ，x 4>x 2；②若p 且q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”.A.0B.1C.2D.3解析对于①，当x ＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题. 对于②，p ，q 有一个为假时，p 且q 也为假，故②为假命题. ③为真命题.故真命题有1个. 答案 B10.已知命题p ：任意x ∈R ，1－x 2≤1，则( ) A.綈p ：存在x ∈R ，1－x 2≥1 B.綈p ：任意x ∈R ，1－x 2≥1 C.綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1 D.綈p ：任意x ∈R ，1－x 2>1解析根据全称命题的否定方法，当命题p ：任意x ∈R ，1－x 2≤1时，綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1.故选C. 答案 C11.已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( ) A.p 且q B.p 或(綈q ) C.p 且(綈q )D.(綈p )且q解析由3x<4x得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x>1，当x <0时不等式不成立，故p 为假命题，由图像知，tan x >x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立.故q 为真命题.故D 项为真. 答案 D12.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.若p 或q 为假命题，则p ，q 均不为假命题C.命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析选项A 中否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”；选项B 中，若p 或q 为假命题，则p ，q 均为假命题；选项C 中命题的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”. 故A ，B ，C 三项说法均不正确.选项D 中，“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，故其逆否命题也为真命题. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.命题：“存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立”的否定是_____________________________________________________________________.解析特称命题的否定是全称命题. 答案对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立14.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________. 解析一个命题的否命题是对条件和结论都否定. 答案若a ≤b ，则2a ≤2b －115.在下列四个命题中，真命题的个数是________. ①任意x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ③存在x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10. 解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114>0，故①是真命题.②中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故②是真命题.③中x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故③是真命题.答案 316.已知命题p：不等式xx－1<0的解集为{x|0<x<1}；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p真q假；②“p且q”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________.解析解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，∴命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误.答案①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)(1)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零.(2)写出下列命题的否定并判断真假：①所有自然数的平方是正数；②任何实数x都是方程5x－12＝0的根；③任意x∈R，x2－3x＋3>0；④有些质数不是奇数.解(1)①逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.②逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)①綈p：有些自然数的平方不是正数，真命题.②綈p ：存在x 0∈R ，使得5x 0－12≠0，真命题.③綈p ：存在x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题.④綈p ：所有的质数都是奇数，假命题.18.(10分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明 (1)充分性：∵0<m <13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m >0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m>0，解得0<m <13. 综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.19.(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件.∴AB ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9，∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}.20.(12分)设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求a 的取值范围.解当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎨⎧a >0，1－4a 2<0，即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个为真命题.∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞).21.(13分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p 且q 假，p 或q 真，求实数a 的取值范围.解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增，∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎨⎧a ≥0，Δ<0，即⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－4a <0，解得0≤a <4， ∴q ：0≤a <4.∵p 且q 假，p 或q 真，∴p 与q 一真一假， ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎨⎧a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎨⎧－1<a <2，0≤a <4， ∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，2)∪[4，＋∞).22.(13分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围.解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0) ＝(x ＋1)x . 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫344，1.。

2018年新人教A版高中数学选修2-1全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学选修2-1全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1命题第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系第1章1.2-1.2.1充分条件与必要条件第1章1.2-1.2.2充要条件第1章1.3简单的逻辑联结词第1章1.4-1.4.2存在量词第1章1.4-1.4.3含有一个量词的命题的否定第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1曲线与方程第2章2.1-2.1.2求曲线的方程第2章2.2-2.2.1椭圆及其标准方程第2章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质第2章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用第2章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程第2章2.3-2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质第2章2.3-2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用第2章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程第2章2.4-2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质第2章2.4-2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算第3章3.1-3.1.2空间向量的数乘运算第3章3.1-3.1.3空间向量的数量积运算第3章3.1-3.1.4空间向量的正交分角及其坐标表示第3章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示第3章3.2第1课时空间向量与平行关系第3章3.2第2课时空间向量与垂直关系第3章3.2第3课时空间向量与空间角第3章章末复习课第3章章末评估验收(三)模块综合评价第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系1.1.1 命题A 级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x >2；⑤这座山真险啊！ A ．①②③ B ．①③④ C ．①②⑤D ．②③⑤解析：①②③是命题，④中x >2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题．答案：A2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．a >b ，c >d ⇒ac >bd B ．a <b ⇒a 2<b 2 C.1a <1b⇒a >b D ．a >b ，c <d ⇒a －c >b －d解析：可以通过举反例的方法说明A ，B ，C 为假命题．答案：D3．下列命题中真命题的个数为( ) ①若x 2＝1，则x ＝1； ②若x ＝y ，则x ＝y ； ③若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ； ④梯形的对角线一定不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：只有③正确．答案：A4．给出下列命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 满足ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 成等比数列； ②若整数a 能被2整除，则a 是偶数； ③在△ABC 中，若A >30°，则sin A >12.其中为假命题的序号是( )A ．②B ．①②C ．②③D ．①③解析：①中，若a ＝－1，b ＝52，c ＝2，d ＝－5满足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，故是假命题；③中，若150°<A <180°，则sin A <12，故是假命题．答案：D5．下列命题中，是真命题的是( ) A ．若a 3＋b 3＝0，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＞b ，则ac ＞bc C ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆M D ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M解析：A.取a ＝1，b ＝－1，推不出a 2＋b 2＝0，A 不成立；B.c ≤0时，不成立；C.M ∩N ＝M ⇒M ⊆N ，C 不成立；D 成立．答案：D 二、填空题6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p ，则q ”的形式为________．解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除．答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除 7．已知下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．解析：①②③④全为假命题．答案：48．给出下列三个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中，是真命题的是________(填序号)．答案：②三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．B级能力提升1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．答案：D2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．答案：①②④3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是()A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2”B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1”C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2”D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若⌝p，则⌝q”.答案：C2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠| b |B．若a＝－b，则|a|≠| b |C．若|a|≠| b |，则a≠－bD．若|a|＝| b |，则a＝－b解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝| b |，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝| b |，则a＝－b.”答案：D3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：D4．下列四个命题中，真命题为()①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C5．与命题“在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是()A．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中，若a m＋a n≠a p＋a q，则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中，若m＋n≠p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q答案：B二、填空题6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．答案：真命题7．下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③8．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案：1三、解答题9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾，所以逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，真命题．因为原命题与其逆否命题等价，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B级能力提升1．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假解析：a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案：A2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．解析：逆否命题为：a ，b 都小于1，则a ＋b <2是真命题．所以原命题是真命题，逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，例如a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．答案：真假3．设0<a <1，0<b <1，0<c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.证明：假设(1－a )b >14，所以（1－a ）b >12，(1－b )c >14，所以（1－b ）c >12，(1－c )a >14，所以（1－c ）a >12.相加得32<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32左右矛盾，故假设不成立．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.第一章常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件A 级基础巩固一、选择题1．“x >0”是“3x 2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．既是充分条件又是必要条件解析：x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2>0，不能推出x >0. 答案：A2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”，“cos 2α＝12”⇒/ “α＝π6＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z)，所以选A.答案：A3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ln(x＋1)<0得－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．答案：B4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M⊆N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M⊆N；但当M⊆N时，m＝1或m＝3，故“m ＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．答案：A5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案：B二、填空题6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0}，所以－a＜－2⇒a＞2.答案：a ＞27．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ； ②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α； ④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．答案：②④8．“x ＝1”是“方程x 3－3x ＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．答案：充分三、解答题9．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么： (1)s 是q 的什么条件？ (2)r 是q 的什么条件？ (3)p 是q 的什么条件？解：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件． (2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件． (3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．10．已知命题p ：α＝β；命题q ：tan α＝tan β，判断p 是q 的什么条件？解：当α＝β＝π2时，显然tan α与tan β无意义，即p ⇒/ q ，故p 不是q 的充分条件；又α＝π4，β＝5π4时，tan α＝tan β，所以q ⇒/ p ，所以p 不是q 的必要条件，综上，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．B 级能力提升1．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件答案：B2．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________．答案：a ＝1(或a ＝－1)3．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“ab ＞1”是“a ＞b ”的什么条件，并证明你的结论．解：由条件“ab ＞1”可得a －b b ＞0，若b ＞0，则a ＞b ；若b ＜0，则a ＜b ，所以“ab＞1”“a ＞b ”，“ab＞1”不是“a ＞b ”的充分条件．反过来，a ＞b ⇔a －b ＞0，也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0，“ab ＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“ab ＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件，也不是“a ＞b ”的必要条件．第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0，1}＝{0}”，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案：B2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“x2＞2 013”时，一定有“x2＞2 012”，反之不成立，所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．答案：A3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a 2＝4”是“a 3＝16”的充分不必要条件．答案：A4．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2，或m ＝12.故为充分不必要条件．答案：B5．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[－1，1]B ．[－4，4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4. 答案：C 二、填空题6．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．解析：“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”．答案：充要条件7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析：若α＝370°>β＝30°，而sin α<sin β，所以“α>β”推不出“sin α>sinβ”，若sin 30°>sin 370°，而30°<370°，所以sin α>sin β推不出α>β.答案：既不充分也不必要条件8．已知p ：x 2－4x －5>0，q ：x 2－2x ＋1－λ2>0，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．解析：命题p 成立，x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1；命题q 成立，x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ，由于p 是q 的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.答案：(0，2] 三、解答题9．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解：依题意a ＞0.由条件p ：|x －1|＞a 得x －1＜－a ，或x －1＞a ，所以x ＜1－a ，或x ＞1＋a ，由条件q ：2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12，或x ＞1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x ＜0，或x ＞2，此时必有x ＜12，或x ＞1.即p ⇒q ，反之不成立．所以，使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.10．已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：(1)必要性．因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0. 因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0B 级能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊆B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知P ＝{x |x 2－8x －20 ≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的范围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的范围．解：(1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10，所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，所以这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.故m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-1检测：课时跟踪检测(一) 命题 Word版含解析

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（一) 命题层级一学业水平达标1．下列语句不是命题的有( )①若a>b,b>c，则a〉c;②x〉2；③3〈4;④函数y＝a x（a>0，且a≠1)在R上是增函数．A．0个B．1个C．2个D．3个解析:选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为（）①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素;④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B ①③错误；②④正确．3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( ）A．4 B．2C．0 D．－3解析:选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4〈0.故a＝0时适合条件．4．下列命题中，为真命题的是（)A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍,则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：选B 等腰梯形对角形相等,不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题,如“3，3，3”和“2，3，4”的平均数相等,但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心（0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝错误!〈1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．5．给出下列命题:①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a,b都是正实数,则a＋b≥2错误!；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题;③中，由x2>x，得x〈0或x〉1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.6．下列语句中是命题的有________(填序号），其中是真命题的有________（填序号）．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B;⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析:①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数;③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句,不是命题．答案：②③④④7．给出下列命题:①22 340能被3或5整除;②不存在x∈R，使得x2＋x＋1<0；③对任意的实数x，均有x＋1〉x；④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．（填序号）解析：易知①②③为真命题;④中Δ＝4－12〈0，方程x2－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．答案：④8．若命题“ax2－2ax－3〉0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析:∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；当a≠0时,则有错误!解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0。

2018年高中数学人教A版选修2-1模块综合检测习题含解析.docx

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题模块综合检测(时间 :120 分钟满分:150分)一、选择题 (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题 ;②命题“? x∈R,x2+ 1< 0”是全称命题 ;③?x∈R,x2+ 2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3解析 :①是全称命题 ;②是全称命题 ;③是特称命题 .答案 :B2 若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为 (-1,0),则抛物线的方程是()A. y2= 2xB. y2=- 2xC.y2= 4xD.y2=- 4x解析 :∵抛物线的准线方程为x= 1,焦点坐标为 (-1,0), ∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p= 2.∴抛物线的标准方程为y2=- 4x.答案 :D3 已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的 ()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件解析 :若 f(x)为[0,1] 上的增函数 ,则 f(x)在 [-1,0] 上为减函数 ,根据 f(x)的周期为 2 可推出 f( x)为 [3,4] 上的减函数 ;若 f(x)为 [3,4] 上的减函数 ,则 f(x)在 [-1,0] 上也为减函数 ,所以 f(x)在 [0,1] 上为增函数 ,故选 D. 答案 :D4 以双曲线=- 1 的焦点为顶点 ,顶点为焦点的椭圆方程为()A.= 1B.= 1C.= 1D.= 1解析 :由=- 1,得= 1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0, -4),顶点坐标为 (0,2 ),(0,-2 ).∴椭圆方程为= 1.答案 :D5 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线 PM 与 D1N 所成的角 ,则θ的集合是 ()A.B.C.D.解析 :取 C1D1的中点 E,PM 必在平面 ADEM 内 ,易证 D1N⊥平面 ADEM.D 1N 总是垂直PM.答案 :A6 若向量 a= (1,0,z)与向量 b= (2,1,2)的夹角的余弦值为,则 z=()A.0B.1C.-1D.2解析 :cos< a,b>=,解得 z=0.答案 :A7已知向量 a= (x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2),若 a≠b,设|a-b|=k ,则 a-b 与x轴上的单位向量的夹角的余弦值为()--A. B.--C. D.解析 :∵a-b= (x1 2 1 2 1 2n= (1,0,0)或(-1,0,0), -x ,y -y ,z -z ),x 轴上的单位向量可设为∴(a-b) ·n= ±(x1-x2 ).又|a-b|=k ,|n|= 1,∴夹角的余弦值为-.答案 :D8 如果命题“(p)∨ (q)”是假命题 ,那么在下列各结论中 ,正确的为 ()①命题“p∧q”是真命题②命题“p∧ q”是假命题③命题“p∨q”是真命题④命题“p∨ q”是假命题A. ①③B. ②④C.②③D.①④解析 :由“( p)∨ (q) ”是假命题 ,知p 和 q 均为假命题 ? p 为真 ,q 为真 ,则 p∧ q 为真 ,p∨ q 为真 ,则①③正确 ,故选 A.答案 :A9 椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析 :焦距为 2c,短轴长为2b,由已知 ,得 2c=,故 b= 3c.又∵a2=b 2+c 2= 9c2+c 2= 10c2,∴e=.答案 :A10 以双曲线= 1 的中心为顶点 ,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是()A. y2= 12xB. y2=- 12xC.y2= 6xD.y2 =- 6x解析 :由= 1,得 a2= 4,b2= 5,∴c2=a 2+b 2= 9.∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为 (0,0).2故= 3.∴抛物线方程为y = 12x.答案 :A11 设F1,F2是双曲线x2-4y2= 4a(a> 0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足:= 0,||·| |= 2,则 a 的值为 ()A.2B.C.1D.解析 :双曲线方程可化为= 1(a> 0),∵= 0,∴PF1⊥ PF2.∴|222①| +|| = 4c = 20a.由双曲线定义 ,知 ||-||= ±4,②又已知 ||·| |= 2,③由①②③ ,得 20a-2×2= 16a,∴a= 1.答案 :C12 过点M(-2,0)的直线m与椭圆2交于 P1,P2两点 ,线段 P1P2的中点为 P.设直线 m 的斜率+y = 1为 k1 (k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2的值为 ()A.2B. -2C.D.-解析 :设直线 m:y=k 1(x+ 2)代入+y 2= 1,得x2+ 2 (x+ 2)2-2= 0,整理 ,得 (1+ 2 )x2+ 8x+ 8 -2= 0.= (8)2-4(1+ 2 )(8-2)> 0,解得.设 P1P2的中点 P0(x0,y0),则 x0=-,y0=k 1(x0+ 2)=.∴k2==-,-∴k1·k2=- .答案 :D二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线= 1 上一点 M 的横坐标为3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为.解析 :由点 M 的横坐标可求得M(3,±),双曲线的右焦点的坐标为 F 2(4,0).由两点间的距离公式,得|F 2M|=--=--= 4.答案 :414“三角形任意两边之和大于第三边”的否定是.答案 :三角形的三边中,存在两边 ,其和小于或等于第三边15 在四面体OABC 中 ,=a,= b,= c,D 为 BC 的中点 ,E 为 AD 的中点 ,则=.(用a,b,c表示 )解析 :)==a+ b+ c.答案 : a+ b+ c16 曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和 F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a> 1)的点的轨迹 .给出下列三个结论 :①曲线 C 过坐标原点 ;②曲线 C 关于坐标原点对称;③若点 P 在曲线 C 上 ,则△F 1PF 2的面积不大于 a2.其中 ,正确结论的序号是.解析 :①曲线 C 经过原点 ,则当曲线 C 上点 P 为原点时 ,|PF 1||PF 2|= 1,即 a= 1,这与 a> 1 矛盾 ,所以①错误; ②曲线 C 关于原点对称 ,设曲线 C 上点 P 关于原点的对称点为P',则 |PF 1|=|P'F 2| ,|PF 2|=|P'F 1|,满足122,所以②正确 ;③由三角形面积公式 S= absin C,得△12|P'F||P'F |=a|PF|·|PF | sin∠F1PF 2≤ |PF 1|·|PF 2|=,所以③正确 .答案 :②③三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知椭圆D:= 1 与圆 M:x2+ (y-m)2= 9(m∈R ),双曲线 G 与椭圆 D 有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M 相切 .当 m= 5 时 ,求双曲线G 的方程 .解 :椭圆 D:= 1 的两个焦点为F1(-5,0),F2 (5,0),故双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上 ,且 c=5.设双曲线 G 的方程为= 1(a> 0,b> 0),则 G 的渐近线方程为y= ± x,即 bx±ay= 0,且 a2+b 2= 25.当 m=5 时 ,圆心为 (0,5),半径为 r= 3,于是= 3? a= 3,b= 4.故双曲线G 的方程为= 1.18(12分)已知命题p:不等式|x- 1|>m- 1的解集为 R ,命题q:f(x)=- (5-2m)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧ q 为假命题 ,求实数 m 的取值范围 .解:因为不等式 |x- 1|>m- 1 的解集为R,所以 m-1< 0,m< 1.又因为 f(x)=- (5-2m)x是减函数 ,所以 5-2m>1,m< 2.即命题 p:m< 1,命题 q:m< 2.因为 p∨ q 为真 ,p∧q 为假 ,所以 p 和 q 一真一假 .当 p 真 q 假时应有m 无解 .当 p 假 q 真时应有1≤ m< 2.故实数 m 的取值范围是 [1,2) .19(12分)已知点P(1,3),圆C:(x-m)2+y2=过点A-,点 F 为抛物线y2 =2px(p> 0)的焦点 ,直线PF 与圆相切 .(1)求 m 的值与抛物线的方程 ;(2) 设点 B(2,5),点 Q 为抛物线上的一个动点,求的取值范围 .解 :(1)把点 A 代入圆 C 的方程 ,得 (1-m) 2+-,22∴m=1.圆 C:(x-1) +y = .当直线 PF 的斜率不存在时,不合题意 .当直线 PF 的斜率存在时 ,设为 k,则PF:y=k (x-1)+ 3,即 kx-y-k+ 3= 0.∵直线 PF 与圆 C 相切 ,∴- -.解得 k=1 或 k=- 1.当 k=1 时 ,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为-2,不合题意 ,舍去 .当 k=- 1 时 ,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为4,∴= 4.∴抛物线方程为 y2= 16x.(2)= (-1,-2),设 Q(x,y),= (x-2,y-5),则=- (x-2)+ (-2)(y-5)=-x- 2y+ 12=--2y+12=-(y+ 16)2+ 28≤28.∴的取值范围为(-∞,28] .20(12分)如图所示 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,PC⊥平面 ABCD ,PC= 2,在四边形 ABCD 中 ,∠ ABC= ∠BCD= 90° ,AB= 4,CD= 1,点 M 在 PB 上 ,PB= 4PM ,PB 与平面 ABCD 成 30°角 .求证 :(1)CM ∥平面 PAD.(2) 平面 PAB⊥平面 PAD.证明以点 C 为坐标原点 ,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴 ,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,因为 PC ⊥平面 ABCD ,所以∠ PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角 .所以∠PBC= 30°.因为 PC= 2,所以 BC= 2,PB= 4.所以 D (0,1,0),B(2 ,0,0),A(2 ,4,0),P(0,0,2),M.所以= (0,- 1,2), = (2 ,3,0),.(1)令n= (x,y,z)为平面 PAD 的法向量 ,则即人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题-所以令 y= 2,得n= (- ,2,1).-因为 n·=-+ 2×0+1× = 0,所以 n⊥.又CM? 平面 PAD,所以 CM ∥平面 PAD.(2)取 AP 的中点 E,则 E( ,2,1), = (- ,2,1).因为 PB=AB ,所以 BE ⊥ PA.又因为= (- ,2,1) (2· ,3,0)= 0,所以,所以 BE ⊥DA.又因为 PA∩DA=A ,所以 BE⊥平面 PAD.又因为 BE ? 平面 PAB,所以平面 PAB ⊥平面 PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形 ,SD⊥底面 ABCD , AD=,DC=SD= 2.点 M 在侧棱 SC 上 ,∠ ABM= 60°.(1)求证 :M 是侧棱 SC 的中点 ;(2)求二面角 S-AM-B 的余弦值的大小 .(1)证明以 D 为坐标原点 ,射线 DA ,DC ,DS 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴 ,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则 A( ,0,0),B(,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2) .设 = λ(λ> 0),则 M,所以-.又= (0,2,0),<>= 60°,故=||·||cos 60° ,即-,解得λ=1,即.所以 M 为侧棱 SC 的中点 .(2) 解:由 M(0,1,1),A(,0,0),得 AM 的中点 G.所以-= (0,-1,1),= (- ,1,1),则= 0,= 0,即.因此 ,<>等于二面角 S-AM-B 的平面角 ,所以 cos<>==- ,故二面角 S-AM-B 的余弦值为 -.22(13分)已知椭圆= 1 与射线 y=x(x≥ 0)交于点 A,过 A 作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点 B 和点 C.(1)求证 :直线 BC 的斜率为定值 ,并求出这个定值 ;(2)求△ABC 面积的最大值 .(1) 证明由得A(1,).设直线 AB 的斜率为k,则直线 AC 的斜率为 -k.直线 AB 的方程为y=k (x-1)+,①直线 AC 的方程为y=-k (x-1)+,②将①代入椭圆方程并化简得222(k + 2)x - 2(k- )kx+k - 2k-2= 0.∵1和 x B是它的两个根 ,--∴x B=,y B=kx B+--. -k=同理可得 x C=-,-y C=∴k BC=-. -(2) 解:设直线 BC 的方程为 y=x+m ,代入椭圆方程并化简得 4x2+ 2 mx+m2 -4= 0,|BC|=|x1-x2|=-.∵A 到 BC 的距离为 d=,∴S△ABC=-≤-,当且仅当 2m2= 16-2m2,即 m= ±2 时 ,上式等号成立 .故△ABC 面积的最大值为.。

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2018-2019高中数学选修2-1模块检测（解析版）(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．答案 B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos 2α＝cos(4k π＋π3)＝cos π3＝12. 反之当cos 2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，或2α＝2k π－π3(k ∈Z )⇒α＝k π－π6(k ∈Z )，故应选A. 答案 A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是 ( )．A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．答案 D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是 ( )．A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°. 答案 A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于 ( )．A ．10B ．8C ．6D ．4解析由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案 B6．如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ( )． A.63 B.255 C.155 D.105解析建立如图所示坐标系，得D (0，0，0)，B (2，2，0)，C 1(0，2，1)，B 1(2，2，1)，D 1(0，0，1)，则DB →＝(2，2，0)，DD 1→＝(0，0，1)，BC 1→＝(－2，0，1)．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1，0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→||n |＝25·2＝105. 答案 D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )．A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析 y 2＝ax 的焦点坐标为(a 4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝ 0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案 B8．三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC＝60°，则AB →·CD →等于 ( )．A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.答案 A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b ax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a ＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2a 2 ×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．已知命题p ：∀x ∈R (x ≠0)，x ＋1x≥2，则綈p ：________．解析首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x<2. 答案 ∃x ∈R (x ≠0)，x ＋1x<2 12．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．解析依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 答案 x 23－y 212＝113．给出下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为______．解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1||PF 2|＝18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9. 答案 9三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解若p 真，则有9－m >2m >0，即0<m <3.若q 真，则有m >0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m <5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题，则p 、q 一真一假．①若p 真、q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52； ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m <5，即3≤m <5.故所求范围为：0<m ≤52或3≤m <5. 16．(10分)已知两点M (－2，0)、N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP→＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．解设P (x ，y )，则MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．∴|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2MN →·NP →＝4(x －2)，代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，即（x ＋2）2＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x ，故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .17．(10分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2. ∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a ＝±1.18．(12分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(2)求二面角A -CD -E 的余弦值．解如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，1)，F (0，0，1)，M (12，1，12)． (1)BF →＝(－1，0，1)，DE →＝(0，－1，1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12. 所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1，0，1)， AD →＝(0，2，0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0. 于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1，1，1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A -CD -E 为锐角，所以其余弦值为33. 19．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF ||＝4.∵|F 1F |＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1. (2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝（355－5）2＋（455－0）2＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255. ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为。