2018-2019高中数学选修2-1模块检测(解析版)

2018-2019高中数学选修2-1模块检测（解析版）

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b

.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是 ( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析 命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．

答案 B

2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12

”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos 2α＝cos(4k π＋π3)＝cos π3＝12

. 反之当cos 2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，或2α＝2k π－π3

(k ∈Z )⇒α＝k π－π6

(k ∈Z )，故应选A. 答案 A

3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是 ( )．

A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)

B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)

C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)

D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)

解析 若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．

答案 D

4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是 ( )．

A ．90°

B ．60°

C ．30°

D ．0°

解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°. 答案 A

5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于 ( )．

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

解析 由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.

答案 B

6．如图，在长方体ABCD －A

1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则

BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ( )． A.

63 B.255 C.155 D.105

解析 建立如图所示坐标系，

得D (0，0，0)，B (2，2，0)，C 1(0，2，1)，B 1(2，2，1)，

D 1(0，0，1)，

则DB →＝(2，2，0)，DD 1→＝(0，0，1)，

BC 1→＝(－2，0，1)．

设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．

∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，

∴取n ＝(1，－1，0)．

设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，

则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→||n |＝25·2＝105. 答案 D

7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )．

A ．y 2＝±4x

B ．y 2＝±8x

C ．y 2＝4x

D ．y 2＝8x

解析 y 2＝ax 的焦点坐标为(a 4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4

)，令x ＝ 0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2

＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案 B

8．三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC

＝60°，则AB →·CD →等于 ( )．

A ．－2

B ．2

C ．－2 3

D ．2 3

解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →

＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.

答案 A

9．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 6

解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a

x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a ＝4，∴c 2

a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 C

10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2

b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )．

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形

解析 双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2

a 2 ×m 2－

b 2

m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)

11．已知命题p ：∀x ∈R (x ≠0)，x ＋1x

≥2，则綈p ：________． 解析 首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x

<2. 答案 ∃x ∈R (x ≠0)，x ＋1x

<2 12．与双曲线x 2

－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．

解析 依题意设双曲线的方程x 2

－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双 曲线的标准方程为x 23－y 212

＝1. 答案 x 23－y 212

＝1