检验平面与平面的位置关系
平面与平面位置关系
复习
空间中
1.两直线的位置关系 平行、相交、异面
2.直线和平面的位置关系 平行、相交、在平面内
3.平面间的位置关系
二层楼房示意图
两个平面的位置关系
1. 两个平面相交
————
有一条公共直线
两个平面平行 ——没有公共点； 2. 画法:
l
//
O
（2）不正确画法
a
2. 若 // , a , 则直线a与平面β 的位置关系如何？
a
α
β
3. 若 // , a // , 则直线a与平面β的 位置关系如何？
a
α
β
4. 若α∥β,且α与γ相交,则β与γ的位 置关系如何？
α
β
γ
讨论
建筑师如何检验屋顶平面是否 与水平面平行？
小结 1. 两个平面的位置关系的定义
及画法
2. 两个平面的位置关系的相关 结论.
作业
课本55页练习
习题2.1A组5题,6题,7题.
3. 由两个平面平行的定义可得:
A. 如果两个平面平行,那么在其中一 个平面内的所有直线一定都和另一 个பைடு நூலகம்面平行;
B. 反过来,如果一个平面内的所有直 线都和另一个平面平行,那么这两个 平面平行.
练习
1. 若 // , a , b , 则直线a、 b的位置关系如何？
b
β
α
检验平面与平面垂直的方法
检验平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直是数学中一个重要的概念，常常用于解决几何问题和计算。
为了检验平面与平面垂直，我们可以采用以下方法：
1.点法式判断法：首先确定平面的法向量，然后将法向量与另一个平面的向量进行点乘，如果点乘结果为0，则表示两个平面垂直。
2.向量法判断法：同样先确定平面的法向量，然后将法向量与另一个平面的向量进行叉乘，如果叉乘结果为0，则表示两个平面垂直。
3.坐标表示判断法：将两个平面的方程表示成一般式或者参数式，然后比较两个平面的系数，如果两个平面的法向量相互垂直，则表示两个平面垂直。
4.直线法判断法：找到两个平面的交线，然后看交线是否垂直于两个平面，如果垂直，则两个平面垂直。
以上是常用的几种方法，需要根据具体情况选择合适的方法来检验平面与平面垂直。
- 1 -。
工程制图答案
【7-6】求作一直线IJ垂直于△ABC，与直线DE、FG都相交。
【8-1】求作直线AB的真长和倾角α、β。
【8-2】求作点A与直线BC间的真实距离。
【8-3】求作吸气罩相邻壁面之间夹角的真实大小。
【8-4】求作两平行线AB、CD所确定平面的倾角α和β。
【8-5】求作正垂面平行四边形ABCD的真形
【5-7】求作下列直线与平面的交点，并判别其可见性。
【6-1】求作下列两平面的交线，并判别其可见性。
【6-2】已知平面△ABC和直线DE，求作下列直线或平面。 ⑴过点F作直线FG⊥△ABC；⑵过直线IJ作平面IJK⊥△ABC；⑶过 点P作平面PQR⊥DE。
【6-3】已知平面P、Q，直线AB、CD，求作下列直线或平面。 ⑴过点E作直线EF⊥平面P，直线EG⊥平面Q；⑵过直线IJ作平面 IJK⊥平面P,过直线IJ作平面R⊥平面Q；⑶过点U作平面S⊥AB，作 平面T⊥CD。
【9-1】已知直线DE平行于△ABC平面，与△ABC平面的距离为5mm， 求作DE的水平投影。
【9-2】已知等腰△ABC的底边BC，其对V面的倾角β＝45°，三角 形高为20mm，补全△ABC的两面投影。
【9-3】已知点D与△ABC平面的距离为12mm，BC为水平线，补全 △ABC的正面投影。
【1-1】按照立体图作诸点的三面投影。
【1-2】已知点A、B、C、D的两面投影，作出各点的第三投影， 并写出这些点的空间位置。
A
【1-3】作出诸点的三面投影：点A(25,15,20)；点B距离投影面 W、V、H分别为20mm、10mm、15mm；点C位于点A之左 10mm、之前15mm、之上10mm；点D在点A之下8mm、与 投影面V、H等距，与投影面W的距离是与H面距离的2.5倍。
高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
直线与平面平面与平面的相对位置
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
2.2.2平面与平面平行的判定教案
1、重点：平面与平面平行的判定定理及应用依据：教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。
学生不应该死背定理内容，而是理解知识发生、发展的过程。
这样，知识就成了一个数学模式，可用来解决具体问题。
2、难点：平面与平面平行的判定定理的探究发现及应用。
依据：因为问题的产生与解决具有一定的隐蔽性，虽然学生了解两个平面平行的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件。
为此，本节的难点是两个平面平行的判定。
重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
3．疑点：正确理解并应用两个平面平行的判定定理时，要注意定理中的关键词：相交．六、教学过程（一）创设问题情景，引入新课基于新课程的理念和本节课的教学目标，使学生体会到数学知识发生在现实背景只需按为此结合一道习题即回归了上节课直线与平面的判定也引出了本节课的内容，自然流畅，更让学生了解到本节课学习的必要性。
教师：上节课我们学习了直线与平面的判定你能利用你所学的知识解决本题吗？实例：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1求证：B 1D 1 || 平面C 1BD[知识链接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化为找平行四边形或三角形中位线问题，这样就自然想到了找中点。
平行问题找中点解决是个好途径好方法。
这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法] 学生上黑板板演，其他同学下面做，师生共同评价点明，对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫点明 证明线面平行的方法及思想（转化的思想） 提出课题 思考1：如果将上题中正方体中的AB 1 ， AD 1连接构成了一个新的平面AB 1D 1如何证明：平面AB 1D 1∥平面C 1BD[设计意图：说明面面平行证明的必要性，通过提问引入本节课题，并为探寻平面与平面平行判定定理作好准备。
]（二）判定定理的探求过程1、直观感知思考1：根据同学们日常生活的观察，你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？生1：教室的天花板与地面给人平行的感觉。
沪教版六年级下册-第18讲-长方体,带答案
1．理解长方体中棱与面、面与面的位置关系；2．知道检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行的常用方法；3．知道检验平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的常用方法．（此环节设计时间在10-15分钟）➢检验直线与平面垂直的方法（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直；（2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；（3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直．➢检验直线与平面平行的方法：（1）铅垂线；（2）长方形纸片．➢检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线：检验平面与地面（水平面）是否垂直；（2）合页型折纸；（3）三角尺．➢检验平面与平面平行的方法：（1）长方形纸片：按交叉的方向检验两次，两边都于被检验的面紧贴;（2）水准仪：（用于检验平面与水平面的平行）按交叉的方向检验两次，水泡都要在中间．案例：如图：在长方体ABCD-EFGH中，（1）与棱DH平行的面是；（2）与棱BC垂直的面是；（3）与面ABFE平行的棱是；（4）与面BCGF垂直的棱是；（5）与面ABCD平行的面是；（6）与面ABCD垂直的面是；FGHDBAC E（7）在长方体中的每一条棱有个面和它平行，每一个面有条棱和它平行．（8）在长方体中的每一条棱有个面和它垂直，每一个面有条棱和它垂直．参考答案：1、（1）面ABFE，面BCGF；（2）面ABFE，面DCGH；（3）棱DC，棱CG，棱GH，棱HD；（4）棱AB，棱DC，棱HG，棱EF；（5）面EFGH；（6）面ABFE，面BCGF，面DCGH，面ADHE；（7）2，4；（8）2，4．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：如图，它是一个正方体六个面的展开图，那么原正方体中与平面B互相平行的平面是．（用图中字母表示）参考答案：D试一试：如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面B 垂直的面有_______．参考答案：A、F、C、E例题2：如图，在长方体ABCD-EFGH中，（1）与棱DH垂直的平面是；（2）与平面BCGF垂直的棱是；（3）与棱GC平行的平面是；（4）与平面BFGC平行的棱是．第17题图FEDCBAA B C DEF参考答案：（1）面ABCD 、面EFGH （2）棱AB 、棱EF 、棱HG 、棱DC （3）面ABFE 、面ADHE 、面BDHF （4）棱AD 、棱DH 、棱HE 、棱EA试一试：如图，在长方体ABCD -EFGH 中，分别与△BEG 的边BG 、BE 、EG 一边平行的面有哪些？参考答案：分别与BG 、BE 、EG 平行的面各有一个，它们分别是平面ADHE 、面CDHG 、面ABCD此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
《平面与平面平行的判定(二)》教学课件(北师大版)
P F A D G M B N
E
C
随堂练习
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
证明：（1）连 B1D1,∵E、F分别为棱 C1D1,B1C1的中点, ∴EF∥B1D1∥BD ∴ E、F、B、D四点共面 （2）∵M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.∴ MN ∥ B1D1∥EF ， ∴ MN∥面EFBD， 连EM，则ME ∥ A1D1∥ AD,∴四边形 ADEM为平行四边形，∴AM∥DE, ∴ AM∥面EFBD， 又AM∩MN=M， ∴面AMN∥面EFBD.
A1 D1 E F B1 C1
N
M
D
C B
A
小结：
平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两
个平面平行。
定理的推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行。
知识小结
1．证明平面与平面平行的方法： （1）利用定义；平面与平面没有公共点 （2）利用判定定理． 线线平行 线面平行 面面平行
推论
如果一个平面内有两条相
a α
b
交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平 行.
β
例题分析
例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1BD。
证明：
B1B ∥ A1 A B1B ∥D1D ∥ A1 A D1D
四边形 BB1D1D 是平行四边形
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
人教版数学必修二知识点总结归纳
精心整理第一章立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四（2（3表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDAP-CB几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶（7234（1（2hl为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V球=343Rπ；S球面=24Rπ第二章空间点、直线、平面的位置关系1、平面①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC；或用所有字母表示，如平面ABCD。
③点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα∉点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l 不在平面α内，记作l⊄α。
2⇒=∈,A B A B l P l①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交3④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
8.5长方体中平面与平面的位置关系的认识(作业)解析版
8.5长方体中平面与平面的位置关系的认识（作业）一、单选题1．长方体中，与一个面垂直的面有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据长方体的性质解答即可．【详解】∵长方体的任意一个面都和它的对面平行，与其余4个面垂直，∴长方体中，与一个面垂直的面有4个，故选：D．【点睛】本题考查长方体，长方体有6个面，8个顶点，12条楞，相邻的两条楞互相垂直；熟练掌握长方体的性质是解题关键．2．下列方法中，不能用于检验平面与平面是否垂直的是（）A．长方形纸片B．三角尺C．合页型折纸D．铅垂线【答案】A【分析】A. 长方形纸片的长和宽互相垂直，不能判定平面与平面是否垂直；B. 根据三角尺两直角边成直角性质解题即可；C. 根据合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直解题；D. 铅垂线垂直于水平面，据此解题．【详解】A. 长方形纸片的长和宽互相垂直，不能判定平面与平面是否垂直，故A符合题意；B. 将两块三角形的直角边重合，另外两条直角边相交，放在水平面上，可判断重合的直角边垂直于水平面，故B不符合题意；C. 合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把它们放到水平面上，可判断折痕与水平面垂直，故C不符合题意；D. 根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，可检验平面与平面垂直，故D不符合题意．故选：A【点睛】本题考查垂线的性质，是常见基础考点，掌握相关知识、联系生活实际是解题关键．二、填空题3．长方体中相邻的两个面有_______________的关系．【答案】垂直．【分析】根据长方体的性质即可解答．【详解】长方体中相邻的两个面有垂直的关系．故答案为：垂直．【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，熟悉长方体并掌握长方体的性质是解题的关键．4．检验平面与平面平行的方法：（1） ____________：（2） ____________【答案】铅垂线法长方形纸片法【分析】在平面的三个不同点（不共线）放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这三个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么平面与水平面平行；或长方形纸片放在两个平面之间，按交叉的方向检验两次，两遍都与被检验的面紧贴，那么被检验的两个平面平行．【详解】解：检验平面与平面互相平行的方法有铅垂线法，长方形纸片法，铅垂线法：在平面的三个不同点（不共线）放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这三个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么平面与水平面平行；长方形纸片法：长方形纸片放在两个平面之间，按交叉的方向检验两次，两遍都与被检验的面紧贴，那么被检验的两个平面平行．故答案为：铅垂线法，长方形纸片法．【点睛】本题主要考查了长方体中平面与平面的位置关系，掌握检验平面与平面互相平行的方法是解题的关键．5．平面a与平面b平行的表示方法：_____________________________【答案】平面a∥平面b【分析】根据平面a与平面b平行的表示方法解答即可．【详解】平面a与平面b平行的表示方法是：平面a∥平面β．故答案为：平面α//平面β．【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系的认识．6．用___________________可以检验墙面是否垂直于水平面，用___________________可以检验橱柜的隔板是否垂直于侧面，用___________________可以检验两个墙面是否垂直．【答案】铅垂线合页型折纸合页型折纸【分析】根据平面与平面垂直的定义和特征进行解答即可求解．【详解】用铅垂线或合页型折纸或三角板都可以检验墙面是否垂直于水平面，用合页型折纸或三角板可以检验橱柜的隔板是否垂直于侧面，用合页型折纸或三角板可以检验两个墙面是否垂直．故答案为：铅垂线；合页型折纸；合页型折纸．【点睛】本题考查了平面与平面的垂直关系，熟悉平面垂直的定义和特征是解题的关键．7．在长方体中（1）棱与棱的的位置关系有_________种，与每条棱平行的棱有_________条，垂直并相交的棱有_________条，异面的棱有_________条．（2）棱与平面的的位置关系有_________种，与每条棱平行的平面有_________个，与每个面平行的棱有_________条，与每条棱垂直的平面有_________个，与每个面垂直的棱有_________条，每个面内有___________条棱．（3）面与面的的位置关系有_________种，与每个面平行的平面有_________个，与每个面垂直的面有_________个．【答案】3 3 4 4 2 2 4 4 4 4 2 1 4【分析】根据长方体棱与棱，棱与面，面与面之间的关系解答即可．【详解】（1）棱与棱的的位置关系有相交，异面，平行3种，与每条棱平行的棱有3条，垂直并相交的棱有4条，异面的棱有4条．故答案为：3，3，4，4；（2）棱与平面的的位置关系有平行和垂直2种，与每条棱平行的平面有2个，与每个面平行的棱有4条，与每条棱垂直的平面有4个，与每个面垂直的棱有4条，每个面内有4条棱．故答案为：2，2，4，4，4，4；（3）面与面的的位置关系有平行和垂直2种，与每个面平行的平面有1个，与每个面垂直的面有4个．故答案为：2，1，4；【点睛】本题主要考查了对长方体的认识，在空间中的平行，垂直关系的判定．8．长方体ABCD-EFGH中：（1）平面ABCD与____________个面平行，是________________（2）平面ABFE与____________个面平行，是________________（3）长方体中每一个面都与___________个面平行．（4）长方体中相对两个面之间的位置关系是怎样的？__________________（5）长方体中一共可以写出多少对面与面的平行关系？________________【答案】一面EFGH 一面DCGH 一平行三【分析】根据长方体的特征，它有6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等且平行，由此解答．【详解】（1）平面ABCD与一个面平行，是：面EFGH；故答案为：一，面EFGH；（2）平面ABFE与一个面平行，是：面DCGH；故答案为：一，面DCGH；（3）长方体中每一个面都与一个面平行；故答案为：一；（4）长方体中相对两个面之间的位置关系是平行的；故答案为：平行；（5）长方体中一共可以写出三对面与面的平行关系；故答案为：三；【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，主要根据长方体的面的特征解决问题．9．如图，在长方体ABCD-EFGH中，1）与面ABFE垂直的面是_________________________，2）与面BCGF垂直的面是_________________________，3）与面EFGH垂直的面是_________________________，4）在长方体中每个面都有___________个平面和它垂直．【答案】面EFGH、面ABCD、面ADHE、面BCGF 面EFGH、面ABCD、面ABFE、面CDHG 面ABFE、面CDHG、面ADHE、面BCGF 四【分析】根据平面垂直的判定定理解答．【详解】1）因为平面ABFE是长方体的前面，所以与它垂直的平面是长方体的上、下、左、右4个侧面，即面EFGH、面ABCD、面ADHE、面BCGF；2）因为平面BCGF是长方体的右面，所以与它垂直的平面是长方体的上、下、前、后4个侧面，即面EFGH、面ABCD、面ABFE、面CDHG；3）因为平面EFGH是长方体的上面，所以与它垂直的平面是长方体的前、后、左、右4个侧面，即面ABFE、面CDHG、面ADHE、面BCGF；4）在长方体中每个面都有四个平面和它垂直．故答案为：面EFGH、面ABCD、面ADHE、面BCGF；面EFGH、面ABCD、面ABFE、面CDHG；面ABFE、面CDHG、面ADHE、面BCGF；四【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，考查学生的观察能力及空间想象能力．三、解答题10．如图：因为平面EFGH和平面ABCD之间有两个长方形（长方形DAEH和长方形CBFG）图中相互平行的面是哪些？【答案】面ADHE和面BCGF；面ABFE和面DCGH【分析】本题判平面与平面平行的问题，直接观察图形，得出平行的平面．【详解】通过观察得知：面ADHE和面BCGF平行；面ABFE和面DCGH平行．【点睛】本题主要考查了平面与平面位置关系，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键．11．如图，三角形ABC与三角形DEF是形状、大小完全相同的直角三角形，其余三个面是长方形，则其中与上下面都垂直的平面有哪几个？与平面ADFC垂直的平面有哪几个？与平面ABC平行的棱有哪几条？与之平行的平面呢？【答案】面ABED、面BCFE、面ACFD；面ABC、面DEF、面BCFE；棱DF、棱DE、棱EF；面DEF【分析】直接观察图形，得出结论即可．【详解】解：由题意知，与上下面都垂直的平面有：面ABED、面BCFE、面ACFD；与平面ADFC 垂直的平面有：面ABC、面DEF、面BCFE；与平面ABC平行的棱有：棱DF、棱DE、棱EF；与平面ABC平行的平面有：面DEF．【点睛】此题主要考查三棱柱的棱、面的位置关系，以及面、面的位置关系，明确垂直、平行的定义是解答本题的关键．12．如图，在桌面上放着一本翻开的书，图中有几个面与桌面垂直？你的判断依据是什么？请把这些写出来．【答案】3个，每两个面组成一个合页型折纸，均可检验每个面与桌面垂直；面ABCF、面CHGF、面CDEF．【分析】根据平面与平面垂直的定义解答即可．【详解】平面ABCF、平面CHGF和平面CDEF都与桌面垂直，共有3个，理由每两个面组成一个合页型折纸，均可检验每个面与桌面垂直．【点睛】本题考查了平面与平面的位置关系，关键是根据垂直的概念解答．13．长方体，长与宽之比为2：1，宽与高之比2：1，长、宽、高共为140厘米，求这块长方体的体积？【答案】64000立方厘米【分析】根据题意可得：长：宽：高=4：2：1，利用棱长总和求出一组长宽高的和分别求出这个长方体的长宽高，再根据长方体的体积公式即可解答．【详解】解：根据题意：长：宽 = 2：1 = 4：2，宽：高 = 2：1，长：宽：高 = 4：2：1∴长4 140807=´=，宽2 140407=´=，高1 140207=´=；∴体积 = 长×宽×高 = 80×40×20 = 64000（立方厘米）【点睛】此题主要考查长方体棱长之和以及体积计算方法，解答关键是根据长宽高的比分别求出长方体的长宽高．14．如图，长方体中，M、N、P、Q分别是棱EH、棱AD、棱BC和棱GF上的中点（1）请找出与平面MNBF平行的棱；（2）请找出与平面HDPQ平行以及垂直的平面．【答案】（1）棱HQ、棱QP、棱PD、棱DH、棱AE、棱CG；（2）平行：面MNBF；垂直：面EFGH、面ABCD．【分析】本题判断直线与平面平行、垂直的问题，直接观察图形，得出平行、垂直的线段．【详解】（1）与平面MNBF平行的棱有：棱HQ、棱QP、棱PD、棱DH、棱AE、棱CG；（2）与平面HDPQ平行的平面有：面MNBF；与平面HDPQ垂直的平面有：面EFGH、面ABCD．【点睛】本题主要考查了认识立体图形，垂直的定义，长方体中平面与平面位置关系，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键．15．在长方体ABCD-EFGH中，1）写出所有与面ABCD垂直的面；2）写出所有与面DCGH垂直的面；3）面DCFE与面BCGF是否垂直？如果垂直，请在图中画出现成的合页型折纸．【答案】（1）面AEFB、面BCGF、面CGHD、面ADHE；（2）面ABCD、面BCGF、面FGHE、面AEHD；（3）垂直，面CDEF和面ABCD，作图见解析．【分析】（1）和平面ABCD相交的面与平面ABCD垂直；（2）和平面DCGH相交的面与平面DCGH垂直；（3）根据平面垂直的判定定理解答．【详解】（1）因为平面ABCD是长方体的左面，所以与它垂直的平面是长方体的前、后、上、下4个侧面，即面AEFB、面CGHD、面BCGF、面ADHE；（2）因为平面DCGH是长方体的后面，所以与它垂直的平面是长方体的上、下、左、右4个侧面，即面BCGF、面AEHD、面ABCD、面FGHE；（3）∵DC⊥CG，DC⊥BC，DC∩CG=C，∴DC⊥平面BCGF，∵DC在平面DCFE内，∴平面DCFE⊥平面BCGF；如图所示，阴影部分是合页型折纸：．【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系，熟悉长方体并掌握长方体的性质是解题的关键．。
高二第2讲 空间点,线,面位置关系(教师)
第2讲 空间点、线、面间位置关系（教师）一． 学习目标1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．二．重点难点 教学重点：三个公理的教学是重点。
教学难点：公理的理解与运用是难点。
三．知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．7.两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．8.三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．四．典例剖析题型一平面的基本性质例1(1)下列命题：①公理1可结合符号叙述为：若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④梯形是平面图形．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4(2)如图7－39－2，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M思考流程(1)分析：注意空间图形和平面图形的异同；推理：利用相关定义和平面性质来分析；结论：对照平面的定义和性质逐题辨析对错．（2）分析：公理3的应用；推理：过点A，B，C的平面与面的交线是AB；结论：则A，B，M点都在两个平面的交线．[答案] (1)A (2)D[解析] (1)对于①注意到直线是点集，平面也是点集，当直线在平面上时，直线是平面的真子集，应表示为l⊂α，而不应表示成l∈α，所以①不正确；对于②，当四边形是平面图形时，两条对角线必相交于一点，当四边形是空间四边形时，两条对角线是不能相交的，所以②不正确；对于③，平面是可以无限延伸的，用平行四边形表示的平面同样是无限延伸的，平行四边形的边并不表示平面的边界，所以③不正确；对于④，梯形的两底是两条平行线，它们可唯一确定一个平面，由于腰的两个端点均在该平面上，故腰也在这个平面上，即梯形的四边共面，所以梯形是平面图形，所以④正确．(2)∵直线AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上，同理可知，点C也在γ与β的交线上．归纳总结三个公理是立体几何的基础，公理1的作用是确定直线在平面内的依据；公理2是确定平面的依据；公理3是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据．例2下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③课堂练习1：（1）以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[自主解答] ①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线．则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．[答案] B(2)对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使推出三条直线共面的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个答：B．①和④能保证推出。
专题06 空间点、线与面的位置关系(重难点突破)解析版
专题01 空间点、线、面的位置关系一、考情分析二、考点梳理一、平面1．平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．2．平面的画法在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的_______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．3．平面的表示为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．二、平面的基本性质1．三个公理（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．【名师提醒】（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．2．公理2的三个推论（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：三、空间两直线的位置关系1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线．即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；（2）_______________——同一平面内，没有公共点；（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．3．空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：（2）从是否共面的角度分类：四、公理4与等角定理1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线，a∥b，b∥c_______________．（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．（2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．图（1）图（2）五、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．六、空间中直线与平面的位置关系1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有_______________种：①直线在平面内——有_______________个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③_______________——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类：；（2）按是否平行分类：；（3）按直线是否在平面内分类：．七、平面与平面之间的位置关系1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．三、题型分析(一) 空间直线的位置关系例1．（西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期末）如图，正方体中，直线1AB 与1BC 所成角大小为（ ）．A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C 【解析】连接111,,AD B D 如图1111,BC AD B AD ∴∠就是1AB 与1BC 所成角或其补角，在正方体中，1111==AD B D AB ∴，11=3B AD π∠， 故直线1AB 与1BC 所成角为60.故选C.（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则BD ，BE ==，BM ∴=，EN a =，，故选B ．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为（ ） A ．1 B ．45-C ．34-D ．0【答案】D【解析】由题得1||MN BC ,所以∠1ABC 就是异面直线AB 1与MN 所成角或补角.由题得AC ==,11AB BC12AB C π∴∠=，,所以异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为0.故选:D（2021·全国高三专题练习（文））如图，三棱锥P ABC -中，，PA PC ⊥，且3PA =，，2BC=，M 是PC 中点，14DB PB =，E 是AB 的中点，则异面直线DE 与BM 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．C ．D ．【答案】B 【分析】取PB 的中点N ，PM 的中点G ，连接AG 、NG 、AN ，则异面直线DE 与BM 所成角的平面角为ANG ∠，然后利用题目所给数据计算出AN ，AG ，NG ，然后利用余弦定理求解出ANG ∠的余弦值大小，得到异面直线DE 与BM 所成角的余弦值大小. 【详解】取PB 的中点N ，PM 的中点G ，连接AG 、NG 、AN ，则//NG BM ， ∵14DB PB =，∴D 是NB 的中点， 又∵E 是AB 的中点， ∴//BM GN ，∴ANG ∠为异面直线DE 与BM 所成的角或其补角，∵，PA PC ⊥，且PB PC P ⋂=，,PB PC 面PBC ，所以PA ⊥面PBC , 又∵122PN PB ==，1PG =， ∴在Rt PAN ∆中，， 在Rt PAG ∆中，，在BPC ∆中由余弦定理得2222224427cos 22448PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===⋅⨯⨯，在NPG ∆中由余弦定理得NG =∴222222cos2156AN NG AGANGAN NG+-+-∠===⋅⋅，∴异面直线DE与BM所成角的余弦值为.故选：B.（2021·全国高三专题练习（文））已知M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是（）A．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交B．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直C．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交D．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行【答案】C【分析】根据题意作出图形，取1C C的中点N，设BN与11B C交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM 必与AB直线相交于某点O，根据线线关系和线面关系逐一判断即可.【详解】直线AB与11B C是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取1C C的中点N，则//MN AB，且MN AB=，设BN与11B C交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、11B C都相交，故A正确；过M点有且只有一条直线与直线AB、11B C都垂直，此垂线就是棱1DD，故B正确；凡是过的面均和AB、11B C都相交，即过M点有无数个平面与直线AB、11B C都相交，故C不正确；过M点有且只有一个平面与直线AB、11B C都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：C.(二) 空间直线的平行问题例2．（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】对于，α内有无数条直线与β平行，或//αβ； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，//αβ； 对于C ，α，β平行于同一条直线，或//αβ； 对于D ，α，β垂直于同一平面，或//αβ．故选B ．（2017•新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中，，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项B ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；对于选项C ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项D ，由于//AB NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意；所以选项满足题意，故选．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则折起后B ，D 两点的距离为________.【答案】1.【解析】取AC 的中点E ，连结DE ，BE ，显然DE ⊥AC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BE ，而122DE BE AC ===，所以，1BD ==.（2021·浙江高三其他模拟）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则直线m 与n 一定平行B ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 可能相交、平行或异面C ．若m α⊥，//n α，则直线m 与n 一定垂直D ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 一定平行 【答案】C 【分析】根据线面、面面的判定定理及性质定理一一判断即可； 【详解】解：对于A ，m ，n 可能平行、异面、相交，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 不可能平行，故B 错误； 对于C ，根据线面垂直、线面平行的性质可知直线m 与n 一定垂直，故C 正确；对于D ，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 可能平行，也可能异面，故D 错误． 故选：C（2021·浙江高三期末）已知m 、l 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊥，l β⊂，则“αβ⊥”是“//m l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质、判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：若αβ⊥，设n αβ=，存在直线b β⊂，使得b n ⊥，由面面垂直的性质定理可得b α⊥，m α⊥，则//m b ，从而可得//m β或m β⊂，则m 与l 的位置关系不确定，充分性不成立； 必要性：m α⊥，//m l ，则l α⊥，l β⊂，αβ∴⊥，必要性成立.因此，“αβ⊥”是“//m l ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.(三) 空间直线的垂直问题例3．（2017•新课标Ⅲ，文10）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥【答案】C【解析】连1B C ，由题意得，11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ⊂平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥，，1BC ∴⊥平面11A ECB ，1A E ⊂平面11A ECB ，11A E BC ∴⊥，故选C ．【变式训练3-1】．（2013新课标Ⅱ，理4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l⊄α，l ⊄β，则（ ）． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】若α∥β，又m ⊥平面α，则m ⊥平面β，又∵n ⊥平面β，∴m ∥n ，与m 与n 异面矛盾，故A 错；若l ⊥β，∵n ⊥平面β，∴l ∥n ，与l ⊥n 矛盾；若α与β相交，设交线为a ，过n 上一点作直线b ∥m ，设b 与n 确定的平面为γ，∵m ⊥l ，∴b ⊥l ，∵l ⊥n ，∴l ⊥γ，又m ⊥平面α，n ⊥平面β，∴m ⊥a ， n ⊥a ，∴b ⊥a ，∴a ⊥γ，则a ∥l ，故选D ．【变式训练3-2】．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是（ ）．A ．B ．C ．既不垂直也不平行D ．的位置关系不确定 【答案】D【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．【变式训练3-3】．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）在下列四个正方体中，能得出AB CD ⊥的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A1234,,,l l l l 14//l l 14,l l 14,l l【分析】由线面垂直的性质可判断A ，根据异面直线所成角的计算可判断BCD. 【详解】对A ，如图，连接BE ，则在正方体中，CD BE ⊥，又AE ⊥平面BCED ，CD ⊂平面BCED ，则AE CD ⊥，，CD 平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，CD AB ∴⊥，故A 正确；对B ，如图，连接AE ，易得//CD AE ，则BAE ∠为异面直线,AB CD 所成角，60BAE ∠=，故,AB CD 不垂直，故B 错误；对C ，如图，//CD BE ，则ABE ∠为异面直线,AB CD 所成角，易得，故,AB CD 不垂直，故C 错误；对D ，如图，//CD BE ，则ABE ∠为异面直线,AB CD 所成角，显然90ABE ∠≠，故,AB CD 不垂直，故D 错误. 故选：A.【变式训练3-4】．（2021·湖北高二月考）已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（ ） A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥ B ．//,n n ββαα⊥⇒⊥ C ．//,m n m n ββ⊥⇒⊥ D ．//,//m n m n αα⊂⇒【答案】C 【分析】ABD 项均可举出反例，C 项可用线面垂直的判定定理说明 【详解】A. ,//m n m α⊥，则n 也可在平面α内，故选项A 不正确.B. //,n ββα⊥，则n 也可在平面α内, 故选项B 不正确.C. //,m n m n ββ⊥⇒⊥成立两平行线,m n ，m ⊥平面β，m 必垂直于β内的两条相交直线，则n 必定垂直于β内那两条相交直线，故n β⊥, 故C 正确. D. //,m n αα⊂，则,m n 也可是异面直线的关系. 故选项D 不正确. 故选：C(四) 空间直线与平面的综合问题例4．（2014浙江）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ）． A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 【答案】C【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ． 【变式训练4-1】．（2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）．A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或或n 与α相交，D 错误．故选B ．【变式训练4-2】．（2013广东）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若,,,则B ．若,,,则C ．若,,,则D ．若,,,则 【答案】D【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．【变式训练4-3】．（2012浙江）设是直线，,αβ是两个不同的平面（ ） A ．若∥α，∥β，则α∥β B ．若∥α，⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，⊥α，则⊥β D ．若α⊥β, ∥α，则⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵∥α，⊥β，则αβ．如选项A ：∥α，∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，⊥α，∥β或；αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥//αβm α⊂n β⊂//m n m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥m α⊥//m n //n βαβ⊥l l l l l l l l l l l l l l l l β⊂选项D ：若α⊥β, ⊥α，∥β或⊥β．【变式训练4-4】．（2021·全国高三月考（理））若,,m n l 为空间三条不同的直线，,,αβγ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则//m n B ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥C ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβD ．若,,//,m n m n αββγ⋂=⋂=则//αβ【答案】B 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】,m l n l ⊥⊥时，,m n 的位置关系是相交，平行或者异面，A 错；//m α，则α内存在直线a ，使得（过m 的平面与α交线为a ），又m β⊥，因此a β⊥，从而αβ⊥正确；若,,αγβγ⊥⊥则,αβ可能相交，可能平行，C 错；若,m n αββγ⋂=⋂=，则,m n 可能相交也可能平行，D 错． 故选：B ．【变式训练4-5】．（2016·上海高二学业考试）设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ）A ．直线l 平行于直线mB ．直线l 与直线m 异面C ．直线l 与直线m 没有公共点D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C 【分析】根据线面的位置关系可选答案. 【详解】若直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，则直线l 平行于直线m 或直线l 与直线m 异面，所以直线l 与直线m 没有公共点 故选：C【变式训练4-6】．（2021·浙江高二期末）设mn 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命l l l题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥B ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥C ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥【答案】B 【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个判断可得答案. 【详解】对于A ，,,//m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒或α与β相交但不垂直或αβ⊥，故A 不正确；对于B ，因为//n β，过n 作平面γ交平面β于n '，所以//n n '，由//αβ，m α⊥可得m β⊥，所以m n '⊥，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，,,////m n m n αβαβ⊥⊥⇒或m 、n 相交且垂直或m 、n 相交但不垂直或m 、n 异面且垂直或m 、n 异面但不垂直，故C 不正确； 对于D ，,,//m n m n αβαββ⊥=⊥⇒或n β⊂或n 与β相交但不垂直或n β⊥.故选：B。
【教学设计】《第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识》(上教)
《第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识》在学习本单元之前，学生已经对长方体有了初步的认识，能辨别出哪些物体是长方体。
本单元就是进一步探究有关长方体的知识，了解长方体的元素及特征，掌握长方体直观图的画法，知道长方体中棱与棱、棱与平面及平面与平面的位置关系。
本课的教学内容是由长方体中平面与平面的位置关系，引申到空间中平面与平面的位置关系。
【知识与能力目标】掌握长方体中平面与平面的位置关系，以及空间中平面与平面的位置关系。
【过程与方法目标】在探究长方体中平面与平面的位置关系的过程中，体会认知事物的概括分类思想，培养学生初步的空间观念和空间想象能力。
【情感态度价值观目标】使学生初步建立空间观念，培养学生用数学进行交流、合作探究和创新的意识，感受数学与现实生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】理解长方体中平面与平面的平行、垂直的位置关系。
【教学难点】检验平面与平面垂直、平面与平面平行的方法。
多媒体课件。
一、复习引入问题：空间中两条不重合直线有哪几种位置关系？答：平行、相交、异面。
问题：空间直线与平面有哪几种位置关系？答：垂直、平行。
问题：检验直线是否垂直于平面的方法有哪些？答：①“铅垂线”检验；②“三角尺”检验；③“合页型折纸”检验。
问题：检验直线是否平行于平面的方法有哪些？答：①“铅垂线”检验；②“长方形纸片”检验。
教师：我们已经知道长方体中棱与棱、棱与平面的位置关系，这节课我们就一起来研究一下长方体中平面与平面的位置关系。
二、探究新知1、平面与平面垂直。
教师：在长方体ABCD-EFGH中，面EFGH、面ABFE、与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象。
平面α垂直于平面β，记作：平面α⊥平面β，读作：平面α垂直于平面β。
问题：如何检验平面与平面垂直呢？教师：①可以用“铅垂线”检验。
方法：用铅垂线可以检验课桌的侧面是否垂直于地面。
如果铅垂线能紧贴课桌的侧面，那么这个课桌的侧面就垂直于地面。
【平煤高中学案必修二】11空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
2.1.3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系学习目标（1）了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念. （2）了解平面与平面的两种位置关系. 一、学前准备预习教材5048P P -的内容： （一）直线与平面1. 观察右图，思考：直线1A B 与长方体1111ABCD A B C D -六个面所在平面有几种位置关系？ 答：2. 直线与平面的位置关系.（1）直线在平面内：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示（2）直线与平面相交：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示（3）直线与平面平行：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示其中（1）为直线在平面__ ___；（2）（3）为直线在平面__ _. （二）平面与平面1. 长方体1111ABCD A B C D -六个面所在平面有几种位置关系？2. 平面与平面的位置关系：（1）平面与平面平行：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示（2）平面与平面相交：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示 二、合作探究【例1】（1）用符号语言表示语句：“直线l 经过平面内α一定点P ，但l 在α外”，并画出图形.（2）把下面的符号语言改写成文字语言的形式，并画出图形.若直线ααα⊂∈∉∈⊂b b a b A a A A a 则直线平面,//,,,,.（3）画出满足下列条件的图形：l CD l AB CD AB l //,//,,,βαβα⊂⊂=⋂【例2】下列命题正确的个数是 （ ） （1）若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（3）如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； （4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
A 0B 1C 2D 3四、检验测试1．直线l 与平面α不平行，则 （ ） A. l 与α相交B. l α⊂C. l 与α相交或l α⊂D. 以上结论都不对2．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）A. 有限个B. 无限个C. 没有D. 没有或无限个3. 若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A . 平面α内所有直线与直线a 异面B . 平面α内不存在与直线a 平行的直线C . 平面α内存在唯一的直线与直线a 平行D . 平面α内的直线与直线a 都相交 4．E 、F 、G 、H 是棱锥A-BCD 棱AB 、AD 、CD 、CB 上的点，延长EF 、HG 交于P 点，则点P （ ）A. 一定在直线AC 上B. 一定在直线BD 上C. 只在平面BCD 内D. 只在平面ABD 内5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面 （ ） A . 平行B . 相交C . 平行或垂合D . 平行或相交6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .7．一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以 把空间分成 部分．。
工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
压板检测与触探检测范围
压板检测与触探检测范围
压板检测一般用于金属制品加工、塑料制品成型等过程中的质量检验，主要检测物品的平整度、平行度、垂直度等参数，压板检测的范围通常包括：
1. 平面度检测：即检测物品表面是否平整，不具有突出或凹陷部分。
2. 平行度检测：即检测物品两个平行面之间的距离是否相等。
3. 垂直度检测：即检测物品表面和一个确定平面的垂直度，通常可检测出物品表面的凹凸程度。
4. 厚度检测：即检测物品在一个特定的点或区域内的厚度。
触探检测一般用于机械加工中的自动化生产线上，用于检测被测件的尺寸、位置和形状等参数。
触探检测的范围通常包括：
1. 尺寸检测：即检测被测件的长度、宽度和高度等尺寸参数。
2. 位置检测：即检测被测件与确定的平面或点的相对位置关系。
3. 形状检测：即检测被测件外形的几何形状是否符合要求。
4. 表面质量检测：即检测被测件表面的光洁度、平整度、表面形状等。
检验平面与平面的位置关系
§8.5 检验平面与平面的位置关系上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。
2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。
3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻体会到“学以致用”的道理。
教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。
教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。
教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？（现实问题的提出引发学生学习的兴趣。
）引导学生指出，其实问题的关键就在于“书柜的左右倾斜”只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。
那么怎么去检验呢？这就是我们今天所要学的内容。
二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。
为了和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题：1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。
）2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？（一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。
检验平面与平面平行的方法
检验平面与平面平行的方法
x
一、基本概念
1、平面：是指由无穷多条直线组成的二维空间中的形体，其中
每一条直线都能够穿过原点而不交叉，并且它们的交点也都是平行的。
2、平行：指的是两个平面间的状态，它们之间的每一条直线都
是平行的，也就是说，它们之间没有任何交点。
二、检验方法
1、画线法：这是最简单的检验方法之一，这里要求的是，从平
面A和平面B分别选取一条直线，然后把它们并在一起，如果它们没有交点，就说明这两个平面是平行的。
2、通过法向量检验：这是通过求两个平面的法向量，然后比较
它们是否长度相等以及夹角是否相等来检验它们是否平行的方法。
如果两个平面的法向量长度相等且夹角为0度，则表明两个平面平行。
3、通过向量比较检验：这是通过求两个平面上特定两点的向量，然后比较这两个向量的夹角是否为0度来检验它们是否平行的方法，如果这两个向量之间的夹角为0度，则说明两个平面平行。
4、通过 line intersection 检验：即是通过求两个平面上特定两条直线的交点是否存在来检验它们是否平行的方法，如果两个平面上的直线不存在交点，则说明两个平面平行。
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8.5 检验平面与平面的位置关系
上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。
2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观
察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。
3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻
体会到“学以致用”的道理。
教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。
教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。
教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸
教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？
（现实问题的提出引发学生学习的兴趣。
）引导学生指出，其实问题的关键就在
于“书柜的左右倾斜” 只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾
斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。
那么怎么去检
验呢？这就是我们今天所要学的内容。
二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。
为了
和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题：
1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。
）
2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？
（一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂
线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角
尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面
垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。
（二）平面与平面垂直的检验那么平面与平面的垂直检验可能用什么方法呢？可能用以上的
三种方法。
1、铅垂线实践操作：观察可得课桌的侧面是垂直于地面的，接着用自制的铅垂线检验，观
察铅垂线与课桌侧面的情况；继续观察相邻的两个墙面；老师准备的两个不垂直的平面。
（四人一小组，一人操作，两人观察，一人记录。
观察铅垂线是否紧贴课桌侧
面。
）
实验记录如下表
试验次数
铅垂线与待测面的情况
选择的面与面的位置情况（观
察）
1
2
3
4
操作结果：面与面垂直，检验观察的结果都是铅垂线与面紧贴。
动画演示铅垂线检验的过程（更准确的检验操作，强调操作的严密性。
）
过程描述：如果铅垂线与待测的平面紧贴，那么待测的平面与水平面垂直；
与直线和平面垂直的检验过程类比，非常相似。
2、一副三角尺
根据直线与平面垂直的过程描述，类比联想平面与平面的垂直过程描述；请同学讲台上演
示；动画演示一副三角尺检验的过程。
过程描述：两把三角尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能
紧贴另一平面，则平面与平面垂直。
3、合页型折纸
根据直线与平面垂直的过程描述，类比联想平面与平面的垂直过程描述；请同学讲台上演
示；动画演示一副三角尺检验的过程。
过程描述：合页型折纸直立于平面，如果折痕与平面紧贴，则直线与平面垂直。
垂直检验小结：1、三种检验方式依然适用于平面与平面垂直的检验，只要注意这里观察的
是“铅垂线”、“三角尺的公共边”以及“折痕” 与平面紧贴。
2、因为铅垂线检验的局限性一一只能检验平面与水平面，所以出现了后
两种检验的方法。
3、检验平面与平面垂直的实质：检验平面是否过另一平面的一条垂线
练习：下图的长方体中，怎样检验面ABCD与面BCGF是否垂直呢?
哪两个面构成了合页型折纸?
7
F
D
//
（三）复习直线和平面平行的检验方法：铅垂线、长方形纸片（平行检测用动画表示更精确）过程描述：铅垂线——在直线的两个不同点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么线与水平面平行；长方形纸片——长方形纸片一边贴合平面，如果它的对边能与直线紧贴，那么直线与平面平行。
根据平面与平面垂直检验的经验，我们是否也可以用以上的两种方法来检验平面与平面平行。
（四）平面和平面平行的检验
1、铅垂线让学生展示检验过程。
（老师准备的两个平行平面。
）思考：铅垂线检验两次摆放就足够了吗？举反例证明两次不够。
那么需要几次呢?三次（三点确定一个平面）
动画演示检验过程，强调检验操作的严密性。
检验过程：在平面的三个不同点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触到地面，如果从这三个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么平面与水平面平行。
2、长方形纸片让学生来检验，通过观察学生检验的过程极有可能出现的问题思考：长方形纸片检验一次摆放就足够了吗？（矛盾出现，学生通过讨论得出正确的方法。
）
举反例证明两次不够（倾斜的平面）。
那么需要几次呢?两次两次同一方向可以吗？不行，要交叉方向。
检验过程：长方形纸片放在两个平面之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都贴合平面，如果它的对边都能与另一平面紧贴，那么平面与平面平行。
平行检验小结：1、两种方法的检验都是铅垂线需要三个不在一直线上的点，长方形纸片需要交叉放两次。
2、与直线和平面平行检验方法雷同又有区别，其实质是检验两条平行
于同一平面的相交直线能否都在另一个平面内。
练习：下图的长方体中，怎样检验面ABCD 与面EFGH 是否垂直呢？
棱与面的 位置关系 及
检验
丄今天你收获了哪些知识？
丄还存在什么疑问？
吨对长方体的哪部分知识还想进一步了 解？
（收获园中的最后一个问题体现了一节课的结束不是一个句号而是一个问号。
）
教学设想：
1. 这节课对教材做了一些处理，把原本平面与平面的垂直关系和检验第一课时和平面与平
面的平行关系和检验第二课时整理成平面与平面的垂直、 平行关系第一课时，而把两者
的检验合并成一个课时，这样做是想更有利于学生进行比较突出区别。
2. 这节课是对平面与平面位置关系的检验， 因为学生已经学过直线与平面的位置关系的检
哪两个面构成了长方形纸片? 三、课堂小结 棱与面的三个特点 t as
棱与棱的
位置关系 面与面的位置 关系及检验
验，充分运用类比的思想来学习新知比较容易接受。
3. 课程中最后的收获园是本节课的一个点睛之笔， 课的理
解，对课程的后继学习有了更浓厚的兴趣。
4. 课程中动画的演示给学生以充分的感官认识对于检验的操作有了更明确的认识， 验操作的严
密性。
5. 最后的小结把整个章节的内容融会贯通在一起，给同学一个非常清晰的知识脉络。
2006.7 让各个层次的学生充分发挥自己对这节
明确检。