基本不等式： ≤(a+b)3 PPT

(2011·山东莱芜阶段测试)已知 a>0，b>0，且 2a＋3b＝1，
则2a＋3b的最小值为( )
A．24
B．25
C．26
D．27
解析：∵a>0，b>0,2a＋3b＝1， ∴2a＋3b＝2a＋3b(2a＋3b) ＝13＋6ab＋6ba≥13＋2 6ab·6ba＝25， 等号在 a＝b＝15时成立， ∴2a＋3b的最小值为 25.
∴a<
a＋b ab< 2 <b.
答案：B
点评：关于不等式的解集，不等式的一些关系式，用特 值法有时会简捷获解．
(文)a、b 为正实数，a、b 的等差中项为 A；1a、1b的等差
中项为H1 ；a、b 的等比中项为 G(G>0)，则(
)
A．G≤H≤A B．H≤G≤A
C．G≤A≤H D．H≤A≤G
解析：由题意知 A＝a＋2 b，H＝a2＋abb，G＝ ab， 易知a＋2 b≥ ab≥a2＋abb， ∴A≥G≥H.
答案：B
利用基本不等式求最值
[例 3] (文)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y
的最小值是( )
A．3 B．
9 C.2
11 D. 2
分析：要求 x＋2 y 的最值，观察条件等式中含有 x＋2y
和 2xy，而 2xy＝x(2y)，结合 x>0，y>0 知符合应用基本不等
式的条件，故可把条件等式应用基本不等式变形为关于 2xy
)
A．1
B．2
C．3
D．4
分析：求和式的最小值，符合基本不等式不等号方向的
要求，由已知 a>b>0 知 a－b>0，要消去分母中的 ab，a，a
－b，需将 a2 变形后产生上述表达式，故 a2＝a2－ab＋ab＝a(a
3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类常见 的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等 丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题的基本思路是 转化为求函数的最值或函数值域的问题．
利用基本不等式比较大小
[例 1] (2011·陕西文，3)设 0<a<b，则下列不等式中正
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放 缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利 用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不 等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、 添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号 成立的条件．
的最小值．
解析：由圆的对称性可得，直线 2ax－by＋2＝0 必过圆心 (－1,2)，所以 a＋b＝1.所以4a＋1b＝4a＋a b＋a＋b b＝4ab＋ab＋ 5≥2 4ab·ab＋5＝9，当且仅当4ab＝ab，即 a＝23，b＝13时取等号， 故选 D.
答案：D
点评：由条件得到 a＋b＝1 后，可以直接将 1＝a＋b 代 入到表达式中或原式＝原式×1＝原式×(a＋b)．
的不等式求解．
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0， 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去)， 等号成立时，x＝2y， ∴2x＋x2＝8，∵x>0，∴x＝2，∴y＝1. ∴x＋2y 的最小值为 4.
答案：B
(理)设 a>b>0，则 a2＋a1b＋aa1－b的最小值是(
答案：B
(理)(2012·陕西文，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别
为 a 和 b(a<b)，其全程的平均时速为 v，则( )
A．a<v< ab B．v＝ ab
a＋b C. ab<v< 2
D．v＝a＋2 b
解析：v＝1a＋2 1b＝a2＋abb<22aabb＝ ab， 因为 v－a＝a2＋abb－a＝2ab－a＋a2b－ab＝aab＋－ba2>aa2＋－ba2＝0， 所以a2＋abb>0，故选 A.
答案：A
[例 2] (2011·肇庆二模)已知圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 关
于直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则4a＋1b的最小值是
()
A．4
B．6
C．8
D．9
分析：圆的对称轴必过圆心，由此可得到正数 a，b 满足
的关系式，借助此关系式可以进行常数代换或消元来求4a＋1b
第七章 不 等 式
第二节 基本不等式
重点难点 引领方向 重点：基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握．
夯实基础 稳固根基 1．基本不等式：对任意 a、b∈_R_＋__，有a＋2 b≥ ab成 立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最_大___值S42.
确的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析：解法 1：取 a＝1，b＝2，易排除 A、C、D.
解法 2：∵0<a<b，∴由基本不等式知a＋2 b> ab.
又 a＝22a<a＋2 b<22b＝b，a< ab<b，
2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋2 b2(a、b∈R) a2＋b2_≥___a＋2b2(a、b∈R)；ab_≤___a＋2 b2(a、b∈ R) a＋2 b2_≤___a2＋2 b2(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时 成立．
(2)ab＋ba≥2(a、b 同号)，特别地1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤ －2(a<0)．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)． 3．含绝对值的不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|， 4.ab＋＋mm>ab(b>a>0，m>0)
疑难误区 点拨警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相 等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定” 是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值 相等时，等号成立． 多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号 成立条件的一致性和不等号方向的一致性．