侯立伟选修3-6《三等分角与数域扩充》
2.利用刻度尺的作图法-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
利用刻度尺的作图法—湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案一、教学目标1.了解三等分角的基本概念。
2.掌握利用刻度尺的作图法进行三等分角的方法。
3.了解数域扩充的基本概念并能够运用到作图中。
4.能够利用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1.利用刻度尺的作图法三等分角。
2.掌握数域扩充的原理和方法。
三、教学难点1.基于三等分角的作图需要极高的精度，因此需要学生掌握良好的手眼协调和计算精度。
2.数域扩充的难点在于需要理解数域扩充的原理以及掌握良好的运算技能。
四、教学方法1.讲授2.演示3.实践五、教学过程5.1 引入首先，引入三等分角和数域扩充的概念，让学生了解作图的背景和意义。
5.2 讲授1.三等分角的基本概念：三等分角是指将一角分成三个等角的过程。
2.利用刻度尺的作图法进行三等分角的方法。
1.给定一个角ABC。
2.在AB、BC两边分别取一点E、D，使得AE=BD。
3.连接CD，并将CD平分成两段，取中点F。
4.连接EF，则角AEF为所求的一等分角。
5.再次在BE、DE两边分别取点G、H，使得BG=DH=AE=BD。
6.连接GH，并将GH平分成两段，取中点I。
7.连接AI，则角BAI为所求的二等分角。
8.再次在AG、DH两边分别取点J、K，使得AJ=GK=BG=DH=AE=BD。
9.连接JK，并将JK平分成两段，取中点L。
10.连接BL，则角ABL为所求的三等分角。
3.数域扩充的基本概念：将数域中不存在的数引入数域中，扩充数域的范围，以便进行更广泛的运算和计算。
4.将所学知识运用到实际问题中。
5.3 实践与演示1.让学生跟随教师一起进行三等分角的作图，并注意计算精度和手眼协调。
2.让学生掌握数域扩充的方法。
3.给学生练习题目，并在实践中掌握所学知识。
六、教学反思三等分角是几何中比较常见的一个部分，对于学生来说，掌握其作图方法对于学习几何学是一个基础。
但是，因为三等分角要求计算精度较高，因此在授课的时候要注意让学生注意计算精度。
5.更多的问题-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
5.更多的问题-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案一、教学内容本节内容为选修3-6三等分角与数域扩充，主要包括以下几个方面的内容：1.三等分角的定义和性质；2.基于三等分角的相关公式以及推导过程；3.数域的定义和性质；4.数域扩充的概念以及数域扩充的基本方法。
二、教学目标1.了解三等分角的定义和相关性质；2.能够掌握对三等分角的计算方法及其推导过程；3.了解数域的定义和性质；4.能够使用数域扩充的基本方法解决相关问题。
三、教学重点和难点本节课程的教学重点为三等分角的计算方法和数域扩充的基本方法；教学难点为数域扩充的概念以及数域扩充的具体操作过程。
四、教学方法本节课程采用讲授与实践相结合的教学方法。
在讲解概念和公式的基础上，利用实际算例进行练习和讨论，帮助学生加深对相关知识的理解和掌握。
五、教学过程1.三等分角的定义和性质（1）引入三等分角的概念和相关定义；（2）讲解三等分角的性质，如角度相等等；（3）使用实例说明三等分角的计算方法和推导过程。
2.基于三等分角的相关公式以及推导过程（1）介绍三等分角的相关公式，如正弦公式等；（2）讲解这些公式的推导过程，以及它们的应用。
3.数域的定义和性质（1）引出数域的概念，并讲解其定义和性质；（2）使用实例说明数域的操作方法和注意事项。
4.数域扩充的概念以及数域扩充的基本方法（1）介绍数域扩充的概念和基本方法；（2）使用实例说明数域扩充的具体操作过程，包括构造和判断。
六、教学评价本节课程通过理论讲解和实际计算操作相结合的方式，帮助学生全面掌握三等分角和数域扩充的相关知识。
同时，让学生在课堂中进行实践练习，从而更好地理解和掌握相关的计算方法和推导过程。
对于教学效果和学生学习水平的评估，可以采用课堂测试和讨论等方式进行评价。
高中数学专题讲座
2、 课程开设的逻辑顺序
必修1是必修2-5的基础。 必修系列是选修1，2系列的基础。 选修3，选修4系列不依赖其他系列， 且不考虑先后顺序。
必修 系列
选修 系列
数数 数 数数
学学 学 学学
12
3
45
系系系系 列列列列 1234
选修1系列课程是为那些希望在人文、社会 科学等方面发展的学生而设置的。
（3）理科升学要求:
学生完成10学分的必修课程，在 选修2系列课程中学习选修2-1，选修22和选修2-3，获得6学分；在选修3系列 中任选2个专题，获得2学分；在选修4 系列中任选2个专题，获得2学分，总 共取得20学分。
4.(以下为详细材料,备用)学生的5种基 本选择和课程组合的基本建议
学生的志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数
平山中学高中数学组新课程理论学习
专题讲座
高一备课组 袁小林
1.高中数学课程框架
选修1-2 选修1-1
选修2-3 选修2-2 选修2-1
选修3-6
选修3-2 选修3-1
…… ……
选修4-10
选修4-2 选修4-1
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5
代表模块，每模块2学分
数学科共有36学分
代表专题，每专题1学分
课程的组合具有一定的灵活性，不同的 组合可以相互转换.学生做出选择之后，可 以根据自己的意愿和条件向学校申请调整， 经过测试获得相应的学分即可转换.
➢高三下学期，学生应保证必要的体育、艺术等活动 时间，同时可继续选修某些课程，也可以进行总复 习。
➢ 高中生获得的学分由学校认定，同时建立国家高 中教育质量监测体系。
平山高中数学新课程实施意见 -----普通高中数学实施建议
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：若干例子
z5 1 在有理数范围内有因式分解
z5 1 z 1 z4 z3 z2 z 1 .
为了作图的方便，写
cos 72 ຫໍສະໝຸດ 12
1
2
2
1
2
1. 2
谢谢
若干例子
除了古希腊三大作图问题以外，还有个同样饶有趣味而 且历史悠久的作图问题是：
等分圆周：任意给定一个圆，并给定一个整数≥2，在 给定的圆周上依次作出n个点，将圆周n等分.
当n≥3时，等分圆周问题也等价于正多边形的作图问题： 给定一个圆，作它的内接n边形.
和三等分角问题相比较，很容易发现，n等分圆周实际 上就是n等分周角360°。它比三等分角问题容易的是：三等 分角是要三等分任意角，而这里等分的却只是一个固定的角 360°。
研究 cos 360 cos72 的作图问题。
5
我们知道，若复数 的模为r，幅角为 ，则
r cos i sin , k rk cos k i sin k .
于是得到
z15 cos72 5 i sin 72 5
cos360 i sin 360 1.
3.尺规作图能作哪些新的实数-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
3.尺规作图能作哪些新的实数-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案一、教学目标1.了解尺规作图能够作出哪些新的实数；2.掌握三等分角的构造方法；3.了解数域扩充的概念。
二、教学重点1.尺规作图能够作出哪些新的实数；2.三等分角的构造方法。
三、教学难点1.了解数域扩充的概念。
四、教学过程1. 学习尺规作图能够作出哪些新的实数尺规作图能够作出哪些新的实数是一个重要的问题。
在古希腊时期，有两个著名的哲学家亚里士多德和欧多克索斯曾经争论过这个问题。
后来，哥德尔证明了尺规作图只能作出那些可以由有理数、基本四则运算和平方根构成的实数。
这个结论被称为“哥德尔定理”。
2. 学习三等分角的构造方法三等分角是一个极为重要的问题，因为它是许多几何问题的基础。
我们可以使用尺规作图构造出三等分角。
下面是一个三等分角的构造步骤：1.在直线上任取一点O；2.以O为圆心，画一条半径为r的圆；3.连接圆上两个相邻的点A和B；4.以B为圆心，画一条半径为r的圆；5.以A为圆心，以AB为半径，画一条圆C；6.连接C与圆A、B的交点D和E，AE即为所求的三等分角。
3. 学习数域扩充的概念数域扩充是一个非常重要的概念，它涉及到了数论和代数等多个领域。
在基本的有理数域中，许多方程都无法求解，因为它们需要使用开方等无理数操作。
但是，通过扩充数域，我们可以将这些无理数“加入”到数域中，这样，原本无法求解的方程就有了解。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解和演示的方式，让学生了解尺规作图的理论知识；2.实验法：通过实验，让学生了解三等分角的构造步骤；3.案例法：通过案例，让学生了解数域扩充的概念和应用。
六、教学反思本节课主要介绍了尺规作图能够作出哪些新的实数、三等分角的构造方法以及数域扩充的概念。
通过教学，学生们对于这些理论知识有了更深入的了解，并且掌握了一些实用的技能。
同时，这些知识也可以为他们今后的学习和工作提供帮助。
高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验研究的开题报告
高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验研究的开题报告一、研究背景及意义高中数学选修专题是高中数学教学中的重要内容，涵盖了数学的多个重要方面。
其中，三等分角是一个重要的几何问题，解决了三等分角的方法和定理对于学生的数学学习起到铺垫和加强作用，同时也与实际生活息息相关，如三等分钟表上的60°刻度等。
然而，三等分角的解法并非单一，不同的方法适用于不同的场合和具体问题，因此需要深入研究和探讨。
数域扩充的概念在数论和代数学中有着广泛的应用，对于高中数学教学中的选修专题也有着重要的指导和启发作用。
数域的扩充可以让原本不能解决的问题变得可以解决，同时也可以从不同的角度和层面理解和解释数学问题，对于学生的数学思维能力提升和数学素养的提高有着极大的促进作用。
因此，本研究旨在通过对于三等分角和数域扩充的研究，探讨不同的解法和应用，同时也探讨数域扩充在高中数学教学中的应用和意义，为高中数学教学提供有益的借鉴和探索。
二、研究内容和方法本研究的主要内容包括：1.对于三等分角的不同解法和应用进行研究和比较，深入探讨其各自的优缺点和适用情况。
2.对数域的概念进行深入研究，综合比较数域的不同定义和扩充方法，结合具体例子进行具体讨论和探究。
3.在研究的基础上，探讨数域扩充在高中数学教学中的应用和意义，并提出相应的教学策略和方法，为高中数学教学提供有益的借鉴和启示。
本研究采用文献资料法、实验研究法和数学模型等方法进行研究。
具体来说，我们将通过查阅相关的文献和资料了解和掌握研究中涉及到的各种概念和方法，同时通过实验和模拟等手段验证和比较不同的方法和结论，深入探讨数学问题的本质和规律。
同时，我们也将通过对于数学教学实践的观察和分析，总结出适合于高中数学教学的数域扩充策略和方法，为教学提供有益的思路和指导。
三、预期成果和意义本研究的预期成果包括：1.总结出三等分角的不同解法和应用，深入探讨其各自的优缺点和适用情况，为学生提供有益的参考和指导，促进学生的数学思维能力和学习兴趣的提升。
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：立方倍积问题
三等分角、立方倍积、化圆为方是古希腊三大作图难题. 这些问题，通过数域扩张的代数理论都得到了解决，证 明了它们用尺题，传说爱琴海中第罗斯岛 上发生瘟疫，人们求教于巫神，祈求去病除邪妙方，巫神说 神谕：要去病除邪，须把神殿前立方体祭坛的体积扩大一倍， 第罗斯人把原祭坛棱长放大一倍，发现新祭坛体积不是原祭 坛之二倍，这时瘟疫流行更加严重，第罗斯人又去求教柏拉 图，柏拉图告诉他们说巫神之意并不在于要双倍大的祭坛， 而只是为借此谴责希腊人不重视数学，对几何不够尊崇。
谢谢
柏拉图（公元前427年—公元前347年）
柏拉图是古希腊伟大的哲学 家，也是全部西方哲学乃至整个 西方文化最伟大的哲学家和思想 家之一。
他和老师苏格拉底，学生亚 里士多德并称为希腊三贤。另有 其创造或发展的概念包括：柏拉 图思想、柏拉图主义、柏拉图式 爱情等。柏拉图的主要作品为对 话录，其中绝大部分对话都有苏 格拉底出场。但学术界普遍认为， 其中的苏格拉底形象并不完全是 历史上的苏格拉底。
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：三等分角尺规作图问题的解决
这就证明了：用尺规作图不能三等分60°角。这说明了 不存在三等分任意角的尺规作图法。
谢谢
出发，经过有限次允许的作图作出 cosEk1 的情况，但在此情况下 Ek Ek1, 由 Ek1 到 Ek 并没有真正将范围扩大，当然
还是数域。
E0 Ek
k 0,1,2,,n
8x3 6x 1 0 cos 20 .
根据数学归纳法远离，可知上式方程在所有 Ek 的中都没 有根（k 0,1,2,,n ）。
已经知道这个方程在有理数集合Q中没有根。只用加、减、乘、 除也不可能把Q在扩大。要想用尺规作图把Q扩大使之包含无理
数 x cos 20 ，剩下的唯一希望是开平方。
定理6 不存在三等分任意角的尺规作图法.
证明
若不然，设存在一种尺规作图法，它能三等分任意角，
当然也能三等分60°角。这也就是说，能够从已知数1与 cos60 1
三等分角尺规作图问题的解决
将3.5定理和4和3.6定理5用于一元二次方程，得到一下 命题.
证明 如果 D F 或者b 0 ，则 x1 F, x1 就是方程在F中的根。 故设 D F 并且 b 0 ，从而 x1 F 。
现在将命题5应用于 cos 20 所满足的三次方程
8x3 6x 1 0
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：化圆为方问题
谢谢
化圆为方问题
三等分角、立方倍积、化圆为方是古希腊三大作图难题. 这些问题，通过数域扩张的代数理论都得到了解决，证 明了它们用尺规作图都不可能.
下面我们要证明：凡是能由已知数1出发用尺规作图能 作出的数，一定是有理系数代数方程的根（只不过它所满足 的最低次数的代数方程的次数不是3，而是2的幂）.因此， π不能用尺规作图作出来，化圆为方也就不能用尺规作图完 成.
我们知道，由已知数1出发能用尺规作图作出的数，也 就是由1出发经过加、减、乘、除和平方运算所能得到的数。 任何一个这样的数，或者是有理数，含于有理数域，或者含 于由有理数域Q通过一次又一次开平方以及加、减、乘、除 运算扩张得到的如下形式的某个数域中：
E1 a b D1 a,b Q , 其中 D1 Q; E2 a b D2 a,b E1 , 其中 D2 E1;
E3 a b D3 a,b E2 , 其中 D3 E2;
Ek a b Dk a,b Ek1 , 其中 Dk Ek1是有理数稀疏代数方 程的根，我们先看一个例子，在按照这例子的思路对一般的
情形作出证明。
定理2 记E0=Q为全体有理数组成的集合.设由E0出发经 过开平方和加、减、乘、除运算得到一连串数域E0，E1， E2，…，En，其中每个
Ek a b Dk a, b Ek1 , Dk Ek1 且 Dk Ek1,
k 1, 2,3,, n.
则En中的数都是有理系数代数方程的根.
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：利用刻度尺的作图法
则直尺的边与圆周的另一交点R（即：除了B 点之外的另一个交点）与刻度K的距离从0开始逐 渐增加，与刻度K的距离从0开始逐渐增加，R也 就在刻度K，T之间从K到T移动.
4.用圆规截取A′R之长度d.以A为圆心，长度 d为半径画圆弧交圆弧AB于C.则∠MOC=∠ MON.
证明 记 α=∠M0N,θ=0QR. 连接OR.由画法知 QR=r=0R=0B. 于是
画法
1.在直尺上标出两个不同的刻度K，T.（如果直 尺上原来就有刻度，则任取两个不同的刻度分别作 为K，T.）
2.用圆规截取线段KT之长r.以O为圆心，r为半 径画圆分别交OM，ON于A，B，并且与OM的反向延长 线OM′交于A′.
3.先让直尺的一个刻度K与A′重合，且直尺的 边经过B点.再让刻度K从A′出发沿着射线OM′向M′ 的方向移动，且始终保持直尺的边经过B点.
想一想 如果不是锐角怎么办？
谢谢
1.的唯一功能是以已知点为圆心，以已知长度为 半径作圆。
3.由已知图形产生新的点的唯一方式就是从已知图形 出发，按以上两种方式画直线或圆，这些圆或直线两两的 交点。
上述作图法虽然实用，但直尺上刻了标度，直尺的使 用也不是过两个已知点作直线，因而不符合尺规作图法的 规则，不是所要求的的尺规作图法。
利用刻度尺的作图法
如果说三等分角是不可能的作图问题，你可能会感到 遗憾。你会想：要是在实际作图中需要三等分角，难道就 束手无策了吗？不会束手无策！有很多实用的三等分角的 方法可供使用。比如，可以用量角器量出角的度数来三等 分。下面介绍另外几种作法。
方法一 已知任意角∠MON.不妨假定它是锐角. 求作∠MOC= ∠MON.
∠R0Q=∠0QR= O, ∠0BR=∠0RB=∠R0Q+∠RQ0=2θ,
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：作实数的和、差、积、商及平方根
谢谢
作实数的和、差、积、商及平方根
任意取两个已作出的正实数a，b各代表的一条线段。 利用尺规作图可以将这两条线段相加或相减（如下图所 示），得到的线段分别对应于，则它们的和a+b和a-b可作.
由于一开始取定了单位长度代表实数1，因此1总是已 知的.设a，b是任意两个已作出的实数，我们还能由尺规 作图作出a，b的积p=ab和商q=a/������，作法如图所示.
总结以上结论得到关于尺规作图的以下结论： 引理 设是已知的实数的集合，包含1.则由尺规作图 可以作出S1中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）， 以及S1中任意正实数的平方根.
按上述引理，s是可以作出的数，与已知数同等看待， 并没有被遗漏，我们在作圆的时候，只说了以已知点为圆 心，已知长为半径作圆，而没有说以一个已知点为圆心， 经过另一已知点作圆.但由于以一个已知点为圆心，经过另 一已知点所作的圆的半径r就是这两个已知点之间的距离， 按刚才所说，r还是已知数，因此这还是以已知半径作圆.
高中数学《三等分角与数域扩充》课程简介课件新人教B版选修3_6
发明设计人：赵建科 专利代理机构：天津市三利有限责任专利代理事务所
方法二：二分法；
如何通过二分法近似作出三等分角
1 1 1 进而作出 , ， , 4 8 16
1 1 2 4 4
1 已知，作出 ， 2
1 当m无限增加时，接近于 3
1 1 m1 1 1 1 4 4 m m 1 4 3 3 4 1 4
3 3 3 如何作出方程 cos 4 x 3x的实数根？
cos 4 cos
3
3cos
（四）．对三等分角问题的分析
尺规作图能作出什么样的实数
引理1：设S1是包含1的已知的实数的集合。 则由尺规作图可以作出S1中的任意两数的和 差积商以及S1中任意正实数的平方根 引理2：设S0是包含1的已知的实数的集合。 X是任意实数，则由S0出发经过尺规作图可 以作出x的充要条件是由S0中的数经过有限 次的加减乘除和开平方运算可以得到x 引理3：由已知数1出发，经过尺规作图可 以作出所有的有理数
2.古希腊三大作图问题 倍立方体：求作一个立方体的边，使该 立方体的体积为给定立方体的两倍. 化圆为方：求作一个正方形，使其面积 与一个给定的圆的面积相等. 三等分角：求作一个角，使其等于给定 的角的三分之一.
(二).学生动手实践环节 三等分角的近似作法
方法一：阿基米德的作法；
采取小组合作学习的 模式，在读懂阿基米 德三等分角作法的基 础上，制作实物模型
选修3-6 《三等分角与数域的扩充》
开课准备
收集资料
研读、 设计教案
精疲力尽……
定义出发
从问题出发
合作学习
一.课程设计的目标：
高中《三等分角与数域扩充》的数学探讨
ｌ。故仍 可采 用先 作 等边 三 角形 的 方法 把 ４ 。 ５， ５ 的角 三等 分． 作法 （ ）如 图 ３ ＬＡ Ｂ ：４ ． Ｏ １ ， Ｏ ５Ｏ在 Ａ上任 取 一 点 Ｃ，以 Ｏ 为 边 ，在 ／Ａ Ｂ 内 部 作 等 边 Ｃ ＿ Ｏ
／ ＸＯＣＤ ；
在初中数学 中学 习了尺规作图 ， 面就是运用 下 已学的知识作部分特殊角的三等分．
图 １ 图 ２
２ １２ 直 角三 等分 ．．
简 析 因为把 一直 角三 等分 ， 每一 份 的度 数是 验） 》为学生提供了多样化的课程选择空间． 高中数 Ｏ， ０ ０ ０， 学课程 分设 为必修 课与选 修课 ， 中 ， 修课 程满足 ３ 。而 ９ 。一６ 。＝３ 。故 仍然 可利 用作 等 边三 角 其 必 所有学生共同的数学需求 ， 选修课程为有不 同需求 形 的方法 把直 角三 等分 作法 （ ）如图 ２ ＬＡ Ｂ为直 角． Ｏ １ ， Ｏ 在 Ａ上 任 的学生提供选择的空间． 对于选修课程 ， 学生可以根 取一 点 Ｃ，以 ＯＣ 为 边 ，在 ／Ａ Ｂ 内 部 作 等 边 ＿ Ｏ 据 自己的兴趣 和对 未 来发 展 的愿 望进 行 选 择． 系列 ３４反 映 了某 些重 要 的数 学思想 ， ， 内容新 颖 前沿 ， 具 有挑 战性． 选修 系列 ３的专 题 ， 主要是 以通 俗易懂 的
（） Ｌ Ｏ ２ 作 Ａ Ｄ的平分线 Ｏ ； Ｅ （ ） ＬＡ Ｅ的平分线 Ｏ ． Ｏ Ｏ 把 ４ 。 ３作 Ｏ Ｆ 则 Ｅ、Ｆ ５ 的
ＬＡ Ｂ三等分． Ｏ
１ ７
蕊 霓ｌ ％
中学 数学 杂志
２０ ０９年第 ７期
Ｄ
得 到一个 与原 直角三 角 形 相 似 的直 角 三角 形 ， 这 则 个直 角三 角形 的另 一直 角边 的长度 就 是线 段 （ 见
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：尺规作图能作哪些新的实数
① x2 Nhomakorabeay2
c2 x
d2
y
e2
0
②
c1 c2 x d1 d2 y e1 e2 0. ③
这样，我们就证明了有关尺规作图的重要定理： 定理1 设是已知的实数的集合，包含1.x是任意实数. 则由S0出发经过尺规作图可以作出x的必要且充分条件是： 由S0中的数经过有限次加、减、乘、除和开平方运算可以得 出x.
1.直尺的唯一功能是过两个已知点作一条直线，这条 直线的方程具有形式ax+by+c=0，其系数a，b，c应全在S1 中.
设两个已知点P1 ，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2， y2)，则x1，y1，x2，y2当然应在已知数集合之中，过已知 点P1 ，P2 的直线的方程为
y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0.
尺规作图能作哪些新的实数
除了对已知数进行加、减、乘、除以及正实数开平方 运算来作出新的数，尺规作图还有没有别的本领来扩张已 知数的集合？
为了回答这个问题，我们先由最初的已知数集合S0 (包 含1)出发，将S0中的数进行有限次加减乘除以及正实数开平 方运算得到所有的实数的集合记作S1 ，由上节课中的引理， S1中所有的数都可以通过尺规作图得出，现在可以将视为新 的已知数的集合.
其中
c 2x1, d 2 y1, e x12 y12 r2.
系数c，d，e都可由中的数经过加、减、乘运算得到，仍 在S1中.
3.由已知点产生新的点的唯一方式就是从已知点出发， 按以上两种方式画直线或圆，这些圆或直线两两的交点， 这些交点坐标仍应在S1中.
x2 y2 c1x d1 y e1 0,
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：更多的问题
更多的问题
通过前面的讨论，你已经知道了，对某些正整数n， 用尺规作图将已知圆周n等分是可能的，比如n=2，3，4， 5，6，8，10，12，15，16，17时就都可以作，而对另外 一些正整数n，则已经证明了不可能用尺规作图将已知圆 周n等分，比如对n=7，9就不可能.
但如果本教材仅仅到此，相信你会觉得还有很多问题. 比如，很可能你会以下几个问题：
用尺规作图将已知圆周n等分，对哪些正整数n是可能 的？对哪些正整数n不可能？
在5.2中我们将8个yk按适当的方式分组，就可以通过 一次又一次解一元二次方程得出所需的yk来.为什么要这 样分组，其中的奥妙何在？
有些问题的解决已经超过本教材的范围，为了满足一 些同学对以上两个问题的求知欲望，我们写了《阅读和思 考》附在教材后面。
谢谢
4.立方倍积问题-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充教案
4.立方倍积问题-湘教版选修3-6三等分角与数域扩充
教案
1.教学目标
1.1.知识目标
•掌握立方倍积问题的相关概念
•学会利用三等分角的性质求解立方倍积问题
•了解数域扩充的基本概念及其应用
1.2.能力目标
•能够运用数学知识解决立方倍积问题
•能够运用已学知识解决含有数域扩充的问题
•能够运用学以致用，把所学知识应用于实际问题中
1.3.情感目标
•培养学生的探究精神和思维能力
•提高学生的数学兴趣和学习动机
•培养学生的自我学习能力和自主创新能力
2.教学重难点
2.1.教学重点
•立方倍积问题的相关概念和解题方法
•三等分角的性质及其在解立方倍积问题中的应用
2.2.教学难点
•如何理解和应用数域扩充的概念
•如何将已学知识运用于解决实际问题
3.教学过程
3.1.引入
•引导学生思考：如何求平方倍积问题？
•通过使用勾股定理等方法，介绍平方倍积问题的概念和解决方法。
3.2.讲解
•介绍立方倍积问题及其相关概念
•介绍三等分角的性质，以及如何利用三等分角来解决立方倍积问题
•介绍数域扩充的概念及其应用
3.3.练习
•提供一些相关的题目，让学生进行解答，并进行讲解和讨论。
3.4.拓展
•引导学生思考立方倍积问题在实际应用中的应用，并提供一些相关的拓展题目。
4.教学评价
•在授课结束后，进行学生的测试和作业的布置，对学生的掌握程度进行评价。
•根据测试和作业结果，对学生进行及时的反馈，鼓励他们在以后的学习中继续努力。
高中数学课程的
高中数学课程标准的特色：
3.提出实施建议，涉及多个方面
为了帮助教师更好地领会课标的要求，高中新 课标在所列举的必修和选修系列之后，对该系列的 每个章节，都指出相关的重点、难点，提出教学上 应该注意的问题，列举参考案例，以帮助教师掌握 教学分寸。高中数学新课标还提出了有关教学、评 价和教材编写的建议，用以指导数学课程的全面实 施。这是过去历年高中数学课标所未能做到的。
高中数学课程标准的基本理念：
4.注重提高学生的数学思维能力：
高中数学新课标对数学思维能力作了新的阐释，它不 但包含了原课标提到的三大数学能力，即逻辑思维能力、 空间想象能力与计算能力，而且将其扩展为直观感知、观 察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运 算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维能力， 显示了对数学能力的更高的要求。
《高中数学课程标准》研制的背景和过程
我国数学课程的存在问题 从课程内容的角度看：
内容偏于陈旧。欧氏几何份量太重。被大多数国 家的课程所采纳的统计与概率等内容始终没有进 入正式的课程。 过分重视理论性、系统性。小学、初中和高中的 课程缺乏衔接和协调。 缺乏应用性的内容，与现实生活相脱离。缺乏展 示数学思想性的内容。缺乏选择性，课程设置单 一。
高中数学课程标准的特色：
1.理念更新，叙述全面 2.选修机会增多，学科程度提高 3.提出实施建议，涉及多个方面
高中数学课程标准的特色：
1.理念更新，叙述全面
高中新课程提出了数学课程的一系列理念, 涉及课程目标、内容选择与基础构建，内容的 组织和呈现方式，教学方式与要求，学生的学 习活动，信息技术与课程内容的整合，教与学 的评价，等等。如何贯彻这些理念，将成为高 中数学教学中具有挑战性的问题。
高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验探讨正式版
高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验探讨正式版文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载高中数学选修专题“三等分角与数域扩充”的教学实验探讨内容导读：课程改革有一定的参考和鉴戒价值。
4研究得到的结论通过对这一专题的教学实验和评析,测试,问卷调查,访谈等,研究了高师生与高中生在教学实验中的具体情况和教学效果。
本专题的知识内容固然从理论上要求比较高,但经过多次的教学和学习,作者以为|教育论文网1 2 3 下一页1选题的背景和意义“三等分角与数域扩充”是我校开发的高师校本课程《高中数学选修课程专题研究》中的一个专题,将它纳入我国中学课程选修内容,是《普通高中数学课程标准》的全新安排。
目前,正值我国目前基础教育改革大好背景下。
作者选择“三等分角与数域扩充”这个专题作为论文研究有以下意义:(1)让学生了解和掌握古希腊的三大几何作图问题;(2)为数学课程改革发展培养合格的师资气力|教学论文范文|;(3)为本专题的教学提供一些教学经验。
尺规作图在初中基础教育的数学课程改革中受到特别重视,与它在当今社会生活中和培养学生动手操纵实践的数学素养上的重要作用密不可分。
这既反应了“古希腊三大几何尺规作图不能问题”的历史追朔,又体现了“三等分角与数域扩充”在培养学生全面的数学观念(几何问题代数化或代数问题几何化)和完整的数学素养方面所具备的作用。
因此,本专题的教学实验具有现实意义。
2研究的方法论文主要采用了文献资料法、调查研究法、教学实验法和观察法这几种方法。
3论文的主要内容本论文主要分三大部分:(1)“三等分角与数域扩充”这个专题的问题提出和知识体系;(2)“三等分角与数域扩充”的教学实验过程;(3)“三等分角与数域扩充”教学实验后的总结和反思;目前“三等分角与数域扩充”这个专题的实验研究甚少,这在我国高中数学课程发展上是第一尝试。
由于首次出现在高中课程之中,这部分内容可供参考资料极少。
好在由李尚志编写的中学数学课外读物上有可以参考的教材,其它的具体课程内容的呈现目前没有发现。
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开课准备
收集资料
研读、 设计教案
精疲力尽……
定义出发
从问题出发
合作学习
一.课程设计的目标：
1.让学生体会将几何问题转化为代数问题的解决 问题的思想方法
2．培养学生数学应用意识，
体会数学建模思想.
3．提高抽象思维能力。
学生的情感目标:
3 3 3 如何作出方程 cos 4 x 3x的实数根？
cos 4 cos
3
3cos
（四）．对三等分角问题的分析
尺规作图能作出什么样的实数
引理1：设S1是包含1的已知的实数的集合。 则由尺规作图可以作出S1中的任意两数的和 差积商以及S1中任意正实数的平方根 引理2：设S0是包含1的已知的实数的集合。 X是任意实数，则由S0出发经过尺规作图可 以作出x的充要条件是由S0中的数经过有限 次的加减乘除和开平方运算可以得到x 引理3：由已知数1出发，经过尺规作图可 以作出所有的有理数
2.古希腊三大作图问题 倍立方体：求作一个立方体的边，使该 立方体的体积为给定立方体的两倍. 化圆为方：求作一个正方形，使其面积 与一个给定的圆的面积相等. 三等分角：求作一个角，使其等于给定 的角的三分之一.
(二).学生动手实践环节 三等分角的近似作法
方法一：阿基米德的作法；
采取小组合作学习的 模式，在读懂阿基米 德三等分角作法的基 础上，制作实物模型
本模块对学生的考核
制作一个三等分角的 近似工具 提交一个学习本模块 的学习报告 了解常见的数学软件 的使用方法
调查市场上的《三等分角绘图仪》
本实用新型涉及一种三等分角 绘图仪，其特征在于是由丁字 尺、直角尺及辅助直尺组成， 丁字尺的尺头两端分别设有一 铰轴，丁字尺的尺身工作边与 两铰轴的轴心距离的中点位于 同一直线；直角尺竖直边上端 铰接于丁字尺尺头一端的铰轴 上，直角尺竖直边上从铰轴的 轴心到直角尺水平边底边缘的 垂直距离等于丁字尺的两铰轴 的轴心距离的二分之一；辅助 直尺铰接于尺头的另一铰轴上， 其工作边与铰轴轴心位于同一 直线。本实用新型的有益效果 是：通过将丁字尺、直尺及直 角尺的巧妙组合，提供出一种 无须计算、准确快速三等分任 意角的绘图仪，结构简单，操 作容易，为平面几何制图带来 方便。
发明设计人：赵建科 专利代理机构：天津市三利有限责任专利代理事务所
方法二：二分法；
如何通过二分法近似作出三等分角
1 1 1 进而作出 , ， , 4 8 16
1 已知，作出 ， 2
1 当m无限增加时，接近于 3
1 1 m1 1 1 1 1 1 4 4 2 m m 1 4 4 4 3 3 4 1 4
（三）.介绍尺规作图 的典型案例
通过回顾尺规作的典型案例， 激发学生学习的兴趣和热情
案例1：正17边形的尺规作图问题 --------高斯19岁时发现（我辈只能膜拜）
案例2：用尺规作图，把任意线段三等分
案例3： 用尺规作图作出方程x2 x 1 0的根
问题的背景就是如何用尺规作图作出线段的黄金分割点
对三等分角问题的分析
设 60，则由{1，cos60}出发，经过尺规作图 得到的实数是否包括了
4x 3x cos 0的根x=cos20
3
1 讨论方程4 x 3 x 0是否有有理根？ 2
3
即讨论方程8x3 6 x 1 0是否有有理根？
实际上该方程没有有理根
1．培养学生的科学探索精神
2．锻炼和培养动手能力。 3．在信息技术的支持下，获
取新数学知识的能力
二.课程教学设计： （一）介绍尺规作图的发展历史
1.圆规直尺作图是指：使用直尺，我们能过任何给定的不同 两点，作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为圆心， 任意长为半径作一个圆. 在作图中，使用的直尺是没有刻 度标记的直尺；