怎样计算与长度、角度、面积和体积等有关的几何概型的概率

怎样计算与长度、角度、面积和体积等有关的几何概型的概率

几何概型也是一种概率模型，它的特点是实验的结果不是有限个，且在某一区域的分布是均匀的，因此随机事件的概率大小与随机试验的区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．

如果随机事件所在的区域是一个单点时，考虑到单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．

由几何概型的特征，它主要有长度、角度、面积和体积四个方面的应用，下面我们一一列举这四种类型的几何概型的概率的计算方法．

（1）与长度有关的几何概率的求法

如果随机试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：

长度

长度＝的区域试验的全部结果所构成的构成事件)(A A P ． 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

[例如]取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m 的概率有多大?

显然，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．

如下图，记“剪得两段绳长都不小于1m ”为事件A ．把绳子三等分，于是

当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长3

1，所以事件A 发生的概率1()3

P A ＝．

处理此类问题，判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度．

（2）与角度有关的几何概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为：

的区域角度

试验的全部结果所构成的角度构成事件)(A A P ＝． 解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．

[例如]已知等腰Rt △ABC 中，︒∠90＝C ，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM ＜30°的概率．

如下图所示，在CB 上取点0M ，使︒∠300＝CAM ．则区域D 为线段CB 的长，

d 为线段0CM 的长．

若设a BC ＝．则a BC AC CM 3

3＝33＝33＝0．

于是有0(30)CM P CAM CB a ∠<︒３＝＝ （3）与面积有关的几何概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

的区域面积

试验的全部结果所构成的区域面积构成事件＝)(A A P ． “面积比”是求几何概率的一种重要类型．

如：在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少?

若A ＝(钻到油层面)，40()000410000

P A . ＝＝． 又如：如图，在一个边长为3cm 的正方形内部画一个边长为2cm 的正方形，问在大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．

若设{}所投点落入小正方形内＝A ，)cm (4＝2＝S 22小正方形，

)cm (9＝3＝S 22大正方形， 则：9

4＝＝)(大正方形小正方形S S A P ， 所以所投的点落入小正方形内的概率是9

4． （4）与体积有关的几何概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公

式为：

的区域体积

试验的全部结果所构成的区域体积构成事件＝)(A A P ． [例如]如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．

若设“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．

∵10＝A .μ升，2＝Ωμ升， ∴由几何概型求概率的公式，得050＝201＝210＝＝

..ΩμμA )(A P ．