浙教版-初中数学-关于动点问题的总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
浙教版 初中数学 关于动点问题的总结
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静
关键:动中求静.
数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系, 一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.
(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).
(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.
解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH
中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2
1
32⋅OP=2.
(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴
2362
1
21x OH MH -==
. 在Rt △MPH 中,
.
∴y =GP=
32MP=23363
1x + (0 1 ,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 1 2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2(2006年·山东)如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式; 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =, ∴ 11x y =, ∴x y 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2 90α -︒, 且函数关系式成立, ∴2 90α -︒=αβ-, 整理得=- 2 αβ︒90. 当=- 2 αβ︒90时,函数解析式x y 1 = 成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD. 根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,5 4x AD =, ∴OD= x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 5 8 . ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 5 854 58= . ∴x y 516= (8250≤ ①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1),则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, A E D C B 图2 A 3(2) 3(1) ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5- x 58=4,得8 5 =x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5- x 58=2,得8 15=x . 可求得6=y ,即AP=6. 综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4(2004年·上海)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2 1 BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅= ∆2 1 , ∴4+-=x y (40< 在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴2 2 2 )2(2)1(x x -+=+. 解得6 7=x . 此时,△AOC 的面积y =6 17 674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时, 在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴2 2 2 )2(2)1(-+=-x x . 解得2 7=x . 此时,△AOC 的面积y =2 1274=- . 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为 6 17或21. 动态几何特点----问题背景是特殊图形,(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值 一、以动态几何为主线的题 (一)点动问题. 1.如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时,求AF 的长; (2)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时, A B C O 图8 H