自动控制原理复习资料卢京潮版

第二章：控制系统的数学模型

§ 2.1 引言

-系统数学模型一描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式

-建模方法

机理分析法 实验法（辩识法）

§ 2.2控制系统时域数学模型

1、线性元部件、系统微分方程的建立

(1) L-R-C 网络

-本章所讲的模型形式

时域：微分方程 复域：传递函数

1 LC U

c

1 LC U

r

2阶线性定常微分方程

（2）弹簧一阻尼器机械位移系统

分析A 、B 点受力情况

由 k 1（X i X A ）

&X A

解出 X A X i k -2X 0

k 1

代入B 等式：f （X i

k 2

k 1

X o X o )

k 2X

得：f k 1 k 2 X 0 k 1k 2X 0 fk 1X i

一阶线性定常微分方程

T m l I k 1k 2k 3k 4k m l k 1k 2k 3k m u a —二阶线性定常微分方程

2、线性系统特性——满足齐次性、可加性

线性系统便于分析研究。

在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。

(3)电枢控制式直流电动机

电枢回路：u a R i E b —克希霍夫

电枢及电势:

E b C e

m

-…楞次

电磁力矩： M m C m i - -安培

力矩方程：

J m m f m

m

M m —牛顿

变量关系：

i

M m

U

a

E b

m

消去中间变量有:

即：I

k 1k 2k 3k 4k k 1k 2k 3k T m

T m

消去中间变 量得：

非线性元部件微分方程的线性化

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0处的线性化增量方程解：在0处线性化展开，只取线性项：

令y y -y o

得y E o sin o

3、用拉氏变换解微分方程

I 21 21 2u a（初条件为0）

复习拉普拉斯变换的有关内容

1复数有关概念

（1）复数、复函数

复数s j

复函数 F s F x jF y

例：Fs s 2 2 j

（2）复数模、相角

（3）复数的共轭

(4)解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。拉氏变换定义

几种常见函数的拉氏变换

1.

2.

3. 单位阶跃：1t 10

指数函数：f(t)

at

e

正弦函数：f(t) 0

sin

拉氏变换的几个重要定理

(1)线性性质: Laf't）bf2

（t）aF

（s）

bF2

（s）

(2)微分定理:

进一步: ni-

s F

n-1

s f 0 s n-2

n-2

0 L sf 0 0 零初

始条件下有：L f

例2:求L cos t

解: cos t ^L si nt s

2 ""2 2

s

(3)积分定理: L f t dt 1Fs s

」f-10 （证

略）

s

零初始条件下有:

1

L f t dt - F s

s

进一步有:

例 3:求 L[t]=?

t dt

例4:求L

解:

(4) 位移定理

实位移定理: t-

例5:

(J

解：f(t)

1(t) 1(t 1

) 虚位移定理:

L e at

F s- a

(证略)

例6: 求 Le at

例7:

L e -3t cos5t s s 2 52

L e 2t cos(5t ~) L e 2t cos 5(t —)

解:

tdt

(5) 终值定理(极限确实存在时)

证明：由微分定理 f t e st dt sFs f 0

取极限：lim f t e st dt lim sF s f 0

s 0 s 0

例 9： F s

sin 11 -- l im s 2 0

t

s 0 s 2 2

拉氏变换附加作业

一. 已知 f(t),求 F(s)=?

二. 已知 F(s),求 f(t)=?

5.拉氏反变换

j

(1)

反变换公式：f ⑴石j 尺％

(2)查表法一一分解部分分式

(留数法，待定系数法，试凑法

微分方程一般形式:

F(s)的一般表达式为:

二有:f

lim sF s

证毕

例 10： f

来自:(n)aiC(n-1)a n-i C C b°r(m)bf m-1)b m-汀b m「(I )其中分母多项式可以分解因式为：

A(S) (S P i)(S P2)(S P n) (II)

P i为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：

I : A(s) 0无重根时：(依代数定理可以把F(S)表示为：)

即：若G可以定出来，则可得解：而°计算公式:

c i lim (s pJ.F(s)

s P i

(说明(川)的原理，推导

例

2：

F(s)求f(t) ?

解: F(s)

C

i

C2 (s 1)(s 3) s 1 s 3

例3：s2 5s 5 亠

F(s) s^n，求f(t)?

解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)

•例4：F(s)

解法

s 3

s22s 2 (s 1 - j)(s 1 j) s 1-j

C2

s 1 j

C i B(s)

A (s) s P i