17.概率波和概率幅

2 从粒子性方面解释
单个粒子在何处出现具有偶然性;大量 粒子在某处出现的多少具有规律性. 粒子在 各处出现的概率不同.

电子束 狭缝 电子的单缝衍射
第1章 波粒二象性
7
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
3 从波动性方面解释
电子密集处，波的强度大；电子稀疏
处，波的强度小.

电子束 狭缝 电子的单缝衍射

E p i 2 ( t x ) h h
0e
i ( Et Px )
11
波粒二象性
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
（三）三维：
x, t 0 e
i ( Et Px ) i
x, y , z , t 0 e

Et p x x p y y p z z
2 2
x, t x, t x, t
x 0e : x 的共轭复数
i
Et px
dw dxdydz d
2 0 2 0
第1章 波粒二象性
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
2 0 2 0

18
1 微观粒子的状态描述
（1）宏观粒子的经典描述：
任意时刻粒子具有确定的坐标和动量 微观粒子是否还可以用
r t , pt 来描述？
r t , pt
（2）电子单缝衍射实验

电子束（波） 狭缝 电子的单缝衍射
第1章 波粒二象性
2
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
（一）大量电子一次实验结果：如图示


0
16
大学 物理学
A 2
3
1.6 概率波和概率幅
2
归一化波函数：
3 2 xe x 2 x 0
x 0 x 0
A 30 a5
Axa x x 0
其他例子：
x 0, xa x0.x a 求出
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
一 德布罗意波的统计解释
经典粒子 不被分割的整体，有确定位 置和运动轨道 . 经典的波 某种实际的物理量的空间分 布作周期性的变化，波具有相干叠加性 .
二 象 性 要求将波和粒子两种对立的 属性统一到同一物体上 .
第1章 波粒二象性
1
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
第1章 波粒二象性
8
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
3 结论(统计解释) 在某处德布罗意波的强度与粒子在该处 附近出现的概率成正比 . 1926 年玻恩提出，德布罗意波为概率波.
第1章
波粒二象性
9
大学 物理学
4
波函数
自由粒子： E
A
1.6 概率波和概率幅
（1）自由粒子对应的德布罗意波的波函数
C1, P C2
0
x 0
求：
, 为归一化常数 式中 0 Ａ
（１）Ａ； （２）概率密度； （３）在何处发现粒子的概率最大？ 解： （１）Ａ 归一化条件



dx 1 A2 x 2e
2 0
2

2x
dx


1
A 2 x 2 2 3e 4 x 4x 2 8 第1章 波粒二象性
i
xwenku.baidu.com y , z , t 0 e
描述粒子的状态
第1章
Et pr
德布罗意波振幅
波函数
波粒二象性
12
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅 5 粒子出现的概率 粒子在 x x dx, y y dy, z z dz （体积为 正比于
2 0
d dxdydz ）中出现的概率dw
dw dxdydz d

2
代表t时刻粒子在点（x，y，z）附近单位体积内 出现的几率 已知
dw d
---概率密度

2

粒子出现的几率
描述粒子
第1章 波粒二象性
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
6
波函数标准条件
（1）单值性，因为一个粒子出现在空间任何 位置的概率只能是一个； （2）有限性，因为在全部空间发现一个粒子的总 概率应该等于1，波函数要服从归一化条件，即
1.6 概率波和概率幅
（二)玻恩假定 入射粒子 入射德布罗意波
I , A
N
2
描述 波函数
复数
y
2
IA
微观描述：
粒子出现的概率



波函数振幅的平方（波的强度）正比于粒子出现的概率

电子束（波） 狭缝 电子的单缝衍射 第1 章 波粒二象性
6
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
实验发现：A、某个电子出现在哪儿完全偶然 B、长时间成衍射花样（如图示）
（二）让电子束强度降低，使电子一个一个通过单缝：

电子束（波） 狭缝
电子的单缝衍射
第1章 波粒二象性
3
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
（三）结论： A、电子确实是粒子，因为图样是由点组成； B、电子去向完全不确定，不能用 r t , pt 来描述 其状态。（电子全同---一个一个通过可以认为同一电 子做多次实验） C、衍射花样证明长时间分布出现某中必然的规律 D、应该用统计的方法来描述微观粒子的状态
2
（２）概率密度；
x x
43 x 2e 2x 0
波粒二象性
x 0 x 0
17
第1章
（２）在何处发现粒子的概率最大？
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
dx dx 令 0，得 xe2x 1x 0 dx 1 x1 0, x2 , x3
2 d xd yd z 1
要使积分值等于1， 必须有限。
V
• 自然条件： 单值、有限和连续 2 • 归一化条件 r ,t dV 1 ( 全空间)

第1章 波粒二象性
（3）连续性：粒子在空间出现的概率分布是连续的
15
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅 补充例题：一维运动的粒子处于如下波函数所描述的 状态 Axex x 0 x

电子束（波） 狭缝
电子的单缝衍射
第1章 波粒二象性
4
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
（3）微观粒子的状态描述：
（一）爱因斯坦对光子解释（统计学）：
x
光子
（光波） 波动性 结合
2
Z d
D
粒子性
IA
I , A N
光子出现的概率
第1章 波粒二象性
I S Nh
5
大学 物理学
自由粒子对应的德布罗意波
E h C1
P h n C2


C3 C4
k C5

10
自由粒子对应的德布罗意波 :单色平面波 第1章 波粒二象性
大学 物理学
1.6 概率波和概率幅
（一）经典的平面波为
x y x, t y0 cos 2 t
x 0 x x x 0 dx 43 x2 2 e2x 83 xe2x
2
43 x 2e 2x 0
0 0 x1 0和x2 处为极小值 1 2 1 4 e x3 为极大值 max 第1章 波粒二象性
k i
x i 2 (t )
复数表示：yx, t y0e 其实部为：

x y x, t y0 cos 2 t eix cos x i sin x


（二）量子物理表示：
x, t 0e
0e
第1章
x i 2 (t )