高中数学-两个向量的数量积测试题
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高中数学-两个向量的数量积测试题
自我小测
1．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是( )
A ．垂直
B ．共线
C ．不垂直
D ．以上都有可能
2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．61
3．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝
π3
，则cos 〈OA →，BC →〉＝( ) A.12 B.22 C ．－12 D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，
则△BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
5．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则
a 与
b 的夹角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π 6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________．
7．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a⊥b ，则实数k 的值为__________．
8．如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则点C 与D 之间的距离为__________．
9．已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →
的值．
10．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长为 2.
(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；
(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．
参考答案
1．解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．
答案：A
2．解析：|2a －3b|2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×12
＋9×32
＝61. ∴|2a －3b|＝61.
答案：C
3．解析：∵BC →＝OC →－OB →，
∴OA →·BC →＝OA →·OC →－OA →·OB →＝0，
∴〈OA →，BC →〉＝90°，
故cos 〈OA →，BC →〉＝0.
答案：D
4．解析：BC →＝AC →－AB →，BD →＝AD →－AB →，
∴BC →·BD →＝AB →2>0，
∴∠DBC 为锐角，
同理可得∠BCD ，∠BDC 均为锐角．
答案：B
5．解析：∵关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，
∴Δ＝|a |2－4a·b ≥0，即|a |2≥4a ·b .
又∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，
∴|a |2≥4|a||b|cos 〈a ，b 〉．
∵|a |＝2|b |≠0，
∴cos 〈a ，b 〉≤|a 2|4|a ||b |＝4|b |2
8|b |2＝12，
而〈a ，b 〉∈[0，π]，
∴π3≤〈a ，b 〉≤π.
答案：B
6．解析：因|a ＋b ＋c|2＝(a ＋b ＋c )2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2
＋2(a·b ＋b·c ＋a·c )
＝3，
故|a ＋b ＋c|＝ 3. 答案： 3
7．解析：由a⊥b ，得a·b ＝0， ∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0.
∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.
答案：6
8．解析：∵AC ⊥α，BD 与α成30°角，
∴AC 与BD 所成角为60°.
又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，|CA →|＝|AB →|＝|B D →|＝1，〈CA →，AB →〉＝〈AB →，BD →〉＝90°，〈CA →，BD →〉＝120°，
∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝3－1＝2.
∴C ，D 两点间距离为 2. 答案： 2
9．解：AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →
＝AB →·(AD →－AC →)＋AD →·(AC →－AB →)－AC →·(AD →－AB →)
＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AD →·AC →－AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB →＝0.
10．(1)证明：AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →.
∵BB 1⊥平面ABC ，
∴BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0.
又△ABC 为正三角形，
∴〈AB →，BC →〉＝π－〈BA →，BC →〉＝π－π3＝2π3
. ∵AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →)
＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC →
＝|AB →|·|BC →|·cos〈AB →，BC →〉＋BB 1→2