知识讲解_常用逻辑用语 全章复习与巩固

《常用逻辑用语》全章复习与巩固

编稿：李霞审稿：张林娟

【学习目标】

1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：命题

（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

（2）全称量词与全称命题

全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.

全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x （3）存在量词与存在性命题

存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.

存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词

基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.

（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.

（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.

（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.

要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：

①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；

②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：

（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与

B A ⌝

⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是

不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.

如图： “A B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不

必要条件.

“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.

要点诠释：

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.

“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.

要点四：四种命题及相互关系

如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：

原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系

①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点五：命题真假的判断方法

（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断； （2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）： 命题的真假判断（利用真值表）：

p

q

非p p q 或 p q 且

真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假

真

真

真

假

互逆⌝⌝否命题若p 则q

原命题若p 则q

逆命题若q 则p

⌝⌝逆否命题

若q 则p

互

逆

互

逆

否为

互逆否

为

否

否

互

互

（3）对于“若p ，则q ”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.

要点诠释：

①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词

（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ∀”表示，读作“对任意 ”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∀∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.

（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“∃”表示，读作“存在 ”。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∃∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.

对含有一个量词的命题进行否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p ： ,()x M p x ∀∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∃∈⌝ 。全称命题的否定是特称命题。

（2）对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p ： ,()x M p x ∃∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∀∈⌝ 。特称命题的否定是全称命题。 要点诠释：

（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

（2）一些常见的词的否定：