高一数学模拟试题
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(天津专用,测试范围：人教A版2019)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（天津）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章5．难度系数：0.6。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．B ．()21x f x x-=【解析】由题意得：根据图像可得：函数为偶函数，当时，∵y=当时，易得：当时，易得第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．7+在[]()1,1m m >上的最大值为，解得：133x =-，22x =，x 7+在[],21m m -上的最大值为，解得：3332m -≤≤.)1>上最大值()2A f m m ==-()()210f m f m A =->=>，3⎤⎥，故答案为：333,⎡⎤-⎢⎥.16．（14分）17．（15分）已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈.(1)若2m =，求函数()f x 在区间[]2,1-上的最大和最小值；(2)解不等式()21f x x <+.【解析】（1）解：当2m =时，可得()223f x x x =+-，则函数()y f x =表示开口向上的抛物线，且对称轴为1x =-，所以函数()y f x =在[]2,1--上单调递减，在[1,1]-上单调递增，所以，当1x =-时，函数()f x 取得最小值，最小值为()14f -=-，又因为()()23,10f f -=-=，所以函数的最大值为0，综上可得，函数()y f x =的最大值为0，最小值为4-.（7分）（2）解：由不等式()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即不等式2(2)2(0)(2)x m x m x m x +--=-<+，当2m =-时，不等式即为2(2)0x -<，此时不等式的解集为空集；当2m -<时，即2m >-时，不等式的解集为2m x -<<；当2m ->时，即2m <-时，不等式的解集为2x m <<-，综上可得：当2m =-时，不等式的解集为空集；当2m >-时，不等式的解集为(),2m -；当2m <-时，不等式的解集为()2,m -.（15分）18．（15分）19．（15分）某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共20．（16分）10，。
2023-2024学年江苏省常州市高一上学期期末学业水平监测数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高一上册期末学业水平监测数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}2|650,3A x x x B x x =++<=<-，则() U A B ð为（）．A ．()3,1--B ．[)3,5-C ．[)3,1--D ．∅【正确答案】C【分析】根据一元二次不等式求集合A ，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得：{}{}{}2|65051,|3U A x x x x x B x x =++<=-<<-=≥-ð，则()[) 3,1U A B =--I ð.故选：C.2．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-【正确答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于12cos 13α=，且α为第四象限角，所以5sin 13α==-，sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D3．下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【正确答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D4．已知扇形的圆心角为2rad ，面积为4，则扇形的周长为（）．A．B．C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.【详解】设扇形半径为r ，因扇形面积为4，则212422r r ⨯⋅=⇒=.则扇形周长为228r r +=.故选：D5．设函数()123,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()3f a >，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,18⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭C ．11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.【详解】当0a ≤时，则()33af a -=>，即1a ->，解得1a <-；当0a >时，则()11221log 3log 8f a a =>=，解得108a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A.6．函数()1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.【详解】函数()1x f x x =-的定义域为1x ≠±，(),0111,011xx x x x f x xx x x x ⎧>≠⎪⎪-==⎨-⎪<≠-⎪--⎩且且(2)20f =>，排除BC 选项，(2)20f -=-<，排除D 选项.故选：A7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A ．36平方米B ．48平方米C ．64平方米D ．72平方米【正确答案】C【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()160060064000x y xy ++≤，利用基本不等式可得答案.【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()640001600600600x y xy xy ≥++≥+.0t =>，则26003200640000t t +-≤()()2003408008t t t ⇒+-≤⇒<≤，即64xy ≤，当且仅当8x y ==时取等号.故选：C8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式可以是（）．A ．()2cos3x g x =B ．()π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()5π2sin 612x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】先根据图象求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数图象变换求()g x .【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象可得：311ππ3π2,41264A T ==-=，可得2ππT ω==，解得2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+∵函数()f x 图象过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，由ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得ππ5π,366ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故ππ32ϕ+=，解得π6ϕ=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到1π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位长度，得到()1ππ1π2sin 2sin 32633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.方法点睛：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定（1）A 由最值确定，max min2y y A -=；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．二、多选题9．下列函数中，以3为最小值的函数有（）．A ．63cos y x =-B ．2427x x y +=-+C ．229sin 4sin y x x=+D ．e 94ex xy =+【正确答案】ABD【分析】对A ：根据余弦函数的有界性分析运算；对B ：换元结合二次函数分析运算；对C ：换元结合对勾函数分析运算；对D ：利用基本不等式分析运算.【详解】对A ：∵[]cos 1,1x ∈-，则[]63cos 3,9y x =-∈，故63cos y x =-的最小值为3，当且仅当cos 1x =时取到最小值，A 正确；对B ：令20x t =>，则()22242747233x x y t t t +=-+=-+=-+≥，故2427x x y +=-+的最小值为3，当且仅当2t =，即1x =时取到最小值，B 正确；对C ：令(]2sin 0,1t x =∈，且94y t t=+在(]0,1上单调递减，故113|4t y y =≥=，故229sin 4sin y x x =+的最小值为134，C 错误；对D ：e 934e x x y =+≥=，当且仅当e 94e x x =，即ln 6x =时等号成立，故e 94ex x y =+的最小值为3，D 正确.故选：ABD.10．下列不等式中，正确的有（）．A ．1113332.12 1.8<<B ．0.90.8.80.80.8 1.20<<C ．420.5log 9log 5log 0.1<<D ．π2π4πsinsin sin 777<<【正确答案】BCD【分析】对A ：根据幂函数单调性分析判断；对B ：根据幂函数和指数函数单调性分析判断；对C ：根据对数运算结合对数函数单调性分析判断；对D ：根据正弦函数的对称性和单调性分析判断.【详解】对A ：13y x =在()0,∞+上单调递增，则1113332.12 1.8>>，A 错误；对B ：0.8y x =在()0,∞+上单调递增，则0.8.80.8 1.20<，0.8x y =在R 上单调递减，则0.90.80.80.8<，故0.90.8.80.80.8 1.20<<，B 正确；对C ：2121420.5222log 9log 3log 3,log 0.1log 10log 10--====，2log y x =在()0,∞+上单调递增，则222log 3log 5log 10<<，故420.5log 9log 5log 0.1<<，C 正确；对D ：sin y x =关于直线π2x =对称，则4π4π3πsin sin πsin 777⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π2π3ππ,0,7772⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π3πsin sin sin 777<<，故π2π4πsinsin sin 777<<，D 正确.故选：BCD.11．关于函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法正确的有（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z D ．关于x 的方程()1f x =的解集为π2π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【正确答案】AC【分析】根据题意结合正弦函数的性质与图象分析运算.【详解】由题意可得：()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A ：()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；对B ：令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调增区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C ：令()ππ2π32x k k -=-∈Z ，解得()ππ212k x k =-∈Z ，故()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z ，C 正确；对D ：令()π2sin 213f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()ππ22π36x k k -=-∈Z 或()π7π22π36x k k -=+∈Z ，解得()ππ12x k k =+∈Z 或()3ππ4x k k =+∈Z ，可得关于x 的方程()1f x =的解集为ππ12x x k ⎧=+⎨⎩或3ππ,4x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，D 错误.故选：AC.12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()log a g x f x x =-（其中1a >）恰有3个不同的零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】根据题意分析函数()f x 的性质，将零点问题转化为()y f x =与log a y x =的交点问题，数形结合，列式运算即可.【详解】∵()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，又∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，又∵()()()222f x f x f x +=---=--+，即()()220f x f x ++-+=，故函数()f x 关于点()2,0对称，令()()log 0a g x f x x =-=，则()log a f x x =，原题等价于()y f x =与log a y x =有3个交点，且()log 1a y x a =>的定义域为()0,∞+，如图所示，则可得log 51log 911a a a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得59a <<，故B 、C 正确，A 、D 错误.故选：BC.方法点睛：利用数形结合求方程解应注意两点：（1）讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题13．给定3个条件：①定义域为R ，值域为[]22-,；②最小正周期为2；③是奇函数．写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．【正确答案】()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.【详解】对于函数()2sin πf x x =的定义域为R ，()[]2sin π2,2f x x =∈-，即()f x 的值域为[]22-,，符合①；函数()2sin πf x x =的最小正周期2π2πT ==，符合②；()()()2sin π2sin πf x x x f x -=-=-=-，即()f x 是奇函数，符合③；综上所述：()2sin πf x x =符合题意.故答案为.()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）14．已知函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，则实数a 的值为__________．【分析】根据偶函数的定义即可求解.【详解】因为函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，所以()2212121x x x xx x xa a a f x ---⋅-===+++，则有22x x a =，所以a =故答案为15．设函数()()2ln 1f x x x =++，使()()211f a f a +<-成立的充要条件是a I ∈（其中I 为某区间），则区间I =__________．【正确答案】()2,0-【分析】根据题意判断()f x 的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.【详解】∵()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，故函数()f x 在定义域内为偶函数，当0x ≥时，则()()2ln 1f x x x =++在[)0,∞+上单调递增，故()f x 在(],0-∞上单调递减，若()()211f a f a +<-，等价于211a a +<-，等价于()()22211a a +<-，整理得220a a +<，解得20a -<<，则使()()211f a f a +<-成立的充要条件是()2,0a ∈-，即()2,0I =-.故答案为.()2,0-16．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】9【分析】根据题意列不等式20.030.0013n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，运算求解即可.【详解】由题意可得：经过n 次过滤后该溶液的杂质含量为12130.03,33％nnn *⎛⎫⎛⎫-⨯=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，则20.030.10.0013％n⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22331lg 30lg 3lg10lg 31log log 308.392230lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3n ++≥=-=--=≈--，∵n *∈N ，则n 的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故9.方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．四、解答题17．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【正确答案】(1)4(2)7【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log22log 212log 2927ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.18．已知二次函数()21f x ax bx =++，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22x xf m ≥⋅对[]1,1x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2,3a b ==-(2)(,3⎤-∞⎦【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；（2）换元12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据恒成立问题利用参变分离可得123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）由题意可得：方程210ax bx ++=的两根为1,12，且0a >则032112a b a a ⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，故2,3a b ==-.（2）由（1）可得()2231f x x x =-+，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2231t t mt -+≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，故123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，∵123323t t +-≥=，当且仅当12t t =，即1,222t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时成立，∴3m ≤，即实数m的取值范围为(,3⎤-∞⎦.19．已知角θ是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点4,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin θ，cos θ，tan θ的值；(2)求()()πsin tan sin π2cos θθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值．【正确答案】(1)343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-(2)32-【分析】（1）利用三角函数的定义求出cos θ，再根据同角三角关系求sin θ，tan θ；（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．【详解】（1）由题意可得：4cos 5θ=-，且角θ是第二象限角，则3sin 3sin ,tan 5cos 4θθθθ====-，故343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-.（2）由（1）可得：3tan 4θ=-，则()()πsin tan sin πcos tan sin 2sin 322tan cos cos cos 2θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⋅+⎝⎭====--.20．某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，π2ϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx5π1211π12()sin A x ωϕ+0505-0(1)请将上表数据补充完整，并求函数()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．【正确答案】(1)()π5sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表格见详解；(2)π12【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；（2）利用三角函数的平移变换原则可得π()5sin(22)3g x x θ=+-，根据整体代入法可得π22πZ,3x k k θ+-=∈，解方程即可求解.【详解】（1）根据表中的数据，得5A =，11π5ππ,212122T =-=2ππ,2T Tω∴=∴==，又5πππ2,1223ϕϕ⨯+=∴=-，函数的解析式为()5sin(2).3f x x π=-分别令π20,23π,x π-=，依次解得6π2,63π7,x π=数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ65π122π311π127π6sin()A x ωϕ+0505-0所以函数的解析式为()5sin(23f x x π=-；（2）由（1）知π()5sin(2)3f x x =-得π()5sin(223g x x θ=+-，因为函数sin y x =图像的对称中心为Z ,0()k k π∈，令π22πZ,3x k k θ+-=∈，解得ππ,Z 26k x k θ=+-∈.因为函数()y g x =图像的一个对称中心为7π(,0)12，所以ππ7π,Z 2612k k θ+-=∈，解得π5π,Z 212k k θ=-∈.由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值为π12.21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，定义域均为R ，且()()1233x xf xg x +-+=-．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)判断()g x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)解关于x 的不等式()28029g x x +<．【正确答案】(1)()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.(2)函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明见详解.(3)(11---+【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；(2)利用指数函数的单调性判断函数为R 上的增函数，然后利用定义即可证明；(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.【详解】（1）由()()1233x xf xg x +-+=-①可得：()()1233x x f x g x -+-+-=-，又因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()1233x xf xg x -+--=②，①+②可得：()33x xf x -=+，则()33x xg x -=-，所以()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.（2）函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明如下：设任意的12,R x x ∈，且12x x <，则2111221212121212331()()3333(33)(33)(1)33x x x x x x x x x x x x x x g x g x --++--=--+=--=-+，因为12x x <，所以12121330,103x xx x +-<+>，则12()()0g x g x -<，所以12()()<g x g x ，故函数()33x x g x -=-在R 上单调递增.（3）因为()33x x g x -=-，所以180(2)999g =-=，则不等式()28029g x x +<可化为()22(2)g x x g +<，由（2）可知：函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，所以222x x +<，解得：11x -<<-，所以不等式()28029g x x +<为(11---+.22．已知函数()()2log 1f x x =+，()g x 是定义在R 上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，且对任意x ∈R ，都有()()20g x g x ++=．(1)求使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合；(2)求证：()g x 为周期为4的周期函数，并直接写出．．．．()g x 在区间[]22-,上的解析式；(3)若不等式()()2sin sin 4e e y yg x x a --++<+对任意,x y ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z (2)证明见详解，()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩(3)211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数()g x 的性质求解析式；（3）先利用换元令[]sin 1,1t x =∈-，结合二次函数求得2172sin sin 44x x ≤-++≤，再根据()g x 的性质求()2sin sin 4g x x -++的最大值，再利用基本不等式求得e e 2y y -+≥，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：()()()()()2222log ta ta n 13t n log 3tan log an 13tan 0x f x f x x x -+=+=<-，则2tan 03tan 03tan 1x x x >⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得0tan 3x <<，则()πππ6k x k k <<+∈Z ，故使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）∵()()20g x g x ++=，即()()2g x g x +=-，则()()()()42g x g g g x x x =--=⎡⎤⎣-⎦+=+，∴()g x 为周期为4的周期函数，又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2g x g x g x +=-=-，即()()2g x g x =-，当(]1,2x ∈时，则[)20,1x -∈，故()()()()222log 21log 3g g x x x x -=-+=-+=；又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则有：当[)1,0x ∈-时，则(]0,1x -∈，故()()()2log 1g x g x x -=---+=；当[)2,1x ∈--时，则(]1,2x -∈，故()()()2log 3g x g x x -=--+=；综上所述：当[]2,2x ∈-时，则()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩.（3）对于2sin sin 4m x x =-++，令[]sin 1,1t x =∈-，则22117424m t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭的对称轴为12t =，故当12t =时，24m t t =-++取到最大值174，故当1t =-时，24m t t =-++取到最小值2，故2172sin sin 44x x ≤-++≤，由（2）可知：()g x 在[)2,1--上单调递减，在11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()221512,20,log 2log 5044g g g ⎛⎫-=--===-+> ⎪⎝⎭，故当12,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，又∵()g x 为周期为4的周期函数，则当172,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，∴()2sin sin 4g x x -++的最大值为22log 5-+，则()22log 5e e y ya --+<+对任意y ∈R 恒成立，又∵e e 2y y -+≥=，当且仅当e e y y -=，即0y =时等号成立，则有：当0a ≤时，则()22log 5e e y ya --+>+，不合题意，舍去；当0a >时，则22log 52a -+<，解得211log 52a >-+，综上所述：实数a 的取值范围为211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭.结论点睛：（1）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∀∈≥，则()()min max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∃∈≥，则()()min min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∀∈≥，则()()max max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∃∈≥，则()()max min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。
河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次模拟测试数学试题
河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次模拟测试数学试题一、单选题1．设全集U R =，(){}{}30,1M x x x N x x =+<=<-，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}-<<x xC ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤< 2．命题“x ∃∈R ，310x x +>”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，310x x+≥ B ．x ∃∈R ，310x x +≤ C ．x ∀∈R ，310x x +≤ D ．x ∀∈R ，310x x +> 3．已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．44．已知3()2f x x x =+，若a ，b ，c ∈R ，且0a b +>，0a c +>，0b c +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定 5．函数()22111x f x x +=-+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b a b +>+B ．2()4a b ab +≤C ．2b a a b +<D ．22b b a a +<+ 7．已知Z a ∈，关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值不可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．168．已知函数212,()23,3x c f x x x x c x ⎧-+<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩，若()f x 的值域为[2,6]，则实数c 的取值范围是（ ）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[1,0)-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列函数中，既是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A．()f x B ．()||f x x x =C ．2()1x x f x x -=- D ．3()f x x = 10．命题“[1,2)x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．4a ≥B ．5a >C ．6a ≥D ．7a >11．设x 为实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x .例如[1.2]1=，[ 1.4]2-=-.称函数()[]f x x =为取整函数，下列关于取整函数()f x 的结论中正确的是（ ）A ．()f x 在R 上是单调递增函数B ．对任意x ∈R ，都有()1f x x >-C ．对任意x ∈R ，k ∈Z ，都有()()f x k f x k +=+D ．对任意x ，y ∈R ，都有()()()f xy f x f y =三、填空题12．用列举法表示6N N 1a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣． 13．函数()f x 是R 上的偶函数， 且当0x >时，函数的解析式为2()1f x x=-，则(1)f -=；当0x <时，函数的解析式为.14．已知a ，b 为非负实数，且21a b +=，则22211a b a b +++的最小值为.四、解答题15．已知全集R U =，集合{}2|560A x x x =-+>，{|230}B x x =->.(1)求A B ⋂；(2)求()()U U A B U 痧.16．设命题[]:1,1p x ∀∈-，使得不等式2230x x m --+<恒成立；命题[]:0,1q x ∃∈，不等式2223x m m -≥-成立．(1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．17．设函数()22a f x x a x+=-+为定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义法证明()f x 在(0,+∞)上的单调性.18．已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．(1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？(2)若每个小矩形的面积为983平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？19．已知集合A 中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，那么称集合A 具有性质P .已知集合{}1,2,3,,2n S n =L *(N ,4)n n ∈≥，对于集合n S 的非空子集B ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于B ，则称集合B 是集合n S 的“期待子集”.(1)试判断集合{}1,2,3,5,7,9A =是否具有性质P ，并说明理由；(2)若集合{}3,4,B a =具有性质P ，证明：集合B 是集合4S 的“期待子集”；(3)证明：集合M 具有性质P 的充要条件是集合M 是集合n S 的“期待子集”.。
高一数学模拟试题及答案
高一数学模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集合R的子集？A. 整数集合ZB. 有理数集合QC. 无理数集合D. 复数集合C2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是：A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)3. 如果a和b是方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根，那么a + b的值是：A. 0B. 2C. 4D. 84. 已知点A(3, 4)和点B(6, 8)，线段AB的长度是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. |-3| < 3C. |-3| = 3D. |-3| ≠ 36. 圆的标准方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25，圆心坐标是：A. (1, 2)B. (-1, -2)C. (2, 1)D. (-2, -1)7. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π8. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，第5项a5的值是：A. 7B. 9C. 11D. 139. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 610. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，根据余弦定理，角A的余弦值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/6二、填空题（每题3分，共15分）11. 圆的面积公式为πr^2，其中r是圆的______。
12. 函数y = 3x - 2的反函数是______。
13. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，第3项a3的值是______。
14. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a和b，那么c^2 = ______。
15. 已知向量\(\vec{a}\) = (2, 3)，向量\(\vec{b}\) = (4, -1)，向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的数量积是______。
2023-2024学年山东省青岛市高一上学期期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省青岛市高一上学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【正确答案】B【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论.【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B2．若a ，b ，R c ∈，则下列不等式成立的是（）．A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，则11b a>D ．若a b >，则33a b >【正确答案】D利用特殊值、排除法进行判断即可.【详解】对于A ：当0,1a b ==-时，显然a b >，但22a b <，因此本选项不符合题意；对于B ：当0c =时，显然ac bc =，因此本选项不符合题意；对于C ：当0,1a b ==-时，显然1a没有意义，因此本选项不符合题意；故选：D3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知()13213x x f x +-=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}0,3-B ．{}0,1-C ．{}0,1,2--D ．{}1,0,1,2--【正确答案】C【分析】结合指数函数性质求得()f x 的值域，然后再根据新定义求[()]y f x =的值域．【详解】111173321733()133133(31)x xx x x f x ++++--===-+++，显然1311x ++>，177(0,3(31)3x +∈+，所以()f x 的值域是1(2,)3-，当2()1f x -<<-时，[()]2f x =-，10x -≤<时，[()]1f x =-，当10()3f x ≤<时[()]0f x =，所以所求值域是{2,1,0}--．故选：C ．4．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b<c<a B ．c<a<b C ．a b c<<D ．b a c<<【正确答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】∵10.33>，∴3log 0.31<-，∴1b <-，13log 31c ==-，0a >，∴b<c<a .故选：A5．函数2()log ||f x x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】由解析式判断()f x 奇偶性及1((1)2f f 的符号，即可确定图象.【详解】由22()log ||log ||()f x x x x x f x -=--=-=-且定义域为{|0}x x ≠，所以()f x 为奇函数，排除C 、D ；又21111()log |(1)02222|f f ==-<=，排除B.故选：A.6．若232018log 3log 4log 2019a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则a 的范围是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()10,11D ．()11,12【正确答案】C【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.【详解】2320182lg3lg4lg2019lg2019log 3log 4log 2019log 2019lg2lg3lg2018lg2a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⨯==，∵1021024=，1122048=，1011222log 2log 2019log 2<<，∴()10,11a ∈，故选：C ．7．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式.2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内所传信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至原来的10倍，则C 大约变为原来的几倍（）(参考数据：lg 20.3≈，lg19991 4.3≈)A ．2.5B ．1.3C ．10D ．5【正确答案】B【分析】根据题意先表示出1999S N =，19990SN=所对应的12,C C ，然后求解21C C 的值即可【详解】解：由题意得122log (11999)log 2000C W W =+=，222log (119990)log 19991C W W =+=，所以2212log 19991lg19991 4.3 1.3log 2000lg 230.33C W C W ===≈++故选：B8．设函数()()()()1212log 0log 0x x f x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若()()1f a f a >-，则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭D ．∅【正确答案】B【详解】画出函数()f x的图象，如图：函数在()0-∞，和()0+∞，上单调递减，若10a a <-<或01a a <<-都不符合题意当10a a -<<时，()1122og o 1l l g a a -<-可得11a a->恒成立，可得01a <<，故01a <<故选B二、多选题9．下列命题中是假命题的是（）．A ．x ∀∈R ，30x ≥B ．0x ∃∈R ，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x =【正确答案】ACD举反例即可判断选项A 、C ，解方程303x =即可判断选项B 、D.【详解】取12x =-，3108x =-<，所以选项A ，C 不正确；由303x =得0x =是无理数，所以选项B 正确，选项D 不正确，故选：ACD10．下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A ．()1f x x=B ．()2f x x =-C ．()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩D ．()1f x x x=+【正确答案】BC利用基本初等函数的基本性质可判断AB 选项中函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性的定义可判断CD 选项中函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可判断C 选项中函数的单调性，利用特殊值法可判断D 选项中的函数不单调.【详解】对于A 选项，函数()1f x x=为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A 选项中的函数不合乎要求；对于B 选项，函数()2f x x =-为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B 选项中的函数合乎要求；对于C 选项，当0x <时，0x ->，则()()()22f x x x f x -=--=-=-，当0x >时，0x -<，则()()()22f x x x f x -=-==-，又()00f =，所以，函数()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩为奇函数，当0x ≤时，函数()2f x x =单调递减；当0x >时，函数()2f x x =-单调递减.由于函数()f x 在R 上连续，所以，函数()f x 在R 上为减函数，C 选项中的函数合乎要求；对于D 选项，函数()1f x x x =+的定义域为{}0x x ≠，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，函数()1f x x x=+为奇函数，()51222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()1f x x x =+不是减函数，D 选项中的函数不合乎要求.故选：BC.11．下列结论正确的是（）．A ．若0x <，则1y x x=+的最大值为2-B ．若0a >，0b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最大值为9D ．若[]0,2x ∈，则y =2【正确答案】ABD利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，由0x <可得()112y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=--+-≤-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即=1x -时，等号成立；即1y x x=+的最大值为2-；A 正确；B 选项，由0a >，0b >，可得222220224a b ab ab a b a b +-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≥，即22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立；即11a b +的最小值为9，故C 错；D 选项，因为[]0,2x ∈，所以()22422x x y +-=≤=，当且仅当x=即x =时，等号成立，故D 正确.故选：ABD.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（）A ．x y <B ．33y x-->C <D ．133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭【正确答案】AD【分析】先由4455x y x y ---<-变形为4545x x y y ---<-，构造函数()45x xf x -=-，利用其单调性，得到x ，y 的大小关系，再逐项判断.【详解】由4455x y x y ---<-得4545x x y y ---<-，令()45x xf x -=-，则()()f x f y <，因为5,4x x y y --==在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增，所以x y <，故A 正确；当2,1x y =-=-时，33y x --<，故B 错误；当0,0x y >><，当0,0x y <<<C 错误；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且x y ->-，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故正确；故选：AD三、填空题13．一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的______倍．【正确答案】0.96根据价格变化，求出该商品的最终售价，进而可求出答案.【详解】由题意，该商品的最终售价为()()25120%120%⨯+⨯-元，则()()25120%120% 1.20.80.9625⨯+⨯-=⨯=.所以该商品的最终售价是原来的0.96倍.故答案为.0.9614．函数()f x ____________【正确答案】[)()3,44,+∞ 利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则30150x x -≥⎧⎨+-≠⎩，解得3x ≥且4x ≠.故[)()3,44,+∞ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020169204(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．【正确答案】5712先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．【详解】解：专项扣除总额为：249600(8%2%1%9%)49920⨯+++=元，应纳税所得额为：249600600005280045604992082320----=元，个税税额为：8232010%25205712⨯-=元，故5712．16．函数()212log 21y x x =--的单调递减区间为____________.【正确答案】()1,+∞【分析】先由2210x x -->，求得函数的定义域，然后令221x x t =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由2210x x -->，解得12x <-或1x >，所以函数()212log 21y x x =--的定义域为{1|2x x <-或}1x >，因为221x x t =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上单调递增12log y t =在()0,∞+递减，所以函数()212log 21y x x =--的单调递减区间为()1,+∞.故()1,+∞四、解答题17．在①x ∈R ，2220x ax a ++-=，②存在区间()2,4A =，(),3B a a =，使得A B ⋂=∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．问题：求实数a 满足的条件，使得命题[]:1,2p x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，都是真命题．【正确答案】选择条件①：{}21a a a ≤-=或；选择条件②：203a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【分析】对命题[]:1,2p x ∀∈，转化为不等式2x a ≥在[]1,2x ∈上恒成立，求解2x 的最小值即可得1a ≤.选择条件①：根据判别式大于等于0求解命题q 为真时a 的取值范围结合1a ≤求解即可；选择条件②：根据区间端点满足的不等式求解命题q 为真时a 的取值范围结合1a ≤求解即可；【详解】选择条件①．由命题p 为真，可得不等式2x a ≥在[]1,2x ∈上恒成立．因为[]1,2x ∈，所以214x ≤≤，所以1a ≤．若命题q 为真，则方程2220x ax a ++-=有解，所以()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-．又p ，q 都是真命题，所以2a ≤-或1a =，所以实数a 的取值范围是{}21a a a ≤-=或．选择条件②，由命题p 为真，可得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立．困为[]1,2x ∈，所以214x ≤≤，所以1a ≤．因为区间(),3B a a =，则3a a <，故0a >，由A B ⋂=∅，得4a ≥或32a ≤，即203a <≤或4a ≥．又p ，q 都是真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，得203a <≤，所以实数a 的取值范围是203a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭18．计算下列各式：02)-+；(2)23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+【正确答案】(1)19(2)134【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【详解】（1）4032)18--)21216=19---+.（2）23948(lg2)lg2lg50lg25(log2log2)(log3log3)+⋅+++⋅+()23232111(lg2)lg2lg512lg5log2log2log3log3223⎛⎫⎛⎫=++++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log2log326=++++⨯()5lg2lg2lg5+lg22lg54=+++52lg22lg54=++134=19．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年()x+∈N所需的各种费用总计为226x x+万元．（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；（2）该车若干年后有两种处理方案：①当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．【正确答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析.（1）设该车x年开始盈利，可构造不等关系，结合x+∈N可求得解集，由此得到结果；（2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算．【详解】（1） 客车每年的营运总收入为30万元，使用x年()x+∈N所需的各种费用总计为226x x+万元，若该车x年开始赢利，则2302650x x x>++，即212250x x-+<，x+∈N，39x∴≤≤，∴该车营运第3年开始赢利．（2）方案①赢利总额()()2221302650224502622y x x x x x x=-++=-+-=--+，6x ∴=时，赢利总额达到最大值为22万元．6∴年后卖出客车，可获利润总额为221032+=万元．方案②年平均赢利总额222245050252242424x x y x x x x x -+-==--+=⎛⎫ ⎝+⎪⎭-≤（当且仅当5x =时取等号）．5x ∴=时年平均赢利总额达到最大值4万元．5∴年后卖出客车，可获利润总额为451232⨯+=万元．两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②合算．关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.20．已知函数22()log log .24x x f x =⋅(1)求函数()f x 的值域;(2)若对任意的[2,4]x ∈，不等式2(2)log 40f x a x -⋅+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2) 3.a ≤【分析】（1）换元转化为求二次函数值域；（2）换元，分离参变量，根据不等式求解恒成立问题.【详解】（1）因为()f x 定义域为(0,)+∞，则22222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+，设()2log x t t =∈R ，则2231132()244y t t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为2(2)log 40f x a x -⋅+≥，所以222log (log 1)log 40x x a x ⋅--+≥，设2log x t =，则[1,2]t ∈，原问题化为对任意[1,2]t ∈，240t t at -+-≥，即41a t t≤+-，因为4113(t t +-≥=当且仅当2t =即4x =时，取等号)，即41t t+-的最小值为3，所以 3.a ≤21．已知函数()1(01)x f x a a a =+>≠，的图像恒过定点A ，且点A 又在函数()()g x x a =+的图像上．(1)若()()32f x f x --=，求x 的值；(2)若关于x 的不等式()()1f g x kx >+在[]3,4x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)1x =(2)25,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得出a 后解方程；（2）题意为不等式恒成立，转化为最值，讨论二次函数对称轴和区间的位置关系求解．【详解】（1）()1(0)x f x a a =+>，当0x =时，()2f x =，则函数()y f x =图像恒过定点()0,2A ，又()0,2A 在函数()y g x =图像上，则2=，得2a =由()()32f x f x --=，则3222x x --=，令20x t =>，则132t t -=，即22320t t --=，()()2120t t +-=，0t > ，2t ∴=，即22x =，得1x =；（2）())222log 2log (2)22121(2)1x x f g x x ++⎡⎤=+=+=++⎣⎦，则2(2)11x kx ++>+在区间[]3,4上恒成立，即()2440x k x +-+>在区间[]3,4上恒成立，令()()244h x x k x =+-+，则min ()0h x >，函数()y h x =的对称轴为22k x =-，232k -≤①，即10k ≤，()y h x =在区间[]3,4上单调递增，()min ()32530h x h k ==->，则253k <，又10k ≤，253k ∴<；3242k <-<②，即1012k <<，函数()y h x =在3,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,42k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则()()22min 22424202224k k k k h x h k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则08k <<，又1012k <<，所以k 无解；242k -≥③，即12k ≥，()y h x =在区间[]3,4上单调递减，()min ()43640h x h k ==->，即9k <，又12k ≥，∴无解综上所述，实数k 的取值范围为25,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．22．设()121log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)证明()f x 在区间()1,+∞上单调递增．【正确答案】(1)1a =-(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可，（2）利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性求解【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----．所以1111ax x x ax +-=---，即()()()()1111ax ax x x +-=-+-，所以1a =-或1a =，当1a =时，()121log 1x f x x -=-，此时不成立，故1a =-；（2）证明：由（1）可知()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，令()211u x x =+-，1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()21121212222111111x x u x u x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．因为121x x <<，所以110x ->，210x ->，210x x ->，所以()()()21122011x x x x ->--，即()()120u x u x ->，所以函数()211u x x =+-在()1,+∞上是减函数．又因为函数12log y u =在()0,∞+上是减函数，所以()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数．。
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（ ）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（ ）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1） 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析
15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面 位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面
2023-2024学年河南省高一上册期中联考数学模拟试题(B卷)含答案
2023-2024学年河南省高一上册期中联考数学模拟试题（B 卷）一、单选题1．命题“,()n N f n n *∀∈≤”的否定形式是A ．,()n N f n n *∀∈>B ．,()n N f n n *∀∉>C ．,()n N f n n *∃∈>D ．,()n N f n n*∃∉>【正确答案】C【详解】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“,()n N f n n *∀∈≤”的否定形式“,()n N f n n *∃∈>”．故选C ．命题的否定．2．设集合{}20A x x =-≥，{}2280B x x x =--<，全集U =R ，则U B A ⋃=ð（）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-【正确答案】B【分析】解不等式可求得集合,A B ，由补集和并集定义可求得结果.【详解】由20x -≥得：2x ≥，则[)2,A =+∞，(),2U A ∴=-∞ð；由2280x x --<得：24-<<x ，则()2,4B =-，(),4U B A ∴=-∞ ð.故选：B.3．方程ln 2x x =-的根所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B【分析】判断函数()ln 2f x x x =+-的单调性，结合零点存在性定理确定其零点所在区间，由此可得方程ln 2x x =-的根所在的区间.【详解】令()ln 2f x x x =+-，因为函数ln ,2y x y x ==-在()0+∞，上都为增函数，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，又因为()11210f =-=-<，()2ln 222ln 20f +-=>=，由零点存在性定理可知()ln 2f x x x =+-的零点所在区间为()1,2，所以方程ln 2x x =-的根所在区间为()1,2.故选：B4．甲，乙两人从同一地点出发，沿同一方向行进，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲比乙先到达终点D ．甲，乙两人的速度相同【正确答案】A【分析】根据甲乙两人运动的路程与时间的关系，结合图象即可求解.【详解】由图结合已知条件可知，甲比乙先出发，且行驶的路程都为0s ，故A 正确，B 错误；当甲、乙两人行驶的路程为0s 时，乙所用时间比甲少，故乙的速度较大，由图易知，甲，乙同时到达终点，故C ，D 错误．故选:A ．5．已知幂函数()y f x =的图像过点2⎛ ⎝⎭，则(8)f =（）A ．4B ．4C ．-D ．【正确答案】B【分析】()f x x α=，把点代入解析式求得α，再求(8)f .【详解】()f x 为幂函数，设()f x x α=，依题意12(2)222f α-===，解得12α=-，所以12()f x x -=，则12(8)84f -==．故选：B ．6．已知函数()(),af x b a b x=++∈R 为奇函数，则b =（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【正确答案】B【分析】由于()f x 为奇函数，代入特殊值()()11f f -=-，即可求得b ，即可得到结果.【详解】因为()af x b x=++为奇函数，所以()()11f f -=-，则()11a b a b ++=---+，解得0b =，经检验，此时()af x x=为奇函数，符合题意.故选：B.7．已知函数()1y f x =+为偶函数，当1x >时，()2f x x =-，则()0xf x <的解集为（）A ．()()1,02,-⋃+∞B ．()()212-∞-,,U C ．()1,2-D ．()(),00,2-∞ 【正确答案】D【分析】根据偶函数定义可确定()f x 图象关于1x =对称，从而可得()f x 图象，将所求不等式化为()00x f x >⎧⎨<⎩或()0x f x <⎧⎨>⎩，结合图象可得不等式的解集.【详解】()1y f x =+Q 为偶函数，()()11f x f x ∴+=-，()f x \图象关于1x =对称，由此可得()f x 图象如下图所示，()0xf x < 等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，∴由图象知：02x <<或0x <；()0xf x ∴<的解集为()(),00,2-∞ .故选：D.8．已知关于x 的方程()()112e e 20(,)x xm n x x m n --++-=∈R 有唯一实数解，则mn的值为（）A ．12-B ．13C ．12D ．18【正确答案】C【分析】令1t x =-，变换得到21e e t t m t n --=-+，令21()e et tt h t --+=+，确定函数为偶函数，故(0)mh n=，计算得到答案.【详解】由题意得0n ≠，则2211112(1)1e e e e x x x x m x x x n -------=-=-++，令1t x =-，则上式可化为21e e t tm t n --=-+，令21()e e t tt h t --+=+，则22()11()()e e e e t t t t t t h t h t ----+-+-===++，故()h t 为偶函数，关于x 的方程()()112e e20x xm n x x --++-=有唯一实数解，即函数()h t 的图象与my n=有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故0011(0)e e 2m h n -===+．故选：C二、多选题9．下列各式的值相等的是（）A ．13(1)-B ．343和3413-C和144D ．324-和312-⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】根据分数指数幂与根式之间的关系，以及负分数指数幂与正分数指数幂的关系即可求解.【详解】对于A ，13(1)1-=-1=，不符合题意；对于B ，4343133-=，符合题意；对于C，114242=对于D ，323211484-==，331282-⎛⎫== ⎪⎝⎭，不符合题意．故选:BC ．10．设正实数x y ，满足21x y +=，则（）A ．xy 的最大值是18B ．21x y+的最小值为9C ．224x y +的最小值为12D的最大值为2【正确答案】ABC【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A，∵21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y +=⎧⎨=⎩时，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，212122(2)559y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即13x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，由A 可得18xy ≤，又21x y +=，222114(2)4141482x y x y xy xy +=+-=-≥-⨯=，当且仅当14x =，y =12时等号成立，故C 正确；对于D，2212x y =++≤+=14x =，12y =时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．三、单选题11．在同一平面直角坐标系中，函数x y a -=，()log a y x a =+（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】结合两个函数过定点()0,1，以及单调性相异判断即可.【详解】函数x y a -=与()log a y x a =+的图象过定点()0,1，所以C ，D 错误；又因为1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log a y x a =+单调性相异.故选：A四、多选题12．若222233x y x y ---<-，则（）A ．22x y <B ．33y x >C >D ．133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭【正确答案】BD【分析】构造函数()43x x f x -=-，确定函数单调递增得到x y <，取=1x -，0y =可得A 错误，根据单调性知BD 正确，当0x <，0y <时C 错误，得到答案.【详解】由222233x y x y ---<-，得4343x x y y ---<-，令()43x x f x -=-，则()()f x f y <．因为()4x g x =，()3x h x -=-在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增函数，故x y <.取=1x -，0y =可得2x >2y ，故A 错误；因为3()G x x =在(,)-∞+∞上单调递增，所以当x y <时，33x y <，故B 正确；当0x <，0y <无意义，故C 错误；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD五、填空题13．集合{}2Z 0A x x x =∈-≤，{}20B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值组成的集合为______．【正确答案】{}0,2【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，由B A ⊆，通过分类讨论求解实数a 的值.【详解】20x x -≤解得01x ≤≤，由Z x ∈，∴集合{}0,1A =，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，∴B =∅或{}1B =或{}0B =，B =∅时，方程20ax -=没有实数根，∴0a =；{}1B =时，方程20ax -=的解为1x =，∴2a =；{}0B =时，20-=不成立，∴{}0B ≠．所以实数a 组成的集合为{0,2}．故{0,2}14．函数()f x =______．【正确答案】(,1)(1,0]-∞-⋃-【分析】利用分母不等于0，以及根式有意义列不等式求解即可.【详解】要使函数有意义，则0,120,21,11,101x xx x x x x ⎧⎧≤-≥≤⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎩⎪⎩⎩且所以()f x 的定义域为(,1)-∞-⋃(1,0]-．故(),11,0]∞--⋃-（15．已知4:110p x≥-，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______．【正确答案】[)5,6【分析】解不等式得到:610p x ≤<，记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，根据集合的包含关系得到答案.【详解】4110x≥-，0106x x -≥-，解得610x ≤<，即:610p x ≤<．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则A 是C 的真子集，C 是B 的真子集，则216210a aa a a >⎧⎪≥⎪⎨<⎪⎪≥⎩，解得56a ≤<，即实数a 的取值范围是[5,6)．故[)5,616．已知函数21,1,()2,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为______．【正确答案】2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意确定0a >，考虑01a <<，1a ≥两种情况，根据函数的单调性得到取值范围，计算得到答案.【详解】因为当1x ≥时，222y x ax a =-≥-，要使()f x 的值域为R ，必须满足当1x <时，1y ax =-单调递增，故0a >．当1x <时，()(),1f x a ∈-∞-，故当1x ≥时，()min 1f x a ≤-当1a ≥时，()()2min 1f x f a a a ==-≤-，不等式恒成立；当01a <<时，()()min 1121f x f a a ==-≤-，解得23a ≥，即213a ≤<.综上所述：实数a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭六、解答题17．化简求值：())13320,0a b a b ->>；(2)7log 52225lg5lg 2lg2lg5log 5log 47+++⨯+.【正确答案】(1)1(2)7【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简；(2)根据对数的运算法则和性质运算即可.【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b--==；（2）7log 52225lg5lg 2lg2lg5log 5log 47+++⨯+()25lg5lg 2lg 2lg5log 5log 25=+++⨯+()25lg5lg 2lg 2lg5log 5log 25=+++⨯+lg 5lg 2157=+++=.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f xx ax =-，且(1)2f -=．(1)求()f x 的解析式；(2)画出()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间（直接写出，无需证明）．【正确答案】(1)()223,0,3,0.x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩(2)作图见解析，单调增区间为33,,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调减区间为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据(1)2f -=，得到3a =，当0x <时，0x ->，()()f x f x =--，代入计算得到解析式.（2）画出函数图像，根据图像得到函数单调区间.【详解】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，()2(1)(1)112f f a -=-=--⨯=，解得3a =．所以当0x >时，2()3f x x x =-，当0x <时，0x ->，22()()()3()3f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦．所以()223,0,3,0.x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（2）()f x 的图象如下：由图可知，()f x 的单调增区间为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调减区间为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．19．已知集合{}20A x x =-<，{}121B x a x a =+<<-．(1)若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；(2)若B ∅ ，设:p x B ∃∈，x A ∉，求证：52a >是p 成立的必要条件．【正确答案】(1)(,2][3,)-∞⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）由题意有A B ⋂=∅，分B =∅和B ≠∅两种类型讨论.（2）命题p 成立，则p ⌝为假命题，先求出p ⌝为真命题的条件，就可得到p ⌝为假命题的条件.【详解】（1）{}{}[)|20|1)(2)00,4A x x x =-<=<=．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B ⋂=∅．当121a a +≥-，即2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，B ≠∅，由A B ⋂=∅，有14a +≥或210a -≤，解得3a ≥或12a ≤，所以3a ≥．综上，2a ≤或3a ≥，即a 的取值范围是(,2][3,)-∞⋃+∞．（2）证明：若:p x B ∃∈，x A ∉为真命题，则:p x B ⌝∀∈，x A ∈为假命题．先求:p x B ⌝∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为B ∅ ，所以B ≠∅，即2a >．由:p x B ⌝∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则21410a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．因为:p x B ⌝∀∈，x A ∈为假命题，所以52a >．综上，若B ∅ ，则52a >是p 成立的必要条件．20．已知函数()()log 2a f x x =-，其中0a >且1a ≠.(1)求函数()f x 的零点；(2)若()2f a <，求a 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)()()0,11,2U 【分析】（1）根据零点的定义，通过解方程()0f x =求函数()f x 的零点；（2）讨论a ，根据对数函数的单调性化简不等式求其解集.【详解】（1）令()0f x =，即()log 20a x -=，则21x -=，所以1x =，所以函数()f x 的零点为l.（2）()2f a <即()2log 2log a a a a -<，则20a ->，得2a <.当1a >时，函数log a y x =是增函数，所以22a a -<，解得2a <-或1a >，所以12a <<；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，所以22a a ->，解得21a -<<，所以01a <<.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,2U .21．某企业投资144万元用于火力发电项目，()n n +∈N 年内的总维修保养费用为（2440n n +）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n 年年底，该项目的纯利润为y 万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）(1)写出纯利润y 的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；(2)随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；②纯利润最大时，以4万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【正确答案】(1)()2460144y n n n +=-+-∈N ，第4年起开始盈利(2)选择方案①更有利于该公司的发展，理由见解析【分析】（1）根据题意得到2460144y n n =-+-，解不等式0y >得到答案.（2）分别利用均值不等式和二次函数性质计算利润的最大值，再对比时间得到答案.【详解】（1）由题意可知()()22100440144460144y n n n n n n +=-+-=-+-∈N ，令0y >，得24601440n n -+->，解得312n <<，所以从第4年起开始盈利．（2）若选择方案①，设年平均利润为1y 万元，则136604604212y y n n n ⎛⎫==-+≤-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当36n n=，即6n =时等号成立，所以当6n =时，1y 取得最大值12，此时该项目共获利1261284⨯+=（万元）．若选择方案②，纯利润22154601444812y n n n ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，因为n +∈N ，所以当7n =或8时，y 取得最大值80，此时该项目共获利80484+=（万元）．以上两种方案获利均为84万元，但方案①只需6年，而方案②至少需7年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()2xf xg x +=．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)判断并证明函数()f x 在定义域上的单调性；(3)求函数()()()()()h x f g x g f x =+的最小值．【正确答案】(1)()222x x f x -+=，()222x xg x --=(2)()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；证明见解析(3)()min 74h x =【分析】（1）利用奇偶性可得()()2xf xg x --=，与已知等式构成方程组求得()(),f x g x ；（2）设210x x >>，由()()()12121211221022x x x x f x f x +⎛⎫-=⋅--< ⎪⎝⎭可得()f x 在()0,∞+上的单调性，根据奇偶性可得对称区间单调性；（3）由奇偶性定义可证得()h x 为偶函数；结合函数单调性可求得当0x ≥时，()()f g x ，()()g f x 都在0x =处取得最小值74；根据偶函数性质可确定()h x 的最小值即为74.【详解】（1）()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，()()()()2xf xg x f x g x -∴-+-=-=，又()()2xf xg x +=，()222x x f x -+∴=，()222x x g x --=.（2）()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，证明如下：设210x x >>，()()()112212121222221112222222x x x x x x x x f x f x --⎡⎤++⎛⎫-=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()12121122122x x x x +⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭；1222x x < ，1221x x +>，即12112x x +<，()()120f x f x ∴-<，()f x \在()0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x \在(),0∞-上单调递减.（3）由题意知：()h x 的定义域为R ，()()()()()()()()()()()()()h x f g x g f x f g x g f x f g x g f x -=-+-=-+=+ ()h x =，()h x ∴为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，2x y = 为增函数，2xy -=为减函数，()g x ∴为增函数，()()00g x g \³=；令()t x g =，则0t ≥，由（2）知：()f x 在[)0,∞+上单调递增，()()()()01f g x f t f ∴=≥=；当0x ≥时，()()01f x f =≥，令()s f x =，则1s ≥，()()()()314g f x g s g ∴=≥=，∴当0x ≥时，()()f g x ，()()g f x 都在0x =处取得最小值，则此时()min 37144h x =+=；()h x 为偶函数，∴当x ∈R 时，()min 74h x =.。
2023-2024学年湖北省云学高一下学期5月联考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省云学高一下册5月联考数学模拟试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}016U A B x N x ==∈<+< ，{}1,2A =，若A B =∅ ，则B =（）A.{}0,3,4B.{}0,1 C.{}1,0- D.{}2,3,42.已知复数2i12ia z +=+（其中i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是（）A.1- B.2C.3D.43.ABC △中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，()()3a b c a c b ac +++-=，sin 2sin cos B A C =，那么ABC △是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（）A.3πϕ=B.6πϕ=C.3πϕ=-D.6πϕ=-5.ABC △的斜二测画法的直观图为A B C '''△，4A B ''=，3B C ''=，6A B C π'''∠=，则ABC △的面积为（）A.3B. C. D.6.ABC △中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则tan C =（）A.22B.33C.1D.7.在ABC △中，2AB AC ==，BC =，D 为BC 的中点，将ACD △绕AD 旋转至APD ，使得BP =P ABD -的外接球表面积为（）A.823 B.556C.7πD.8π8.在ABC △中，AD 为BC 上的中线，G 为ABC △的重心，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点，且M ，N ，G 三点共线，若AM AB λ= ，AN AC μ=，则4λμ+的最小值为（）A.32 B.3 C.2 D.94二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如下图，点A ，B ，C ，P ，Q 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足PQ ∥平面ABC 的有（）A.B.C.D.10.下列各式中，值是12的是（）A.cos cos sin sin 33x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin50-︒-︒11.已知34,55OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将OP绕坐标原点O 分别旋转60-︒，60°，120°到1OP ，2OP ，3OP 的位置，则（）A.点1P 的坐标为334433,1010⎛+ ⎝⎭B.12PP PP =C.123OP OP OP OP ⋅=⋅ D.132OP OP OP OP ⋅<⋅12.欧拉公式i ecos isin θθθ=+（其中e 2.718=⋅⋅⋅，i 为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）A.321i eπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= B.2i i e i e πθθ⎛⎫⎪⎝⎭=⋅C.()i i i e ee θαθα--= D.()2cos sin x i i i e e eθαθθαα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()20232i iz -=（i 为虚数单位），则z =______.14.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______.15.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若23A π=，7a =，3b =，则角A 的角平分线AD =______.16.已知()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002023f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知复数()()212i z m m m m R =-++-∈，且i z ⋅为纯虚数.（1）求实数m ；（2）若z ω=，2i ωω-=，求复数ω.18.（本小题满分12分）已知向量a ，b满足1a = ，(b = （1）若23a b += ，求23a b -的值；（2）若()0a a b ⋅-=，求a 在b 上的投影向量的坐标.19.（本小题满分12分）如图所示，BD 为平面四边形ABCD 的对角线，设2AB =，sin ABD ADB ∠=∠，BCD△为等边三角形，记()0BAD θθπ∠=<<.（1）当BD =时，求ABD △的面积；（2）设S 为四边形ABCD 的面积，用含有θ的关系式表示S ，并求S 的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ=+><⎛⎫⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定；条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()00f =；条件③：()f x 图象的一条对称轴为3x π=.（1）求()f x 的解析式；（2）存在,33x ππ⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦使得不等式cos 36x x m ππω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+-<成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中2AB =，4PA =，2PM MB =，N 、E 、F 分别为PD 、BC 、CD中点.（1）求证：EF ∥平面PMN ；（2）三棱锥N MCD -的体积.22.（本小题满分12分）已知ABC △中，2AB =，3AC =，13BP BC =，Q 是边AB （含端点）上的动点.（1）若25AQ AB =，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB ，AC 表示AO ；（2）若点Q 使得AP CO ⊥，求cos BAC ∠的取值范围及AQC S △的最大值.答案解析9.AD10.ACD BCCB 9.AD10.ACD10.ACD11.BCD12.ABD13.12i 55-15.15816.1404617.解：（1）∵()()2i 21i z m m m ⋅=-+-+-为纯虚数22010m m m +-=-≠⎧⎨⎩，∴2m =-（5分）（2）由（1）有3z =-，∴3ω=（6分）令()i ,a b a b R ω=+∈，∴2i 2ib ωω-==∴22922a b b +==⎧⎨⎩∴1a b =±=⎧⎪⎨⎪⎩（8分）∴iω=±（10分）18.解：（1）2b =（1分）2222444179a b a a b b a b +=+⋅+=⋅+= ，∴2a b ⋅=-（3分）∴238a b -= （6分）（2）()210a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅= ∴1a b ⋅= （8分）∴1cos ,2a b a a b b⋅==（10分）∴113244b b ⎛= ⎝⎭，∴投影向量坐标为13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭（12分）19.解：（1）在ABD △中，sin sin AD ABDAB ADB∠==∠AD ==（2分）∴3cos 2θ==-（3分）又∵0θπ<<∴1sin 2θ=∴11222ABD S =⨯⨯=△（5分）（2）在ABD △中，2cosθ=∵216BD θ=-（7分）∴21132222S BD θ=⨯⨯+⨯⨯6cos θθ=-+3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（10分）∵0θπ<<，∴2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴当32ππθ-=即56πθ=时，max S =（12分）20.解：（1）选①③（1分）∵22T ππω==∴1ω=（2分）∴()()cos 2f x x ϕ=+又∵3x π=为对称轴，∴23k πϕπ+=而2πϕ<∴3πϕ=∴()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（6分）（2）令cos 36y f x x ππω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos 166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8分）令()cos 016t x t π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭∴221y t t =+-在[]0,1上单增∴当0t =时，min 1y =-（11分）∴1m >-（12分）21.解：（1）证明：连接BD∵四边形ABCD 为正方形，E ，F 为BC ，CD 的中点∴EF BD∥（1分）又B ，D ，N ，P ，M 五点共面，EF ⊄平面PMN ，BD ⊂平面PMN （3分）∴EF ∥平面PMN （4分）（2）12233N ABCDV -=⨯⨯⨯=（6分）1121112142233369N MCD M CDN M PCD B PCD B PCD P BCD P ABCD V V V V V V V -------===⨯⨯====2149N MCD V -=（12分）22解：∵13BP BC=∴2133AP AB AC =+ （1分）又∵A 、O 、P 三点共线，令233AO AP AB AC λλλ==+，∵52AB AQ = ∴533AO AQ AC λλ=+ ，而C 、O 、Q 三点共线，∴5133λλ+=∴12λ=∴1136AO AB AC =+ （4分）（2）可得1233AP AC AB =+ ，又因为CQ AQ AC ==，设()01AQ AB t =≤≤ ，则CQ t AB AC =- ，由AP CQ ⊥ ，可得0AP CQ ⋅= .即()12033AC AB AB AC t ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，（6分）所以2212203333t AC AB AC t AB AC AB ⋅-+-⋅=，即286cos 3033t BAC t -⨯∠-+=.整理得()()()()8873247333cos 2222362t t BAC t t t ----∠===-----（8分）因为[]0,1t ∈，()47362y t =---在[]0,1上单调递增，故()4731cos ,36246BAC t ⎡⎤∠=--∈--⎢⎥-⎣⎦（10分）又因为1sin 332AQC ABCS tS tAB AC BAC t t ==⨯⨯=△△可知AQC S △是关于t 的函数在[]0,1上单调递增，所以当1t =时，AQC S △最大值为352.（12分）。
河南省漯河市2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
A.1
B. 1
C.4
D. 4
9．若 A 、 B 是全集 I 真子集，则下列四个命题① A B A ；② A B A ；③ ACI B ；④ A B I 中
与命题 A B 等价的有
的 A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
10．设 x＞0 ， 0＜bx＜ax＜1，则正实数 a ， b 的大小关系为
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．下列函数中，既是奇函数又在区间 , 0 上单调递增的是（ ）
A. f x cosx
B. f x sinx
C. f x tanx
D. f x x3 x1
2． cos660
A.
1 2
B. 3 2
C. 3 2
D. 1 2
3．已知点 A2, 3, B3, 2，直线 l : mx y m 1 0 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
①函数 f x x2 2 a x 4 在定义域b 1,b 1 上为偶函数；
②函数 f x ax b,a 1 在1,2 上的值域为2, 4 ；
18．解答题
（1） lg12.5 lg 5 lg 0.5 ； 8
（2）lg20+log10025
19．（1）求函数
y
tan
3x
6
的单调递增区间；
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行
四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向
量是和）.
9、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论
2023-2024学年山东省济南市高一上学期开学考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南市高一上学期开学考试数学质量检测模拟试题A ．c b-<B ．a c >-A ．．C ．．“260x x -->”是“xA ．当3x >时，12y y <C ．当03x <<时，12y y >8．已知集合{}31A x x x =-或，B =a 的取值范围是A ．34a <<B ．34a ≤<16．在《数书九章》CD 表示竹竿顶端到地面的高度，A 、C 、E 在一条水平直线上．已知远眺塔顶B ，视线恰好经过竹竿的顶端四、解答题（本题共6小题，共17．（1）()1013π12-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭（2）化简：222141x x x x -⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭18．解下列不等式：(2)根据频数分布表分别计算有关统计量：统计量中位数众数平均数方差七年级33x 1.48八年级m n 3.3 1.01由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，朝上一面的点数之和为7的结果有6种，则投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为61366 P==，∵CD AB ∥，即∥DC BA ，∴FDH △∽FBQ ，∴DH FHBQ FQ=∴10 5.630QB=，解得16.8QB =（米）∴ 1.416.818.2AB AQ QB =+=+=18.2（2）将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，位数，2101325++=，210132146+++=即第25个数和第26个数分别是3和∴中位数34 3.52m+==，∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数。
2023-2024学年湖北省武汉市高一上学期期中模拟考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省武汉市高一上册期中模拟考试数学试题一、单选题1．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（）A ．()1f x x=-B ．()f x =C ．()f x x=D ．()3f x x =+【正确答案】A【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可.【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()()11f x f x x x-=-==--，所以函数是奇函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2121211211()()x xf x f x x x x x --=-+=，因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，所以A 正确，对于B ，因为定义域为{}0x x ≥，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以B 错误，对于C ，因为定义域为R ，因为()()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以C 错误，对于D ，因为定义域为R ，因为()3()()f x x f x f x -=-+≠≠-，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以D 错误，故选：A2．已知集合2{|2}A x y x ==+，3{|0}1x B x x -=≤-，则A B = （）A ．{23}xx ≤≤∣B ．{13}x x <≤∣C ．{13}x x ≤≤∣D ．{23}xx <≤∣【正确答案】B【分析】分别求出集合A 和B ，再根据交集的运算即可求解A B ⋂.【详解】∵集合2{|2}A x y x ==+，3{|0}1x B x x -=≤-∴A R =，{}13B x x =<≤∴{}13A B x x ⋂=<≤故选：B.3．设命题{}2:1,21p n n n n n ∃∈>>-，则p ⌝是（）A ．{}21,21n n n n n ∀∉>≤-B ．{}21,21n n n n n ∀∈>≤-C ．{}21,21n n n n n ∃∈≤>-D ．{}21,21n n n n n ∃∈>≤-【正确答案】B【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.【详解】解：命题{}2:1,21p n n n n n ∃∈>>-，则p ⌝是.{}21,21n n n n n ∀∈>≤-故选：B.4．已知不等式20ax bx c ++>解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．0b <【正确答案】C【分析】根据不等式20ax bx c ++>解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，得方程20ax bx c ++=的解为12x =-或2，且a<0，利用韦达定理即可将,b c 用a 表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以方程20ax bx c ++=的解为12x =-或2，且a<0，所以3,12b c a a-==-，所以3,2b a c a =-=-，所以0,0b c >>，故ABD 错误；33022a b c a a a a ++=--=->，故C 正确.故选：C.5．直角梯形OABC 中，//AB OC ，1AB =，2OC BC ==，直线l ：x t =截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数()S f t =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据直线l 的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．【详解】由题意可知：当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时，()()11212212f t t t =⨯⨯+-⋅=-；所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩．结合不同段上的函数的性质，可知选项C 符合．故选：C ．6．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[][]1,01,3-B ．[][]3,10,1-- C ．[]1,3-D ．[][)1,13,-+∞ 【正确答案】A【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：A.7．已知函数()f x x =，()()2252g x x mx m m =-+-∈R ，对于任意的[]12,2x ∈-，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞C ．(][),14,-∞+∞ D ．(][),13,-∞+∞ 【正确答案】C【分析】求得()f x 在区间[]22-,上的值域，根据()f x 的最小值求得m 的取值范围.【详解】())213f x x =-+=--+，024,111x ≤+≤--≤，)[]210,1∈，)[]2132,3--+∈.即()f x 在区间[]22-,上的值域为[]2,3.()()2225252g x x m m m m m =--+-≥-+-，所以22522,540m m m m -+-≤-+≥，解得1m £或4m ≥，所以m 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故选：C8．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足211212()()0x f x x f x x x ->-12()x x ≠，且(2)8f =，则不等式()40f x x ->的解集为（）A ．()2,∞+B ．()0,2C ．()0,4D ．()4,+∞【正确答案】A【分析】转化122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--，构造函数()()f x g x x =可知在()0,∞+上递增，又(2)8(2)4f g =⇔=，故()40()(2)f x x g x g ->⇔>，结合单调性即得解【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：211212()()0x f x x f x x x ->-，又21121212211222121121()()()()]()()000[f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x x x x x x --->⇔>⇔>---所以()()f xg x x=在()0,∞+上递增由(2)8f =，可得(2)4g =故()()4040()(2)f x f x x g x g x->⇔->⇔>结合单调性，()(2)2g x g x >⇔>故不等式()40f x x ->的解集为()2,∞+故选：A 二、多选题9．下列命题中是假命题的是（）A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使210x x +-<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x +->”C ．满足{}{},,a P a b c ⊆Ü的集合P 的个数是3个D ．关于x 的不等式240ax ax ++<的解集为∅，则实数a 的取值范围是()0,16【正确答案】BD【分析】结合充分、必要条件，存在量词命题的否定，子集、真子集，不等式等知识对选项进行分析，由此确定正确结论.【详解】A ，21x >()(),11,x ⇔∈-∞-⋃+∞，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，A 为真命题.B ，命题“x ∃∈R ，使210x x +-<”的否定是：“x ∀∈R ，210x x +-≥”，B 为假命题.C ，由于{}{},,a P a b c ⊆Ü，所以集合P 可能为{}{}{},,,,,,a b a c a b c ，共有3个，C 为真命题.D ，0a =时，关于x 的不等式240ax ax ++<的解集为∅，D 为假命题.故选：BD10．下列运用基本不等式求最值，正确的有（）A ．若0xy ≠，则2y x x y +≥=B ．因为222y =≥，所以2min 2⎛⎫=⎪⎭C ．12x x+≥（x ∈R 且0x ≠）D ．若0x <，0y <，则12xy xy+≥【正确答案】CD【分析】根据基本不等式成立的条件逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ：因为0xy ≠，当>0y x 时，2y x x y +≥=，而当0yx <时，2y x y x x y x y ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫+=--+≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 不正确；对于B ：222y =≥=241x +=，而此等式不成立，故B 不正确；对于C ：因为x ∈R 且0x ≠，又1x x ，同号，所以112x x x x+=+≥=，当且仅当1x x =，即1x =±时，取等号，故C 正确；对于D ：因为0x <，0y <，所以1>0>0xy xy ，，所以12xy xy +≥=，当且仅当1xy xy =，即1xy =（1-舍去）时取等号，故D 正确，故选：CD.11．下列说法正确的序号是（）A ．偶函数()f x 的定义域为[21,]a a -，则13a =B ．设2{|3100},{|1}A x x x B x ax =+-===，若A B A ⋃=，则实数a 的值为12或15-C ．奇函数()f x 在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则2(4)(2)15f f -+-=-D ．若集合2{|420}A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-【正确答案】AC【分析】根据偶函数定义域关于原点对称可得21a a -=-，进而可判断选项A ；根据集合之间的关系可得B A ⊆，对集合B 的取值分类讨论，即可判断选项B ；根据奇函数的定义与单调性可得(2)1(4)8f f -=-=-，，计算进而可判断选项C ；对a 的取值分为a =0和0a ≠两种情况讨论，求出对应的范围，即可判断选项D.【详解】A ：因为函数()f x 为偶函数，所以它的定义域关于原点对称，有1213a a a -=-⇒=，故A 正确；B ：{52}A =-，，由A B A ⋃=得B A ⊆，当B ∅=时，a =0；当={-5}B 时，15a =-；当{2}B =时，12a =；所以a 的取值为0，12，15-，故B 错误；C ：由()f x 为奇函数，(2)1(4)8f f =-=，，得(2)(2)1(4)(4)8f f f f -=-=-=-=-，，所以4(4)(2)16115f f -+-=-+=-，故C 正确；D ：由A 中至多有一个元素，得当a =0时，1{}2A =-，符合题意；当0a ≠时，116802a a ∆=+≤⇒≤-，所以a 的取值为12a ≤-或a =0，故D 错误.故选：AC12．定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈[1，2]时，f (x )<0且f (x )为增函数，下列四个结论其中正确的结论是（）A ．当x ∈[-2，-1]时，有f （x ）<0B ．f （x ）在[-2，-1]上单调递增C ．f （-x ）在[-2，-1]上单调递减D ．()f x 在[-2，-1]上单调递减【正确答案】AC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数的符号及增减性，即可得到结果.【详解】解：A 偶函数的图象关于y 轴对称，[1x ∈，2]时，()0f x <，所以当[2x ∈-，1]-时，有()0f x <，故A 正确；B 偶函数的图象关于y 轴对称，[1x ∈，2]时，()f x 为增函数，所以()f x 在[2-，1]-上单调递减，故B 错误；C 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=．由B 知()f x 在[2-，1]-上单调递减，故C 正确；D |()|f x 的图象是将()f x 下方的图象，翻折到x 轴上方，由于()f x 在[2-，1]-上单调递减，所以|()|f x 在[2-，1]-上单调递增，故D 错误.综上可知，正确的结论是AC 故选：AC ．三、填空题13．命题“1x ∀>，210x x +-≥”的否定是___________.【正确答案】01x ∃>，20010x x +-<【分析】根据含量词的命题的否定规律求命题“1x ∀>，210x x +-≥”的否定.【详解】命题“1x ∀>，210x x +-≥”的否定是“01x ∃>，20010x x +-<”，故01x ∃>，20010x x +-<.14．已知函数21,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩，若()10f x =-，则x =__________.【正确答案】3-【分析】分0x ≥，0x <两种情况，根据分段函数代入求解()10f x =-，即可【详解】由题意，当0x ≥时，()10f x =-，即110,11x x +=-∴=-（舍去）；当0x <时，()10f x =-，即221109x x --=-∴=，即3x =±（舍正）.综上.3x =-故答案为.3-15．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上的减函数，若(3)(21)f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】115a -≤≤【分析】利用函数()f x 为偶函数，可得(3)(21)(|3|)(|21|)f a f a f a f a ≥-⇔≥-，且()f x 在[0,)+∞上的减函数，可得|3||21|a a ≤-，求解即可【详解】由题意，函数()f x 为定义在R 上的偶函数故(3)(21)(|3|)(|21|)f a f a f a f a ≥-⇔≥-由于|3|,|21|[0,)a a -∈+∞，且()f x 在[0,)+∞上的减函数故|3||21|a a ≤-即2229(21)5410(51)(1)0a a a a a a ≤-⇔+-≤⇔-+≤解得115a -≤≤故115a -≤≤16．若0a >，0b >，45ab a b =++，则ab 的取值范围是___________.【正确答案】[)25,+∞##{}25x x ≥【分析】根据题意，由基本不等式可得455ab a b =++≥，当且仅当4a b =时取等号，整理可得50ab -≥，解不等式即可得解.【详解】由0a >，0b >，可得455ab a b =++≥，当且仅当4a b =时取等号，整理可得50ab -≥，可得1)0-+≥，5≥1≤-（舍），所以25ab ≥，ab 的取值范围是[)25,+∞，故答案为.[)25,+∞四、解答题17．已知集合211,1x A xx R x -⎧⎫=<∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}11,B x x a x R =-≤-≤∈.（1）求集合A ；（2）若()R B A B ⋂=ð，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）()1,2A =-；（2）(][),23,-∞-+∞ 【分析】(1)解分式不等式2111x x -<+即可得出集合A ；(2)求出集合A 的补集以及集合B ，根据R B A B ⋂=ð得出集合B 是集合R A ð的子集，由包含关系列出不等式，即可求出a 的范围.【详解】（1）由2111x x -<+，得20121x x x -<⇒-<<+，∴()1,2A =-.（2）[)(,1]2,R A =-∞-⋃+∞ð因为11x a -≤-≤，所以11a x a -≤≤+，即[]1,1B a a =-+，由R B A B ⋂=ð，得R B A ⊆ð，所以11a ≤-+或12a -≥所以a 的范围为(][),23,-∞-+∞ .18．设函数y =A ，集合{}11B x a x a =-<<+．（1）若全集{}5U x x =≤，2a =，求U A B ð；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求a 的取值范围．【正确答案】（1）{|31x x -<≤-或34}x ≤≤；（2）{}3a a ≤．【分析】（1）求出集合A ，B ，进而可得U A B ð；（2）根据条件可得B A ⊆，分B =∅，B ≠∅讨论，列不等式求解即可.【详解】解：（1）要使函数y 4030x x -≥⎧⎨+>⎩，即34x -<£，所以函数的定义域为{}|34x x -<£．所以集合{}|34x x A =-<£．又2a =，∴{}{}1113B x a x a x x =-<<+=-<<，因为全集{}5U x x =≤，∴{1U B x x =≤-ð或35}x ≤≤{|31U A B x x ∴=-<≤- ð或34}x ≤≤；（2）由（1）得{}|34x x A =-<£，若x B ∈是x A ∈的充分条件，即B A ⊆，①当B =∅时，B A ⊆，即11a a -≥+，∴0a ≤，②当B ≠∅时，B A ⊆，11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩，综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤．19．已知函数()11cx f x x -=+（c 为常数），若1为函数()f x 的零点.(1)求c 的值；(2)证明函数()f x 在[]0,2上是单调增函数；【正确答案】(1)1c =(2)证明见解析【分析】（1）根据零点定义，可知()10f =，即可求c ；（2）根据函数单调性的定义，即可证明.【详解】（1）因为1为函数()f x 的零点，所以()1102c f -==，即1c =；（2）证明：设1202x x ≤<≤，则()()()()()21212121212111111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，因为1202x x ≤<≤，所以21210,10,10x x x x ->+>+>，所以()()21f x f x >，即函数()f x 在[]0,2上是单调增函数.20．已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产x 万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为()R x 万元，且已知()24006,040740040000,40x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩(1)求利润W （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式：(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.【正确答案】(1)2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；(2)当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.【详解】（1）由题得利润等于收入减去成本.当040x <≤时，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，()()400001640167360W xR x x x x=-+=--+.2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪∴=⎨--+>⎪⎩（2）当040x <≤时，226384406(32)6104,32W x x x x =-+-=--+∴=时，()max 326104W W ==；当40x >时，400001673607360W x x =--+≤-+，当且仅当4000016x x=，即50x =时，()max 505760W W ==，61045760> 32x ∴=时，W 的最大值为6104万元，即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.21．已知函数()2()1f x x a x a =-+-+，其中a R ∈.（1）若函数()f x 为偶函数，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值；（3）当a<0时，设函数()g x 满足①()()g x f x =，[)1,3x ∀∈，②()2()2g x g x +=+，x ∀∈R ，求()g x 在区间[)5,3--上的值域.【正确答案】（1）1（2）答案见解析（3）(]418,28a a --【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据恒等式求解；（2）根据二次函数的对称轴与自变量的区间分三种情况分类讨论，利用二次函数求最值；（3）根据所给递推关系求出函数()g x 在[)5,3--上的解析式后，根据二次函数求值域即可.【详解】（1）由()2()1f x x a x a =-+-+为偶函数，则22()(1)()(1)f x x a x a f x x a x a -=---+==-+-+，所以(1)(1)a a --=-，即1a =.（2）由函数()2()1f x x a x a =-+-+知，对称轴方程为12a x -=，当112a -<，即3a <时，()f x 在[1,3]上单调递减，所以当1x =时，max ()(1)22f x f a ==-.当1132a -≤≤时，即37a ≤≤时，2max 1(1)()(24a a f x f -+==,当132a -<时，即7a <时，()f x 在[1,3]上单调递增，所以3x =时，max ()(3)412f x f a ==-,综上，2max 22,3(1)(),374412,7a a a f x a a a -<⎧⎪+⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩.（3）设[5,3)x ∈--，则6[1,3)x +∈，由()2()2g x g x +=+知，所以()(2)2(4)4(6)6g x g x g x g x =+-=+-=+-，因为()()g x f x =，[)1,3x ∀∈，所以22()(6)6(6)(1)(6)6(13)748g x f x x a x a x a x a =+-=-++-++-=-+-+-，因为对称轴为1352a x -=<-，所以()g x 在[5,3)--上单调递减，故当5x =-时，max ()(5)28g x g a =-=-，()(3)418g x g a >-=-，所以()g x 在区间[)5,3--上的值域为(418,28]a a --.22．已知函数()y f x =()x R ∈是偶函数．当0x ≥时，2()2f x x x =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[],2a a +上单调，求实数a 的取值范围；（3）设()()1g x f x =-+，求()g x 在区间[],2a a +上的最大值，其中1a >-．【正确答案】（1）2232,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩；（2）{3a a ≤-或1}a ≥；（3）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）设0x <，则0x ->，求得2()2-=+f x x x ，结合函数为偶函数，即可求解；（2）由（1）及二次函数图象与性质，得到[],2(,1]a a +⊆-∞-或[],2[1,)a a +⊆+∞，即可求解；（3）由（1）可知，函数2212,0()12,0x x x g x x x x ⎧--<=⎨-+≥⎩，结合二次函数的图象与性质，分10a -<≤、01a <≤和1a >三种情况讨论，即可求解.【详解】（1）设0x <，则0x ->，可得22()()2()2f x x x x x -=---=+，又由()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以当0x <时，2()2f x x x =+，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩.（2）由（1）及二次函数，可得()f x 的增区间为[1,)+∞，[]1,0-，减区间是(,1]-∞-，[]0,1，又函数()f x 在区间[],2a a +上具有单调性，且22a a +-=，所以[],2(,1]a a +⊆-∞-或[],2[1,)a a +⊆+∞，即21a +≤-或1a ≥，解得3a ≤-或1a ≥，故实数a 的取值范围是{3a a ≤-或1}a ≥．（3）由（1）可知，函数2212,0()12,0x x x g x x x x ⎧--<=⎨-+≥⎩，由于1a >-，当10a -<≤时，122a <+≤，作出()g x 在[],2a a +上的草图，如图所示，由图象可知，max min ()(1)2,()(0)1g x g g x g ====；当01a <≤时，223a <+≤，作出()g x 在[],2a a +上的草图，如图所示：由图像可知，2max min ()(1)2,()(2)21g x g g x g a a a ===+=--+；当1a >时，23a +>，作出()g x 在[],2a a +上的草图，如图所示，由图像可知，22max min ()()12,()(2)21g x g a a a g x g a a a ==-+=+=--+；综上所述：函数()g x 在区间[],2a a +上的最大值为22,11()21,1a M a a a a -<≤⎧=⎨-++>⎩.。
高一数学模拟试卷带答案解析
高一数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）2.中，若，，，则的面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．或3.设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ ）A ．0．5B ．C ．1．5D ．4.（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）． A ．e 1＝（0，0），e 2＝（1，－2） B ．e 1＝（－1，2），e2＝（5，7） C ．e 1＝（3，5），e 2＝（6，10） D ．e 1＝（2，－3），e 2＝6.在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，则＋等于( ) A ．B．C．D．7.在中，，则此三角形解的情况是（）A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解8.sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A． B． C． D．9.如图１所示，空心圆柱体的正视图是（）10.已知函数若则实数a范围是（）A．B．C．D．11.（2014•河南二模）从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097 B．2112 C．2012 D．209012.已知角是的一个内角，且，则的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断的形状13.已知是函数的一个零点，若，，则有（）A．，B．，C．，D．，14.在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为（）A ．B ．C ．D ． 15.已知，则等于（ ）．A ．B ．C ．D ．16.奇函数在区间上是减函数，且有最小值，那么在区间为（ ） A ．增函数且最小值为 B ．增函数且最大值为 C ．减函数且最小值为 D ．减函数且最大值为17.设函数f （x ）在点x 0可导，则=（ ）A ．f′（x 0）B ．f′（x 0）C ．2f′（x 0）D ．不存在18.直线l 的方向向量=（1，﹣3，5），平面α的法向量=（﹣1，3，﹣5），则有（ ）A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α斜交D ．l ⊂α或l ∥α 19.设，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．20.往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.80元，超过20克不超过40克付邮费1.60元，依次类推，每增加20克，增加付费0.80元，如果某人寄出一封质量为72克的信，则他应付邮费（ ）A ．3.20元B ．2.90元C ．2.80元D ．2.40元二、填空题21.已知直线1：x ＋y ＋6＝0和2：(－2)x ＋3y ＋2＝0，则1∥2的充要条件是＝________. 22.（2013•上海）已知，，则y= ．23. 用1，2，3，5，8任意组成没有重复的五位数，则所得数字是奇数的概率是 . 24.设函数，则函数的零点为25.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP=3，则=26.（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC=4，DE=2，DF=1，则AB 的长为 ．27.，且是第二象限角，则是第 象限角.28.关于函数f(x)＝4sin(2x ＋), (x ∈R)有下列命题： ①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －)； ③y ＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－对称；其中正确的序号为 。
2024-2025学年度第一学期高一期中模拟试题数学(集合～指数函数)(A3版)
2024-2025学年度第一学期高一期中模拟试题数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合 1,A a ， 2,1B a ，若A B ，则a （）A ．-1B ．1C ．0D ．22．函数1()31f x x x的定义域为（）A ．[3,)B ．(,1)(1,3]C ．(1,)D ．[3,1)(1,)3．已知命题0:p x R ， 200110x a x ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．13a <£B ．13a C ．13a D ．02a 4．“1a ”是“函数 xf x a a （0a 且1a ）的图象经过第三象限”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2()(2)e x f x x x 的图象大致是（）A ．B．C ．D ．6．已知函数()f x 满足(1)(3)f x f x ，且()f x 在 0,2上是增函数，则(1)f ，5()2f ，7()2f 的大小顺序是（）A ．57(1)()(22f f f B ．75((1)()22f f f C ．57(()(1)22f f f D ．75(()(1)22f f f 7．已知定义在R 上的偶函数 12f x x m ，若正实数a 、b 满足 2f a f b m ，则12a b的最小值为（）A ．95B ．9C ．85D ．88．已知函数 f x 是三次函数且幂函数， 122x xf xg x，则2023202220210202120222023g g g g g g g （）A ．4047B ．8092C ．8094D ．9086二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在下列四个命题中，正确的是（）A ．若22ac bc ，则a bB ．若0,0,||||a b c d b c ，则22()()b c a da cb dC ．已知14,23a b a b ，则9193222a b D ．,,a b c 为互不相等的正数，且222a b bc ，则2ac b ab bc10．已知函数 22,02,0x x x f x x m x，则下列结论正确的是（）A ．若 11f f ，则3mB ． f x 存在最小值，则1mC ． f x 的单调递减区间为,1 D ．若 22f f ，则6m 11．已知 f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意,x y R 都满足 f xy xf y yf x ，则下列说法正确的是（）A ．�1=0B ． f x 是奇函数C ．若 22f ，则1122fD ．若当1x 时， 0f x ，则 f x g x x在0,+∞单调递减第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知幂函数 f x 满足432f f ，则18f.13．甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店.14．已知函数2,0()2,0x x x f x x x，若关于x 的不等式 2()(1)()0f x m f x m 恰有两个整数解，则实数m 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）已知52m ，53n ，求3225m n 的值；（2）化简：21121133333321436a b a b a b .16．已知函数2(),(2,2)4xf x x x．(1)用定义法证明()f x 是减函数；(2)解关于t 的不等式(2)(34)0f t f t ．17．某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：253,02()50,251x x W x x x x，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）(1)写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?18．已知a 为实数，函数 2f x x ，g x x a ．(1)设 k x f x g x ， 1,1x a a ，若函数 k x 的最大值等于2，求a 的值；(2)若对任意 11,2x ，都存在 01,3x ，使得 10g x f x ，求a 的取值范围；(3)设 1h x f x g x ，求 h x 的最小值．19．已知函数 f x 的图象可由函数12x y a （0a 且1a ）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且 216f .(1)求a 的值；(2)若函数2f x g x f x，证明： 11g x g x ；(3)若函数 1y f x m 与 2y f x m 在区间 1,2上都是单调的，且单调性相同，求实数m 的取值范围.。
高一数学模拟试卷带答案解析
高一数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知幂函数的图象过点，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 3.等比数列中，，则等于--------------------------------（ ）A ．B ．C ．D ．4.的定义域是（ ） A ． B ． C ． D ．5.，、，，，则有（ ）A ．B ．C ．、共面D ．、异面，所成角不确定 6.过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7.扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ） A ．B ．C ．16D ．328.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A． B． C． D．9.下列函数中，在区间（0，＋）上是增函数的是A．y＝－x B．y＝ x－2 C．y＝ D．y＝log10.设集合，，函数若且，则的取值范围是__________．11.定义在区间上的奇函数为增函数；偶函数在上的图象与的图象重合．设，给出下列不等式：①②③④其中成立的是 ( )A．①④ B．②④ C．①③ D．②③12.用表示三个数中的最小值，设（x0），则的最大值为（）A．7 B．5 C．6 D．413.已知正实数，满足，若且的最小值为3，则（）A．2 B．4 C．3 D．14.若向量a、b满足a+b=(2，-1)，a=(1，2)，则向量a与b的夹角等于A．45° B．60° C．120° D．135°15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f(x＋a)的定义域为() A．[2a，a＋b]B．[0，b－a]C．[a，b]D．无法确定16.设函数（且），若，则（）A．B．C．D．17.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知则的面积为（）A ．B ．C ．D ．18.函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．19.下列命题正确的有（ ） (1）很小的实数可以构成集合； (2）集合与集合是同一个集合；(3）这些数组成的集合有个元素；(4）集合是指第二和第四象限内的点集。
江西省吉安市吉安县第三中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析
江西省吉安市吉安县第三中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ） A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里2．为了得到函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin2y x =图象上所有的点（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 3．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．2534．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．305．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>6．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-7．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度8．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是（ ）A ．4B ．8C ．D ．9．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP面积的最小值是 A ．112B ．6C ．8D ．21210．已知直线1l ：10x ay +-=，2l ：(1)0a x ay +-=，若p ：12l l //；:2q a =-，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年河北省石家庄市高一上学期期末数学模拟试题(含答案)
2023-2024学年河北省石家庄市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x R x =∈<，{}12B x R x =∈-<，则A B = （）A ．()0,3B ．()1,3-C ．()0,4D ．(),3-∞【正确答案】A解不等式确定集合,A B 后，由交集定义计算．【详解】由题意得：{}04A x R x =∈<<，{}13B x R x =∈-<<，即{}03A B x x ⋂=<<，故选：A.本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．2．“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =故必要性不成立因此“1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A3．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0.5,1)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．4．已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A B ．10C ．10-D ．10-【正确答案】C【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】α为锐角，故ππ2π663α<+<，而4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又πππππsin sinsin cos 1264266αααα⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦15==故选：C.5．函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是（）A ．B ．C ．D．【正确答案】C【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．【详解】当0x >时，()x f x a =，因为1a >，所以函数()x f x a =单调递增，当0x <时，()x f x a =-，因为1a >，所以函数()x f x a =-单调递减．故选：C ．6．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()20222023f f +的值为（）A ．2B ．1C ．－1D ．－2【正确答案】D【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．【详解】由()1f x +为偶函数，∴()()11f x f x +=-+，令1x t +=，则12x t -+=-，即()()2f t f t =-，因为()f x 为奇函数，有()()f t f t =--，所以()()2f t f t -=--，令x t =-，得()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，奇函数()f x 中，已知()12f =，()00f =，则()()()()()()()()20222023505425064121012f f f f f f f f +=⨯++⨯-=+-=--=-．故选：D ．7．已知0.450.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，确定12a <，1b >，10.8c >>，得到大小关系.【详解】51log 2log 2a =<，0.70.70.11log 0.1log 0.71log 0.7b ==>=，00.40.50.518.07.06040.7.70.c >=>>==，故b c a >>.故选：A8．已知函数())ln 1f x x =+，正数,a b 满足()()222f a f b +-=，则222b a a ab b ++的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．5【正确答案】B【分析】先判断函数是单调递减函数，且有对称中心，找出,a b 之间的关系可求.【详解】因为()()))ln 1ln12f x f x x x +-=-+++=，故函数()f x 关于()0,1对称；又()f x 的定义域为R ，()))ln 1ln1ln1f x x x =+==-+，所以()f x 在R 上单调递减；因为(2)(2)2f a f b +-=，所以220a b +-=，即2 2.a b +=又0,0a b >>，故()2222 2.222b a b a b aa ab b a b a b a b+=+=+≥=++当且仅当42,55a b ==时，等号成立.故选：B.二、多选题9．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b >>”是“22a b >”的充要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件【正确答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件，A 正确；当0a b >>时，22a b >成立，而当22a b >时，有可能0a b <<，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件，B 错误；当3x =时，2230x x --=成立，而当2230x x --=时，3x =或=1x -，所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，C 正确；当1a >时，11a <成立，而当11a <时，有可能a<0，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC10．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递减B ．函数()y f x =图象关于19,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】AD【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可判断C 的正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】由图象可得2A =，且37ππ3π41264T =+=，故πT =即2ω=，而7ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈，故2π2π,3k k Z ϕ=-+∈，因为ϕπ<，故2π3ϕ=-，故()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，3π2ππ2232x -≤-≤-，而sin y t =在3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故A 正确.对于B ，1919π2π2sin 21263f π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1912x π=为函数图象的对称轴，故B 错误.对于C ，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位得到函数2π2π2sin 22sin 233y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象，故C 错误.对于D ，当2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2π2π22333x a ≤-≤-，因为函数的值域为⎡-⎣，故3π2π7π2233a ≤-≤，故13π3π122a ≤≤，故D 正确.故选：AD.11．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，我们把[]y x =，x ∈R 叫做取整函数，也称之为高斯（ G aussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”.早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich G aussian ）最先提及，因此而得名“高斯（ G aussian ）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费､ E XCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导､极限､定积分､级数等等各种问题之中.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（）A ．R x ∀∈，[]x x ⎡⎤=⎣⎦B ．,R ∃∈x y ，[][][]x y x y -<-C ．,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<D ．N n +∃∈，[][][]lg 2lg 3lg 93n +++= 【正确答案】BC【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：不妨取0.2x =-，则[]0.20x ⎡⎤==⎣⎦，而[]11x =-=，故A 错误；对B ：不妨取3, 1.2x y ==，则[][]1.81x y -==，而[][]312x y -=-=，满足[][][]x y x y -<-，故B 正确；对C ：因为[][]x y =，故可得,x y 同号；当0x y ==时，01x y -=<，满足题意；当,x y 同为正数或负数时，设,x a b y c d =+=+，其中,a c 和,b d 分别为,x y 的整数部分和小数部分，因为[][]x y =，则a c =，故x y b d -=-，又,b d 同为小数，且符号相同，故1b d -<，即1x y -<，则,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<，故C 正确；对D ：令[]lg ,2,N y x x x +=≥∈，当210,N x x +≤<∈时，[]lg 0x =；当10100,N x x +≤<∈时，[]lg 1x =；当1001000,N x x +≤<∈时，[]lg 2x =；L当11010,N n n x x -+≤<∈时，[]lg 1x n =-.则当10100n ≤<时，[][][]lg 2lg3lg n +++ [][][][][][]lg 2lg3lg9lg10lg11lg 9n n =+++++++=- ；又9,10100,N y n n n +=-≤<∈为单调增函数，故99n =时，取得最大值90；当1001000n ≤<时，[][][]lg 2lg3lg n +++ [][][][][][]()lg 2lg3lg99lg100lg101lg 902992108n n n =++++++=+-=- ；不存在N n +∈使[][][]lg 2lg 3lg 93n +++= ,故D 错误.故选：BC.12．已知函数242()12,R f x x x x k k =--+-∈，则下列说法正确的是（）A ．R k ∃∈，使得函数()f x 有1个零点B ．R k ∃∈，使得函数()f x 有2个零点C ．R k ∃∈，使得函数()f x 有4个零点D ．R k ∃∈，使得函数()f x 有8个零点【正确答案】BCD【分析】设21x t -=，[)0,t ∈+∞，21k t t =-+，画出函数图像，讨论54k >，54k =，514k <<，1k =，1k <几种情况，计算得到答案.【详解】242()120f x x x x k =--+-=，即24212k x x x =--+，设21x t -=，[)0,t ∈+∞，则24221t x x =-+，21k t t =-+，设()2215124g t t t t ⎛⎫++=-- ⎪⎭=+-⎝，图像如图所示：当54k >时，21k t t =-+无解，此时函数没有零点；当54k =时，12t =，即2112x -=，方程有4个解，函数有4个零点；当514k <<时，方程有两解，设为12,t t 且121012t t <<<<，211x t -=有4个解，221x t -=有4个解，故函数共有8个零点；当1k =时，0=t 或1t =，当0=t 时，210x -=有2个解；当1t =时，211x -=有3个解，故函数有5个零点；当1k <时，方程有1个解1t >，此时21x t -=有2个解，函数有2个零点.综上所述：函数可能有0,2,4,5,8个零点.故选：BCD 三、填空题13．对任意实数0a >且1a ≠，函数31x y a -=+的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】15-##0.2-【分析】函数过定点()3,2P 得到2tan 3θ=，再利用和差公式计算得到答案.【详解】函数31x y a -=+的图象经过定点()3,2P ，点P 在角θ的终边上，故2tan 3θ=，21πtan 113tan 241tan 513θθθ--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+.故15-14．已知函数()()2ln 23f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为______.【正确答案】(]1,1-##（-1，1）【分析】先求定义域为()1,3-，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.【详解】因为2230x x -++>，解得：13x -<<，所以()()2ln 23f x x x =-++的定义域为()1,3-.令()222314t x x x =-++=--+，则ln y t =.要求()f x 的单调增区间，只需1x ≤.所以11x -<≤，所以()f x 的单调增区间为(]1,1-.故答案为.(]1,1-15．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_________.【正确答案】04a ≤≤【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a 的范围.【详解】由题意可知，“R x ∃∈，210ax ax -+<”的否定是真命题，即“R x ∀∈，210ax ax +≥-”是真命题，当0a =时，10≥，不等式显然成立，当0a ≠时，由二次函数的图像及性质可知，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，综上，实数a 的取值范围为04a ≤≤.故答案为.04a ≤≤16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【正确答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()()4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f =，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈，由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈，则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩,只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故()6,10四、解答题17．集合1121x A xx +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<.(1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈ ，求实数a 的值；(2)若()R A B ⋂=∅ð，求实数a 的取值范围【正确答案】(1)1；(2)5(0,2【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；（2）根据分式不等式的解法，结合补集和交集的性质进行求解即可.【详解】（1）因为()0B C ∈ ，所以0C ∈，且0B ∈，由0C ∈，可得2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.由0B ∈，所以2202040a a -⨯+-<得22a -<<；∴实数a 的值为1；（2）集合12110221212x x A xx x x x x +-⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭⎩⎭∣∣∣.集合{}22240{22}B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+∣∣.由()R A B ⋂=∅⇒ð12222a a ⎧-≤⎪⎨⎪+>⎩，解得502a <≤，所以实数a 的取值范围为5(0,]2.18．已知函数()2f x ax bx =-.(1)若()f x c ≥的解集为{}32x x -≤≤，求不等式20bx ax c ++≤的解集；(2)若0a >，0b >且()12f -=，20a b mab +-≥恒成立，求m 的最小值.【正确答案】(1){}23xx -≤≤∣(2)(132+【分析】（1）根据题中条件可知0<a ，根据解集可知二次方程20ax bx c --=的两根为123,2x x =-=，再根据韦达定理找到a 、b 、c 三者之间的关系，由此解出不等式.（2）根据题意可知a 、b 之间的关系，再将20a b mab +-≥分离参数，利用基本不等式即可求出答案.【详解】（1）由题设知0<a 且20ax bx c --=的两根为123,2x x =-=所以12121,6b c x x x x a a-+==-==-，可得：,6b a c a =-=2260bx ax c ax ax a ++=-++≤可化为：260x x --≤，解得：23x -≤≤，所以不等式20bx ax c ++≤的解集为{}23xx -≤≤∣（2）0,0a b >>且()122f a b -=⇒+=，20a b mab +-≥，则12m a b≤+恒成立，()(11212133222a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b =，2a b +=，即)214a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，“=”成立，(132m ∴≤+19．已知()π1πsin cos sin 23234f x x x x ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪⎝⎭+- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，关于x 的不等式1ππ22612a x f f x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+≥⎝有解，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)π5ππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)1a ≥【分析】（1）根据三角恒等变换得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再计算πππ2π22π232k x k -≤+≤+得到答案.（2）化简得到sin cos22a x x -≥，即2cos2sin x a x +≥有解，令1sin ,,12t x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据函数的单调性计算最小值得到范围.【详解】（1）()111cos sin sin2222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos21sin2sin2424x x x x +=++1πsin2sin 223x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈所以单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1sin cos222612ππaf x f x a x x ⎛⎫⎛⎫--+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x >，即2cos2sin xa x +≥有解，只需要min2cos2sin x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可，22cos232sin 32sin sin sin sin x x x x x x +-==-，令13sin ,,1,22t x t y t t ⎡⎤=∈=-⎢⎥⎣⎦为减函数，所以当1t =时，min 1y =，所以1a ≥.20．已知函数()e e x x f x a -=+是偶函数，其中e 是自然对数的底数．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式()+e 10x f x m m ---≥在[)ln3,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由函数()f x 是偶函数,即得()()f x f x -=,可求出a ；（2）由e e e 10x x x m m --++--恒成立,可分参转化,令e 1x t -=，则e 1x t =+，11m t t≤++，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可.【详解】（1）∵函数e e x x f x a -=+（）是偶函数，∴f x f x -=（）（），即e e e e x x x x a a --+=+，()()1e e 0x x a ---=恒成立∴1a =（2）由题意，知e e e 10x x x m m --++--≥在[ln3∞+，）上恒成立，则e e 11e x x x m --+--（），即2e 1e e 1x x x m--+（），∴2e e 1e 1x x x m -+≤-令e 1x t -=，则e 1x t =+.ln3e 12x x t ≥∴=-≥ ∴22111111t t t t m t t t t+-++++≤==++（）（）.min 11m t t ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∵11t t ++在[2∞+，）上单调递增，当且仅当t =2时,取11t t ++到最小值72.∴72m ≤.∴m 的范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM V 及BMN 区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.【正确答案】(1)不符合要求(2)按照tan 218ADN ADN π⎛⎫∠=-∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为2400001200002-（平方米）【分析】(1)依题意求()tan ADN CDM ∠+∠即可判断.(2)设ADN θ∠=，用θ表示诊疗区域的面积ADN BMN CDM S S S S =++△△△即可.【详解】（1）当200AN CM ==时，2tan 3ADN ∠=，1tan 2CDM ∠=所以()21732tan 1214132ADN CDM +∠+∠==≠-⋅因此诊断区不符合要求（2）设ADN θ∠=，则4CDM πθ∠=-，1tan ,17θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11502004003002ADN BMN CDM S S S S AN CM AN CM =++=++--△△△1600002AN CM =⋅+在ADN △中，tan ANADθ=，300tan AN θ=在CDM V 中，tan 4CM CD πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，400tan 4CM πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以160000tan tan 6000060000141t S t t πθθ-⎛⎫⎛⎫=-+=⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭260000141t t ⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，其中1tan ,17t θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以240000S ≤-211t t +=+即1t =取等号故按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-米）.22．若函数()y T x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使()()121T x T x ⋅=成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数()sin,()224x x f x x g x π-==-；（1）判断函数()y f x =是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设2()log ()h x x f x =+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46xg π⎛⎫< ⎪⎝⎭.【正确答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.（1）取特殊值123x =，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数2x 能满足22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；（2）当(]0,2x ∈时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当()2,x ∈+∞时，证明()h x 在()2,∞+上没有零点，再化简0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，转化为证明不等式00156x x -<.【详解】解：（1）若()sin 4f x x π=是“圆满函数”.取123x =，存在2x R ∈，使得()()121f x f x =，即2sinsin 164x ππ⋅=，整理得2sin 24x π=，但是2sin 14x π≤，矛盾，所以()y f x =不是“圆满函数”.（2）易知函数()2log sin4h x x x π=+的图象在()0+∞，上连续不断.①当(]0,2x ∈时，因为2log y x =与sin 4y x π=在(]0,2上单调递增，所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为22222212log sin log log 0336323h π⎛⎫=+==< ⎪⎝⎭，()1sin 04h π=>，所以()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当()2,x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=，因为sin 14y x π=≥-.所以()110h x >-=，所以()h x 在()2,∞+上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x .因为()0020log sin 04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为1y x x =-在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=，所以05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭.关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，再利用020sin log 4x x π=-，化简()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式..。
2023-2024学年河北省廊坊市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省廊坊市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知{}{}||1|2,|1A x x B x x =-<=>，则A B ⋃=（）A ．{}|13x x -<<B ．{}|1x x >-C ．{}|3x x >D ．{}3|1x x <<【正确答案】B【分析】求出集合A ，根据集合的并集运算，即可得答案.【详解】由题意解|1|2x -<，可得13x -<<，所以{}{}|13,|1A x x B x x =-<<=>，则{}|1A B x x ⋃=>-，故选：B.2．命题“0,sin 1x x ∀>≤”的否定是（）A ．0,sin 1x x ∀>>B ．0,sin 1x x ∀≤>C ．0,sin 1x x ∃>>D ．0,sin 1x x ∃≤>【正确答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0,sin 1x x ∀>≤”的否定是.0,sin 1x x ∃>>故选：C3．已知函数(2)f x -的定义域为(1,3)-，则函数()g x =的定义域为（）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,)+∞D ．(3,7)【正确答案】A【分析】先求得()f x -的定义域，然后结合10x ->求得()g x 的定义域.【详解】函数(2)f x -的定义域为(1,3)-，即13x -<<，则321x -<-<，所以对于()f x -，有31x -<-<，解得13x -<<，即()f x -的定义域为()1,3-；由10x ->解得1x >，所以()g x =的定义域为()1,3.故选：A4．若()()sin cos cos sin m αβααβα-⋅--⋅=，且β为第三象限角，则cos β等于（）．AB ．CD ．【正确答案】B【分析】根据两角差的正弦公式可得()sin m β-=，进而得sin m β=-，根据同角平方和关系即可求解.【详解】由()()sin cos cos sin m αβααβα-⋅--⋅=得()sin m αβα--=⎡⎤⎣⎦，所以()sin m β-=，即sin m β=-，由于β为第三象限角，所以cos 0β<，故cos β==故选：B5．2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由推出关系可确定结论.【详解】由题意知：“太空握手”⇒“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”¿“太空握手”，∴“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.故选：A.6．已知23a b ≤-≤且34a b ≤+≤，求4a -2b 的取值范围（）A ．()913，B ．[]913，C ．()()913∞∞-⋃+，，D ．][()913∞∞-⋃+，，【分析】利用待定系数法，结合不等式的性质进行求解即可.【详解】设4342()()21m n m a b m a b n a b m n n =+=⎧⎧-=-++⇒⇒⎨⎨-=-+=⎩⎩，因为23a b ≤-≤，所以63()9a b ≤-≤，所以94213a b ≤-≤，故选：B7．函数2ln 2x y x =+，(2,2)x ∈-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据函数的解析式，当(1,0)x ∈-时，得到0y <，即可求解.【详解】由题意，函数2ln 2x y x =+，当(1,0)x ∈-时，可得2(0,1)x ∈，所以2ln 0x <，且20x +>，所以0y <，可排除A 、B 、C.故选：D.8．在ABC 中，已知2sin sin cos2AB C =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【分析】由二倍角公式可得，()21cos1cos 22A A =+，再根据诱导公式可得()cos cos ABC =-+，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将2sin sin cos2AB C =化简成()cos 1B C -=，所以B C =，即可求得答案．【详解】因为()()2cos 11sin sin cos1cos 1222A A C B C B ==+-+=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos sin sin B C B C B C +=-，所以，cos cos +sin sin =1B C B C ，即()cos 1B C -=，因为(),0,B C π∈，所以(),B C ππ-∈-所以B C =，即ABC 为等腰三角形.故选：A ．9．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t （单位：%）随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知060S =，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取ln6 1.79=，ln7 1.95=，ln12 2.48=，ln19 2.94=）（）A ．1.525小时B ．1.675小时C ．1.725小时D ．1.875小时【正确答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案.【详解】由题意知：60e 70K =，60e 95Kt ≥，70ln ln 7ln 660K ==-，95ln ln19ln1260Kt ≥=-，则ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==--，则给氧时间至少还需要1.875小时.故选：D10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1)上单调递减，若方程()1f x =-在[0,1)上有实数根，则方程()1f x =在区间[-1,7]上所有实根之和是（）A ．12B ．14C ．6D ．7【分析】由已知可知()f x 是周期为4的奇函数且关于1x =对称，再利用奇函数、周期函数的性质判断()f x 在[-1,7]上各子区间的单调性及()1f x =的根所在区间，结合对称性求所有实根之和.【详解】由题设，(2)()f x f x -=，又()f x 为奇函数，∴()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-，即()(4)f x f x =+，∴()f x 是周期为4的奇函数且关于1x =对称，又()f x 在[0,1)上单调递减，则[-1,0)上递减，(1,2]、(2,3]上递增，∴由周期性知：(3,4)、[4,5)上递减，(5,6]、(6,7]上递增，∵()1f x =-在[0,1)上有实数根，则()1f x =在[-1,0)上有实数根，∴综上，结合对称性知：()1f x =在[-1,0)、(2,3]、(3,4)、(6,7]各有一个实数根，且关于3x =对称，∴()1f x =在区间[-1,7]上所有实根之和为12.故选：A 二、多选题11．已知非空集合M 满足：①{}2,1,1,2,3,4M ⊆--，②若x M ∈，则2x M ∈.则集合M 可能是（）A ．{1,1}-B ．1,1,{}2,4-C ．{1}D ．{1,2,2}-【正确答案】AC【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可.【详解】由题意可知3M ∉且4M ∉，而2-或2与4同时出现，所以2M -∉且2M ∉，所以满足条件的非空集合M 有{1,1}-，{1}故选：AC12．下列说法正确的有（）A ．21x y x+=的最小值为2B ．已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1C ．若正数x ､y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．因为x ､R y ∈，0xy <，所以2x yx y y x y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦【正确答案】BCD【分析】对于A 选项，当0x <时，可以判断A 选项；对于B 选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可判断，对于C 选项，可以利用基本不等式求出2x y +的最小值为3，所以C 选项正确，对于D 构造基本不等式的，就可得出结论.【详解】对于A 选项，当0x <时，210x y x+=<，故A 选项错误，对于B 选项，当1x >时，10x ->，则44212(1)11111y x x x x =+-=-+++=+--，当且仅当1x +时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，12112212(2)()(5)(53333x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时，等号成立，故C 选项正确，对于D 选项，因为x ､R y ∈，0xy <，所以0,0x yy x<<所以0,0x y y x ->->，于是2x yx y y x y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦当且仅当x yy x=即x y =-时取等号.故选：BCD ．13．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 2112g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【正确答案】AD【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可.【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2πππ,π2362T T =-=⇒=，又2π2T ωω=⇒=，又ππ()22cos(2)266f ϕ=⇒⨯+=，所以ππ2π(Z)2π(Z)33k k k k ϕϕ+=∈⇒=-∈又π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得πππ()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 错误．由ππππ2+π(Z)(Z)6262k x k k x k =+∈⇒=+∈，所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误．由π2π2+2ππ(Z)6k x k k ≤≤+∈即π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈，所以选项D 正确.故选：AD ．14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函数1()12=-+x x e f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()g x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0,1}-【正确答案】BC计算(1),(1)g g -得出(1)(1),(1)(1)g g g g ≠-≠--判断选项A 不正确；用函数的奇偶性定义，可证()f x 是奇函数，选项B 正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出()f x 在R 上是增函数，判断选项C 正确；由x y e =的范围，利用不等式的关系，可求出11()22f x -<<，选项D 不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，111()1221=-=-++x x xe f x e e .∵1(1)[(1)]012eg f e ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦，11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；111()()1212x x x e f x f x e e ---=-=-=-++ ，∴()f x 是奇函数，B 正确；x y e =Q 在R 上是增函数，由复合函数的单调性知11()21xf x e =-+在R 上是增函数，C 正确；0x e > ，11x e ∴+>，1101,1011x xe e <<-<-<++，11()22f x ∴-<<，()[()]{1,0}g x f x ∴==-，D 错误.故选：BC.关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，然后才会对函数()f x 变形，并作出判断.15．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 满足（）A ．(0)0f =B ．()y f x =是奇函数C ．()f x 在[,]m n 上有最大值()f n D ．(1)0f x ->的解集为(1,)+∞【正确答案】AB【分析】由抽象函数满足()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==可得(0)f ，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间[],m n 上的最大值，利用单调性解不等式(1)0f x ->可得解集.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，即(0)0f =，A 正确，令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=，即()()f x f x -=-，函数为奇函数，B 正确，设12x x ∀<，则120x x -<，12)(0f x x ->，由题，1122()()()f x f x x f x =-+，即1212()()()0f x f x f x x -=->，所以12()()f x f x >，函数()f x 在R 上单调递减，所以C 错误，不等式(1)0f x ->可化为(1)(0)f x f ->，由()f x 在R 上单调递减，所以10x -<，即1x <，不等式解集为(),1-∞，D 错误.故选：AB.16．函数()1,Q0,Q x D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =【正确答案】BD【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ；推理证明判断选项B ；举反例否定选项C ；举例证明x ∃∈R ，(1D x =.判断选项D.【详解】选项A ：函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误；选项B ：若()01D x =，则0Q x ∈，01Q x +∈，则()011D x +=.判断正确；选项C ：()()2ππ000D D -=-=，但2ππ=πQ -∉.判断错误；选项D ：当x =((()01D x D D ===.则x ∃∈R ，(1D x =.判断正确.故选：BD 三、填空题17．若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则2sin cos cos ααα+=__________．【正确答案】25##0.4【分析】根据sin cos 1sin cos 2αααα-=+得到tan 3α=，变换22tan 1sin cos cos 1tan ααααα++=+，计算得到答案.【详解】sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++，解得tan 3α=，22222sin cos cos tan 1312sin cos cos sin cos 1tan 105αααααααααα++++====++.故2518．设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，()1212log 12f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________．【正确答案】9【分析】分段函数求函数值，代入对应的解析式求解即可.【详解】()221,241lo 231g f +-<∴-==+= 121log 1,12> 111122222121111log log log log log 612122611log 6122222f--⎛⎫∴===== ⎪⎝⎭()1212log 36912f f ⎛⎫∴-+=+= ⎪⎝⎭故919．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg x e +=，且对任意的[]1,2x ∈，()20x f x e m --≥恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【正确答案】(2,e -⎤-∞⎦【分析】由()()xf xg x e +=，再根据函数的奇偶性得()()x f x g x e ---=，两式联立可得()e e 2x x f x -+=，再由参变分离法得()2x xm f x e e -≤-=在[]1,2上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】函数满足()()x f x g x e +=①，所以()()xf xg x e --+-=，由函数的奇偶性可得，()()xf xg x e ---=②，由①②得，()e e 2x x f x -+=，因为对任意的[]1,2x ∈，()20xf x e m --≥恒成立，即对任意的[]1,2x ∈，()2x xm f x e e -≤-=恒成立，令()x h x e -=，则函数()x h x e -=在[]1,2上为减函数，所以2min ()(2)h x h e -==，所以2m e -≤.故(2,e -⎤-∞⎦20．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，则k 的取值范围是________．【正确答案】32k -≤<【分析】解220x x -->，得解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞；分类讨论k -与52-的大小关系，解不等式5()02x x k ++<，再根据不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，列式可求出结果.【详解】由220x x -->，得(2)(1)0x x -+>，得1x <-或2x >，所以220x x -->的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，由22(52)50x k x k +++<，得5()()02x x k ++<，当52k -<-，即52k >时，得52k x -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，此解集中不含2-，不符合题意；当52k -=-，即52k =时，5()02x x k ++<化为25()02x -<，所以22(52)50x k x k +++<的解集为空集，不符合题意；当52k ->-，即52k <时，得52x k -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，因为不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，所以23k -<-≤，得32k -≤<.故32k -≤<四、解答题21．已知集合{}21+1A x m x m =-<<，{}22B x x =-<<.(1)当2m =时，求A B ⋃，A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)5|}2{A B x x ⋃=-<<，{|12}A B x x =<< (2)(]1,1-【分析】（1）当2m =时，求出{|15}A x x =<<，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．（2）根据题意可得A B ，再求得A ≠∅，列出方程组求出m 的取值范围即可得答案．【详解】（1）解：当2m =时，{}|15A x x =<<，{}|22B x x =-<< ，{|25}A B x x ∴=-<< ，{|12}A B x x =<< ．（2）解：x A ∈ 是x B ∈成立的充分不必要条件，A∴B ，()22217112024m m m m m ⎛⎫+--=+=-+> ⎪⎝-⎭ ，211m m ∴-<+，A ∴≠∅，则21212m m -≥-⎧⎨+≤⎩，11m ∴-≤≤，经检验知，当1m =-时，{|22}A x x B =-<<=，不合题意，∴实数m 的取值范围(]1,1-．22．已知函数2()sin 2sin 22cos 1,33f x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程．(3)求函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π(2)单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；对称轴方程为,82k x k Z ππ=+∈(3)1【分析】（1）展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期（2）根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程（3）根据复合函数整体法即可最大值和最小值【详解】（1）2()sin 2sin 22cos 133f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333x x x x x ππππ++-+sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭函数()f x 的最小正周期2T ππω==（2）令222,242k x k k Z πππππ-+++∈解得3,88k x k k Z ππππ-++∈所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令242x k πππ+=+,解得,82k x k Z ππ=+∈所以()f x 对称轴方程为,82k x k Z ππ=+∈（3）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,32,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈-+∈-⎢⎥ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以min ()14f x f π⎛⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭max ()18f x f π⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭所以函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值是1-23．已知函数2()1|1|f x x k x =---，k ∈R ．(1)若()y f x =为偶函数，求k 的值；(2)若()y f x =有且仅有一个零点，求k 的取值范围；(3)求()y f x =在区间[0,2]上的最大值．【正确答案】(1)0k =；(2)(],2-∞-；(3)当3k <时最大值为3k -+；当3k ≥时最大值为0.【分析】（1）由()y f x =为偶函数有(1)(1)f f -=，即可求k 的值；（2）由题意()0f x =有且仅有一个解，显然x ＝1是该方程的解．则10x k +-=(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且10x k ++=(x ＜1)无解，从而求得实数k 的取值范围；（3）当x ∈[0,2]时求出()f x 的分段函数的形式，其最大值只可能是(0),(2),(1)f f f 其中之一，再由(2)(0)f f >，可得函数的最大值．【详解】（1）∵()y f x =为偶函数，∴(1)(1)f f -=，即20k -=，解得k ＝0，经检验k ＝0符合题意；（2）由题意得，方程21|1|0x k x ---=有且仅有一个解，显然，x ＝1已是该方程的解，当x ≥1时，方程化为(1)(1)0x x k -+-=；当x ＜1时，方程化为(1)(1)0x x k -++=；∴10x k +-=(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且10x k ++=(x ＜1)无解，又x ＝1时，k ＝2，此时x ＝-3也是方程的解，不合题意，∴关于x 的方程1=-x k (x ≥1)、(1)x k =-+(x ＜1)均无解，可得k ＜2且k ≤-2，综上，k ≤-2，即实数k 的取值范围为(-∞,-2]．（3）当x ∈[0,2]时，()f x 221,011,12x kx k x x kx k x ⎧+--≤≤=⎨-+-<≤⎩，∵()y f x =在[0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，∴最大值只可能是(0),(2),(1)f f f 其中之一，又(0)1f k =--，(1)0f =，(2)3f k =-+，显然(2)(0)f f >，∴当k ＜3时，所求最大值为(2)3f k =-+；当k ≥3时，所求最大值为(1)0f =．。
高一数学模拟试卷带答案解析
高一数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.下列各式正确的是() A ．=a B ．a 0=1 C ．=-4 D ．=-5 2.若的三个内角满足，则（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 3.函数y=的值域是[-2,2]，则函数y=的值域是（▲）A ．[-2,2]B ．[-4,0]C ．[0,4]D ．[-1,1] 4.若三点，，在同一直线上，则实数等于A ．2B ．3C ．9D ．5.下列四组函数中，表示相同函数的一组是 （ ） A ．B ．C ．D ．6.执行下图程序框图，如果输入的 ，均为 2，则输出的（ ）A．4 B．5 C．6 D．77.若则的值是( ).A． B． C． D．8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元9.观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是()10.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )A．0.35 B．0.15 C．0.20 D．0.2511.若，则（）A． B． C． D．12.数列的一个通项公式是A． B． C． D．13.若方程的两根满足一根大于1，一根小于1，则的取值范围是（）A．B．C．D．14.函数的定义域为（）A．B．C．D．15.若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16.在中, 已知,则角的度数为（）A． B． C． D．17.将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A．B．C．D．18.对于回归分析，下列说法错误的是（）A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果=1或=1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r(-1,+1)19.三个数0.76，60.7，log0.25的大小关系为（）A．0.76<llog0.25<60.7B．0.76<60.7<llog0.25C．log0.25<60.7<0.76D．log0.25<0.76<60.720.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二、填空题21.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_______.22.（2014•锦州二模）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）= ．23.函数的定义域是__________．24.__________．25.关于函数，有以下命题（1）为偶函数；（2）的图象关于直线对称；（3）函数在区间的值域为；（4）在的减区间是和.其中正确命题的序号为 .26.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是．27.若等比数列的前项和为，且，则= ．28.函数的定义域为29.平面上画了一些彼此相距20cm的平行线，把一枚半径为4cm的硬币任意掷在这平面上，则硬币与任一条平行线相碰的概率为．30.下图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间内的学生约有______人.三、解答题31.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）令g(x)=f (x+）－，当x∈[，]时，恒有不等式g(x)－a－3＜0成立，求实数a的取值范围32.已知全集，，，求集合及。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(苏教版2019,必修第一册第1-5章)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019必修第一册第1章~第5章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}()14,2,5A x x B =-<<=，则()R B A = ð（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．()[),45,-∞⋃+∞D ．()[),15,-∞-+∞ 【答案】A【解析】()2,5B =,则R (,2][5,)B =-∞+∞ ð，则()(]R 1,2B A =- ð.故选：A.2．已知集合{}{}2,,42,A xx k k B x x k k ==∈==+∈Z Z ∣∣．设:,:p x A q x B ∈∈，下列说法正确的是（）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由(){}221,B xx k k ==+∈Z ∣，{}2,A x x k k ==∈Z ∣，故B 为A 的真子集，又:,:p x A q x B ∈∈，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3．,,,a b c b c ∈>R ，下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a c +>+B ．22a b a c +>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>【答案】B【解析】对于A ，若0c b <<，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，因为b c >，故22a b a c +>+，故B 成立，对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误；故选：B.4．已知实数a 满足14a a -+=，则22a a -+的值为（）A ．14B ．16C ．12D ．18【答案】A【解析】因为()212212a a a a a a ---=+++⋅，所以()22211216214a a a a a a ---+=+-⋅=-=.故选：A.5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若221a b +=，则()()2121a b++的最大值为（）A ．916B ．2516C ．94D ．254【答案】C【解析】因为()()212122221a b a b a b++=⋅+++，又221a b +=，所以()()22292121222(224a b aba b+++=⋅+≤+=，当且仅当1222ab==，即1a b ==-时取等号，故选：C6．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．[)2,+∞C ．()0,∞+D ．[]2,3【答案】D【解析】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.7．已知函数()221x f x x x =-+，且()()1220f x f x ++<，则（）A ．120x x +<B ．120x x +>C ．1210x x -+>D ．1220x x ++<【答案】A【解析】由函数单调性性质得：y x x =，21x y =+在R 上单调递增，所以()221x f x x x =-+在R 上单调递增，令函数222121()||1||||21212121x x x x x x g x x x x x x x +-=-+=-+=+++++，则2112()||||()2121x xxx g x x x x x g x -----=-+=-+=-++，所以()()0g x g x +-=，则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()()()12121212200f x f x g x g x x x x x ++<⇔<-⇔<-⇔+<.故选：A ．8．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，则29c a b++的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．(,6)-∞C ．(6,)-+∞D ．(],6∞--【答案】D【解析】由不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，可知1和4-是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，由韦达定理可得4141b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即可得3,4b a c a ==-，所以()222499169994463444a c a a a a b a a a a a -+++⎛⎫===+=--+≤-=- ⎪++-⎝⎭.当且仅当944a a -=-时，即34a =-时等号成立，即可得(]29,6c a b∞+∈--+.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若集合{1,1,3,5}M =-，集合{3,1,5}N =-，则正确的结论是（）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x N x M ∃∈∈C ．{1,5}M N ⋂=D ．{1,5}M N = 【答案】BC【解析】对于A ，3N -∈，但是3M -∉，A 错误，对于B ，1N ∈，1M ∈，B 正确，对于CD ，{1,1,3,5}{3,1,5}{1,5}M N =--= ，{1,1,3,5}{3,1,5}{3,1,1,3,5}M N =--=-- ，C 正确，D 错误．故选：BC ．10．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（）A ．222a b +≥B ．22log log 0a b +≤C ．1244a b -<<D ．20a b ->【答案】ABC【解析】对于A ，有()()()()2222222222111122222222a b a ab b a ab b a b a b a b ⎡⎤+=+++-+=++-≥+=⋅=⎣⎦，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；对于B ，0a >，0b >，有()22112144ab a b ≤+=⋅=，当且仅当a b =时取等号，故1ab ≤，从而()2222log log log log 10a b ab +=≤=，故B 正确；对于C ，由,0a b >，知0ab >，所以()()()()()()222222222042224ab a ab b a ab b a b a b a b a b <=++--+=+--=--=--，故()24a b -<，从而22a b -<-<，所以22122244a b --=<<=，故C 正确；对于D ，由于当1a b ==时，有,0a b >，2a b +=，但2110a b -=-=，故D 错误.故选：ABC.11．对于任意的表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A ．函数[]()y x x =∈R 为奇函数B ．函数[]y x =的值域为ZC ．对于任意的,x y +∈R ，不等式[][][]x y x y +≤+恒成立D ．不等式[]2[]430x x -+<的解集为{}23x x ≤<【答案】BCD【解析】对于A ，当01x ≤<时，[]0y x ==，当10x -<<，[]1y x ==-，所以[]()y x x =∈R 不是奇函数，所以A 错误，对于B ，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以当x ∈R 时，[]Z x ∈，所以函数[]y x =的值域为Z ，所以B 正确，对于C ，因为,x y +∈R 时，[][],x x y y ≤≤，所以[][][][][]x y x y x y x y ⎡⎤+=+≤+≤+⎣⎦，所以C 正确，对于D ，由[]2[]430x x -+<，得[]13x <<，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以23x ≤<，所以D 正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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高一数学模拟试卷
考试时间：120分钟
卷I
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>-1 C．-1<m<1 D．m>1或m<-1
2．根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（）
A．B．C．D．
3．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且
A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()
A．2 B ．4 C．2 2 D．42
4．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，则；
②若// ，，则m // ；③若，，，则；
④若，，，则．
其中正确命题的序号是（）
A．①③ B．①② C．③④ D．②③
6．已知两直线，平行，则的值是（）
A．B．C．D．
7．从点（2，3）射出的光线沿斜率
1
2
k 的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为（）
A．x+2y﹣4=0 B．2x+y﹣1=0 C．x+6y﹣16=0 D．6x+y﹣8=0
8．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a ,-1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为() A．
2
2B．
3
2
C．
5
2D．
7
2
10．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则
m的取值范围是()
A．B．C．D．
11．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为（）
A．B．C．D．
12．已知函数()()()()2433,0
0,1log 11,0
a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且 在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-
恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0， ]
B ．[ ， ]
C ．[
， ]∪{ } D ．[ ， ）∪{ }
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别为CC 1、AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值 .
14．已知直线(3a ＋2)x ＋(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝________ ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：()
13y k x -=- 不经过第四象限，则实数k 的取值范围是________ ．
26．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
________斛．
分卷II
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．
18． (本小题满分12分)四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，1
12
AB CD =
=，PA ⊥平面ABCD ，3PA AD ==.
（1）求证：PD AB ⊥；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积.
19．(本小题满分12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3)．如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程．
20．(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.
(1)求证：AD ⊥BC ；
(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
21． (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，5AB =，3AC =，4BC =，点D 是线段AB 上的动点. （1）当点D 是AB 的中点时，求证：1AC ∥平面1B CD ；
（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.
22．(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035
k
C x x x =
≤≤+ ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式．
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．。