计算机仿真-数学建模
计算机仿真与数学建模7月31日
现代仿真技术的进展
现代仿真技术的一个重要进展是将仿真活动扩 展到上述三个方面，并将其统一到同一环境中。 在仿真建模方面，除了传统的基于物理、化学、 生物学、社会学等基本定律及系统辨识等方法 外，现代仿真技术提出了用仿真方法确定实际 系统的模型。例如，根据某一系统在试验中所 获得的输入输出数据，在计算机上进行仿真试 验，确定模型的结构和参数。
控制系统、导航系统和制导系统广泛采用数字计算机， 通过软件进行控制、导航和制导的运算，软件的规模越 来越大，功能越来越强，许多设计思想和核心技术都反 映在应用软件中，因此软件在系统中的测试越显重要。 这种仿真试验将系统用计算机与仿真计算机通过接口对 接，进行系统试验，如图所示。接口的作用是将不同格 式的数字信息进行转换。软件在回路仿真系统一般情况 下要求实时运行。
超市某日用品供需变化模型：
超市中某种用品的“供”与“需”处在平衡 状态时，则“供”与“需”同时受此种日用品的价格 决定。 当价格（ P）较高时，需求（ Q）将比较低； 价格较低时需求将增加。 Q与P之间的关系用“需求” 曲线表示。 S表示供货量按价值的计算。S与P之间的关系 用“供货”曲线表示。 如果供需处于稳定状态，则价格将会停留在 图中两线的交点上，这是因为“供”与“需”大致相 等，如图1-3。
假设上述关系都是线性的，则完整的 超市日用品供需关系模型可以表示成下 面的数学形式：
Q=a-bP S=c+dP S=Q
如果日用品的需求关系（ Q）是一种 呈下降趋势的曲线（非直线）形式， 供货量（ S）是呈上升趋势的曲线形 式（如图1-4）。 这种关系的数学模型形式就不可能 使用普通方程求解的方式得到其解的。 就需要一种有效的数值计算方法得到 模型方程，求出数值解，绘出曲线图， 找出商家有利的日用品价位。
人类记忆模型的数学建模与计算机仿真技术
人类记忆模型的数学建模与计算机仿真技术数学建模是一种通过使用统计学、数学和计算机科学方法来研究和模拟自然系统的技术。
它可以用来简化复杂的自然过程，以便研究人员能够更好地理解系统的深层次机制。
数学建模可以在计算机上仿真计算，从而减少在研究人类记忆模型时无端的计算量。
计算机仿真技术是一种通过使用计算机模拟实际系统的一种技术，它可以模拟系统的各种变化，以便了解系统的特性和机制。
它可以帮助我们更好地理解自然系统以及研究人类记忆模型的复杂机制。
计算机仿真技术可以准确地进行数据模拟，从而大大减少研究所需的时间和费用。
在研究人类记忆模型时，数学建模和计算机仿真技术是非常有用的。
它们可以帮助我们更好地理解记忆模型的整个过程，以及在整个过程中可能发生的变化和变异。
例如，可以使用数学建模和计算机仿真技术来研究储存过程的机制。
在记忆模型中，有三个不同的存储阶段，即短期记忆、中期记忆和长期记忆。
计算机仿真-数学建模
§2 对偶理论与灵敏度分析
• 2.1 原始问题和对偶问题
1.对偶问题 考虑下列一对线性规划模型：
max cT x s.t. Ax b, x 0 (P) min bT y 和 s.t. AT y c, y 0 (D)
称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：原始
1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润 分别为4000元与3000元。生产甲机床需用 机器加工， 加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用 三 种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于 加工的机器时数分别为 机器10小时、 机器8小时和 机器 7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润 最大？
为线性函数，故被称x为1,线x2性规0 划问题。
1.2线性规划的Matlab标准形式
• 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最
小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于
号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中
规定线性规划的标准形式为
min cT x such that Ax b
问题中的第 列系数与其对偶问题中的第 行的系数相同；原始目标函数的 各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；原始问题右侧的各常数 列与其对偶目标函数的各个系数行相同；在这一对问题中，不等式方向 和优化方向相反。
对偶问题的基本性质
14、 可对行称解性是：最对优偶解问时题的的性对质偶：是设原问是题原。问题的可行解， 2是、对弱偶对问偶题性的：可若行解是，原当问题时的，可是行最解优，解是。对偶问题的可 行5、解对。偶则定存理在：。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最 3优、解无；界且性目：标若函原数问值题相（同对。偶问题）为无界解，则其对偶 问6、题互（补原松问弛题性）：无若可分行别解是。原问题和对偶问题的最优解。
计算机仿真与建模
计算机仿真与建模计算机仿真与建模是一种通过使用计算机编程和数学模型来模拟和模拟现实世界中的各种现象和系统的技术。
它广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、经济学等等。
计算机仿真与建模不仅可以帮助我们更好地理解复杂系统的运行原理，还可以帮助我们优化系统设计、预测系统性能和行为，并且大大减少了试错成本和风险。
一、计算机仿真的原理和方法计算机仿真的基本原理是将现实世界中的系统抽象成数学模型，然后通过计算机程序来模拟系统的运行过程。
计算机仿真主要涉及以下几个方面的内容：1. 系统建模：在进行计算机仿真之前，需要将所研究的系统抽象成数学模型。
数学模型可以是一些方程组、差分方程、微分方程或者代数方程等等。
2. 数据收集：在进行计算机仿真之前，需要搜集系统所需的相关数据和参数。
这些数据和参数可以通过实验、观测或者文献研究等获得。
3. 编程实现：将建立好的数学模型和收集好的数据转化成计算机程序，编写相应的代码实现系统的仿真和模拟。
4. 仿真运行：将编写好的计算机程序运行起来，观察系统的行为和性能。
通过对系统的仿真运行结果进行分析和评估，可以获取对系统的深入理解，并且为系统的优化和改进提供依据。
二、计算机仿真的应用领域计算机仿真与建模在各个学科和领域中都有着广泛的应用。
1. 物理学：计算机仿真可以帮助物理学家模拟和预测物理系统的行为和性能。
例如，在粒子物理学研究中，计算机仿真可以模拟宇宙大爆炸的起源和行为，并且通过模拟结果来验证或者改进现有的理论。
2. 化学：计算机仿真可以模拟和分析化学反应的动力学过程，预测反应速率和产物的生成情况。
这可以帮助化学工程师优化工业生产过程，提高生产效率和产品质量。
3. 生物学：计算机仿真可以模拟生物系统的行为和演化过程。
例如，在生态学研究中，可以通过计算机仿真模拟物种的相互作用和演化，以预测生态系统的稳定性和变化趋势。
4. 经济学：计算机仿真可以用来建立经济模型，研究经济系统的行为和效果。
数学建模和计算机仿真技术的研究
数学建模和计算机仿真技术的研究数学建模和计算机仿真技术是当今社会中非常重要的两个研究领域，广泛应用于各个领域，如工业制造、金融经济、医学、科学研究等等。
数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法求解实际问题的过程。
而计算机仿真技术则是指利用计算机对实际问题进行模拟和分析，进而得到实际问题的解决方案的过程。
本文将从理论和应用的角度，分别讨论数学建模和计算机仿真技术的研究。
数学建模的研究数学建模的研究主要涉及到以下三个方面。
第一，数学建模的方法。
数学建模的方法主要包括问题建模、模型选择、模型求解和模型评价等。
问题建模是指了解实际问题的背景、意义、数据等信息，并将问题抽象成数学形式；模型选择是指从候选模型中选择合适的模型，并进行合适的约束和简化；模型求解是指利用现有的数学方法对模型进行求解；模型评价是指对求解结果进行判断和评价。
第二，数学建模的应用。
数学建模广泛应用于各个领域，如物理、化学、经济、医学、环境等。
具体应用包括利用数学建模预测自然灾害、优化物流系统、研究生态环境等。
第三，数学建模的研究前沿。
数学建模的研究前沿主要包括非线性数学建模、混合整数线性规划、时间序列分析等。
这些前沿问题都需要新的理论和方法来求解。
计算机仿真技术的研究计算机仿真技术的研究也包括以下几个方面。
第一，仿真软件的开发。
仿真软件是计算机仿真技术的核心，它能够模拟实际问题，并通过仿真结果来辅助决策和优化。
目前广泛应用的仿真软件包括Matlab, Simulink, Comsol等。
第二，计算机图形学的研究。
计算机图形学主要研究计算机如何呈现和处理现实世界中的图形和动画。
它与计算机仿真技术密切相关，常用于可视化仿真结果。
第三，仿真算法的研究。
仿真算法主要研究如何利用数学方法和计算机算法来模拟实际问题。
目前最常用的仿真算法包括Monte Carlo仿真、离散事件仿真等。
数学建模与计算机仿真技术的联合应用数学建模和计算机仿真技术通常相互配合应用，以实现对实际问题的深入研究和解决。
数学建模之计算机模拟
武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 制作
数学建模之计算机模拟
• • • • • 什么是计算机模拟 为什么要进行计算机模拟 适用于计算机模拟解决的问题 计算机模拟步骤 计算机模拟应用举例
什么是计算机模拟
• 计算机模拟也叫计算机仿真，是用计算机对一个 系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测 一个系统的行为效果，为决策提供信息的一种方 法，即：用计算机程序直接建立真实系统的模型， 并通过计算了解系统随时间变化的行为或特性。 • 计算机模拟分为连续系统仿真和离散系统仿真两 大类，这里只对离散系统作初步介绍。
9.98 T ( 1)*1000 184.84 6
计算机模拟应用举例
• 事件步长法：以事件发生的时间为增量， 按时间的进展，一步一步地对系统行为进 行仿真，直到预定的时间结点为止。 • 事件步长法中常用事件表法。
– 事件步长法与时间步长法的主要区别：
• 仿真时钟步长不同 • 步长大小对精度的影响不同 • 每步中对系统状态的扫描不同
I f ( x)dx
a b
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
•
例2 排队过程 某商店只有一个收款台，顾客到 达收款台的时间间隔服从均值为4.5 的负指数分布，每个顾客的服务时间 服从均值为3.2、标准差0.6的正态分 布。这里时间单位是分钟，且服务时 间不取负值。以100个顾客接受服务 情况估计每个顾客的平均等待时间、 最大队长、收银员的工作效率。
dST WI * SI WO * SR dT ST 其中，SR V 0 (WI WO)* T
初始条件为ST|T=0=S0
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
•
例1 池水含盐量问题
计算机仿真与建模数学建模和仿真技术
计算机仿真与建模数学建模和仿真技术计算机仿真与建模是一种基于数学模型和仿真技术的研究方法，通过使用计算机模拟和实验来预测和分析现实世界的各种现象和系统行为。
该技术在科学研究、工程设计、决策支持等领域具有广泛的应用。
一、数学建模数学建模是计算机仿真与建模的基础，它利用数学模型来描述和解决现实世界中的问题。
数学建模是一种将实际问题转化为数学形式进行描述和求解的方法，通过对问题进行抽象和简化，建立起数学模型，从而得到问题的解析解或数值解。
数学建模通常包括问题的描述、模型的建立、求解方法的选择和模型验证等步骤。
在建立模型时，需要考虑问题的物理背景、相互关系和约束条件，合理选择数学方法和工具，以及对模型进行检验和优化。
二、仿真技术仿真技术是计算机仿真与建模的关键工具，它通过创建虚拟的仿真环境，模拟实际系统的行为和演化过程。
仿真技术可以提供对系统运行状态、特征和性能等方面的详细和准确的信息。
仿真技术通常包括模型构建、参数设置、仿真运行和结果分析等步骤。
在模型构建中，需要根据实际系统的特点和需求，定义系统的组成部分和它们之间的关系；在参数设置中，需要确定各个参数的取值范围和初值；在仿真运行中，需要选择适当的仿真算法和计算机资源，进行模拟计算和结果记录；在结果分析中，需要对仿真结果进行统计分析和可视化展示，以便于对系统的行为和性能进行评估和改进。
三、应用领域计算机仿真与建模数学建模和仿真技术在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学领域，如物理学、化学和生物学等，可以利用仿真技术模拟和预测物理过程、化学反应和生物系统的行为；在工程设计领域，如航空航天、汽车制造和建筑结构等，可以使用仿真技术验证和优化设计方案，提高产品性能和可靠性；在社会科学领域，如经济学、管理学和社会学等，可以运用仿真技术模拟和分析人类行为和社会系统的运行规律，为决策提供科学依据。
总结：计算机仿真与建模数学建模和仿真技术是一种重要的研究方法和工程技术，通过数学模型和仿真技术的应用，可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
计算机仿真和模拟的方法和工具
计算机仿真和模拟的方法和工具计算机仿真和模拟是指利用计算机软件和硬件来模拟和重现现实世界的某种情境或系统的过程。
它是一种强有力的工具，广泛应用于各个领域，如工程、科学、医药、经济等。
本文将介绍计算机仿真和模拟的方法和工具。
一、数学建模数学建模是计算机仿真和模拟的基础，通过对现实问题进行抽象和理论化，将其转化为数学方程和模型。
数学建模能够对现实问题进行描述和分析，并为计算机仿真提供了数学基础。
1. 线性模型线性模型是一种简单而常用的数学模型，它基于线性关系进行建模。
线性模型可以用于描述各种线性系统，如电路系统、运输系统等。
在计算机仿真中，线性模型可以通过编写线性方程组来实现。
2. 非线性模型非线性模型是指不能用一个简单的线性关系来表示的模型。
非线性模型在实际问题中更为常见，如生态系统、气候系统等。
计算机仿真中，非线性模型需要使用数值计算方法（如迭代法）来求解。
3. 统计模型统计模型是通过对数据的统计分析建立的模型，用于预测和分析未知的现象。
统计模型常用于金融市场预测、医学研究等领域。
计算机仿真中，可以通过随机数生成和概率分布函数模拟统计模型。
二、仿真软件计算机仿真和模拟需要借助各种专业的仿真软件来实现。
下面介绍几种常用的仿真软件。
1. MatlabMatlab是一种数学计算和仿真软件，被广泛用于科学计算和工程仿真。
它具有强大的数学建模能力和丰富的函数库，可以用于线性和非线性模型的建模与仿真。
2. SimulinkSimulink是Matlab的一个附加模块，用于建立和仿真动态系统模型。
Simulink使用图形化界面来进行建模和仿真，使得模型的构建更加直观和方便。
3. ANSYSANSYS是一种通用的有限元分析软件，可以用于工程结构和流体等领域的仿真。
它提供了强大的建模和分析功能，可以模拟各种复杂的物理现象。
4. COMSOL MultiphysicsCOMSOL Multiphysics是一种多物理场有限元分析软件，广泛应用于科学和工程领域。
数学建模和计算机仿真技术的应用
数学建模和计算机仿真技术的应用一、引言随着科技的发展和数学建模和计算机仿真技术的不断进步，这两者已经成为现代工程设计中不可或缺的工具。
数学建模和计算机仿真技术的应用不仅可以提高生产效率和质量，而且可以降低制造成本和减少人力资源的浪费。
本文将从数学建模和计算机仿真的定义入手，详细介绍两者的应用领域和优点，最后对数学建模和计算机仿真技术的未来发展进行展望。
二、数学建模2.1 定义数学建模是指运用数学方法对实际工程和科学问题进行抽象和分析，获得定量的模型，并对该模型进行定性和定量的分析的过程。
2.2 应用领域数学建模的应用领域非常广泛，包括物理、化学、生物、经济、管理、环境、气象和交通等领域。
在物理学中，数学建模可以用来研究物体的运动和相互作用，预测自然现象的发生；在化学中，可以用来研究物质的组成和结构，探索反应机理；在生物学中，可以用来研究生物体的生长和繁殖规律，探索生命的本质；在经济学和管理学中，可以用来研究市场需求和供给的关系，分析企业的经营决策。
2.3 优点数学建模可以帮助工程师和科学家更好地理解实际问题的本质，找到最终的解决方案。
它不仅可以减少试验过程的数量和时间，而且可以避免因为实验操作的误差导致的数据失真。
通过数学建模，我们可以更好地掌握实际问题的特性和规律，提高解决问题的效率和准确性。
三、计算机仿真技术3.1 定义计算机仿真是指利用计算机技术来模拟实际物理系统或过程的运动学和动力学，以便在计算机上进行分析和预测的过程。
3.2 应用领域计算机仿真技术的应用领域也非常广泛，包括物理、化学、生物、经济、管理、环境、气象、交通和建筑等领域。
在物理学中，计算机仿真可以用来研究物体的运动和相互作用，预测自然现象的发生；在化学中，可以用来研究物质的组成和结构，探索反应机理；在生物学中，可以用来研究生物体的生长和繁殖规律，探索生命的本质；在经济学和管理学中，可以用来研究市场需求和供给的关系，分析企业的经营决策；在工程学中，可以用来研究建筑的结构和性能，优化产品的设计和生产过程。
数学建模-计算机仿真分析
我缉私雷达发现前方（南）c km处有一艘走私船正 以速度a沿直线向东匀速行驶，缉私艇立即以最大速度b 追赶，若用雷达进行跟踪，缉私艇的瞬时速度方向始终 指向走私船，是求缉私艇追逐路线和追赶上的时间。
分析 此问题可以建立微分方程模型，这里我们建立差分方 程模型，用仿真的方法求解。
取时间步长为h，在第i 步时的时间即t=hi，走私船的位
（1）从发出订货到收到货物需隔三天； （2）每辆自行车保管费为0.75元/天，每辆自行车的缺货损
失为1.8元/天，每次的订货费为75元； （3）每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布； （4）原始库存为115辆，并假设第一天没有发出订货。 若现在已有如下表所示的五种库存策略，请选择一种总费用
求解方法： 1、高数中的方法
f(x0,
x0
y0)
n
i1
Qi(xi x0)
0
((xi x0)2 (yi y0)2
f(x0,
y0
y0)
n
i1
Qi(yi x0)
0
((xi x0)2 (yi y0)2
2、数值计算方法
3、计算机仿真： 离散化，遍历！
16
计算机仿真案例2
例2 （赶火车过程仿真）一列火车从A站经过B站开 往C站，某人每天赶往B站乘这趟火车。已知火车从 A站到B站的运行时间是均值为30min、标准差为 2min的正态随机变量。火车大约在下午1点离开Ａ 站。火车离开时刻的频率分布和这个人到达Ｂ站时
产生一个均值为 ，方差为 的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布．
•机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、 各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态 分布．
数学建模之计算机仿真PPT课件
件下，利用数学运算模拟系统的运行过程．连
续系统模型一般是微分方程，它在数值模拟中
dy
f (t , y )
最基本的算法是数值积分算法．例如有一系统
dt
y(t ) y
可用微分方程来描述:
0
始条件
0
已知输出量y的初
，现在要求出输出量y随时间变化
的过程y(t)。
n3=poissrnd(4),n=n1+n2+n3
(2) 由排队论知识,敌机到达规律服从泊松分布等价
•注：如果单位时间发生的次数（如到达的人数）服从参数为r的
泊松分布,则任连续发生的两次时间的间隔时间序列服从参数为r
于敌机到达港口的间隔时间服从参数为1/4的指数分布,
的指数分布!
故可由指数分布模拟每架飞机的到达时刻.
况.
•
表1
•
Xk
•
pk
10分钟内顾客到达柜台的情况
0
1
2
0.4 0.3 0.3
• 分析:因为每分钟到达柜台的人数是随机的,所以可用计算
机随机生成一组(0,1)的数据,由X的概率分布情况,可认为
随机数在(0,0.4)范围内时没有顾客光顾,在[0.4,0.7)时,有
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2 离散型随机变量的模拟
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1 理论介绍
• 最直观的想法是：首先将时间离散化，令
•
hk tk 1 tk
，称为第k步的计算步距
（一般是等间距的），然后按以下算法计算状态
tk 1
y(tk 1 ) yk 1 y上的近似值:
变量在各时刻
k f (tk , yk )(tk 1 tk )
计算机仿真模拟真实过程的关键技术
计算机仿真模拟真实过程的关键技术计算机仿真技术的出现和发展，极大地推动了科学、工程、医学等领域的发展和进步。
通过计算机仿真，我们可以模拟和预测各种现实世界中复杂的过程和系统，为决策提供支持、优化设计和调整方案。
本文将介绍计算机仿真模拟真实过程的关键技术。
一、数学建模数学建模是计算机仿真的基础，在仿真过程中起到了关键的作用。
数学建模是将真实世界的问题抽象化为数学模型，通过建立数学模型，我们可以描述和分析待研究对象的各种特性和行为规律。
数学建模需要运用到多种数学方法，如微分方程、优化理论、概率论等。
通过合理的数学建模，可以准确地描述复杂的现实过程，为后续的计算机仿真提供了坚实的基础。
二、计算机编程计算机编程是实现计算机仿真的关键技术之一。
我们可以通过编程语言，如C++、Python等，将数学模型转化为计算机可以识别和运算的代码。
编程的过程中，涉及到数据结构、算法设计等多个方面的知识。
编程需要考虑计算机的处理能力、存储限制等因素，合理选择算法和数据结构，以提高仿真的精度和效率。
三、系统建模和数据采集系统建模是计算机仿真的另一个关键技术。
在仿真过程中，我们需要对待研究对象进行准确的描述和抽象。
系统建模使用的方法有很多，如面向对象建模、数据流程图、状态转移图等。
通过系统建模，我们可以将复杂的现实过程清晰地呈现出来，帮助我们理解和分析系统的行为规律。
数据采集是系统建模的一部分，也是计算机仿真中非常重要的环节。
通过采集现实过程中的数据，我们可以获取系统的各种参数和行为规律，从而提供给仿真模型。
数据采集需要使用各种传感器和仪器，如光学传感器、压力传感器等。
在数据采集的过程中，要确保数据的准确性和完整性，以提高计算机仿真的质量和可靠性。
四、模型验证和优化模型验证是计算机仿真中保证模型与真实系统吻合度的关键环节。
在计算机仿真之前，我们需要对建立的数学模型进行验证，确认模型的准确性和有效性。
模型验证可以通过对比仿真结果与真实数据的对比，以及与其他仿真结果的对比来进行。
计算机仿真技术利用计算机进行系统仿真和建模
计算机仿真技术利用计算机进行系统仿真和建模计算机仿真技术：利用计算机进行系统仿真和建模计算机仿真技术是一种利用计算机进行系统仿真和建模的方法。
它通过对实际系统的数学模型进行计算机仿真，以评估系统的性能、预测系统的行为，并为系统的优化提供支持。
在各个领域中，计算机仿真技术都起到了关键的作用，如交通运输、航空航天、医学、经济等等。
本文将介绍计算机仿真技术的基本概念、应用领域以及一些具体案例。
一、计算机仿真技术的基本概念计算机仿真技术是一种数学模型在计算机上进行计算和模拟的方法。
它包括以下几个主要的概念：1. 数学模型：数学模型是对实际系统的抽象描述。
通过使用数学公式和方程，可以将实际系统中的各种因素和变量表示出来。
数学模型可以是线性的或非线性的，可以包含随机因素或确定性因素。
2. 系统仿真：系统仿真是将数学模型在计算机上进行计算和模拟，以获得系统的行为和性能。
在仿真过程中，可以通过改变模型的参数和输入条件，观察系统的响应和输出结果。
系统仿真可以是连续的或离散的，可以是静态的或动态的。
3. 建模：建模是将实际系统转化为数学模型的过程。
建模可以通过观察实际系统的行为和特征，并将其转化为数学表达式。
建模的过程中，需要确定模型的假设和限制，并进行适当的简化和抽象。
二、计算机仿真技术的应用领域计算机仿真技术在各个领域中都具有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用领域。
1. 交通运输：在交通运输领域，计算机仿真技术可以用于模拟交通流量、研究交通网络的拥堵情况，并优化交通信号配时系统。
通过仿真，可以评估不同的交通管理策略，并提供决策支持。
2. 航空航天：在航空航天领域，计算机仿真技术可以用于飞机设计和飞行模拟。
通过仿真，可以评估飞机的气动性能、结构强度和飞行特性，提高飞机的安全性和性能。
3. 医学：在医学领域，计算机仿真技术可以用于人体生理模拟、疾病模拟和药物研发。
通过仿真，可以预测药物对人体的作用和副作用，优化药物剂量和治疗方案。
数学建模计算机模拟
数学建模计算机模拟数学建模和计算机模拟是现代科学研究中非常重要的工具。
这两种技术能够以精确和有效的方式解决各种实际问题，从自然科学到社会科学，从工程学到金融学。
本文将探讨数学建模和计算机模拟的基本概念，以及它们在实际问题中的应用和未来的发展趋势。
一、数学建模数学建模是一种将现实问题转化为数学模型的过程。
它涉及到建立、使用和改进数学模型，以解释现象、预测行为、优化决策等。
数学建模的主要步骤包括：理解问题、建立模型、验证模型、应用模型和评估模型。
在自然科学中，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。
例如，在物理学中，我们可以通过建立微分方程来描述物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过建立量子力学模型来预测分子的结构和化学反应的速率；在生物学中，我们可以通过建立基因网络模型来理解生物体的复杂行为。
在社会科学中，数学建模也被广泛应用于经济学、社会学、心理学等学科。
例如，在经济学中，我们可以通过建立计量经济学模型来预测市场的走势和解释经济现象；在社会学中，我们可以通过建立人口统计学模型来预测人口的变化和规划社会政策；在心理学中，我们可以通过建立认知心理学模型来理解人类的学习和行为。
二、计算机模拟计算机模拟是一种利用计算机来模拟现实世界中的现象和过程的技术。
它涉及到对现实问题的数学建模、编程、运行模拟、分析和解释结果等步骤。
计算机模拟可以用来预测行为、优化决策、测试假设等。
计算机模拟广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、社会科学等。
例如，在物理学中，我们可以通过计算机模拟来模拟物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过计算机模拟来预测分子的结构和化学反应的速率；在社会学中，我们可以通过计算机模拟来模拟社会系统的动态行为。
三、应用案例让我们以一个具体的案例来说明数学建模和计算机模拟的应用。
假设我们想要设计一座桥梁，我们需要考虑桥梁的结构、材料、施工方法等因素。
为了优化设计，我们可以使用数学建模和计算机模拟。
数学建模和计算机仿真
模拟试验有两种结果，每种结果出现的概率都是1/2． 投掷1枚硬币的方式予以确定： 当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确．
（2）当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况
模拟试验有三种结果：毁伤1门火炮的可能性为 1/3(即2/6)，毁伤两门的可能性为1/6，没能毁伤敌 火炮的可能性为1/2(即3/6)． 可用投掷骰子的方法来确定： 如果出现的是１、２、３点，则认为没能击中敌人； 如果出现的是４、５点，则认为毁伤敌人一门火炮； 若出现的是６点，则认为毁伤敌人两门火炮．
简单的例子——数学仿真
2. 符号假设
i： 要模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数； k2：击中敌人一门火炮的射击总数；
k3：击中敌人两门火炮的射击总数．
E： 有效射击比率； E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数．
简单的例子——数学仿真
3. 模拟框图
初始化:i=0, k1=0, k2=0, k3=0 i=i+1 Y
初始化:i=0,k1=0，k2=0,k3=0
i=i+1
Y R2<3/6 R1<=0.5 N
k1=k1+1
R2=? R2>5/6 其它 k2=k2+1 k3=k3+1
k1=k1+1
Y i＜20? N E=(k2 k3 ) E1= 0×k1 +1 × k2 +2 × k3 20 20 20 20 停止
简单的例子——计算机仿真
投掷硬币的计算机模拟 1．产生服从U（0，1）的随机数R1 2．将区间[0，1]等分： 若 0 R1 0.5，则对应硬币正面
若 0.5 R1 1 ，则对应硬币反面
简单的例子——计算机仿真
数学建模和计算机仿真技术的研究和应用
数学建模和计算机仿真技术的研究和应用数学建模和计算机仿真技术是科学领域中的两个重要概念，二者有着千丝万缕的联系。
数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行描述、分析和预测等方面的研究；计算机仿真技术则是指利用计算机对实际问题进行模拟、预测和分析等方面的研究。
本文将从数学建模和计算机仿真技术的基本概念、研究方法、应用前景等方面进行探讨。
一、数学建模概述数学建模是将实际问题用数学语言和符号进行模型化和描述，通过研究模型本身及其解的性质和特征，来研究实际问题的过程。
数学建模的基本流程包括问题描述、变量和参数的选取、建立模型、模型求解、分析和验证等步骤。
模型的建立过程需要根据问题的特点和需求选择不同的数学工具和方法，如微积分、线性代数、概率论、数值计算等。
数学建模不仅有助于科学的研究和实践应用，还可以提高人们的数学素养和科学素养。
二、计算机仿真概述计算机仿真技术是以计算机为工具，通过构建数学模型和运用计算机模拟方法，对实际问题进行数值仿真和模拟。
通过计算机仿真技术，可以对问题进行初步研究和分析，提高问题的理解和预测能力。
计算机模拟涉及数学、物理、计算机科学和工程等领域，可以应用于不同的领域，如航空、汽车、通信等。
三、数学建模与计算机仿真之间的联系数学建模和计算机仿真是两个密不可分的概念，它们之间存在着千丝万缕的联系。
数学建模是建立模型的过程，而计算机仿真是对模型进行计算机模拟的过程。
通过数学建模，可以建立实际情况的数学模型，并通过计算机仿真技术，进行数值分析和模拟，得出有用的结果。
四、数学建模和计算机仿真的应用前景数学建模和计算机仿真在计算机、通信、航空、交通、化工、医学等领域都有广泛应用。
在航空领域，数学建模和计算机仿真技术可以通过模拟飞行条件，提高飞机的安全性和效率；在医学领域，可以通过数学模型和仿真技术，对药物的作用和机理进行研究和预测。
其他领域也可以应用数学建模和计算机仿真技术，如交通、化工等。
计算机仿真与建模技术
计算机仿真与建模技术计算机仿真与建模技术是一项广泛应用于各个领域的技术。
通过数学模型和计算机算法，它可以模拟现实世界中的各种情景，以便进行分析、预测和优化。
本文将探讨计算机仿真与建模技术的定义、应用领域以及其在不同领域中的案例应用。
一、计算机仿真与建模技术的定义计算机仿真是指使用计算机来模拟现实世界中的各种情景或系统。
它通过构建数学模型，运用各种算法和方法，将实际问题转化为计算机可以处理的形式，并通过计算机仿真软件进行模拟，以达到分析和预测的目的。
计算机建模是指将实际问题转化为数学模型的过程，即将问题抽象化为可以用计算机算法处理的形式。
二、计算机仿真与建模技术的应用领域1. 工程领域：在工程领域中，计算机仿真与建模技术广泛应用于设计与优化、工艺流程模拟、结构强度分析等方面。
通过建立工程系统的数学模型和运用计算机仿真软件，可以在设计阶段对产品进行优化，提高产品性能和效率。
2. 医学领域：计算机仿真与建模技术在医学领域的应用涉及疾病模拟、手术模拟、药物研发等方面。
例如，通过对人体组织和器官的建模，可以模拟手术过程，提供医生培训和手术规划的工具。
3. 航空航天领域：在航空航天领域中，计算机仿真与建模技术被广泛应用于飞行器设计与优化、空气动力学模拟、飞行模拟等方面。
通过计算机仿真，可以减少试验成本，提高飞行器的飞行安全性和性能。
4. 社会科学领域：在社会科学领域中，计算机仿真与建模技术可以应用于城市规划、交通流模拟、经济预测等方面。
通过建立社会系统的数学模型，可以模拟人类行为和社会环境，为社会科学研究提供可靠的工具。
三、计算机仿真与建模技术的案例应用1. 汽车工程中的碰撞模拟：汽车制造商使用计算机仿真与建模技术来模拟车辆碰撞事故，以评估车辆的安全性能。
通过构建车辆的数学模型，并考虑各种因素如车速、撞击方向等，可以预测车辆在碰撞时的受力情况和变形程度，为设计和改进车辆结构提供依据。
2. 药物研发中的分子模拟：在药物研发过程中，计算机仿真与建模技术可以用来模拟药物与受体之间的相互作用，预测药物的活性和亲和力。
数学建模之计算机仿真
• 对于随机性系统，可以通过大量的重复试验，获 得其平均意义上的特性指标。
3.适用计算机仿真解决的问题
• 难以用数学公式表示的系统，或者没有建立和求解数学 模型的有效方法．
• 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算 过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方 法．
• 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估 计某些参数对系统行为的影响．
计算机仿真的基本概念
计算机仿真通过建立数学模型、编 制计算机程序实现对真实系统的模拟, 从而了解系统随时间变化的行为或特 性。
计算机仿真的基本概念
仿真举例
计算机仿真反映出新的科学技术的时代特
征,它的应用为各个领域带来新气象和成果。
应用的领域有：
航空管理,
公交车的调度,
飞机设计,
动画设计,
三峡的安全、生态, 道路的修建,
计算机仿真的基本概念
欧洲鼠疫流行时死亡无数
计算机仿真的基本概念
鼠疫期间贵族纷纷弃城逃往
计算机仿真的基本概念
疫如此让人恐怖，那么有没有什么好的预测方式呢？ 计算机仿真就是一个很好的预测方法。 研究发现，鼠疫是由老鼠身上一种特殊的跳蚤传播的。 跳蚤的多少决定是否发生鼠疫
跳蚤 老鼠
水草
我们可以用计算机根据一个地区的气候模拟出当年此 地水草的情况就可以预测出是否有鼠疫要发生。
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对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数） 的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝 与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为 越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解 集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定 界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标 值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不 予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。
2.3 参数线性规划
• 参数线性规划是研究 这些参数中某一参数连 续变化时，使最优解发生变化的各临界点的值。 即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区 间内是这参变量的线性函数，含这参变量的约 束条件是线性等式或不等式。因此仍可用单纯 形法和对偶单纯形法进行分析参数线性规划问 题。
matlab-拓扑优化
的最优解为 x* (2,6)，T 最优目标值 z* 26。
§2 对偶理论与灵敏度分析
• 2.1 原始问题和对偶问题
1.对偶问题 考虑下列一对线性规划模型：
max cT x s.t. Ax b, x 0 (P) min bT y 和 s.t. AT y c, y 0 (D)
称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：原始
2.2 灵敏度分析
在以前讨论线性规划问题时，假定 都是常数。但实际 上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条件一变， 值 就会变化； 往往是因工艺条件的改变而改变； 是根据资源 投入后的经济效果决定的一种决策选择。因此提出这样两个 问题：当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；或者这些系数在什么范围 内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。这里我们 就不讨论了。
z=12
0
0
2
4
6
8
10
• 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用 图解法来求解例1。对于每一固定的值Z，使目标函数值等于Z的点构成的直 线称为目标函数等位线，当Z变动时，我们得到一族平行直线。对于例1，显 然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例
1.4 求解方法分类：
一、分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 二、割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 三、隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
（1）过滤隐枚举法； （2）分枝隐枚举法； 四、匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 五、蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
问题中的第 列系数与其对偶问题中的第 行的系数相同；原始目标函数的 各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；原始问题右侧的各常数 列与其对偶目标函数的各个系数行相同；在这一对问题中，不等式方向 和优化方向相反。
对偶问题的基本性质
14、 可对行称解性是：最对优偶解问时题的的性对质偶：是设原问是题原。问题的可行解， 2是、对弱偶对问偶题性的：可若行解是，原当问题时的，可是行最解优，解是。对偶问题的可 行5、解对。偶则定存理在：。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最 3优、解无；界且性目：标若函原数问值题相（同对。偶问题）为无界解，则其对偶 问6、题互（补原松问弛题性）：无若可分行别解是。原问题和对偶问题的最优解。
x
Aeq x beq
lb x ub
• 其中c和x为x维列向量x，A、Aeq为适当维数的矩阵b， beq为适当维数的列向量。
• 1.3 线性规划问题的解的概念
• 一般线性规划问题的标准型为
n
max z c j x j
(3)
n
j 1
s.t.
aij x j bi i 1,2,, m
(4)
1.3 整数规划特点
一、原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其 整数规划解出现下述情况：
（1）原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解 与线性规划最优解一致。
（2）整数规划无可行解。 （3）有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变 差。
二、 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得
第二章 整数规划
§1 概论
1.12 定整义数规划的分类
规如划不中加的特变殊量说（明部，分一或般全指部整）数限线制性为规整划数。时对，于称整为数整线数 规性划规。划若模在型线大性致规可划分模为型两中类，：变量限制为整数，则称为整数 线性1.规变划量。全目限前制所为流整行数的时求，解称整纯数（规完划全的）方整法数，规往划往。只适用 于整2.数变线量性部规分划限。制目为前整还数没的有，一称种混方合法整能数有规效划地。求解一切整 数规划。
j 1
x j 0 j 1,2,, n
可行解，满足约束条件（4）的解 ，称为线性规划问题的 可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优 解。 可行域，所有可行解构成的集合称为问题的可行域 。
1.4 线性规划的图解法
10
9 2x1+x2=105
4
3
2
x1+x2=8
1
计算机仿真
1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润 分别为4000元与3000元。生产甲机床需用 机器加工， 加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用 三 种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于 加工的机器时数分别为 机器10小时、 机器8小时和 机器 7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润 最大？
• 上述问题的数学模型：设该厂生产 台甲机床和 乙机床 时总利润最大，则 应满足
• （目标函数） max z 4x1 3x2
(1)
这里变量 称之为2决x1策 变x2 量 1，0（1）式被称为问题的目 标s•.t函.s(即.数t.（s，u约（bj束e2c）条t 中t件o的）)。几xx由12个于不x7上2等面式8的是目问标题函的数约及束约条束件条，件记（均为2）
为线性函数，故被称x为1,线x2性规0 划问题。
1.2线性规划的Matlab标准形式
• 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最
小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于
号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中
规定线性规划的标准形式为
min cT x such that Ax b