计算机仿真-数学建模

j 1
x j 0 j 1,2,, n
可行解，满足约束条件（4）的解 ，称为线性规划问题的 可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优 解。 可行域，所有可行解构成的集合称为问题的可行域 。
1.4 线性规划的图解法
10
9 2x1+x2=10
8
7
x2=7
6
(2,6)
5
4
3
2
x1+x2=8
1
z=12
0
0
2
4
6
8
10
• 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用 图解法来求解例1。对于每一固定的值Z，使目标函数值等于Z的点构成的直 线称为目标函数等位线，当Z变动时，我们得到一族平行直线。对于例1，显 然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例
第二章 整数规划
§1 概论
1.12 定整义数规划的分类
规如划不中加的特变殊量说（明部，分一或般全指部整）数限线制性为规整划数。时对，于称整为数整线数 规性划规。划若模在型线大性致规可划分模为型两中类，：变量限制为整数，则称为整数 线性1.规变划量。全目限前制所为流整行数的时求，解称整纯数（规完划全的）方整法数，规往划往。只适用 于整2.数变线量性部规分划限。制目为前整还数没的有，一称种混方合法整能数有规效划地。求解一切整 数规划。
• §2 分枝定界法
对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数） 的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝 与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为 越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解 集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定 界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标 值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不 予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。
• 上述问题的数学模型：设该厂生产 台甲机床和 乙机床 时总利润最大，则 应满足
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• （目标函数） max z 4x1 3x2
(1)
这里变量 称之为2决x1策 变x2 量 1，0（1）式被称为问题的目 标s•.t函.s(即.数t.（s，u约（bj束e2c）条t 中t件o的）)。几xx由12个于不x7上2等面式8的是目问标题函的数约及束约条束件条，件记（均为2）
为线性函数，故被称x为1,线x2性规0 划问题。
1.2线性规划的Matlab标准形式
• 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最
小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于
号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中
规定线性规划的标准形式为
min cT x such that Ax b
1.3 整数规划特点
一、原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其 整数规划解出现下述情况：
（1）原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解 与线性规划最优解一致。
（2）整数规划无可行解。 （3）有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变 差。
二、 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得
的最优解为 x* (2,6)，T 最优目标值 z* 26。
§2 对偶理论与灵敏度分析
• 2.1 原始问题和对偶问题
1.对偶问题 考虑下列一对线性规划模型：
max cT x s.t. Ax b, x 0 (P) min bT y 和 s.t. AT y c, y 0 (D)
称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：原始
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1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润 分别为4000元与3000元。生产甲机床需用 机器加工， 加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用 三 种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于 加工的机器时数分别为 机器10小时、 机器8小时和 机器 7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润 最大？
2.3 参数线性规划
• 参数线性规划是研究 这些参数中某一参数连 续变化时，使最优解发生变化的各临界点的值。 即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区 间内是这参变量的线性函数，含这参变量的约 束条件是线性等式或不等式。因此仍可用单纯 形法和对偶单纯形法进行分析参数线性规划问 题。
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1.4 求解方法分类：
一、分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 二、割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 三、隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
（1）过滤隐枚举法； （2）分枝隐枚举法； 四、匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 五、蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
x
Aeq x beq
lb x ub
• 其中c和x为x维列向量x，A、Aeq为适当维数的矩阵b， beq为适当维数的列向量。
• 1.3 线性规划问题的解的概念
• 一般线性规划问题的标准型为
n
max z c j x j
(3)
n
j 1
s.t.
aij x j bi i 1,2,, m
(4)
问题中的第 列系数与其对偶问题中的第 行的系数相同；原始目标函数的 各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；原始问题右侧的各常数 列与其对偶目标函数的各个系数行相同；在这一对问题中，不等式方向 和优化方向相反。
对偶问题的基本性质
14、 可对行称解性是：最对优偶解问时题的的性对质偶：是设原问是题原。问题的可行解， 2是、对弱偶对问偶题性的：可若行解是，原当问题时的，可是行最解优，解是。对偶问题的可 行5、解对。偶则定存理在：。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最 3优、解无；界且性目：标若函原数问值题相（同对。偶问题）为无界解，则其对偶 问6、题互（补原松问弛题性）：无若可分行别解是。原问题和对偶问题的最优解。
2.2 灵敏度分析
在以前讨论线性规划问题时，假定 都是常数。但实际 上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条件一变， 值 就会变化； 往往是因工艺条件的改变而改变； 是根据资源 投入后的经济效果决定的一种决策选择。因此提出这样两个 问题：当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；或者这些系数在什么范围 内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。这里我们 就不讨论了。