中值定理题目分析总结答案
微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（C ）．A .x e x f =)( B. ||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．A ．),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ．ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ．211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ．211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >． （２）当0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a bξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１）=→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim (sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ．==∞→∞→nn nn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ．=-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ．x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．x x x sin lim 20→B ．x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ．x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim． （２）20222lim xx x x -+-→． 解：20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ． （３）30tan sin lim xxx x -→． 解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim 1+--→＝xx x x x 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６）)111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x （７）x x xtan 0)1(lim +→． 解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx xx x x x x eeee x．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→． 解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xx x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９）n n n ∞→lim ．解： 因为1lim 1limln 1lim ===∞→∞→∞→x x xx x x x eex ，所以n n n ∞→lim =1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ． 解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ， 所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求．4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ． 5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f xx f x ,证明在)1,0(内存在一点,使0)(='''ξf ．证明： 因为 0)(lim 20=→xx f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+=（介于0与之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则． （４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A .x y -=2),(∞+-∞B .x y e =)0,(-∞ C .x y ln =),0(∞+D .x y sin =),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A .)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B.)(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导,且21,x x ∀,当21x x >时,)()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解：011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明： 对任意实数和, 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令x x x f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ，)(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 ||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->,因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增,当1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=,021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增,当0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续,且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos)2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是,最小值是k ---242arccos2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解：c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得：16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解：222)1(11-+-='x x y ,323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时不存在．当01<<-x 或1>x 时,0>''y ,当1-<x 或10<<x 时,0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时,0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的,从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（C ）A ．0x x =是)(x f 的唯一驻点B ．0x x =是)(x f 的极大值点C ．)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１）()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x -'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x ,2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大． 解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π)20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6.工厂与铁路线的垂直距离AC 为20km ,点到火车站的距离为100km .欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站与工厂间的运费最省,问点应选在何处？解:设AD x =,与间的运费为, 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中是某一正数． 由0)34005(2=-+='xx k y ,得15=x .由于k y x 400|0==,k y x 380|15==, 2100511500|+==x y ,其中以k y x 380|15==为最小,因此当AD =15=x km 时,总运费为最省．7．宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点的线段AB 的最大值. 设木料的长度为, y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos +=)2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan a bt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
3章微分中值定理与导数应用习题解答
第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。
高等数学数学分析中值定理习题有答案
第三章 中值定理与导数的应用1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ.5. 讨论方程212x x+=的实根个数.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→8. 求xx x ln 0)1(lim -+→9. 求21)tan (lim 0x xxx →10. 求30)1(sin lim x x x x e x x +-→11. 求2220sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。
13. 求证：bb aa ba b a +++≤+++11114. 比较eπ和πe 的大小.15. 设 ,3,2,1,==n n x n n ，求该数列中的最大项.16. 设⎩⎨⎧>-≤≤=1,)2(10,)(3x x x x x f ，求)(x f 的极值与拐点.17. 设10,1≤≤>x p ，求证：1)1(211≤-+≤-p p p x x .18. 求椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上的点，使得椭圆在该点的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小.第三章 中值定理与导数的应用 答案1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf . 证明：令x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)0(=F ，1)1(-=F ，21)21(=F .由连续函数的介值定理，)1,21(0∈∃x ，0)(0=x F ，又根据罗尔定理，),0(0x ∈∃ξ，0)(='ξF ，即1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）证明：无妨设)()(b f c a f -+'<<'，令cx x f x F -=)()(，则0)(<'+a F ，0)(>'-b F .)(x F 在],[b a 上可导，必连续，因此有最小值)(ξF ，a ≠ξ，否则0)()(lim )(≥--='+→+ax a F x F a F ax 矛盾！；b ≠ξ，否则0)()(lim )(≤--='-→+bx b F x F b F bx 矛盾！因此),(b a ∈ξ.由Fermat 定理，0)(='ξF ，即c f =')(ξ.3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .证明：)(x f 在],[b a 上连续，因此有最大值M x f =)(1，最小值m x f =)(2.由题意m M >，因为)()(b f a f =，所以)()(b f a f M =>，或m b f a f >=)()(.无妨设)()(b f a f M =>，由Lagrange 中值定理可知，),(11x a ∈∃ξ， 0)()()()(1111>--=--='a x a f M a x a f x f f ξ；),(12b x ∈∃ξ，0)()()()(1112<--=--='x b Mb f x b x f b f f ξ.4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x ex x x --=-ξξ.证明：令x e x f x =)(，xx g 1)(=，)(),(x g x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导且0)(≠'x g .由Cauchy 中值定理，),(21x x ∈∃ξ，使)()()()()()(1212x g x g x f x f g f --=''ξξ，即212112x x e x e x e e x x --=-ξξξ.5. 讨论方程212x x +=的实根个数.解：令212)(x x f x--=，)(x f 在),(+∞-∞连续，0)0(=f ，0)1(=f ，0)2(<f ，0)5(>f ，故)(x f 至少有三个实根，若)(x f 有多于三个的实根，则由罗尔定理，)(x f '''有实零点，而0)2(ln 2)(3>='''xx f ，因此)(x f 恰有三个实根.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .证明：设2)()(max 010==≤≤x f x f x ，则)1,0(0∈x ，0)(0='x f .根据Taylor 公式，),0(01x ∈∃ξ，)1,(02x ∈ξ，使2010002)())(()()0(0x f x x f x f f ξ''+-'+==； 202000)1(2)()1)(()()1(0x f x x f x f f -''+-'+==ξ，即4)(21-=''x f ξ，4)1)((202-=-''x f ξ.2100≤<x 时，16)(1-≤''ξf ；1210<≤x 时，16)(2-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→ 解：)1(cot lim 220x x x -→x x x x x x 222220sin sin cos lim -=→300sin cos limsin cos lim x xx x x x x x x x -+=→→ 323cos sin cos lim220-=--=→xx x x x x8. 求xx x ln 0)1(lim -+→解： xx x ln 0)1(lim -+→)1ln(ln 0lim x x x e -→+==-+→)1ln(ln lim 0x x x =-+→x x x ln )(lim 0=-+→x xx 1ln lim 0=--+→2011lim xx x 0lim 0=+→x x 1)1(lim ln 0=-+→x x x9. 求21)tan (lim 0x xxx →解：21)tan (lim 0x xx x →xx x x e tan ln 102lim →=x x x x tan ln 1lim 20→)tan 1ln(1lim 20x x x x x -+=→30tan lim x xx x -=→3131sec lim 220=-=→x x x 31021)tan (lim e xx x x =→10. 求30)1(sin lim xx x x e x x +-→ 解：30)1(sin lim x x x x e xx +-→3333320)1()](!3)][(!321[lim x x x x o x x x o x x x x +-+-++++=→ 31)(3lim 3330=+=→xx o x x11. 求222sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→解：0→x 时，2cos x e x -)](1[)(212222x o x x o x ++-+-=)(2322x o x +-=～232x -； 2220sin )(cos 121lim 2x e x xx x x -+-+→12123)](8121[21lim 2244220-=-+-+-+=→x x x o x x x x12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。
微分中值定理经典题型
例2 设 f ( x)在U(a, )内具有二阶连续导数 ,
f (a) 0 , a h U (a, ),且
f (a h) f (a) hf (a h) (0 1),
证明：lim 1 / 2. h0
证明: f (a h) f (a) hf (a h)
f (a) h[ f (a) f (a 1 h) h] (0 1 1),
f
( x0 )
1 2
f
(1 ) x02
1 2
f
(2 )(1
x0 )2
f ( x) 1,
f
( x0 )
1 2
x02
1 (1 2
x0 )2
(
x0
1)2 2
1 4
又由 x0 [0,1] 知,
x0
1 2
1, 2
于是有
f
( x0 )
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
类似地， 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可微,且 f ( x) a, f ( x) b,其中a, b是非负数. 证明 : x (0,1),有 f ( x) 2a b .
x
x
7 试证至少存在一点
使
证: 法2 用柯西中值定理 . 令
f ( x) sinln x , F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
因此
f (e) f (1) f ( ) , ( 1 , e ) F (e) F (1) F( )
故 方 程f ( x) 0,若 有 根必 有 唯 一 的 根,
以 下 只 须 证f (a f (a)) 0
方法1：
将f ( x)在[a,a
微分中值定理习题解答
上册P 224—226 习题解答1.求下列函数的极值点 , 并确定单调区间 :⑴ =y 1123223+--x x x .解 定义域D =) , (∞+∞-.='y )2)(1(612662-+=--x x x x , y '的符号为 :X可见 ，在区间) 1 , (-∞-和) , 2 (∞+内 y ↗↗，在区间) 2 , 1 (-内y ↘↘ ； y 在点=x 1-取极大值 ，在点=x 2取极小值 . ⑵ =y x x sin +.解 定义域D =) , (∞+∞-.0cos 1≥+='x y ,且使0='y 的点不充满任何区间 ,⇒ 在) , (∞+∞-内y ↗↗.⑶ =y x x ln .解 定义域D =) , 0 (∞+.='y xx 22ln -. y '的符号为 :0 2e X可见 ，在区间) , 0 (2e 内y ↘↘ ，在区间) , (2∞+e 内y ↗↗；y 在点=x 2e取极小值 .⑷ =y xnex -解 定义域D =) , (∞+∞-.)(1x n x e y n x -='--. 1≥n 时 , y '的符号为 :X可见 ，在区间) 0 , (∞-和) , (∞+n 内 y ↘↘，在区间) , 0 (n 内y ↗↗； y 在点=x 0取极小值 ，在点=x n 取极大值 .⑸ =y 322)1(-+x x .解 定义域D =) , 2 () 2 , (∞+∞- .2322)2()5)(1(2)1(31--+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='-x x x x x y . y '的符号为 :X 可见 ，在区间) 1 , (-∞-和) , 5 (∞+内 y ↗↗，在区间) 2 , 1 (-和) 5 , 2 (内y ↘↘；y 在点=x 1-取极大值 , 在点=x 5取极小值 .⑹ =y 211xx+-. 解 定义域D =) , (∞+∞-.()()()222221)21( )21()1()1(2)1(xx x x x x x y ++---=+--+-=', y '的符号为 :21- 21+ X 可见 ，在区间) 21 , (-∞-和) , 21 (∞++内 y ↗↗， 在区间) 21 , 21 (+-内y ↘↘；y 分别在点=x 21-和=x 21+取极大值和极小值 .⑺ =y xx 43+. 解 定义域D =) , 0 () 0 , (∞+∞- .2224343x x x y -=-='2332 3323xx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. y '的符号为 :332-0 332 X可见 ，在区间) 332 , (-∞-和) , 332 (∞+内 y ↗↗，在区间) 0 , 332 (-和 ) 332, 0 (内y ↘↘；y 分别在点=x 332-和=x 332取极大值和极小值 . ⑻ =y )1ln(x x +-.解 定义域D =) , 1 (∞+-.xxx y +=+-='1111. y '的符号为 :X可见 ，在区间) 0 , 1 (-内y ↘↘ ，在区间) , 0 (∞+内y ↗↗；y 在点=x 0取极小值 .⑼ =y x x 33sin cos +.解 定义域D =) , (∞+∞-.y 是周期为π2的周期函数 , 因此仅在] 2 , 0 [π上讨论 .)s i n (c o s 2s i n 23c o s s i n 3s i n c o s 322x x x x x x y --=+-=',y '在] 2 , 0 [π上的符号为 :4 2π42π2 X 可见 ，在区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2 , 4ππ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛45, ππ 和 ⎪⎭⎫⎝⎛ππ2 , 23内y ↗↗ , 在区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛4 , 0π, ⎪⎭⎫⎝⎛ππ , 2和 ⎪⎭⎫⎝⎛23 , 45ππ内y ↘↘. y 在点=x 0,45 , 2ππ和π2取极大值 , 在点=x , 4ππ和23π取极小值.( 注意 : 在上述讨论中 , 0=x 和π2并不是区间的端点 . )⑽ =y x x -arctan .解 定义域D =) , (∞+∞-.01112≤-+='xy , 且仅在点=x 0有0='y . 因此 , 在) , (∞+∞-内y ↘↘.无极值 . ⑾ =y xxee -+2.解 定义域D =) , (∞+∞-.xx xx ee ee y 1222-=-='-, 驻点为=x 22ln . y '的符号为 :22lnX因此, 在区间) 22ln , (∞-内y ↘↘，在区间) , 22ln (∞+内y ↗↗；y 在点=x 22ln 取极小值 .⑿ =y 32)1(2--x .解 定义域D =) , (∞+∞-.31)1(32---='x y , y 在点=x 1不可导 . y '的符号为 :X因此 ,在区间) 1 , (∞-内y ↗↗ , 在区间) , 1 (∞+内y ↘↘. y 在点=x 1取极大值 . ⒀ =y 25431xx ++.解 定义域D =) , (∞+∞-.23)54(5122x x y +-='.易见, 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞- 512 , 内y ↗↗ , 在区间⎪⎭⎫⎝⎛∞+ , 512 内y ↘↘.y 在点=x 512取极大值 . ⒁ =y xx 1.解 定义域D =) , 0 (∞+.21ln 1xxx y x-⋅='. 易见 , 在区间) , 0 (e 内y ↗↗ , 在) , (∞+e 内y ↘↘ . y 在点e x =取极大值 . 2．求下列函数的拐点 ，并确定它们的保凸区间 ：⑴ =y 233x x +-. 解 定义域为) , (∞+∞-.x x y 632+-=', )1(666x x y -=+-=''. 可见 :y 在区间) 1 , (∞-内下凸 , 在区间) , 1 (∞+内上凸 ; 仅有一个拐点 ) 2 , 1 (.⑵ =y x x sin +.解 定义域为) , (∞+∞-.x y cos 1+=', x y sin -=''. 对于 , 2 , 1 , 0 ±±=k ,在区间) 2 , 2 (πππ+k k 内0<''y , y 上凸 ; 在区间 () )1(2 , )12( ππ++k k 内0>''y ,y 下凸 . 拐点为) , (ππk k .⑶ =y 21x +.解 定义域为) , (∞+∞-.21xx y +=', 0)1(1232>+=''x y . y 在) , (∞+∞-内下凸 , 没有拐点 .⑷ =y xxe -.解 定义域为) , (∞+∞-.x x xe e y ---=', x e x y --='')2(. 可见:在区间 ) 2 , (∞-内 0<''y , y 上凸 ; 在区间 ) , 2 (∞+内 0>''y 下凸 . 仅有一个 拐点 ) 2 , 2 (2-e .⑸ =y 322)1(-+x x .解 定义域为) , 2 () 2 , (∞+∞- .2322)2()5)(1(2)1(31--+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='-x x x x x y . =''y 3137)1()2()14(92+--⋅x x x .y ''的符号为:X因此 , y 在区间) 1 , (-∞-和) 14 , 2 (内上凸 , 在区间) 2 , 1 (-和) , 14 (∞+内下凸 ; 该曲线仅有一个拐点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 475 , 14 3.⑹ =y xx +-112.解 定义域为) , 1 () 1 , (∞+--∞- .1-='y , y 在点1-=x 连续 , 所以不可导 ; 0=''y ,) 1 (-≠x .因此函数y 在区间) 1 , (-∞-和) , 1 (∞+-内是线性函数 ,也是保凸的( 视为上凸或下凸均可 ). 该曲线没有拐点 .⑺ =y x x -a r c ta n . 解 定义域为) , (∞+∞-.1112-+='x y , 22)1 (2x x y +-=''. 可见 , 在) 0 , (∞-内0>''y , y 下凸 ; 在) , 0 (∞+内0<''y , y 上凸 ; 拐点为) 0 , 0 (. ⑻ =y )1l n (x x +-. 解 定义域为) , 1 (∞+-.x y +-='111, 2)1(1x y +=''0>. y 在其定义域) , 1 (∞+-内下凸 . 无拐点 . ⑼ =y xe x ++4)1(.解 定义域为) , (∞+∞-.x e x y ++='3)1(4,0)1(122>++=''x e x y .y 在其定义域) , (∞+∞-内下凸 . 无拐点 .⑽ =y )1ln(2x +. 解 定义域为) , (∞+∞-.212x x y +=' , 22222)1()1)(1(2)1(12x x x x x y ++-⋅=+-⋅=''. y ''的符号为:X可见 , 在区间) 1 , (-∞-和) , 1 (∞+内0<''y ,在这两个区间内y 上凸 ; 在区间) 1 , 1 (- 内0>''y , y 下凸 .该函数有两个拐点 : ) 2ln , 1 (±. ⑾ =y xearctan .解 定义域为) , (∞+∞-.2a r cta n 11x ey x +⋅=', 22a r ctan22a rcta na r c t a n )1()21()1(2x e x x xee y x x x +-=+-=''.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞- 21 , 内0>''y , y 下凸 ; 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+ , 21 内0<''y , y 上凸 . y 有一个拐点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a r c tan, 21 e .⑿ =y 1-+x x .解 定义域为) , 1 [∞+. 1>x 时 ,1211-+='x y , 01)1(141<---=''x x y .y 在其定义域) , 1 [∞+上上凸 ,无拐点 .3. ⑴ 设函数)(x f 在点0x 处二阶可导 . 证明 : )(x f 在点0x 处取到极大值(极小值)的必 要条件是0)(0='x f 且) 0 ( 0)(0≥≤''x f .证 设函数)(x f 在点0x 处取到极大值 . 把)(x f 在点0x 处展开为具Peano 型余项的 Taylor 公式 , 并注意到0)(0='x f , 就有()=-+-''+-'+=20200000)())((21))(()()(x x x x x f x x x f x f x f ()202000)())((21)(x x x x x f x f -+-''+= . 即 21)()(0=-x f x f ())())((0200x x x x x f -+-'' .上式右端的符号由200))((x x x f -''决定 , 即由)(0x f ''决定 . 由于0)()(0≤-x f x f , ⇒()0)())((210200≤-+-''x x x x x f ，即 0)(0≤''x f . 同理可证: )(x f 在点0x 处取到极小值时 , 0)(0='x f 且 0 )(0≥''x f .⑵ 证明: 设函数)(x f 在点0x 处二阶可导 , 0)(0='x f .则 ⅰ> 0 )(0<''x f 时 , 0x 是极大值点 ;ⅱ> 0 )(0>''x f 时 , 0x 是极小值点 ;ⅲ> 0 )(0=''x f 时 , 0x 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .证 把)(x f 在点0x 展开为具Peano 型余项的Taylor 公式, 注意到0)(0='x f , 就有 21)()(0=-x f x f ())())((0200x x x x x f -+-'' . 当0x x →且0)(0≠''x f 时 , 上式右端的符号由)(0x f ''决定 . 于是ⅰ> 0 )(0<''x f 时 ,在点0x 的某邻域内有21)()(0=-x f x f ()0)())((0200<-+-''x x x x x f .可见)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值 ，即0x 是极大值点 。
高等数学(上)06-微分中值定理 答案详解
2.6 微分中值定理一、设汽车沿直线作变速运动，其速度v 随时间t 变化的函数()v f t =是连续且可导的，已 知在1212,()t t t t <时刻其速度均为0v ，则在1t 到2t 这个时间段内一定有一时刻瞬时加速度为 0，请用相应的微分中值定理解释这一现象．解：利用罗尔定理，()v f t =在12[,]t t 上连续，在12(,)t t 内可导，120()()f t f t v ==则至少存在一点012(,)t t t ∈，使得00()()0f t a t '==即在1t 到2t 这个时间段内一定有一时刻瞬时加速度为0二、不求函数(1)(3)y x x x =--的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出实根所在区间．解：(0)(1)(2)(3)f f f f ===且()f x 在R 上均连续且可导由罗尔定理，至少存在123(0,1),(1,2),(2,3)ξξξ∈∈∈使123()()()0f f f ξξξ'''=== 又()f x 是四次函数，有()0f x '=是三次方程，至多有三个实根()0f x '∴=有且只有三个实根，分别位于(0,1),(1,2),(2,3)三、证明不等式:sin sin b a b a -≤-．证明：令()sin f x x =当a b =时，结论显然成立当a b ≠时，不妨设b a >，显然()sin f x x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导 由拉格朗日中值定理有sin sin cos ()()b a b a a b ξξ-=-<<，sin sin cos b a b a b a ξ∴-=-≤-四、当1x ≥时，证明：222arctan arcsin1x x x π+=+． 证明：令22()2arctan arcsin 1x f x x x=++，有1x ≥时2222222222()011(1)(1)x f x x x x x -'==+=++-+()f x C ⇒≡，又(1)242f πππ=⨯+=，故222arctan arcsin 1x x x π+=+ *五、若函数()f x 可导，试证在其两个零点间，一定有()()f x f x '+的零点． 证明：设,()a b a b <为()f x 的两个零点，即()()0f a f b ==构造辅助函数()()x F x e f x =，易得()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导 且()()0F a F b ==由罗尔定理得，(,)a b ξ∃∈，使得()[()()]0F e f f ξξξξ''=+=从而有()()0f f ξξ'+=，即ξ为()()f x f x '+的零点考研真题：*证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.分析：逆向思维构造函数()F x ，将问题转化为求其导函数的零点 证明：令()()()()f b f a F x f x x b a-=--，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()()()()()()()()()(),()()f b f a bf a af b f b f a bf a af b F b f b b F a f a a b a b a b a b a----=-==-=----()()F a F b ⇒=∴由罗尔定理，至少存在(,)a b ξ∈使得()0F ξ'=，即()()()0f b f a f b a ξ-'-=- 即()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
中值定理复习题总结-14页 文字版
， 使得
（1） 可得结论； （2）若
在 内同一点 取得最大值，则
， 两次罗尔中值定理
在 内不同点 取得最大值， 则
， 由零点定理得
得
， 两次罗尔中值定理可得结论
，使
例 11.设函数
在 的某个邻域内具有 阶导数， 且
证明： 介于 0与 之间， 有
.
证明： ∵ 、 且在 每一点处，
及其各阶导数在 上连续， 在 上可导，
内至少存在两个不同的点 ， 使得
证明： 令
， 则有
， 再由
由积分中值定理得
.再 对
在区间
，因
， 必有
上 分 别 用 罗 尔 定 理， 知 至 少 存 在
， 使得
，即
.
推广的积分中值定理： 设
在区间
上连续，
在区间
上连续且
不变号， 证明： 至少存在一点
， 使得
例 32 解： 由推广的积分中值定理得
（2） 例 16.证明： 当 时， 证明： 令
， 其中
在Ⅰ上可导且 C为常数.
当 时有
，
所以
.因为 在 时连续， 从而
故
即
例 17.设 可导，
，
是 的反函数， 证明：
证明： 即证 引入辅助函数
， 即结论成立
， 于是
， 所以
常数， 从而
题型五： 利用泰勒中值定理证明等式和不等式
+
注：（1）欲证等式或不等式中含有二阶或二阶以上导数时， 可考虑用泰勒中值定 理证明；（2）关键问题： 选择合适的 与
；
（2）
，则
即：
；
（3） （4） （5）
，则 ，则
中值定理的参考题(有分析和解答)
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
值定理，故( x,
x)
，使
f ( x) f ( x) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x) A 。 同理可证 f ( x) B 。
分段函数在分段点 x处的导数 f ( x) 的求法
方法一
求出
f
(
x)
（2）分析：所证结论中的g() 的位置相当于（1） 中的 ，而（1）中的 是由ex 求导而得到的， 故可设辅助函数G( x)e g( x) f ( x) 。
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
分析：（1）即证[ f ( x)f ( x)] x 0 。
注意到[ex f ( x)]ex[ f ( x)f ( x)] ， 故取 F ( x)ex f ( x) 。
证明：设 F(x)ex f (x) ， 则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ， 由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ， 即e[ f ()f ()]0 ， 由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。
数学分析6微分中值定理及其应用总练习题详解
第六章 微分中值定理及其应用总练习题1、证明：若f(x)在(a,b)内可导，且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.证：定义f(a)=+→a x lim f(x)，f(b)=-→b x lim f(x)，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，由罗尔中值定理知 至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.2、证明：若x>0，则 (1)1x +-x =θ(x)x 21+，其中41<θ(x)<21；(2)0x lim →θ(x)=41，+∞→x lim θ(x)=21. 证：(1)由拉格朗日中值定理得：1x +-x =θ(x)x 21+, (0<θ(x)<1)，∴θ(x)x 2+=x1x 1-+=1x ++x ，∴θ(x)=41+21[1)x(x +-x].∵1)x(x +-x>2x -x=0，∴41+21[1)x(x +-x]>41； 又1)x(x +-x=x1)x(x x ++<xx x 2+=21，∴41+21[1)x(x +-x] <21.∴41<θ(x)<21.(2)(1)中已证θ(x)=41+21[1)x(x +-x]，∴0x lim →θ(x)=0x lim →{41+21[1)x(x +-x]}=41； +∞→x lim θ(x)=+∞→x lim {41+21[1)x(x +-x]}=41+21+∞→x lim 1x111++=21.3、设函数f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).证：记F(x)=xf (x)，G(x)=x 1，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得)(G )(F ξξ''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)，又)(G )(F ξξ''=f(ξ)- ξf ’(ξ)，∴f(ξ)- ξf ’(ξ)=G(a)-G(b)F(a)-F(b).又f(b)f(a)b a b -a 1=b -a bf (a)-af (b)=a1-b 1a f(a)-bf(b)=G(a)-G(b)F(a)-F(b)， ∴f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).4、设函数f 在[a,b]上三阶可导，证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ). 证：记F(x)=f(x)-f(a)-21(x-a)[f ’(x)+f ’(a)]，G(x)=(x-a)3，则 F,G 在[a,b]上二阶可导，F ’(x)=f ’(x)-21[f ’(x)+f ’(a)]-21(x-a)f ”(x)，G ’(x)=3(x-a)2，F ”(x)=f ”(x)-21f ”(x)-21f ”(x)-21(x-a)f ’”(x)=-21(x-a)f ’”(x)；G ”(x)=6(x-a).且F(a)=F ’(a)=0，G(a)=G ’(a)=0.根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得)(G )(F ηη''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)=G(b)F(b)=3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'， 又根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, η)，使得)(G )(F ξξ''''=(a)G -)(G (a)F -)(F ''''ηη=)(G )(F ηη''，又)(G )(F ξξ''''=a)-6()(f )a (21-ξξξ'''-=-121f ”’(ξ).∴3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'=-121f ”’(ξ). ∴f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ).5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明： 对x>0，有0<x)ln(11+-x1<1.证：f ’(x)=x11+. 对f 在区间[0,x]应用拉格朗日中值定理得： f ’(ξ)=0-x f (0)-f (x)=x ln1-x)ln(1+= x x)ln(1+，∴ln(1+x)=xf ’(ξ)=ξ1x+. ∴x)ln(11+=x ξ1+=x 1+x ξ；即x)ln(11+-x 1=xξ.又0<xξ<1，∴0<x)ln(11+-x1<1.6、设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数，且f(x)=(na a a x n x 2x 1+⋯++)x1. 证明：(1)0x lim →f(x)=nx n x 2x 1a ··a ·a ⋯；(2)∞→x lim f(x)=max{a 1,a 2,…,a n }. 证：(1)0x lim →f(x)=e na a a ln x 1lim x n x 2x 10+⋯++→x = exn x 2x 1nx n 2x 21x 10a a a a ln a a ln a a ln a lim+⋯+++⋯++→x= ena ln a ln a ln n21+⋯++=n xn x 2x 1a ··a ·a ⋯. (2)记A=max{a 1,a 2,…,a n }，则0<Aa k≤1, (k=1,2,…,n)∵f(x)=A[n)A a()A a ()Aa (x n x 2x 1+⋯++]x 1，∴A(n 1)x 1<f(x)≤A ， 又∞→x lim A(n1)x1=A ，∴∞→x lim f(x)=A=max{a 1,a 2,…,a n }.7、求下列极根： (1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11；(2)2xx x x)ln(1-xe lim+→；(3)sinxx 1sinx lim20x →.解：(1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11=e)x 1ln()x 1ln(lim21x --=→= e21x x1)x 1(x 2lim--=→=ex 1x 2lim1x +=→=e.(2)2x 0x x x)ln(1-xe lim +→=2xx 11-xe e lim xx0x ++→=2x)(11xe 2e lim 2x x 0x +++→=23. (3)sinxx 1sinx lim20x →=)sinx x ·x 1sin x (lim 0x →=)x 1sin x (lim 0x →·sinx x lim 0x →=0·1=0.8、设h>0，函数f 在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f (n+2)(a)≠0, f 在U(a,h)内的泰勒公式为：f(a+h)=f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )θh a (f 1)(n +++h n+1, 0<θ<1.证明：θlimh →=2n 1+. 证：f 在U(a,h)内带皮亚诺型余项的n+2阶泰勒公式为：f(a+h)= f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )a (f 1)(n ++h n+1+2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o(h n+2),与题中所给泰勒公式相减得：1)!(n )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n +-+++h n+1=2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o (h n+2).∴1)!(n θ+·θh )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n ++-+=2)!(n )a (f 2)(n +++2n 2n h )h (++o .令h →0两端取极限得：1)!(n )a (f 2)(n ++θlim 0h →=2)!(n )a (f 2)(n ++，∴θlim 0h →=2n 1+.9、设k>0，试问k 为何值时，方程arctanx-kx=0存在正根.解：若方程arctanx-kx=0有正根x 0，∵f(x)=arctanx-kx 在[0,x 0]上可导， 且f(0)=f(x 0)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0,x 0)，使得 f ’(ξ)=2ξ11+-k=0. 可见0<k<1. 反之，当0<k<1时，由f ’(x)=2x11+-k 连续，f ’(0)=1-k>0， ∴存在某邻域U(0,δ)，使得在U(0,δ)内，f ’(x)>0，f(x)严格递增， 从而存在a>0，使f(a)>f(0)=0. 又+∞→x lim f(x)=-∞，∴存在b>a ，使f(b)<0， 由根的存在定理知，arctanx-kx=0在(a,b)内有正根. ∴当且仅当0<k<1时，原方程存在正根.10、证明：对任一多项式p(x)来说，一定存在点x 1与x 2，使p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上分别严格单调.证：设p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+ a n-1x+a n ，其中a 0≠0，不妨设a 0>0. 当n=1时，p(x)=a 0x+a 1，p ’(x)=a 0>0，∴p(x)在R 上严格增，结论成立. 当n ≥2时，p ’(x)=na 0x n-1+(n-1)a 1x n-2+…+ a n-1，若n 为奇数，则∞→x lim p ’(x)=+∞，∴对任给的G>0，存在M>0，使 当|x|>M 时，有p ’(x)>G>0，取x 1=M ，x 2=-M ，则 p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上均严格增.若n 为偶数，则+∞→x lim p ’(x)=+∞，-∞→x lim p ’(x)=-∞， ∴对任给的G>0，存在M>0，使当x>M 时，有p ’(x)>G>0，当x<-M 时，p ’(x)<-G<0，取x 1=M ，x 2=-M ， 则p(x)在(x 1,+∞)上严格增，在(-∞,x 2)上严格减. 综上原命题得证。
经管类 微积分 资料答案详解第四章 中值定理与导数应用
第四章 中值定理与导数应用一、填空1、)4()3()2()1(f f f f ===，)(x f 在[1,2] ，[2,3] ，[3,4] 上均满足罗尔定理条件，所以在每个开区间内都存在且仅存在一点i ξ使得0)(='i f ξ，即方程0)(='x f 在每个区间内都有且仅有一个根，共有3个根。
2、34)(x x f ='，151212)(44=--='ξf ，即1543=ξ，3415=ξ 3、因为)(x F 在0=x 处连续，所以有)(lim )0(0x F F x →=即)(lim 0x F A x →=a b a f xxa x f x f x x a x f x F A x x x x +=+'=+--=+==→→→→)0(sin lim 0)0()(lim sin )(lim)(lim 0004、3ln ,13ln 3ln 3lim 13lim 00====-→→a aa ax x x x x5、0232=+='p x y ，将驻点1±=x 代入得23-=p 6、令22)1(2)1()1()1(+=+--+='x x x x y 函数在[0,4]内无驻点和不可导点， 1|0-==x y ，53|4==x y ，函数在[0,4]上的最小值是1min -=y 7、令0134)1()1(32)(322312=-='-⋅-='-x x x x x f ，得驻点01=x ， 函数有不可导点13,2±=x ， 1)0(=f ，0)1()1(==-f f 函数在[-1,1]上的最大值是1，最小值是0 8、∞=-→xx e 11lim0，铅垂渐近线为0=x ；111lim =--∞→x x e ，011lim =-+∞→xx e ， 水平渐近线是0=y 和1=y9、由于函数只有一条水平渐近线1=y 且∞=+∞→)(lim x f x ，所以1)(lim =-∞→x f x 10、2arctan lim lim ,2arctan lim lim21ππ-====⋅==-∞→-∞→+∞→+∞→x x x x y a x x x x y a x x x x1111lim 12arctan lim )2arctan (lim 22-=-+=-=-=∞→∞→∞→xx x x x x x b x x x ππ斜渐近线为2条，分别为12-=x y π和12--=x y π11、0)()()()()(lim )()(2)(lim 020=''=-----+=-+-+→→a f hh a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h h 12、0)(6|),(6212=-=''-=''=b a a y b ax a y x ，a 与b 的关系为0≠=b a13、a x x f b ax x x f 26)(,23)(2+=''++='⎪⎩⎪⎨⎧=+=''=='==026)1(0)0(1)0(a f b f c f ⎪⎩⎪⎨⎧==-=103c b a 13)(23+-=x x x f二、选择题1、A ，B 不满足第三个条件，C 不满足第二个条件，选D2)(x f 在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，在(a,b)内至少存在一点ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ成立，0)(,0,0)()(>'∴>->-ξf a b a f b f 选B3、)(x f 在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件，在(1,3)内至少存在一点ξ使得2113)1()3()(-=--='f f f ξ成立，由导数的几何意义知曲线在ξ点的切线与x y 21-=平行。
经济数学——微积分——中值定理的答案
第四章 中值定理，导数的应用§4.1 中值定理一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A) . (A) 256,[2,3]y x x =-+ (B) e ,[0,1]x y x -= (C)[0,2]y =(D) 1,5,[0,5]1,5x x y x +<⎧=⎨≥⎩2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是 (B) . (A) 22,[1,1]1x y x=-+ (B) ,[1,2]y x =-(C) 32452,[0,1]y x x x =-+- (D) 2ln(1),[0,3]y x =+3、函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的ξ= (B) . (A) 0 (B) 1 (C)12(D)324、设()y f x =是(,)a b 内的可导函数，,x x x +∆是(,)a b 内任意两点，则 (C) . (A) ()y f x x '∆=∆(B) 在,x x x +∆之间恰有一点ξ，使()y f x ξ'∆=∆ (C) 在,x x x +∆之间至少有一点ξ，使()y f x ξ'∆=∆ (D) 对于,x x x +∆之间任意一点ξ，均有()y f x ξ'∆=∆ 5、设()f x 在[,]a b 上有定义，在(,)a b 内可导，则 (B) . (A) 当()()0f a f b ⋅<时，存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ= (B) 对于任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=(C) 当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'= (D) 存在(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=- 析：ABC 均要求()f x 在[,]a b 上连续.二、证明题1、已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =.求证至少存在一点(0,1)ξ∈，使()()f f ξξξ'=-.证明 令()()F x xf x =，则()()()F x f x x f x ''=+，由题设知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(0)0,(1)1(1)0F f F f =⋅==⋅=.所以根据罗尔定理，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0f xf ξξ'+=，从而()()f f ξξξ'=-.2、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，0a b <<.试证明存在两点,(,)a b ξη∈，使得()()()2f f a b ηξη''=+.证明 令2()g x x =,则(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.且在(,)a b 内，()20g x x '=≠.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=-；又由柯西中值定理，至少存在一点(0,1)η∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ηη'-='-，即()()()11()2f f b f a f b ab ab aηξη'-'=⋅=⋅-++，亦即 ()()()2f f a b ηξη''=+.所以存在两点,(,)a b ξη∈，使得()()()2f f a b ηξη''=+.3、用拉格朗日中值定理证明：0x >时，ln(1)1x x x x<+<+.证明 令()ln(1)f x x =+，1()1f x x'=+.显然()f x 在[0,]x 上连续，在(0,)x 内可导.根据拉格朗日中值定理,()(0)()(0)(0)f x f f x x ξξ'-=-<<，即ln(1)1x x ξ+=+，又11x x x xξ<<++，所以当0x >时，有ln(1)1x x x x<+<+.4、证明方程510x x +-=只有一个正实根.证明 ①存在性 令5()1f x x x =+-，()f x 在[0,1]上连续,(0)10,(1)10f f =-<=>，据零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ=，即方程510x x +-=至少有一实根(0,1)ξ∈.②唯一性 用反证法，假设方程510x x +-=有两个实根12,x x 且12x x <，则有12()()0f x f x ==，又()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点12(,)x x η∈，使得()0f η'=，即4510η+=，矛盾.所以510x x +-=只有一个实根.综合①②知，方程510x x +-=只有一个正实根.§4.2洛必达法则一、填空题1、0e elimsin xxx x-→-=2；是00型未定式.2、2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭=0；是∞∞型未定式.3、1lim (1)x x x →∞+=1；是∞型未定式.4、21lim 1x x x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭1e -；是1∞型未定式.5、2201lim cot x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭23；是∞-∞型未定式.析：2201l i m c o t x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭222220sin cos lim sin x x x x x x →-()()40s i n c o s s i n c o sl i m x x x x x x x x →-+=30sin sin cos lim cos x x x x x x x x →-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20cos cos sin 2lim 3x x x x x x →-+=0sin 22lim 33x x x →== 二、单项选择题1、设0()lim()x x f x g x →为未定式，则0()lim()x x f x g x →''存在是0()lim()x x f x g x →也存在的 (A) 条件.(A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要 (D) 既非充分也非必要2、求21sinlimsin x x x x→时，下列各种解法正确的是 (C) .(A) 用法洛必达则后，求得极限为零 (B) 因为01lim sinx x→不存在，所以上述极限不存在(C) 原式01lim sin 0sin x xx x x →⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭(D) 因为不能用洛必达法则，所以极限不存在3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是 (C) .(A) 21sinlimsin x x x x→ (B) cos lim cos x x x x x →∞+- (C) 0sin lim sin x x x x x →- (D) 1ln lim 1x x x x →+-三、用洛必达法则计算下列极限1、2232tan tan sec 1limlim(sin )limsin 3x x x x x x x x x x x xxx→→→---== 因222sec tan sec 1limlim()633x x x xx x x x→→⋅===因tan .2、22221111ln 1111lim lim lim lim 11111arccot 11x x x x x x x x x xx x→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪+⎝⎭==⋅=⋅=-++. 或2222111ln 11limlim lim lim11arccot arccot 1x x x x x x x xxx xx→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+- ⎪+⎝⎭====-+.3、11111ln 1ln 11ln lim lim lim lim 111ln (1)ln ln ln 1x x x x xx x x x xx x x x xx x x x→→→→-++-⎛⎫-===⎪---⎝⎭++-1211lim112x x x x→==+.4、1ln(e )limlim (e )exx x x x x x x →+∞→+∞++=,而 ln(e )1e ee limlimlimlim1e1+eexx x xxxxx x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++====+，所以 1lim (e )e xx x x →+∞+=.5、11(ln 1)1limlim()1ln 11xxxx x x xx x x x x x →→-+-=-+-的导数由取对数求导法算出21121(ln 1)(ln 1)1limlim111x xxx x x x x x x x x x→→++⋅+-==--2211lim (ln 1)2x x x x x x ++→⎡⎤=-++=-⎣⎦.§4.3 导数的应用（一） 函数的单调性一、单项选择题1、函数arctan y x x =-在(,)-∞+∞内 (A) .(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不单调 (D) 不连续 2、设()f x =，则()f x 的单调递减区间为 (A) .(A) 2[,1]3(B) 2(,],[1,)3-∞+∞ (C) (,1)-∞ (D) 2[,)3+∞二、求函数32()231213f x x x x =--+的单调区间.解 定义域(,)x ∈-∞+∞，2()66126(1)(2)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得121,2x x =-=，列表如下：三、求函数23()(1)f x x x =-的单调区间.解 定义域(,)x ∈-∞+∞，213313252()(1)33x f x x x xx --=+-⋅=,令()0f x '=，得25x =，又0x =为()f x 的不可导点，列表如下：四、利用单调性证明不等式1、0x >时，2cos 12xx >-.证明 令2()cos 12xf x x =-+，则()sin f x x x '=-+，()cos 10f x x ''=-+≥，所以()f x '在(0,)+∞内单调递增，于是有()(0)0f x f ''>=，从而()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即2cos 102xx -+>，亦即2cos 12xx >-.2、0x >时，(1ln x x ++>证明令(()1ln f x x x =++-,则((()ln ln x x f x x x x '=++⋅-=+>0从而又有()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即(1ln 0x x ++->，亦即(1ln x x ++>§4.3 导数的应用（二） 函数的极值一、单项选择题1、若函数()f x 的极值点是0x ，则必有 (D) .(A)0()0f x '= (B)0()f x '不存在 (C)0()0f x '≠ (D)0()0f x '=或0()f x '不存在2、设23()(1)f x x =-，则1x =是()f x 的 (D) .(A) 间断点 (B) 可导点 (C) 驻点 (D) 极值点 3、设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在x a =处 (A) .(A) 必有极大值 (B) 必有极小值 (C) 没有极值 (D) 是否有极值不能确定 析：2()()()limlim1()2()x ax af x f a f x x a x a →→'-=---洛必达,lim ()0x af x →'∴=，即()0f a '=,()()()limlim2()2()x ax a f x f x f a x a x a →→'''-=--''''()()lim122x af x f a →===-,()20f a ''=-<,()f x ∴在x a =处取得极大值二、求函数()e x f x x -=的极值.解 定义域(,)x ∈-∞+∞，()e e e (1)x x x f x x x ---'=-=-，令()0f x '=，得驻点1x =， 列表如下：所以()f x 的极大值为1(1)e f -=,无极小值.三、求函数32()(1)xf x x =-的极值.解 定义域(,1)(1,)x ∈-∞+∞ ，2232433(1)2(1)(3)()(1)(1)x x x x x x f x x x --⋅--'==--，令()0f x '=，得驻点120,3x x ==，列表如下：所以()f x 的极小值为27(3)4f =，无极大值.四、试求a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在点3x π=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值.解 ()cos cos 3f x a x x '=+，据题设知03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即cos cos 03a ππ+=，2a =.()2sin 3sin 3f x x x ''=--,从而2sin 3sin 033f πππ⎛⎫''=--=< ⎪⎝⎭，所以3x π=是()f x 的极大值点，极大值3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭§4.3 导数的应用（三） 凸性与拐点一、单项选择题1、若在区间(,)a b 内，()0,()0f x f x '''><，则()f x 在该区间内 (D) . (A) 单调减少，曲线是凹的 (B) 单调增加，曲线是凹的 (C) 单调减少，曲线是凸的 (D) 单调增加，曲线是凸的2、若点(1,0)是曲线322y ax bx =++的拐点，则 (B) .(A) 1,2a b == (B) 1,3a b ==- (C) 0,3a b ==- (D) 2,2a b == 3、曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 (C) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4、曲线arctan y x x =的图形在 (A) .(A) (,)-∞+∞内是凹的 (B) (,)-∞+∞内是凸的 (C) (,0)-∞内是凹的，(0,)+∞内是凸的 (D) (,0)-∞内是凸的，(0,)+∞内是凹的 5、设()f x '在x a =处连续，又()lim1x af x x a→'=--，则 (B) .(A) x a =是()f x 的极小值点 (B) x a =是()f x 的极大值点 (C) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点(D) x a =不是()f x 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点二、求曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点.解 定义域(,)x ∈-∞+∞，221x y x'=+，2222222(1)222(1)(1)(1)x x xx y x x +-⋅-''==++，令0y ''=，得121,1x x =-=，列表得结论如下：三、已知曲线32y ax bx cx =++在点(1,2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求,,a b c 的值，并写出该曲线的方程.解 232,62y ax bx c y ax b '''=++=+，由题设知1102,0,0x x x yy y ==='''===，即232020a b c a b c b ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得 103a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以曲线的方程为33y x x =-+.§4.3 导数的应用（四） 函数图形的描绘一、填空题1、曲线221(1)x y x -=-有2条渐近线，其方程为10x y ==和.2、曲线ln x y x x=+的垂直渐近线为x =，斜渐近线为y x=.3、曲线e x y x -=+有斜渐近线y x=.4、曲线32(1)xy x =-有垂直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.5、曲线211earctan(1)(2)x x x y x x +-=+-有2条渐近线.析：2211lim earctan(1)(2)4x x x x x x π→∞+-=+-，4y π∴=是水平渐近线；2211lim e arctan,0(1)(2)x x x x x x x →+-=∞∴=+-是垂直渐近线.二、求函数e 1xy x -=+的单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近线，作出函数的图形.解 定义域(,)x ∈-∞+∞.(1)e ,(2)e x xy x y x --'''''=-=-.令0y '=，得1x =；令0y ''=，得2x =，无一阶导数和二阶导数不存在的点.列表得结论如下：极大值1(1)e 1y -=+，拐点()22,2e 1-+. 因为1lim (e 1)lim1lim11eex xxx x x x x -→∞→∞→∞+=+=+=，所以1y =为曲线的水平渐近线，曲线无垂直渐近线和斜渐近线.选取辅助点3(0,1),(3,3e 1)-+，做出函数的图形如下：1x =无垂直渐近线和斜渐近线. 选取辅助点3(0,1),(3,3e 1)-+，做出函数的图形如下：§4.4函数最大值与最小值及其在经济中的应用一、填空题1、y x =+[5,1]-上的最大值为54，最小值为5.2、y =[1,3]-0.取得最大值的点为1,3x x =-=，取得最小值的点为0,2x x ==.3、设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又0a >，则a =2，b =3.析: 2()3123(4)00,4f x ax ax ax x x x '=-=-=⇒==(舍) ， ()6126(2)0f x ax a a x ''=-=-= (0)0f ''∴<，(0),(2)7,(2)16f b f b a f b a =-=-=-，()f x 最大值为3,3b ∴=，1x =1(1,e1)-+2(1,2e1)-+x()f x 最小值为29,1629,2b a a ∴-=∴=.二、单项选择题1、设31()3f x x x =-，则1x =是()f x 在[2,2]-上的 (B) . (A) 极小值点，但不是最小值点 (B) 极小值点，也是最小值点(C) 极大值点，但不是最大值点 (D) 极大值点，也是最大值点2、设00()0,()0f x f x '''=>，则 (B) .(A) 0()f x 一定是()f x 的最小值 (B) 0()f x 一定是()f x 的极小值(C) 0()f x 一定是()f x 的最大值 (D) 0()f x 一定是()f x 的极大值3、设()f x 在某区间内可导且只有一个驻点0x ，则 (C) .(A) 0()f x 一定是()f x 的极值 (B) 0()f x 一定不是()f x 的极值(C) 当0()f x 是()f x 的极小值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最小值；当0()f x 是()f x 的极大值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最大值(D) 以上结论均不正确三、求函数2()1x f x x =+在1[,1]2-上的最大值和最小值.解 2222(1)(2)1(),,2(1)(1)2x x xx x f x x x x +-+⎛⎫'==∈- ⎪++⎝⎭，令()0f x '=，得0x =，因为 111(0)0,,(1)222f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以()f x 在1[,1]2-上的最大值为11(1)22f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,最小值为(0)0f =.四、一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-（万元/吨），其中x 为销售量，该商品的成本函数为31C x =+（万元）.（1）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）t 为何值时，政府税收总额最大？解 (1) 设政府税收总额为T ，商品销售收入为R ，则2,70.2T tx R xp x x ===-，利润函数为 2270.2(31)0.2(4)1L R C T x x x tx x t x =--=--+-=-+--；0.4(4)L x t '=-+-.令0L '=，得45100.42tx t -==-，又0.40L ''=-<，所以当销售量为5102t -（吨）时，该商家可获得最大利润. (2) 2551010,10522T tx t t t t t T ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭'，令0T '=，得2t =，又50T ''=-<，所以当t 为2万元时，政府税收总额最大.五、某商品进价为a （元/件），根据以往经验，当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（,,a b c 均为正常数,且43b a ≥）.市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润. 解 设p 表示降价后的销售价，x 为增加的销售量，()L x 为总利润，则由已知0.40.1xc b p b=-，4b p b x c =-.从而 ()()()4b L x b x a c x c =--+，3()24bL x x b a c '=-+-，令()0L x '=，得唯一驻点(34)2b a cx b-=,又 ()02b L x c ''=-<，所以当(34)2b a c x b -=时可获得最大利润，故定价31518282p b b a b a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭ （元），最大利润为 2(34)(54)216b a c c L b a b b-⎛⎫=- ⎪⎝⎭（元）.六、利用最大、最小值证明：当x -∞<<+∞时，e 1x x ≥+.证明 令()e 1x f x x =--，则()e 1,()e x x f x f x '''=-=，令()0f x '=，得0x =，又(0)10f ''=>，所以()f x 在(,)-∞+∞内有极小值(0)0f =，此极小值也是()f x 在(,)-∞+∞内的最小值，从而()0f x ≥，即x -∞<<+∞时，e 1xx ≥+.图 4-1。
中值定理应用题
中值定理应用题中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决一些与函数的变化率和平均速度有关的问题。
在实际生活中，中值定理也有着广泛的应用，例如在交通规划、经济学和物理学等领域都可以看到中值定理的身影。
本文将通过几个具体的应用题目，来展示中值定理在解决实际问题中的作用。
1. 题目：一辆汽车沿直线道路行驶，已知其速度随时间的变化率为$v(t)=3t^2-6t+2$（单位：m/s），求车辆在第2秒时的平均速度。
解答：根据中值定理，我们知道在$t$时刻的平均速度等于$v(t_0)$到$v(t_1)$之间的某个时刻$t_0 < t < t_1$时刻的瞬时速度。
因此，我们需要首先求出第2秒时刻汽车的瞬时速度，即$v(2)$：$v(2) = 3 \times 2^2 - 6 \times 2 + 2 = 6 m/s$那么根据中值定理，第2秒时刻汽车的平均速度等于$v(2)$，即车辆在第2秒时的平均速度为6m/s。
2. 题目：某种化学反应的速率随时间的变化率为$r(t)=0.5t^2-3t+4$（单位：mol/L/min），求在第5分钟时刻的平均速率。
解答：类似地，我们首先求出第5分钟时刻的瞬时速率，即$r(5)$：$r(5) = 0.5 \times 5^2 - 3 \times 5 + 4 = 6.5 mol/L/min$根据中值定理，第5分钟时刻的平均速率等于$r(5)$，所以该化学反应在第5分钟时刻的平均速率为6.5mol/L/min。
通过以上两个应用题目的解答，我们可以看到中值定理在求解平均速度或速率的问题中起到了至关重要的作用。
在实际应用中，我们可以利用中值定理来简化问题，找到瞬时速度或速率，从而更好地理解事物的变化规律。
希望通过这篇文章，读者对中值定理的应用有了更深入的了解。
章微分中值定理与导数应用习题解答
第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξππF f F F f f '=--. 2.证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅⋅⋅+ a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅⋅⋅+a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅⋅⋅+ a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0.同理存在一点ξ2(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ(ξ1, ξ2)(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4)设a >b >0, n >1,证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ).3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim;(3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ;(7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ. (2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅. (4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e xe e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==-limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+=2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim +∞→存在,但不能用洛必达法则得出.解1)sin 1(lim sin lim=+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. (2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的.但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅, nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n 1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. (2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=e x xe x ,f ''(x )=e x e x xe x =2e x xe x ,f '''(x )=2e x e x xe x =3e x xe x ,⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n n n xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+= )()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=;解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0,令y '=0得驻点x 1=-1,x 2=3. 列表得可见函数在(-∞,-1]和[3,+∞)内单调增加,在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=',令y '=0得驻点211=x ,x 2=1,不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0),]21 ,0(, [1,+∞)内单调减少,在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时,x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明(1)设x x x f +-+=1211)(,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx ,所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即 01211>+-+x x , 也就是x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x ,则f (x )在[4,+∞)内连续,因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时,f '(x )>0,即f (x )内单调增加.因此当x >4时,f (x )>f (4)=0,即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3,y ''=6x -10.令y ''=0,得35=x .因为当35<x 时,y ''<0;当35>x 时,y ''>0,所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的,在) ,35[∞+内是凹的,拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -xe -x ,y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2).令y ''=0,得x =2.因为当x <2时,y ''<0;当x >2时,y ''>0,所以曲线在(-∞, 2]内是凸的,在[2,+∞)内是凹的,拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x ,y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞,+∞)内是凹的,无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞,+∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1),驻点为x 1=-1,x 2=3. 列表可见函数在(2)函数的定义为(-1,+∞),xxx y +=+-='1111,驻点为x =0.因为当-1<x <0时,y '<0;当x >0时,y '>0,所以函数在x =0处取得极小值,极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞,+∞), y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1),y ''=-12x 2+4, 令y '=0,得x 1=0,x 2=-1,x 3=1.因为y ''(0)=4>0,y ''(-1)=-8<0,y ''(1)=-8<0,所以y (0)=0是函数的极小值,y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2,-1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解(1)y '=6x 2-6x =6x (x -1),令y '=0,得x 1=0,x 2=1.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=0,y (1)=-1,y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5,最大值为y (4)=80.(2)y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1),函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29,f (3)=-61,f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图),截面的面积为5m 2,问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h ,截面的周长S ,则5)2(212=⋅+πx xh ,x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0,得唯一驻点π+=440x . 因为0203>=''xS ,所以π+=440x 为极小值点,同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时,做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =,222242ϕππ-=-=Rr R h . 漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义,V 一定在(0, 2π)内取得最大值,而V 在(0, 2π)内只有一个驻点,所以该驻点一定也是最大值点.因此当ϕ π362=时,漏斗的容积最大. 13.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元,纯收入为R 元.当x ≤1000时,R =50x -50⨯100=50x -5000,且当x =1000时,得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000,+∞)内唯一驻点x =1800.因为0251<-=''R ,所以1800为极大值点,同时也是最大值点.最大值为R =57800.因此,房租定为1800元可获最大收入.。
数学分析6微分中值定理及其应用总练习题详解
第六章 微分中值定理及其应用总练习题1、证明：若f(x)在(a,b)内可导，且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.证：定义f(a)=+→a x lim f(x)，f(b)=-→b x lim f(x)，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，由罗尔中值定理知 至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.2、证明：若x>0，则 (1)1x +-x =θ(x)x 21+，其中41<θ(x)<21；(2)0x lim →θ(x)=41，+∞→x lim θ(x)=21. 证：(1)由拉格朗日中值定理得：1x +-x =θ(x)x 21+, (0<θ(x)<1)，∴θ(x)x 2+=x1x 1-+=1x ++x ，∴θ(x)=41+21[1)x(x +-x].∵1)x(x +-x>2x -x=0，∴41+21[1)x(x +-x]>41； 又1)x(x +-x=x1)x(x x ++<xx x 2+=21，∴41+21[1)x(x +-x] <21.∴41<θ(x)<21.(2)(1)中已证θ(x)=41+21[1)x(x +-x]，∴0x lim →θ(x)=0x lim →{41+21[1)x(x +-x]}=41； +∞→x lim θ(x)=+∞→x lim {41+21[1)x(x +-x]}=41+21+∞→x lim 1x111++=21.3、设函数f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).证：记F(x)=xf (x)，G(x)=x 1，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得)(G )(F ξξ''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)，又)(G )(F ξξ''=f(ξ)- ξf ’(ξ)，∴f(ξ)- ξf ’(ξ)=G(a)-G(b)F(a)-F(b).又f(b)f(a)b a b -a 1=b -a bf (a)-af (b)=a1-b 1a f(a)-bf(b)=G(a)-G(b)F(a)-F(b)， ∴f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).4、设函数f 在[a,b]上三阶可导，证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ). 证：记F(x)=f(x)-f(a)-21(x-a)[f ’(x)+f ’(a)]，G(x)=(x-a)3，则 F,G 在[a,b]上二阶可导，F ’(x)=f ’(x)-21[f ’(x)+f ’(a)]-21(x-a)f ”(x)，G ’(x)=3(x-a)2，F ”(x)=f ”(x)-21f ”(x)-21f ”(x)-21(x-a)f ’”(x)=-21(x-a)f ’”(x)；G ”(x)=6(x-a).且F(a)=F ’(a)=0，G(a)=G ’(a)=0.根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得)(G )(F ηη''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)=G(b)F(b)=3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'， 又根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, η)，使得)(G )(F ξξ''''=(a)G -)(G (a)F -)(F ''''ηη=)(G )(F ηη''，又)(G )(F ξξ''''=a)-6()(f )a (21-ξξξ'''-=-121f ”’(ξ).∴3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'=-121f ”’(ξ). ∴f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ).5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明： 对x>0，有0<x)ln(11+-x1<1.证：f ’(x)=x11+. 对f 在区间[0,x]应用拉格朗日中值定理得： f ’(ξ)=0-x f (0)-f (x)=x ln1-x)ln(1+= x x)ln(1+，∴ln(1+x)=xf ’(ξ)=ξ1x+. ∴x)ln(11+=x ξ1+=x 1+x ξ；即x)ln(11+-x 1=xξ.又0<xξ<1，∴0<x)ln(11+-x1<1.6、设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数，且f(x)=(na a a x n x 2x 1+⋯++)x1. 证明：(1)0x lim →f(x)=nx n x 2x 1a ··a ·a ⋯；(2)∞→x lim f(x)=max{a 1,a 2,…,a n }. 证：(1)0x lim →f(x)=e na a a ln x 1lim x n x 2x 10+⋯++→x = exn x 2x 1nx n 2x 21x 10a a a a ln a a ln a a ln a lim+⋯+++⋯++→x= ena ln a ln a ln n21+⋯++=n xn x 2x 1a ··a ·a ⋯. (2)记A=max{a 1,a 2,…,a n }，则0<Aa k≤1, (k=1,2,…,n)∵f(x)=A[n)A a()A a ()Aa (x n x 2x 1+⋯++]x 1，∴A(n 1)x 1<f(x)≤A ， 又∞→x lim A(n1)x1=A ，∴∞→x lim f(x)=A=max{a 1,a 2,…,a n }.7、求下列极根： (1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11；(2)2xx x x)ln(1-xe lim+→；(3)sinxx 1sinx lim20x →.解：(1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11=e)x 1ln()x 1ln(lim21x --=→= e21x x1)x 1(x 2lim--=→=ex 1x 2lim1x +=→=e.(2)2x 0x x x)ln(1-xe lim +→=2xx 11-xe e lim xx0x ++→=2x)(11xe 2e lim 2x x 0x +++→=23. (3)sinxx 1sinx lim20x →=)sinx x ·x 1sin x (lim 0x →=)x 1sin x (lim 0x →·sinx x lim 0x →=0·1=0.8、设h>0，函数f 在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f (n+2)(a)≠0, f 在U(a,h)内的泰勒公式为：f(a+h)=f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )θh a (f 1)(n +++h n+1, 0<θ<1.证明：θlimh →=2n 1+. 证：f 在U(a,h)内带皮亚诺型余项的n+2阶泰勒公式为：f(a+h)= f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )a (f 1)(n ++h n+1+2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o(h n+2),与题中所给泰勒公式相减得：1)!(n )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n +-+++h n+1=2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o (h n+2).∴1)!(n θ+·θh )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n ++-+=2)!(n )a (f 2)(n +++2n 2n h )h (++o .令h →0两端取极限得：1)!(n )a (f 2)(n ++θlim 0h →=2)!(n )a (f 2)(n ++，∴θlim 0h →=2n 1+.9、设k>0，试问k 为何值时，方程arctanx-kx=0存在正根.解：若方程arctanx-kx=0有正根x 0，∵f(x)=arctanx-kx 在[0,x 0]上可导， 且f(0)=f(x 0)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0,x 0)，使得 f ’(ξ)=2ξ11+-k=0. 可见0<k<1. 反之，当0<k<1时，由f ’(x)=2x11+-k 连续，f ’(0)=1-k>0， ∴存在某邻域U(0,δ)，使得在U(0,δ)内，f ’(x)>0，f(x)严格递增， 从而存在a>0，使f(a)>f(0)=0. 又+∞→x lim f(x)=-∞，∴存在b>a ，使f(b)<0， 由根的存在定理知，arctanx-kx=0在(a,b)内有正根. ∴当且仅当0<k<1时，原方程存在正根.10、证明：对任一多项式p(x)来说，一定存在点x 1与x 2，使p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上分别严格单调.证：设p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+ a n-1x+a n ，其中a 0≠0，不妨设a 0>0. 当n=1时，p(x)=a 0x+a 1，p ’(x)=a 0>0，∴p(x)在R 上严格增，结论成立. 当n ≥2时，p ’(x)=na 0x n-1+(n-1)a 1x n-2+…+ a n-1，若n 为奇数，则∞→x lim p ’(x)=+∞，∴对任给的G>0，存在M>0，使 当|x|>M 时，有p ’(x)>G>0，取x 1=M ，x 2=-M ，则 p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上均严格增.若n 为偶数，则+∞→x lim p ’(x)=+∞，-∞→x lim p ’(x)=-∞， ∴对任给的G>0，存在M>0，使当x>M 时，有p ’(x)>G>0，当x<-M 时，p ’(x)<-G<0，取x 1=M ，x 2=-M ， 则p(x)在(x 1,+∞)上严格增，在(-∞,x 2)上严格减. 综上原命题得证。
考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总
目录第一部分：中值定理结论总结 (1)1、介值定理 (1)2、零点定理 (2)3、罗尔定理 (2)4、拉格朗日中值定理 (2)5、柯西中值定理 (2)6、积分中值定理 (3)第二部分：定理运用 (3)第三部分：构造函数基本方法 (9)一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)二、二阶导数与原函数之间关系 (11)第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)题型一：中值定理中关于θ的问题题型二：证明f(n)(ξ)=0题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值ξ,η的问题题型六：含a,b及中值ξ的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题（第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于 A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上有最大值 M ，最小值m,若 m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=C 。
闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数 f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)<0, 那么在开区间内至少存在一点ξ使得 f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为 0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f`(ξ) g`(ξ)Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
专题09 导数压轴题之拉格朗日中值定理详述版(解析版)
导数章节知识全归纳专题09 导数压轴题之拉格朗日中值定理（详述版）一．知识考点趋势简述：由于目前导数考试内容的综合化，以及导数考点的多样化，特别是考试的灵活性上是目前学校教学经常训练的点，同时也是学生拿捏不好导数章节内容到底该学到多深入，老师讲解这些试题时也总是存在意犹未尽的感觉，从而导致学习不够充分，方法技巧性不足，导致导数压轴题学习还不够成熟，在这种情况下，作者设计次教案帮助老师和同学研究透彻该类试题和知识的应用。
二．拉格朗日中值定理知识点：（1）若函数在区间满足以下条件：1.在上可导；2.在上连续:则必有一存在,3. 使得（2）几何意义：在满足定理条件的曲线上y =f(x)至少存在一个点P （ε,f(ε)）,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图）（3）拉格朗日日中值定理推论：如果函数f(x)在区间[a,b ]上的导数f ∙(x)恒为零，那么函数f(x)在区间[a,b ]上是一个常数。
三．导数压轴题运用拉格朗日中值定理典型例题： 例：1.已知函数1()2ln f x x a x x=--(a ∈R)． （1）讨论函数()f x 的单调性；)(x f []b a ,[]b a ,[]b a ,()b a ,∈ξab a f b f f --=)()()('ξ（2）若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，证明：1212()()24f x f x a x x ->--．解：【分析】（1）求出导函数()'f x ，根据()0f x '=的解的情况分类讨论得单调性；（2）由（1）知1a >，化简1212()()f x f x x x --，不等式化为1212ln 2x x x x <-，再由121=x x 不妨设2110x x >>>，转化为只要证2221ln 0,x x x -+<这个不等式可利用（1）中的结论证明（也可利用拉格朗日中值定理进行求解）即：存在x °使得f ,(x °)=f(x1)−f(x2)x1−x2>2-4a ．【详解】（1）2221(),0x ax f x x x-+'=>，令22210,44x ax a -+=∆=- 当0∆≤即11a -≤≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0∆>即1a >或1a <-时，① 当1a <-时，20,()0,ax f x '->>()f x 在()0,∞+上单调递增；② 当1a >时，令()0f x '=，12x a x a ==综上：当1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x在(()0,,a a +∞上单调递增，在(a a 上单调递减.（2）由（1）知1a >时()f x 有两个极值点12,x x ，且12122,1x x a x x +==，不妨设2110x x >>>，1121112212121221221212121211(2ln )(2ln )()2ln 2ln ()()2.x x x x x a x x a x x x a a f x f x x x x x x x x x x x x x x x ----------===-----要证1212()()24,f x f x a x x ->--即证1212ln 2x x x x <-，即2222ln 21x x x <-，2221ln 0,x x x ∴-+< 设1()ln (1),g t t t t t =-+>由（1）知当1=2a 时，()f x 在()0,∞+上单调递增，()()g t f t =-，则()g t 在()1,+∞上单调递减， ()(1)0g t g ∴<=.原式得证.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式．含有参数的函数在求单调区间时一般需要分类讨论，可根据()0f x '=的根的情况分类讨论．对于双变量的不等式的证明需要进行变形，利用双变量之间的关系，转化为只有一个变量的不等式，从而可引入新函数，利用函数的性质进行证明．解题过程中换元法是一种重要的方法．例：2.已知函数 （1）讨论函数的单调性；（2）证明:若,则对任意,,有.【解析】：（1）,,取决于分子,开口向.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f )(x f 5<a ()+∞∈,0,21x x 21x x ≠1)()(2121->--x x x f x f ()+∞∈,0x xa x x x f )1)(1()('-+-=)1)(1(a x x -+-上的抛物线,两根为:1,;讨论两根的大小.i.若,两根相等:,单调递增; ii.若,,单调递减,单调递增; iii.若,,单调递减,单调递增;（2）法一:设,只需证:,即,构造函数,只需证明在上单调递增， ,,,即在单调递增,当时,,即,,同理当时,.法二:由拉格朗日中值中定值可知存在,使,,,设,,则,即.例：3.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++1-a 2=a 11=-a ()+∞∈,0x 12>>a 11<-a ()1,1-a ()()+∞-,1,1,0a 2>a 11>-a ()1,1-a ()()+∞-,1,1,0a 21x x >1221)()(x x x f x f ->-2211)()(x x f x x f +>+x x a ax x x x f x g +-+-=+=ln )1(21)()(2)(x g ()+∞,0)1(121)1()('---⋅≥-+--=a xa x x a a x x g 2)11(1---=a 51<<a 0)('>∴x g )(x g ()+∞,0021>>x x 0)()(21>-x g x g 0)()(2121>-+-x x x f x f 1)()(2121->--x x x f x f 210x x <<1)()(2121->--x x x f x f ξ)()()('2121ξf x x x f x f =--()+∞∈,0ξxa a x x f 1)('-+-=a a --≥12t a =-1()2,0∈t 112122->-+-=--t t a a 1)()(2121->--x x x f x f（1）若12a =-，求函数()f x 的单调区间； （2）设1a <-，若对任意12,(0,)x x ∈+∞，恒有()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.解：【分析】（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解； （2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 【详解】解：（1）当12a =-时，由已知得211()ln 1,022f x x x x =-+>，所以2112()22x f x x x x '-=-=，令()0f x '=得2x =，即 x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>；2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；故()f x 单调递增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭； （2）2121()2a ax a f x ax x x'+++=+=， 由1a <-得()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，设12x x ≥从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有()()()()()1212122144f x f x x x f x f x x x -≥-⇔-≤-， 即()()112244f x x f x x +≤+，令()()4g x f x x =+，则1()24a g x ax x+'=++等价于()g x 在(0,)+∞单调递减， 即()0g x '≤恒成立，从而24121x a x --≤+恒成立，故设241()21x x x ϕ--=+， 则()()()222222421(41)4844()2121x x xx x x xxϕ'-+---⋅+-==++()()222228444(21)(1)2121x x x x x x +--+==++，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()x x ϕϕ'<为减函数， 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()ϕx 为增函数.∴min 1()22x ϕϕ⎛⎫==-⎪⎝⎭, ∴a 的取值范围为,2]∞(--. 【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数a 的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数()()4g x f x x =+，然后再对函数()()4g x f x x =+求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证变式：1.已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 解：【分析】（1）求出导函数，根据二次函数的∆与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由()1212,x x x x <是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将()()21f x f x -转变为关于12x x ，函数，再运用12x x ，的关系将不等式转化为证22212ln 0x x x -->，构造函数1()2ln (1)g x x x x x=-->，分析函数()g x 的单调性，得出最值，不等式可得证. 【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2'212()22x ax f x x a x x-+=-+=，则24a ∆=-.①当0a ≤时，对(0,),()0x f x '∀∈+∞>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当02a <≤时，0∆≤，所以对(0,),()0x f x '∀∈+∞≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当2a >时，令()0f x '>，得0x <<x >，所以函数()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； 令'()0f x <，x <<所以()f x在⎝⎭上单调递减.（2）证明：由（1）知2a >且1212,1,x x a x x +=⎧⎨=⎩，所以1201x x <<<.又由()()()()222122211122ln 22ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+()()()()()()22222222221212121212111122ln22ln 2ln x x x x x a x x x x x x x x x x x x x =---+=--+-+=--+. 又因为()()()()()()()()222121212121212121(2)222a x x x x a x x x x x x x x x x x x --=---=--+-=---.所以要证()()()2121(2)f x f x a x x -<--，只需证()22112ln2x x x x <-. 因为121=x x ，所以只需证22221ln x x x <-，即证22212ln 0x x x -->. 令1()2ln (1)g x x x x x =-->，则2'2121()110g x x x x ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以对1,()(1)0x g x g ∀>>=.所以22212ln 0x x x -->. 所以若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，则()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.变式：2.已知函数()(1)e xaf x x=+（e 为自然对数的底数），其中0a >.（1）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（2）若函数()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，证明：2121ln ()ln ()212f x f x x x a ->+-+.解：【分析】（1）对函数()f x 求导，令()0f x '=，得两根()1212,0x x x x <<，从而得出()f x 的单调区间.由用作差法比较1x 与a 的大小，结合()(1)e xaf x x=+，可知102ax a <-<-<，则()f x 在区间(,]2a-∞-单调递减，则其取得最小值22a a f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； （2）由()0f x '=的韦达定理，得1212x x x x a +==-，则可消去a ，得112()(1)xf x x e =-，()()2211x f x x e =-.通过两边取对数，得()212ln ()ln 1f x x x =-+和()121ln ()ln 1f x x x =-+，将其代入需证不等式.再得()()122211211a x x +=++-+-，采用换元法，反证法，将所求不等式转化为ln ln 2m n m n m n->-+.再用换元法，令m t n = 构造函数()()()2,11ln 1t t h t t t --+≥=，利用导函数求其最值，则可证明不等式. 【详解】 .解：（1）由条件可函数()f x 在(),0-∞上有意义，()22xx ax a f x e x +-'=，令()0f x '=，得1x =，2x =，因为0a >，所以10x <，20x >.所以当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()1,0x x ∈上()0f x '<， 所以()f x 在()1,x -∞上是增函数，在()1,0x 是减函数.由()1x xa x a f x e e x x +⎛⎫=+=⎪⎝⎭可知， 当x a =-时，()0f x =，当x a <-时，()0f x >， 当0a x -<<时，()0f x <，因为12a a x a ----=--02a -+=>，所以10x a <-<，又函数在()1,0x 上是减函数，且102ax a <-<-<， 所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上的有最小值， 其最小值为22a a f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知，当0a >时函数()f x 存在两个极值点12,x x ，且12,x x 是方程20x ax a +-=的两根，所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，()11121(1)(1)x x a f x e x e x =+=-，()()2211x f x x e =-， 所以()()221ln ln 1x f x x e =-()12ln 1x x =-+，()()112ln ln 1x f x x e =-()21ln 1x x =-+，所以()()()()2112212121ln ln ln 1ln 1f x f x x x x x x x x x --+--+=-- ()()()()1212ln 1ln 1111x x x x ---=+---， 又()21221122a x x +=++-++()()122111x x =+-+-， 由（1）可知12110x x ->->，设11m x =-，21n x =-，则0m n >>，故要证()()2121ln ln 212f x f x x x a ->+-+成立， 只要证ln ln 2m n m n m n->-+成立， 下面证明不等式ln ln 2m n m n m n->-+成立， 构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，()1t ≥则()()()22101t h t t t -'=>+，所以()h t 在()1,t ∈+∞上单调递增，()()10h t h >=，即()21ln 1t t t ->+成立， 令m t n =，即得不等式ln ln 2m n m n m n->-+， 从而()()2121ln ln 212f x f x x x a ->+-+成立. 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性较强的难题.变式：3.已知函数 （1）讨论函数的单调性；（2）设,如果对任意,,求的取值范围.【解析】：（1）,,i.当时,,在单调递增;ii.当时,,在单调递减; iii.当时,由得,在单调递增, 在单调递减. .1ln )1()(2+++=ax x a x f )(x f 1-<a ()+∞∈,0,21x x 21214)()(x x x f x f -≥-a ()+∞∈,0x x a ax x f 12)(2'++=0≥a 0)('>x f )(x f ()+∞∈,0x 1-≤a 0)('<x f )(x f ()+∞∈,0x 01<<-a 0)('=x f a a x 21+-=)(x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈a a x 21,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+-∈,21a a x（2）法一:不妨设,而当时,由（1）可知在单调递减,从而,等价于,.构造函数,只需在单调递减,即在 恒成立,分离变量法:,只需. 法二:由拉格朗日定理知,,等价于,在存在,使得 成立,只需恒成立,只需, 得或(舍去).变式：4.已知函数f （x ）1x=-x +alnx ． （1）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程（用含a 的式子表示） （2）讨论f （x ）的单调性；21x x ≥1-<a )(x f ()+∞∈,0x ()+∞∈∀,0,21x x 21214)()(x x x f x f -≥-()+∞∈∀,0,21x x 11224)(4)(x x f x x f +≥+x x f x g 4)()(+=)(x g ()+∞∈,0x 0421)('≤+++=ax xa x g ()+∞∈,0x 212)12(1214222-+-=+--≤x x x x a 2)212)12((min 22-=-+-≤x x a 21214)()(x x x f x f -≥-4)()(2121≥--x x x f x f ()+∞,0ξ)()()('2121ξf x x x f x f =--4)('≥ξf 4)1(2212)(min'≥+=++=a a x a ax x f 2,022-≤≥-+a a a 1≥a（3）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122f x f x a x x ---＜．解：【分析】（1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；（2）求出导函数，对g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性；（3）结合（2）将问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1，根据韦达定理转化为考虑h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+的单调性比较大小即可得证. 【详解】（1）∴f （x ）1x=-x +alnx （x ＞0） ∴f ′（x ）221x ax x-+-=（x ＞0） ∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +2﹣a ．（2）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）221x ax x-+-=， 设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；②当a ＞0时，判别式∴＝a 2﹣4，（i ）当0＜a ≤2时，∴≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；（ii ）当a ＞2时，令f ′（x ）＞0x 令f ′（x ）＜0，得：0＜x 2a ＜或x 2a +＞； ∴当a ＞2时，f （x ）在区间（2a -，2a ）单调递增，在（0，2a -），+∞）单调递减； 综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数，当a ＞2时，在（0），+∞）上是减函数，（3）由（2）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1，则f （x 1）﹣f （x 2）11x =-x 1+alnx 1﹣[21x -x 2+alnx 2] ＝（x 2﹣x 1）（1121x x +）+a （lnx 1﹣lnx 2） ＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2），则()()1212f x f x x x -=--21212()a lnx lnx x x -+-，则问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1即可， 即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2，则lnx 1﹣ln 11x ＞x 111x -， 即lnx 1+lnx 1＞x 111x -， 即证2lnx 1＞x 111x -在（0，1）上恒成立， 设h （x ）＝2lnx ﹣x 1x+，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0， 求导得h ′（x ）2x =-1()222221121x x x x x x --+-=-=-＜0， 则h （x ）在（0，1）上单调递减，∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x 1x+＞0， 故2lnx ＞x 1x-， 则()()1212f x f x x x ＜--a ﹣2成立．【点睛】此题考查导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强.。
第三章中值定理习题参考答案
习题3-1(A)5, 提示：令F(x)二ax 4 bx 3 • ex 2-(a b c)x ，验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理. 6, 提示: 令 F (x) =aresin x areeosx ,证明 F (x)在［-1,1］上为常数.27, 提示：令F(x)=x n ,在［b,a ］上应用拉格朗日中值定 理. 8, 提示：令F(x)=lnx,在［b,a ］上应用拉格朗日中值定 理.9, 提示：令F(x)二sinx,分别在［x 1, x 2］, ［x 2,x 3］上应用拉格朗日中值定 理,再利用cosx在(0,二)上的单调递减性.10, 提示：用零点定理证明f (x)在(0,1)内有根\ ,在(―,1)内有根、，再用罗尔定理2 2证明f (X )在(「J (0,1)内有根. 习题3-1(B)1, 提示：令F(x)二a °x • ^x 2 •…•亚x n ，验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理.2naa2,提示：令 F(x^a 1 sinx 2 sin3x ：：；…汕 nsin(2n - 1)x ,3 (2n —1)验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理.3, 提示：由罗尔定理存在 「(a,b)使f ( J =0,存在 厂(1,b)使f ”( 2) =0,以此类推.4,提示：由拉格朗日中值定理可 证明存在\(a,c)有f ( J P,存在；(c,b)有f (；) 9再对f (x)在［\, 2］上利用拉格朗日中值.定5,提示：由罗尔定理存在 「(0,1)使G(1)=：0，又因为G(0)=0,对G\x)在［0,勺］上验证罗尔定理1,=4 32,6, 设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导，且f(0) = f(1)=0,证明：在［0,1］内分别存在，使得(1)f 小L ⑵f“()=f()提示：(1)设F(x) =(1 —x)f (x),由罗尔定理存在「(0,1)使「(1)=0,所以存在一 (1,1) = (0,1)使F ()在二0.(2) 设F(x) =(1 —x)f (x),在［0,1］上二次应用罗尔定理.7,提示：用零点定理证明F(x)=x 5 ・2ax 3 3bx 4c在(-：：,•：：)上有根，再证明F (x)在(-：：,；)上无零点8, 提示：因为(c, f (c))在直线AB 上，所以由拉格朗日中 值定理存在 1 (a,c), 2 (c,b)使得 f ( J = f ©一 f(a) = f(b) - f (c)二 f ( 2)， c —ab — c再对f (x)在(1, 2)(a,b)上利用罗尔定理9, 提示：考虑「(x)二甲，先证明(x)为常数.e10, 提示：令F(x)二f(x)-x,用零点定理证明F(x)在(0,1)内有根，并证明F(x)单调. 11，提示：对f(x)在@8-丄回)上用拉格朗日中值公式 可证明f a -丄®0.kI k 丿12,提示：令F(x) =3,G (X ) J,利用柯西中值定理.xx习题3-2 (A)1 111 1 亠1, (1)- (2) -- (3)3 (4)1 (5)(6)：： (7) (8) (9)1 (10)e 3 (11)e (12)1 3 82 2 32 .1 2 .1x sin x sin 12,简答：lim ------------- =lim ------------ =lim xs in- =0,但若用洛必达法则sin x x t x习题3-2 (B)⑷一-e (5)-2 (6)0 (7)- (82@a .2e2,362xs in cos limx —01因为x 驴0s1不存在'所以不能用洛必达法则2 .1x sinlim -x >0 sinx11,(1)4 ⑵ 1 1283, 简答：lim f(x) = limT40 一x 50 0 1 ■xlim x 「0 01 1一[-ln(1x)」] e x x limln(1丁 公二 ex_011 lim匸 二ex 0 0 2x4, 5, 6, 1lim _ =exJ 02(1x)21=e 2 = f (0).lim x _°半 简答：题设二lim e f (x)lnx =e T 书f (a)(1)a=g (0) In x1 f(x)f 2(x)lim——:—_ e x —00 xf (x)f (0) limx _0f 2(x) xf (0) lim _2 f (x) f (x) =e x■0”x[g (x) +si ix] —[g(x) —co%] ⑵ f (x)=<x 21 2【g (0) 1] (3)处处连续. 习题3-3 1, f (x) - -56 21(x -4) 37(x -4)2 11(x -4)3(x-4)42, 6 5 4 3 2f(x) =x -9x 30x - 45x 30 x -9x1 3, 13tan x = x —x3 sin(r x)[sin 2(vx)2] 45x ,3cos 5 (vx) (0 ：：： v ::: 4) 4, — 1x =2 (x -4)46>4)2A )315(x-4)4 4!16[4 r(x -4)](0 ：：： —： 1)5, 3x 2xxe x x 21+…+ x n(n —1)!O(x n )(0 心：：1)6, e ： 1.6457, (1) 3 30 3.10724; (1)32习题3-4 (A) 1, 单调减少 2, 单调增加8, R 3 ：：1.8810^⑶三 (2) sin180 0.3090; R < 1.3 10*3, (1)在(宀2)内单调上升；在(；；)内单调下降.(2)在(0,2］内单调减少在;［2,；)内单调增力口⑶在(_：：,--•)内单调增加—1 1 —⑷在(-：：,)内单调减少在;(一，；)内单调增加2 2⑸在［0, n］上单调上升E;［n「：)内单调下降1 J __4, (1)提示：令f(x) =1 x - 1 • x，利用函数的单调性证明2⑵提示：令f (x) =1 x ln(x • ；1 - x2)-“;'1 - x2，利用函数的单调性证明1 3⑶提示：令f(x) =tanx -X --X3，利用函数的单调性证明•3⑷提示：令f(x) =2x -x2，利用函数的单调性证明.5,提示：令f(x) =x-cosx，用零点定理证明f(x)有根，用单调性证明其根唯一6, 提示：求出f ”(x),用f ”(x)的符号来说明7，(1)凸(2)凹 (3)在(-：：,0］内凹，在［0,；)内凸(4)凹8，(1)在(」：,2］内凸，在［2,；)内凹，拐点(2, - 8)——2⑵在(-：：,2］内凸，在2,；)内凹，拐绥，2) e⑶在(V, •：：)内凹，无拐点(4) 在(-：：，-1］,［1, •：：)内凸，在-1,1］内凹，拐点-1,1 n2);(1,l n2)—1 1 1(5) 在(-：：，一］内凹，在［_,二)内凸，拐点(_, e arctan3)2 2 2⑹在(-：：，-1］、0,1］凸，在［-1,0卜［1,：：)凹，拐点(0,0)9b =210, a=3, b= -9, c=811, a=1, b= -3, c=-24, d=16f V x) — f 7 x )12, 简答：设lim 0 k( = 0),则无论k • 0或k：：：0,由极限的保号性可知^0 x _X09,f (x)在x0左右异号.习题3-4 (B)1 11, (1)在(-：：,0)、0,—)、1,：：)内单调减少；在(―,1)内单调增加.2 2⑵在［k,k］内单调上玳;［色,k］内单调下降2 2 3 2 3 2 2—2 2(3) 在(-：：, a］、［a, •二)内单调上玳;［a, a］内单调下.降2 31 1 12, (1)a •-时无实根(2)0：：：a 时有两个实根(3) a 是有一个实根.e e e3，在(0,3)内只有一个实根.4，(1)提示：令f (x) =sinx - tanx -2x，利用函数的单调性证明.1(2) 提示：令f (x) =1 n(1 x) In x -In 2，证明f⑴是极小值.2(3) 提示：令f (x) =e x-1-(1 - x) ln(1 - x),利用函数的单调性证明.证明中可利用f (x) 0 来证明f (x).1 H(4) 提示：令f (x)二arctanx ,利用函数的单调性证明.证明中注意f(；) = 0.x 2xd(5) 提示：令f (x) =2x—1 — x2 2 ,利用函数的单调性证明.(6) 证明：令f (x) =e x - (x2 -2ax 1), f (x) = e x 2(a - x), f (x) = e x一2.由 f (x)=0可得x=ln2.从表中可见In 2是f (x)的极小值，所以当x=ln2 时 f (x) • f (In2)=2［a・(1-ln 2)］• 0.即 f (x)单调递增,从而f(x) f(0) =0,题设得证._ f (x)(x-a) -f(x) _ f (x)(x-a)-[f(x) -f(a)](x—a)2(x—a)25,证明: (x)f (x)(x -a) - f ( )(x - a)(x -a)2f (x)-f ()x -a0( (a, x)).6,提示：用5,题的方法证明7, 提示:根据(x —c) f (x) _0证明f (c)是f (x)在［a,b ］上的极小值.8, 当5及^1 293时’方程有且仅有一个实根. 9,(Y ,b ］凹，在［b,：：)凹，拐点(b, a 2)10，略 11，略 12， k =8习题3-5 (A) 1，(1)极大值 y(0)=5,极小值 y(2) =1.(2) 极大值y(2) =4e = 极小值y(0) =0. (3) 极大值 y(4) =1,极小值 y(16) =25.⑷极大值y(^) J .2055103 5(5) 极大值y(—).4 4 (6) 极小值/(0) =0. (7) 没有极值.1(8) 极大值y(e) =e e . (9) 极大值 y(1) =3.(10) 极大值 丫(丄)=81318,极小值 y(-1)=y(5) =0.2 82，(1)最大值 y(3) =11,最小值 y(2)=-14.1 厂(2) 最大值 y(1)=2e 飞=最小值 y(-Tn2)=2-2.1(3) 最大值 y(1) =0,最小值 y(—) = Tn2.43,提示：可导函数的极值点必为驻点， 所以可证明y 在题设条件下无驻点4，最大值 y(1) = -29. 5，最小值 y(-3) =27.2 —6， a =2, f ( ) = . 3为极大值.3217, a = -2, b28, 长为100m ，宽为5m.v J v9, 「刑 27，h 叫药d ：h=1:1.10, 圆的周长为—，正方形周长为 -. 3 +兀4 +兀11, 锥体的高为h = 4a 时，最小体积为8二a 3.312, 应在公路右方6,7公里处.时间为1.22小时.13,⑴ x=1000 (2)x^6000.14, 定价为3.75元，进货量为600件，每天最大利润为 15, p =101,利润 167080.习题3-5 (B)1 3 1, a , b , c = 0, d =14 42, x=1为极小点，y(1)=1为极小值3, 当 c=1 时，a=0,b= -3，当 c= -1 时，a=4,b=5 324, P(x) =x 3_6x 29x 215, (1) f(x)在x=0处连续；(2)当x时,f(x)取极小值；当e16,当x 0 时，三角形面积最小v37,（1）y -飞—r （x-x 。