拉氏变换习题集1 (1)(1)
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7.2拉氏变换的性质
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
7.2 拉氏变换的性质
本讲概要
➢拉氏变换的性质 ➢例题
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] =a1L [f1(t) ] + a2L[f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
可以先求各函数的象函数再进行计算。
性质2（平移性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[eat f (t)] = F(p-a)
此性质说明，像原函数乘以 eat 等于其像函数做位移a。
例2 求
性质3（延滞性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[f (t-a)] = e-at F(p)
常用函数的拉氏变换
例1 求函数 解
的拉氏变换 .
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的 象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，
L f (n) (t) pn F( p) pn1 f (0) pn2 f (0) L f (n1) (0)
零初始条件下：f (0) f (0) L f (n1) (0) 0
L f (n) (t) pn F( p)
性质5（积分性质） 若L[ f (t)]=F(p)(p≠0) , 且f (t)连续，则
t0 t
L
高等数学
主讲人 宋从芝
7.2 拉氏变换的性质
本讲概要
➢拉氏变换的性质 ➢例题
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] =a1L [f1(t) ] + a2L[f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
可以先求各函数的象函数再进行计算。
性质2（平移性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[eat f (t)] = F(p-a)
此性质说明，像原函数乘以 eat 等于其像函数做位移a。
例2 求
性质3（延滞性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[f (t-a)] = e-at F(p)
常用函数的拉氏变换
例1 求函数 解
的拉氏变换 .
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的 象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，
L f (n) (t) pn F( p) pn1 f (0) pn2 f (0) L f (n1) (0)
零初始条件下：f (0) f (0) L f (n1) (0) 0
L f (n) (t) pn F( p)
性质5（积分性质） 若L[ f (t)]=F(p)(p≠0) , 且f (t)连续，则
t0 t
L
拉普拉斯变换 (1)
傅里叶变换的概念
1．傅里叶级数 定理8.1 设 fT (t ) 是以 T 为周期的实函数,且在
T T 2 , 2 T T 2 , 2
上满足狄氏条件，即在一个周期
上满足：
（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点.
则在连续点处有
a0 f T (t ) (an cos nw0 t bn sin nw0 t ) 2 n1
3.微分性质
(1)导函数的像函数
设 L( f (t )) F ( s), 则有 L( f (t )) sF ( s) f (0)
'
对于高阶导数有
L( f (t )) s F ( s) s
( n) n
n1
f (0) s
n 2
f (0)
( n1)
'
f
(0)
此性质可用来求解微分方程组的初值问题
2 2
4.积分性质 (1)积分的像函数
设L( f (t )) F ( s)，则有
L(
t 0
1 f ( t )dt) F ( s ) s
一般地, 有
L( dt dt
0 0 t t t 0
1 f ( t )dt) n F ( s ) s
(2)像函数的积分
设L( f (t )) F ( s)，则有
sint st 0 t e dt arc cot s sint 如果令 s 0，则有 0 dt t 2
例题启示：
在拉 普拉斯 变换 及其一 些性 质中取 为某 些 特定 值，可以 用来求 些函 一 数的广 义积 分.
0
拉普拉斯变换、复频域分析习题课
拉普拉斯变换、复频域分析习题课1. 求下列函数的拉氏变换。
（1）1at e-- （2）sin 2cos t t + （3）2t te - （4）sin(2)t e t -（5）(12)t t e -+ （11）1()t t e e αββα---- （13）(2)(1)t te u t --- （15）()ta t e f a-，设已知[()]()L f t F s = 解：（1）11[1]()at a L e s s a s s a --=-=++ （2）2221221[sin 2cos ]111s s L t t s s s ++=+=+++ （3）221[](2)t L te s -=+ （4）22[sin(2)](1)4t L e t s -=++ （5）23[(12)](1)ts L t e s -++=+ （11）11111[()]()()()t t L e e s s s s αββαβααβαβ---=+=--++++ （13）由于(2)(1)(1)(1)[(1)](1)t t t teu t e t e e u t -------=-+- （15）[()](1)ta t L e f aF as a-=+2求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。
（1）()(2)tf t e u t -=- （2）(2)()(2)t f t e u t --=- （3）(2)()()t f t e u t --= （4）()sin(2)(1)f t t u t =-（5）()(1)[(1)(2)]f t t u t u t =----解：（1）因为(2)2()(2)t f t ee u t ---=-，所以 222(1)11[()]11s s L f t e e e s s ---+==++ （2）21[()]1s L f t e s -=+ （3）因为2()()t f t e e u t -=，所以2[()]1e Lf t s =+ （4） ()sin[2(1)2](1) {sin[2(1)]cos 2cos[2(1)]sin 2}(1)f t t u t t t u t =-+-=-+-- 2222cos 2sin 22cos 2sin 2[()]()444s s s s L f t e e s s s --+=+=+++ （5）()(1)(1)(2)(2)(2)f t t u t t u t u t =-------222221111[()][1(1)]s s s s s L f t e e e s e e s s s s-----=--=-+ 3求下列函数的拉普拉斯逆变换。
(完整版)典型常见函数拉氏变换表
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
L
d dt
f
(t)
SF(s)
f
(0)
L
d
2f dt
(t
2
)
S 2F(s)
Sf (0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
Lf (t)g(t)= F sGs
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
典型常见函数 拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
典型常见时间函数拉氏变换表
序号 5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …) e -at
拉氏变换习题解答
s +
2bs e es
伈
。
} 一
e
s
耳
-
= - ·
1 (l -
s
= - tanh .1 -e-2bs s 2
e-fo )
2
l
—
bs
习题二
I.. 求下列函数的拉氏变换 式
( I)
f (t) = t 2 + 3t + 2
f(t)=(t -1)切
(2) J(t) = l-te'
t (4) 八） ＝ — sin at
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2
1
2
2
. I
$
+.1
订，
-
=- - - e 2s s
3
3
卫~l
s +1
2
e
竺
2
o>
& u·(1)J= fo.,,,[e2'+ sou)
I
k" dt =f "'e2'e-"dt +sI。f(t)产dt
(3)
2a
<s) f (t) = tcosat
(6) f (t) = 5sin 2t-3cos2t
-4-
(7 ) 八） = e-21
sin 6t
<8)
/
(t) = e-4' cos 4t
拉氏变换习题课
1 L (1) s 1 L ( u( t )) s L ( ( t )) 1 1 L (e ) sa m! m L ( t ) m 1 s
at
F (1) 2 ( w )
1 F ( u( t )) ( w ) iw F ( ( t )) 1
F (e ) 2 ( w a )
te- 3tsi 4 由积分性质，L n2tdt 0 1 1 4 s+ 3 - 3t = L te si n2t 2 2 s s s+ 3 + 4
t
1 利用象函数的微分性质，有
sinkt ∞ L = s L sinkt ds= t ∞ k s∞ π s s s s2 + k 2 ds= arctan k |s = 2 - arctan k = arccotk
p100 2.求下列函数的Lapl ace逆变换：
2 F s =
s
s- a s- b
1 a b a - b s- a s- b b aeat - bebt 1 s- b = a - b
st
解：A 部分分式法 : F s = 1 1 L F s = a- b L
e- 3tsin2t ∞ e- 3tsin2t ds 2L = s L t ∞ 2 s+ 3 = ds= arccot 2 2 s (s+ 3) + 4 2
3
f t tL
-1
F s dt s 1 1 -1 2 2 s - 1
bs a
s F ( )) a
at
F (1) 2 ( w )
1 F ( u( t )) ( w ) iw F ( ( t )) 1
F (e ) 2 ( w a )
te- 3tsi 4 由积分性质，L n2tdt 0 1 1 4 s+ 3 - 3t = L te si n2t 2 2 s s s+ 3 + 4
t
1 利用象函数的微分性质，有
sinkt ∞ L = s L sinkt ds= t ∞ k s∞ π s s s s2 + k 2 ds= arctan k |s = 2 - arctan k = arccotk
p100 2.求下列函数的Lapl ace逆变换：
2 F s =
s
s- a s- b
1 a b a - b s- a s- b b aeat - bebt 1 s- b = a - b
st
解：A 部分分式法 : F s = 1 1 L F s = a- b L
e- 3tsin2t ∞ e- 3tsin2t ds 2L = s L t ∞ 2 s+ 3 = ds= arccot 2 2 s (s+ 3) + 4 2
3
f t tL
-1
F s dt s 1 1 -1 2 2 s - 1
bs a
s F ( )) a
复变函数拉氏变换部分习题解答分析(复拉)(精品)
1 w,x
得z =
+ iy =
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
v 又由 y = 1 得 − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2 π 3
4.求角形域 0 < arg(z ) < 解 arg(w) = arg(¯ z ), 解 将x = 一 判断题
z +¯ z 2 ,y
作业卷（二） 1.若 f ′ (z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f (z ) 在 D 内必恒为常数. √ . 在 D 内 f ′ (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. 从而 vy = ux = 0, uy = −vx = 0. 综上结论成立. 2.若 u(x, y ) 和 v (x, y ) 可导,则 f (z ) = u + iv 也可导. 1
= 0, 1, 2, z = −3,
3 2
±
3 2
√
3i.
4.复变函数 w =
z −2 z +1
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为 分析: 4[cos(− 5 6 π) + i sin(− 5 6 π )], 4e
得z =
+ iy =
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
v 又由 y = 1 得 − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2 π 3
4.求角形域 0 < arg(z ) < 解 arg(w) = arg(¯ z ), 解 将x = 一 判断题
z +¯ z 2 ,y
作业卷（二） 1.若 f ′ (z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f (z ) 在 D 内必恒为常数. √ . 在 D 内 f ′ (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. 从而 vy = ux = 0, uy = −vx = 0. 综上结论成立. 2.若 u(x, y ) 和 v (x, y ) 可导,则 f (z ) = u + iv 也可导. 1
= 0, 1, 2, z = −3,
3 2
±
3 2
√
3i.
4.复变函数 w =
z −2 z +1
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为 分析: 4[cos(− 5 6 π) + i sin(− 5 6 π )], 4e
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
第4章 拉氏变换--1
15
例4-1：求 f (t ) = sin (ωt ) 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) = sin (ωt ) = e jωt − e − jωt ) ( 2j
∵
L
e
± jω t
1 = s jω
(σ
> 0)
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 ω sin ω t = = − ( ) 2 j s − jω s + jω s 2 + ω 2
17
补充例题：
求三角脉冲的拉氏变换。
E
0
f (t )
E f ' ' ( t ) = [δ ( t ) − δ ( t − T )] − Eδ ' ( t − T ) T
两边同时进行拉氏变换，得：
f ′(t )
E T
T
t
E F2 ( s ) = (1 − e − sT ) − Ese − sT T
由时域微分性质，有：
at
− σt
(σ > a )
e −σt u( t ). cos ω1 t
5
拉氏正变换*
F1 (ω ) = F f ( t )u( t ) ⋅ e
因果
[
−σ t
] = [ f (t )u(t ) e ]⋅ e
+∞ −σ t −∞
− jω t
dt
=
+∞
0
f ( t ) ⋅ e − (σ + jω ) t d t = F (σ + jω )
∞
若L[ f ( t )] = F ( s )，则
拉普拉斯变换1例题及详解
2021/11/7
自动控制原理
17
６ 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
(1)利用公式
f (t) 1
j
F
( s)e st ds
2j j
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表
t0
F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
2021/11/7
I(s) R
u=Ri
U(s) RI(s)
U(s)
-
uL
L
diL dt
IL(s) sL
UL(s)
UL (s) sLIL (s)
1
uC C
t
0 iC dt
I C(s)1/sC
自动控制原理
UC(s)
UC(s)
1 sC
IC (s)
26
作业： 求拉普拉斯变换
1. f (t) 0.5(1 cos3t)
L[ f (t t0 )u(t t0)] est0 F (s)
2021/11/7
自动控制原理
12
例1： f(t) 1
Tt 例2： f(t)
T
f (t) u(t) u(t T )
F(s) 1 1 esT ss
f (t) t[u(t) u(t T )]
T
f (t) tu(t) (t T )u(t T ) Tu(t T )
2
2021/11/7
自动控制原理
22
3.F2 (S )有相等的实根(重根)
F(s)
F1(s) (s s1)2
k1 s s1
k2 (s s1)2
F(s)(s s1)2 k1(s s1) k2
自动控制 拉氏变换
A01 A02 A An Ar +1 + + L + 0r + +L+ s + p0 ( s + pr +1 ) ( s + pn ) ( s + p0 ) r ( s + p0 ) r 1
Ar +1 , A01 ,
Ar + 2 , L , A02 , L ,
An A0 r
与单极点计算相同。 与单极点计算相同。 计算方法如下： 计算方法如下：
A01 = [ F ( s )( s + p0 ) r ] s = p0 d [ F ( s )( s + p ) r ]} A02 = { 0 s = p0 ds LLLLLLLLLLL 1 { d i 1 [ F ( s )( s + p ) r ]} A0i = 0 s = p0 (i 1)! ds i 1 LLLLLLLLLLL 1 { d r 1 [ F ( s)( s + p ) r ]} A0 r = 0 s = p0 (r 1)! ds r 1
L[ f1 (t )] = F1 ( s ) L[ f 2 (t )] = F2 ( s )
它表明求函数线性组合的拉氏变换等于各函数 拉氏变换的线性组合。 拉氏变换的线性组合。 2. 微分性质 若
L[ f (t )] = F ( s)
则有
L[ f ′(t )] = sF ( s ) f (0)
推论： 推论： 若 L[ f (t )] = F ( s ) 则有
0.5 j 0.866 = A1 (0.5 + j 0.866) + A2 (0.5 j 0.866)
0.5 = 0.5( A1 + A2 ) 0.866 = 0.866 A1 0.866 A2
拉氏变换1
4、指数表示法
e jθ = cosθ + j sinθ
r1 =| s1 |=
σ
2 1
+
ω12
θ1
=
arctan
ω1 σ1
σ
s = r ⋅ e jθ
三、复变函数、极点、零点
复变函数：以s为自变量构成的函数 G(s)
G(s) = u + jv
G(s) = K (s − z1)(s − z2 ) ⋅⋅⋅ (s − zn ) (s − p1)(s − p2 ) ⋅⋅⋅ (s − pn )
氏 变
sin ωt
ω s2 +ω2
换
cos ωt
s
s2 +ω2
e − at
1 s+a
MATLAB中的拉普拉斯变换与反变换
¾ 例：求f (t) = e-at的拉氏变换
>> syms a t; >> f=exp(-a*t); >> laplace(f) ans = 1/(s+a)
>> laplace(2*t) ans = 2/s^2
f (t) = t 3e−3t + e−t cos 2t + e−3t sin 4t
(t ≥ 0)
F(s) = 6 + s +1 +
4
(s + 3)4 (s + 1)2 + 22 (s + 3)2 + 42
4、相似定理
L
⎡⎣
f
(
at
)⎤⎦
=
1 a
F
⎛ ⎜⎝
s a
⎞ ⎟⎠
a=constant>0
习题课-拉氏变换
1 1 1 F ( s) = F δ( t) + f3 ( 0− ) = ∴ 3 s s s 这是应用微分性质应特别注意的问题。 这是应用微分性质应特别注意的问题。
12
(3)
f1′( t) =3 ( t) δ
t
f 2′ ( t ) = δ ( t )
( 1) o
f 3′ ( t ) = δ ( t )
x3 (t ) 1
o 1 2 3
t
14
解：Y( s) =Y ( s) +Y ( s) =Y ( s) +H( s) F( s) x f x
Y ( s) =Y ( s) +Y f ( s) =Y ( s) +H( s) X1 ( s) 1 x 1 x 1 =Y ( s) +H( s) =1+ x s +1 Y2 ( s ) = Yx ( s ) + Y2 f ( s ) = Yx ( s ) + H ( s ) X 2 ( s )
f (t )
1
o
ROC：整个s平面 ：整个 平面
1
2
6t
方法三： 方法三：利用微分性质求解 信号的波形仅由直线组成， 信号的波形仅由直线组成，信号导数的拉氏变换 容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号， 容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这 时利用微分性质比较简单。 时利用微分性质比较简单。 微分两次，所得波形如图9-2（ ）所示。 将 f ( t)微分两次，所得波形如图 （b）所示。
1
2
2
1 −s 1 −s 1 2 −2s −s 1 −2s −s 1 −2s 1 −s =− e + e − − ( e −e ) + 2e −e + e − e s s s s s s s 1 −s 2 = 2 (1−e ) 5 ROC：整个 平面 ：整个s平面 s
拉氏变换习题集1 (1)(1)
R1
s
sR2
s
r2
(0
)
2
R2
s
0
解得 R1 s 2 3s 1 s 1 1 3s 3 R2 s 1 3s 1 s 1 1 3s 3
因此
r1
t
2 3
et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
F(s)
s2
s 2s
2
(s
1
s j)(s
1
j)
s
k1 1
j
s
k2 1
j
k1
lim (s
s1 j
1
j)F(s)
lim
s1 j
s
s 1
j
1 2
j
k2
lim (s 1
s1 j
j)F (s)
lim
s1 j
s s 1
j
1 2
j
查表可求得原函数为
f (t) 1 j e(1 j)t 1 j e(1 j)t et (cost sin t)
L
t
t0 u t
t0
1 s2
e st0
因此
F
s
1 s2
1 2 es e2s
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
ROC： Res 0
f t
1
o
拉普拉斯(Laplace)变换
课题引入： 拉普拉斯变换是19世纪末英国电气工程师海维赛(Heariside)创立的。
他是用符号法来解微分方程，比用积分法简便，当时所用的符号法是通过直觉进行推理，后来人们又建立了严密的数学基础，而将其命名为拉普拉斯(Laplace)变换。
拉普拉斯变换的主要作用：是简化解题手续，能把微积分运算转化为代数运算，并能把微分方程转化为代数方程，从而使解题手续简化，缩短了运算时间。
定义 设函数f(t)当0≥t 时有定义，而且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st 存在，则由此积分所确定的函数可写； ⎰+∞-=0)()(dt e t f s F st并称为F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换),拉氏变换亦可写成F(s)＝L[f(t)]并将F(s)称为象函数,f(t)称为象原函数,拉氏变换中的参数s ，一般不限于是实数，可以为复数,不过在本书中，把它当作正的实数看待。
若F(s)是f(t)的拉氏变换，则f(t)为F(s)的拉氏逆变换，记为 )]([)(1s F L t f -=下面介绍如何用定义求拉氏变换。
例l 求函数f(t)＝1的拉氏变换解 s s e dt e L st st 1][1]1[00=-=⨯=∞+-∞+-⎰ 即 s L 1]1[=例2求函数f(t)＝t ，当t ＞0的拉氏变换. 解 200011][][s e s s te dt te t L st st st=+-==⎰⎰∞+-∞+-∞+- 所以 当t ＞0 21][s t L = 同理可得，当n 为正整数 1!][+=n n s n t L练习：习题10.1 1(1) 例3 求函数f(t)＝at e (t ＞0 , a 是常数)的拉氏变换. 解)(1]1[][0)()(0a s a s e a s dt e dt e e e L t a s t s a st at at >-=--===⎰⎰∞+---∞+-所以 )(1][a s a s e L at >-=练习: 习题10.1 1 (2)小结: 1.拉氏变换的定义.作业：习题10.1 1(3) (4) 2。
典型常见函数拉氏变换表
象函数 F(s) = L[f(t)]
n2 s2+2ns+n2
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
t
s0
L
d dt
f (t)
SF(s)
f (0)
Ld来自2f dt(t
2
)
S 2F(s)
Sf
(0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
t n (n=1, 2, …) e -at
tn e -at (n=1, 2, …)
t
1e T
T
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1
1 s+a
n! (s+a) n+1
1 Ts + 1
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 9 10 11 12
原函数 f(t) (t >0)
sint cost
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
象函数 F(s) = L[f(t)]
拉氏变换习题解答
1 1 − e − 4 as
∫ f (t )e
4a 0
− st
dt =
1 ⎡ a e − st dt + 3a(− 1)e − st dt ⎤ − 4 as ⎢ ∫0 ∫2a ⎥ ⎣ ⎦ 1− e
1 = 1 − e −4 as =
− as
3a ⎛ e − st a ⎞ e − st ⎜ ⎟ 1 1 − e − as + e −3as − e −2 as t =0 t =2 a − ⋅ ⎜ ⎟ = − 4 as − s ⎟ 1− e s ⎜ −s ⎝ ⎠ −2 as − as − as
∫
+∞
0
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt
0 2
π 2
+∞
=
+∞ e i t + e − i t 3 − st 2 3 3 − 1 +∞ e | + ∫π e − st dt = − e 2 + ∫π (e −( s −i)t + e −( s +i)t )dt t =0 s s 2 2 −s 2 2
⎧sin t , 0 < t ≤ π ，求& [ f (t )]. f (t ) = ⎨ ⎩ 0, π < t < 2π
-2-
解 周期为 T 的函数 f (t ) 的拉氏变换为 & [ f (t )]. = 因此有 & [ f (t )] =
1 = 1 − e −2πs
= 1 1 − e −2πs
(7)& ⎡ ⎣ f ( t )⎤ max{k , −k})
∫
∫ f (t )e
4a 0
− st
dt =
1 ⎡ a e − st dt + 3a(− 1)e − st dt ⎤ − 4 as ⎢ ∫0 ∫2a ⎥ ⎣ ⎦ 1− e
1 = 1 − e −4 as =
− as
3a ⎛ e − st a ⎞ e − st ⎜ ⎟ 1 1 − e − as + e −3as − e −2 as t =0 t =2 a − ⋅ ⎜ ⎟ = − 4 as − s ⎟ 1− e s ⎜ −s ⎝ ⎠ −2 as − as − as
∫
+∞
0
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt
0 2
π 2
+∞
=
+∞ e i t + e − i t 3 − st 2 3 3 − 1 +∞ e | + ∫π e − st dt = − e 2 + ∫π (e −( s −i)t + e −( s +i)t )dt t =0 s s 2 2 −s 2 2
⎧sin t , 0 < t ≤ π ，求& [ f (t )]. f (t ) = ⎨ ⎩ 0, π < t < 2π
-2-
解 周期为 T 的函数 f (t ) 的拉氏变换为 & [ f (t )]. = 因此有 & [ f (t )] =
1 = 1 − e −2πs
= 1 1 − e −2πs
(7)& ⎡ ⎣ f ( t )⎤ max{k , −k})
∫
拉氏变换_1
y
历史回顾
n
n n
5
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In te r
na
lU
se
O nl
n
19世纪末，英国工程师赫维赛德 （O.Heaviside,1850-1925）发明了“运算 法”（算子法）。 法国数学家拉普拉斯（place,17491825）的著作中找到数学依据。 拉氏变换在电路分析中得到广泛应用。 20世纪70年代以后，计算机的辅助设计 与应用，使拉氏变换的使用相对减少。 但拉氏变换建立的系统函数及零、极点 分析的概念仍发挥重要作用。
na
lU
(3) If s = jω is in the ROC (i.e. s=0), then
7
L{ f (t )} s = jω = F ( s ) s = jω = F{ f (t )}
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se
O nl
y
4.1 Introduction
n
FT存在的条件
n
绝对可积
周期信号、阶跃信号等不满足该条件
n
引入冲激函数
n
2
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In te r
拉氏变换
na
n
解决方法
cos ω0 t ↔ πδ( ω + ω0 ) + πδ(ω − ω0 )
13
In te r
O nl
−2
0
Generally, if we can find σ > σ0 to satisfy next eq.
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因此r1Leabharlann t2 3et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
dt
s2 1
s2 1
t d costu(t) d ( s2 ) 2s
dt
ds s2 1 (s2 1)2
5
拉普拉斯变换
4. 求函数 sin tu(t ) 的拉氏变换
解：
sin tu(t ) sin(t )u(t )
sin tu(t ) 1 es
s2 1
6
拉普拉斯变换
a. 解：
t cos t
t cos cost t sin sin t
s cos s2 2
'
s2
sin 2
'
s2 2 cos 2s sin
s2 2 2
4
拉普拉斯变换
3. 求函数 t d cos tu(t) 的拉氏变换 dt
解：
cos tu(t)
s s2 1
d costu(t) s s f (0 ) s2
2r1 (t )
r2
(t )
e(t )
r1 (t )
dr2 (t) dt
2r2 (t)
0
解：对方程组两边应用单边拉式变换得
sR1 s r1(0 ) 2R1 s R2 s 1 s
R1
s
sR2
s
r2
(0
)
2
R2
s
0
解得 R1 s 2 3s 1 s 1 1 3s 3 R2 s 1 3s 1 s 1 1 3s 3
f t
1
o
1
2t
拉普拉斯变换
6.
已知
f (t) sin 0t
0 s2 02
求下列的拉普拉斯变换：
（1）f (t t0 )
(2) f (t t0 )u(t)
（3）f (t)u(t t0 )
（4）f (t t0 )u(t t0 )
解：(1)和(2)的单边拉氏变换相同
L[sin 0 (t t0 )] L[sin 0t cos0t0 cos0t sin 0t0 ]
s 2s
2
的原函数
f
t
解： 将F(s)的分母因式分解为 s2 2s 2 (s 1 j)(s 1 j)
F(s)
s2
s 2s
2
(s
1
s j)(s
1
j)
s
k1 1
j
s
k2 1
j
k1
lim (s
s1 j
1
j)F(s)
lim
s1 j
s
s 1
j
1 2
j
k2
lim (s 1
s1 j
j)F (s)
lim
s1 j
F(s)
s2
4s 5 5s
6
(s
4s 5 2)(s
3)
s
k1 2
k2 s3
k1
lim (s
s2
2)F
(s)
lim
s2
4s 5 s3
3
k2
lim (s
s3
3)F (s)
lim
s3
4s 5 s2
7
查表可求得原函数为 f (t) 3e2t 7e3t
14
拉普拉斯反变换
10.求Fs
s2
t
dF s
ds
Lx(t t0) X (s)est0
，ROC不变 ，ROC不变
F s L tu t 1 L t 1u t 1 u t 1
L
tu
t
d
1 s
ds
1 s2
∴
L
t
1 u
t
1
1 s2
es
∴
F
s
1 s
1 s2
e
s
ROC：Res 0
3
拉普拉斯变换
2. 求函数 t cos(t ) 的拉氏变换
2
2 estd t
2 t estd t
s0
1
1
1 s
test
1 s
e st
1 0
2
1 s
e st
2
1
1 s
test
1 s
e st
2 1
1 s
e
s
1 s
e
s
1 s
2 s
e2s es
1 s
2 e2s
es
1 s
e2s
1 s
es
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
8
拉普拉斯变换
0
cos
0t0 s sin s2 02
0t0
拉普拉斯变换
（3）L
f
(t)u(t
t 0
)
Lsin
tu(t 0
t 0
)
t0 sin
test 0
dt
1 t0 2 j
e e ( s j0 )t
( s j0 )t
dt est0
cos( t ) ssin( t )
0
00
00
s2 2
0
（4）L f
(t
t )u(t 0
t ) 0
Lsin (t 0
t )u(t 0
t ) 0
est0
s2
0
2
0
拉普拉斯反变换
7.求 解：
1 2eas 的拉普拉斯逆变换。 s 1
1 2eas s 1
1 2 eas s 1 s 1
f (t) etu(t) 2e（ta)u(t a)
5. 求如图9-2(a)所示的三角脉冲函数 f t 的拉氏变换
t,
f t 2 t,
0,
0 t 1 1 t 2 其他
ft
1
o
1
2t
9-2（a）
7
拉普拉斯变换
a. 解：利用定义
F s f t estd t
1t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
1
td
e st
b. 解：利用线性叠加和时移性质求解
由于 f t tu t 2t 1u t 1 t 2u t 2
L
tu
t
1 s2
L f t t0 F s est0
L
t
t0 u t
t0
1 s2
e st0
因此
F
s
1 s2
1 2 es e2s
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
ROC： Res 0
s s 1
j
1 2
j
查表可求得原函数为
f (t) 1 j e(1 j)t 1 j e(1 j)t et (cost sin t)
2
2
15
拉普拉斯变换应用
11.用拉普拉斯变换分析法求系统的响应 r1 t 和 r2 t 。
已知
r1 0 2，r2 0 1，et u t
dr1(t) dt
拉普拉斯变换习题
1
拉普拉斯变换
1. 求函数 f t tu t 1 的拉氏变换
a. 解：利用定义
F s f t estdt tu t 1 estdt
1
test dt
1 s
test
1 s
est
1
1 s
1 s2
es
ROC： Res 0
2
拉普拉斯变换
b. 解：利用性质 及
L
tf
12
拉普拉斯反变换
s
8.求 s2 3 2 的拉普拉斯逆变换。
解：
3 sin 3t
s2 3
'
s2
3
3
2 3s s2 3 2
t sin 3t
s 2
s
32
t 2
sin 3
3t u(t)
13
拉普拉斯反变换
9.求
F
s
s2
4s 5 5s
的原函数 6
f t
解： 将F(s)的分母因式分解为 s2 5s 6 (s 2)(s 3)