拉氏变换习题集1 (1)(1)

拉普拉斯变换习题
1
拉普拉斯变换
1. 求函数 f t tu t 1 的拉氏变换
a. 解：利用定义
F s f t estdt tu t 1 estdt
1
test dt
1 s
test
1 s
est
1
1 s
1 s2
es
ROC： Res 0
2
拉普拉斯变换
b. 解：利用性质 及
L
tf
dt
s2 1
s2 1
t d costu(t) d ( s2 ) 2s
dt
ds s2 1 (s2 1)2
5
拉普拉斯变换
4. 求函数 sin tu(t ) 的拉氏变换
解：
sin tu(t ) sin(t )u(t )
sin tu(t ) 1 es
s2 1
6
拉普拉斯变换
0
（4）L f
(t
t )u(t 0
t ) 0
Lsin (t 0
t )u(t 0
t ) 0
est0
s2
0
2
0
拉普拉斯反变换
7.求 解：
1 2eas 的拉普拉斯逆变换。 s 1
1 2eas s 1
1 2 eas s 1 s 1
f (t) etu(t) 2e（ta)u(t a)
s 2s
2
的原函数
f
t
解： 将F(s)的分母因式分解为 s2 2s 2 (s 1 j)(s 1 j)
F(s)
s2
s 2s
2
(s
1
s j)(s
1
j)
s
k1 1
j
s
k2 1
j
k1
lim (s
s1 j
1
j)F(s)
lim
s1 j
s
s 1
j
1 2
j
k2
lim (s 1
s1 j
j)F (s)
lim
s1 j
F(s)
s2
4s 5 5s
6
(s
4s 5 2)(s
3)
s
k1 2
k2 s3
k1
lim (s
s2
2)F
(s)
lim
s2
4s 5 s3
3
k2
lim (s
s3
3)F (s)
lim
s3
4s 5 s2
7
查表可求得原函数为 f (t) 3e2t 7e3t
14
拉普拉斯反变换
10.求Fs
s2
s s 1
j
1 2
j
查表可求得原函数为
f (t) 1 j e(1 j)t 1 j e(1 j)t et (cost sin t)
2
2
15
拉普拉斯变换应用
11.用拉普拉斯变换分析法求系统的响应 r1 t 和 r2 t 。
已知
r1 0 2，r2 0 1，et u t
dr1(t) dt
t
dF s
ds
Lx(t t0) X (s)est0
，ROC不变 ，ROC不变
F s L tu t 1 L t 1u t 1 u t 1
L
tu
t
d
1 s
ds
1 s2
∴
L
t
1 u
t
1
1 s2
es
∴
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s
1 s
1 s2
e
s
ROC：Res 0
3
拉普拉斯变换
2. 求函数 t cos(t ) 的拉氏变换
f t
1
o
1
2t
拉普拉斯变换
6.
已知
f (t) sin 0t
0 s2 02
求下列的拉普拉斯变换：
（1）f (t t0 )
(2) f (t t0 )u(t)
（3）f (t)u(t t0 )
（4）f (t t0 )u(t t0 )
解：(1)和(2)的单边拉氏变换相同
L[sin 0 (t t0 )] L[sin 0t cos0t0 cos0t sin 0t0 ]
12
拉普拉斯反变换
s
8.求 s2 3 2 的拉普拉斯逆变换。
解：
3 sin 3t
s2 3
'
s2
3
3
2 3s s2 3 2
t sin 3t
s 2
s
32
t 2
sin 3
3t u(t)
13
拉普拉斯反变换
9.求
F
s
s2
4s 5 5s
的原函数 6
f t
解： 将F(s)的分母因式分解为 s2 5s 6 (s 2)(s 3)
2
2 estd t
2 t estd t
s0
1
1
1 s
test
1 s
e st
1 0
2
1 s
e st
2
1
1 s
test
1 s
e st
2 1
1 s
e
s
1 s
e
s
1 s
2 s
e2s es
1 s
2 e2s
es
1 s
e2s
1 s
es
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
8
拉普拉斯变换
2r1 (t )
r2
(t )
e(t )
r1 (t )
dr2 (t) dt
2r2 (t)
0
解：对方程组两边应用单边拉式变换得
sR1 s r1(0 ) 2R1 s R2 s 1 s
R1
s
sR2
s
r2
(0
)
2
R2
s
0
解得 R1 s 2 3s 1 s 1 1 3s 3 R2 s 1 3s 1 s 1 1 3s 3
5. 求如图9-2(a)所示的三角脉冲函数 f t 的拉氏变换
t,
f t 2 t,
0,
0 t 1 1 t 2 其他
ft
1
o
1
2t
9-2（a）
7
拉普拉斯变换
a. 解：利用定义
F s f t estd t
1t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
1
td
e st
因此
r1
t
2 3
et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
a. 解：
t cos t
t cos cost t sin sin t
s cos s2 2
'
s2
sin 2
'
s2 2 cos 2s sin
s2 2 2
4
拉普拉斯变换
3. 求函数 t d cos tu(t) 的拉氏变换 dt
解：
cos tu(t)
s s2 1
d costu(t) s s f (0 ) s2
0
cos
0t0 s sin s2 02
0t0
拉普拉斯变换
（3）L
f
(t)u(t
t 0
)
Lsin
tu(t 0
t 0
)
t0 sin
test 0
dt
1 t0 2 j
e e ( s j0 )t
( s j0 )t
dt est0
cos( t ) ssin( t )
0
00
00
s2 2
b. 解：利用线性叠加和时移性质求解
由于 f t tu t 2t 1u t 1 t 2u t 2
L
tu
t
1 s2
L f t t0 F s est0
L
t
t0 u t
t0
1 s2
e st0
因此
F
s
1 s2
1 2 es e2s
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
ROC： Res 0