巧用椭圆的第二定义解题
椭圆的第二定义(含解析)
课题：椭圆的第二定义【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。
中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x 2、椭圆 13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) .12 C3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知1212a b c e ====，，． 根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。
高二数学最新课件-新课标运用第二定义可以解决椭圆上一动点M与椭圆内定点 精品
x2 ym
3)椭圆中心在原点，焦点 在坐标轴上，准线方程 是 y 18椭圆上一点到两点距离 分别为 10和14， 则此椭圆方程是
x2 y2 例2：已知定点A（ 2，3），点F为椭圆 1的右焦点，点 M 16 12 在该椭圆上移动时，求MA 2 MF 的最小值，并求出此时 点M的坐标。
方法总结： 运用第二定义可以解决椭圆上一动点M与椭圆内 1 MA MF 距离最小值问题 定点 e
1)点A(1,1)在3x 2 4 y 2 12内，F是椭圆右焦点，在椭圆 上求一点M使 MA 2 MF 之值最小，最小为多少 ？
2x 2 3 y 2 6x 3 y 0(已知椭圆内部 )
点差法求直线与曲线中点问题
例2：椭圆的中心在原点， 一个焦点坐标为（ 0， 5 2），且截直 1 1 线3x y 2 0所得弦的中点坐标（ ， ），求椭圆方程。 2 2
练习2：椭圆的中心在原点， 一个焦点坐标为（ 5,0），且截 直线y x 3所得弦的中点坐标（ 2,1 ），求椭圆方程。
e 3 3
x2 y2 设M ( x0 , y 0 )是椭圆 2 2 1上一点，F1 (c,0)，F2 (c,0) a b c 分别是椭圆两焦点，离 心率e a 求证： MF1 a ex0， MF2 a ex0
第二定义的应用
x2 y2 例1：设P是椭圆 2 2 1上一点，求PF1 PF2 的 a b 最大值与最小值。
M( 2 6 ,1), 最小值3 3
x2 y2 2) : 已知F1，F2 是椭圆 1的左右焦点，P是椭圆 100 64 上任意一点：
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
高二数学椭圆的第二定义
25 12
,
3
119 12
x2
y2
2、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
上一点P到右焦点F的距离为3/2，则P 到左准线的
x2 y2
（2）已知椭圆
25
9
1
上一点P到左准线的距离是5/2，则 P 到右焦点的
距离是 __8____________
x2 y2 1
5 、离心率 e=3/5, 一条准线的方程是x=50/3 的椭圆的标准方程是____10_0___64___
4、若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F（2，0），
则椭圆的方程是
3x2-8x+4y2=0 ____________
；/ 左左小说
；
了.他再也回不去了,再也见不到他那三个心爱の妻子,见不到那三朵花,见不到他の亲人,回不到他梦里の雾霭城… "呵呵,有三个方法…可以出去！" 雨帝の话,让白重炙眼睛再次一亮,但是接下来の话,却是让白重炙の心沉到了谷底："第一,修炼到九品破仙境界,可以直接从那个洞口飞出去, 第二领悟空间法则高级玄奥,空间永恒,也可以飞出去,不过这种高级玄奥,只是传说中有,但是从没有见人感悟成功过.第三,爬上五帝山,五帝山顶有个祭坛,只要走进哪个祭坛,就有机会打破封神谷の诅咒,诅咒一除,封神谷就不能封神了…" 第一些条件不用考虑,九品无敌破仙,那是传说中の 存在.第二条件,更是不用考虑,神界练家子数万万亿,
高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析
高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
127椭圆的第二定义应用
一、圆锥曲线第二定义的应用例1：椭圆192522=+y x 上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。
例2：F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为：A. ex 0-aB. a-ex 0C. ex 0-aD.e-ax 0例3：过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。
例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为例6：已知双曲线x 2/25-y 2/144=1的左右焦点分别为F 1和F 2，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使|PF 1|是P 到左准线的距离d 与|PF 2|的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由。
[分析]这是一道存在性探索问题，解题思路一般是：先假设存在，然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。
圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。
[解]根据题意：|PF 1|2=d |PF 2|,即|PF 2|/|PF 1|=|PF 1|/d= e ∴|PF 2|= e|PF 1|∵|PF 2|-|PF 1|=2a=10 c=13 e=13/5∴13|PF 1|/5-|PF 1|=10 |PF 1|=25/4 |PF 2|=65/4 ∴|PF 1|+|PF 2|=45/2 又|F 1F 2|=26 从而|PF 1|+|PF 2|<|F 1F 2|矛盾 ∴符合条件的点P 不存在。
例7 设椭圆2222by a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。
解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |21|AF |1=。
椭圆第二定义的应用
| FA | = e, | NB | = | A M | . 四 边形 | MA | ABMN 是矩形, 即 AB 2 x 轴, 直线 l 和x 轴 重合, 这与已知矛盾, 故椭 圆中不 存在 被直线 l 垂直平分的弦. 评注 充分挖掘椭圆第二定义的转化功 能, 借助 平 面几 何 知识 是 巧妙 解 决上 述 几例 的关键, 这 一化 归 思想 还 可以 迁 移到 抛 物线 双曲线的同类问题中去.
% 23 %
高中数学教与学 ∗ 课外测试 ∗
2004 年
高一数学第一学期期末测试
一、 选择题( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分在每小题给出的 4 个选 项中, 只 有一 项是符合题目要求的. ) 1. 以下 4 个命题: ( 1) 小于 90+ 的角是锐角; ( 2) 钝角是第二象限角; ( 3) 第一象限角一定不是负角; ( 4) 第二象限角一定大于第一象限角, 其中真命题的个数是( ) ( A) 0 ( B) 1 ( C) 3 ( D) 3 2. 设集合 A 和集合B 都是实数集 R, 映射 f : A , B 使得集合 A 中的元素 x 对 应于集合 B 中 的元素 x 3 - x + 2, 则在此映射下, 象 2 的 原象构成的集合是( ) ( A) { 1} ( B) { 0, 1, - 1} ( C) { 0} ( D) { 0, - 1, - 2} 3. 已知集合 A = { 1, 3} , B = { x | mx - 3 = 0} , 则 能使 A − B = A 的 m 值的 集合 为 ( ) ( A) { 1} ( C) { 0, 3} A B 的方程为 3x + y + 2 3 = 0. 六、 解决探索性问题 x 2 y2 2+ 2 = 1( a > b > a b 0), 直 线 l 过 椭圆 的左 焦点 F( l 不 和 x 轴 重 合) . 问椭圆 C 中是否存在被 l 垂直平分的弦? 例6 已知椭圆 C: 若存在, 有几条? ( B) { 1, 3} ( D) { 0, 1, 3} 4. 已 知 各 项均 为 正 数 的数 列 an 满 足: a n+ 1 = 2 an + 1( n = 1, 2, 3, .) , 则( ) ( A) an 为等比数列 ( B) an - 1 为等比数列 ( C) an + 1 为等比数列 ( D) 2a n + 1 为等比数列 5. 以下四组函数: ( 1) y = | x | , y = x ( x > 0) , - x ( x & 0) ; ( 2) y = 3 x + 2( x / R), s = 3 t + 2( t / R) ; ( 3) y = 0, y = x + - x ; x- 1 , y = lg( x - 1) - lg( x + 1) . x+ 1 其中, 两个函数相同的共有( ) ( A) 4 组 ( B) 3 组 ( 4) y = lg ( C) 2 组 ( D) 1 组
怎样运用椭圆的定义求解与椭圆有关的轨迹问题
而h ′1()x =12x，h ′2()x =-2x .由h ′1()x 0=h ′2()x 0得-12x 20=-2x 0，解得x 0，y 0=，所以p èø，则m =èø2+.画出h 1()x=12x和h 2()x =-x 2+m 的图象，如图1、2、3所示.由图可知，当m时，两个函数图象有1个交点；当m =时，两个函数图象有2个交点；当m 时，两个函数图象有3个交点.即当m >时，方程有1个根；当m =时，方程有2个根；当m 时，方程有3个根.将原方程解的个数转化为两个函数h 1()x =12x和h 2()x =-x 2+m 的交点的个数.而两个函数一定一动，确定两个函数图象相切时的位置，便可确定两个函数图象交点的个数.利用导数的几何意义便可求得切点的坐标，进而得到两图象相切时m 的取值.函数、方程之间的联系紧密.在解答含参方程问题时，我们要注意将问题转化为函数问题来求解，利用导数法、函数的图象来分析、解答问题.这样不仅能拓宽解题的思路，还能有效地提升解题的效率.(作者单位:江西省赣州市赣县中学)图1图2图3求解圆锥曲线轨迹问题的方法有很多，比如定义法、直接法、相关点法（或叫代入法）、参数法等.对于与椭圆有关的轨迹问题，我们也同样可以运用这些方法来求解.其中定义法是应用范围最广、使用频率最高的一种方法.而椭圆的定义有三种:第一、二、三定义,本文重点探讨如何运用椭圆的这三个定义来求解与椭圆有关的轨迹问题.一、椭圆的第一定义椭圆的第一定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.在求解与椭圆有关的轨迹问题时，我们可以直接套用椭圆的第一定义，寻找动点到两定点的距离之和，然后建立关系式,即∣F 1F 2∣=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,得到椭圆的焦距、长轴长，进而求得曲线的轨迹方程.例1.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，M 为椭圆上的一个动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是（）.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：不妨设椭圆C 的右焦点为F 2，根据椭圆的第一定义不难得到：|PF 1|+|PO |=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >c ,根据椭圆的第一定义可知点P 的轨迹是椭圆.解：设椭圆C 的右焦点为F 2，坐标原点为O ，由椭圆的定义得|MF 1|+|MF 2|=2a >2c ，则|PF 1|+|PO |=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >c ，则点P 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆，故本题答案为B 项.二、椭圆的第二定义圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e 的点的轨迹，其中定点为焦点，定直线为准线.当0<e <1时该曲线为椭圆；当e =1时该曲线为抛物线；当e >1时该曲线为双曲线.椭圆的第二朱园娇章长红解题宝典39解题宝典定义将焦半径的长度转化为到准线的距离，突出曲线上动点的横坐标.在解题时，我们只需要明确准线的位置和椭圆上的动点的横坐标，便可使问题得解.例2.已知点P 是正四面体V -ABC 侧面VBC 上一点，且点P 到底面ABC 的距离与它到顶点V 的距离相等，则动点P 的轨迹（）.A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解：过P 作PD ⊥平面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，如图1，由题意可得BC ⊥平面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V -BC -A 的平面角，令其为α，则在Rt△PDH 中，||PD :||PH =sin α，又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即||PV =||PD ，所以||PV :||PH =sin α<1，所以在平面VBC 中，点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比为sin α<1，由椭圆的第二定义知P 点的轨迹为椭圆在平面VBC 内的一部分．解答这个题目的关键是作出并求得点P 到底面的距离.通过添加辅助线，设二面角V -BC -A 为α，由二面角的定义可得点P 到点V 的距离与定直线BC 的距离之比为一个常数，根据椭圆的第二定义即可得到问题的答案.三、椭圆的第三定义椭圆的第三定义也叫椭圆的斜率积定义，是指平面内动点到两定点A 1(a ,0)和A 2(-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.其中两定点为椭圆的顶点.椭圆的第三定义将斜率的乘积作为主要关系，那么我们在解题时可以根据斜率的这种关系来进行求解.例3.设P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的动点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，I 为△PF 1F 2的内心，求点I的轨迹方程．解析：由于本题是与焦点三角形的内切圆有关的问题，所以要依据分割图形的面积来寻找圆的半径和三角形三边之间的关系.由内心I 是动点，F 1和F 2是两个定点，我们可联想到椭圆的第三定义，结合这两个关系式得到IF 1与IF 2的斜率之积是一常数，根据椭圆的第三定义就不难发现并求得点I 的轨迹方程.解：如图2，设内切圆I 与F 1F 2的切点为H ，半径为r ，且设F 1H =y ，F 2H =z ,PF 1=x +y ,PF 2=x +z ,c =a 2+b 2，则{y +z =2c ,2x +y +z =2a ,所以直线IF 1与IF 2的斜率之积为k IF 1∙k IF 2=-IH 2F 1H ∙F 2H=-r 2yz ，而根据海伦公式可得△PF 1F 2的面积为()x +y +z r =xyz ()x +y +z ，因此k IF 1∙k IF 2=-x x +y +z =-a -ca +c .根据椭圆的斜率积定义可得I 点的轨迹是以F 1F 2为长轴，离心率为e 的椭圆，其标准方程为x 2c 2+y 2a -c a +c∙c 2=1()y ≠0.我们知道，椭圆中有个重要的结论：椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上任意一点到椭圆长轴的两个端点的斜率之积等于-b2a2.椭圆的第三定义是这个结论的逆命题.因此，对于椭圆中与角度、斜率有关的问题，我们都可以利用椭圆的第三定义，根据椭圆中与角度、斜率建立关系式，求得椭圆的方程.以上三个题目分别借助椭圆的第一定义、第二定义、第三定义求解与椭圆有关的轨迹问题.在解题过程中，我们要学会依据题意，结合图形，紧扣椭圆的三个定义对题目中的条件进行转化，比如，例1是根据椭圆的第一定义将中位线转化为动点到两定点的距离之和，例2是根据椭圆的第二定义，将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离之间的关系转化为点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比，例3是根据椭圆的第三定义，将圆的半径和三角形三边之间的关系转化为k IF 1∙k IF 2.通过转化便可建立动点满足的等量关系式，联系椭圆的定义，从而达到解答与椭圆有关的轨迹问题的目的.(作者单位:江西省余干第一中学)图1图240。
巧用椭圆的第二定义解题
巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。
增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。
例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－223，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线1：求椭圆的方程2：求证：dPQ为定值 3：在l 上是否存在点R ，使∆PQR 为正三角形若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11322=+y x 2：证明：如图，作PP /⊥l 与P ，QQ /⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得e PPPF =/，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ /=2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。
假设存在点R ，使∆PQR 为正三角形，且椭圆固定，则PQ 确定，于是PQ 的垂直平分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求即求倾斜角π－//MM Q ∠的大小， 而COS //MM Q ∠=MQ MM //，由第2问的结论可得：COS //MM Q ∠=MQ MM//=PQPQ e 2321=2231=e，//MM Q ∠为45○，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－223变题：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，若在其左准线l 上存在点R 使∆PQR 为正三角形，求椭圆的离心率的范围。
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)首页>生活常识 >正文关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)发布日期：2023-09-21 12:26:22 次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的'并、补、交、非'也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。
另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。
二次函数的零点的δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。
这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。
考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。
这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。
次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
椭圆第二定义及其应用
椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。
我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。
2020 年椭圆的第二定义例题
椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e dMF 为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e dMF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ， L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e dMF ，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小； 且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中， 解得：320=x 故：当)3,32(M 时，MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明：作图， 由第二定义：e ca x PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)(又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且即c a PF c a +≤≤-1当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+= [练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B AB A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”） 作，A L AA 11于⊥，B L BB 11于⊥ ，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+= 10<<e Θ11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴即：12MM AB < 12MM AB <∴（2AB 为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离 四、小结本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中采用）。
椭圆的第二定义
椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。
解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=M F c da整理得：()ac xcay c x =-+-222两边同时平方，并化简，得()()22222222caaya xca -=+-，令222b ca=-，得轨迹的方程为12222=+by ax ()0>>b a如图所示：归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)Fc ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y=2两边平方整理得0568222=-++x y x .注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。
认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。
12.3.4椭圆的第二定义解析
F2
•
N
y F2 •
x M
椭圆焦半径公式的两种形式与焦点位置有关，
2 2
y x (2) 2 2 1(a b 0) a b PF1 a ey0 (下焦半径) PF2 a ey0 (上焦半径)
•P
o x
F1 •
N
2 2 x y 1、证明椭圆 1(a b 0) 上任意三点的横坐标成等 2 2 a b
| PF1 | | PF2 | 2a
F1
o
F2
x
即 ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a
( x c )2 y 2 2a ( x c )2 y 2
则( x c )2 y 2 4a 2 4a ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2
| PF1 |
c2 2 2 x 2 cx a 0 2 0 a
a x0 a,
| PF1 | a ex0,
c | a x0 | a c a x0 a c 0 a 又 | PF1 | | PF2 | 2a
P(x0,y0) r1 F1 r2 F2
?
2 （x+c） + y2
a2 x+ c
c a
【说明】
1、椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同 的定义方式。 2、椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则动 点 轨迹不存在。隐含着离心率e的几何意义。 3、椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准 线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
2 2 a x2 y2 a 左准线 右准线 l 2 : x 1 l1 : x 2 2 c a b c (a b 0) 2 2 2 2 y x a a 对于 2 2 1 下准线 l1 : y 上准线 l 2 : y a b c c
椭圆第二定义在解题中的巧用
椭圆第二定义在解题中的巧用
余泽群
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2015(000)023
【摘要】平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（e=c/a,0〈e〈1）的点的轨迹通常称为椭圆第二定义，该定义人教A版仅在《选修2—1》P47例6提及，往往易被同学们忽视．由于椭圆第二定义给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，包含数形结合的思想，运用它可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以一道高考椭圆题目的两种解法为例说明椭圆第二定义在解题中的巧用．
【总页数】2页(P75-76)
【作者】余泽群
【作者单位】湖北省武汉市第一中学高二(4)班
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆第二定义的发现式学习 [J], 王超伟;
2."椭圆的第二定义"教学设计 [J], 唐官洪
3.例谈对数学问题的探究、创新——由椭圆的第二定义想到的 [J], 姜坤崇
4.缩圆法在解椭圆压轴题中的应用 [J], 胡腾戈;黄国稳
5.例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用” [J], 陈启南
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
巧用椭圆的第二定义解题
《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。
增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。
例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22
3
，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l
1：求椭圆的方程2：求证：
d
PQ
为定值 3：在l 上是否存在点R ，使∆PQR 为正三角形 若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由
1：解析：易得椭圆的方程11
32
2=+y x 2：证明：如图，作PP /
⊥l 与P ，QQ /
⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得
e PP
PF =/
，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ /
=2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。
假设存在点R ，使∆PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/
/MM Q ∠的大小，
而COS /
/
MM Q ∠=M
Q MM //，由第2问的结论可得：
COS /
/
MM Q ∠=M
Q MM //
=
PQ
PQ e 2
321=
2
231=
e
，//MM Q ∠ 为45○
，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－
223
变题：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，PQ 是过
F 且与x 轴不垂直的弦，若在其左准线l 上存在点 R 使∆PQR 为正三角形，求椭圆的离心率的范围。
解析：同上，由椭圆的第二定义和正三角形的性质， RM>MM /
易得离心率e ∈（
1,3
3
）。