空间平行关系的判定和性质

空间平行关系的判定和性质

【知识点及例题】

考点平行的判定与性质

1直线与平面平行的判定定理

自然语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行•简称：线线平行，则线面平行.

图形语言：如图所示.

符号语言：a? a, b? a,且a// b? a// a

2直线与平面平行的性质定理

自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行•简称：线面平行，则线线平行.

图形语言：如图所示.

符号语言：a // a，a? 3， aQ 3= b? a / b.

3平面与平面平行的判定定理

自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行•简称：线面平行，则面面平___________________ 行.

图形语言：如图所示.

符号语言：a? a，b? a，a Q b = P，a / 3, b / 3? a// 3

4平面与平面平行的性质定理

自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 简称:面面平行，则线线平行.

图形语言：如图所示.

注意点对直线与平面，平面与平面平行的判定与性质定理的理解

(1) 直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可; 判定方法. (2) 平面与平面平行的性质定理实际上给岀了判定两条直线平行的一种方法，

注意一定是第三个平面与两平行

平面相交，其交线平行. (3) 要证面面平行需证线面平行，

要证线面平行需证线线平行， 因此“面面平行”问题最终可转化为 “线线平

行”问题. 命题法 证明或判断线线平行、线面平行、面面平行

典例 ⑴如图，几何体 E — ABCD 是四棱锥，△ ABD 为正三角形，CB = CD ，EC 丄BD.

① 求证：BE = DE ;

② 若/ BCD = 120° M 为线段 AE 的中点，求证： DM I 平面BEC .

符号语言:

a II 3, ad Y a ,

线面平行的性质定理可以作为线线平行的

⑵如图所示, 2.

A i O 丄底面 ABCD ，A

B = AA i

①证明：平面A I BD //平面CD i B i;

②求三棱柱ABD —A I B I D I的体积.

图1

【解题法】线面平行、面面平行问题的思路及三种平行关系的相互转化

（1）证明线面平行问题的思路（一）

①作（找）岀所证线面平行中的平面内的一条直线.

②证明线线平行.

③根据线面平行的判定定理证明线面平行.

⑵证明线面平行问题的思路（二）

①在多面体中作岀要证线面平行中的线所在的平面.

资*源％库②利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行.

③证明所作平面与所证平面平行.

④转化为线面平行.

（3）空间平行关系之间的转化

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|线维平荷

【补救练习】

1.已知m, n为两条不同的直线，a, B为两个不同的平面，则下列为真命题的是（）

A .

m

//

n, m±a?n丄a

B . a //B,m?a n?B?m // n

C. m±a,m±n?n // a

D.m?a,n?a,m

//

B,n// B? all B

2•给岀下列关于互不相同的直线I、m、n和平面a & 丫的三个命题:

①若I与m为异面直线，I? a, m? &,则all戏

②若a//© l? a, m? B,贝U l II m；

③若ad p= l, BQ 尸m, Y a= n, l // Y贝U m II n.

其中真命题为 ___________ .

【巩固练习】

3•如图，四棱锥P —ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA丄底面ABCD，且FA = 2, E是侧棱PA上的中点.

(1)求证：FC II平面BDE ; ⑵求四棱锥F —ABCD的体积.

【拔高练习】

4.如图，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，S是B i D i的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证:

资*源％库

⑴直线EG //平面BDD i B i;

⑵平面EFG //平面BDD i B i.