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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
3.1.1椭圆及其标准方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
两焦点
半焦距
离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为______．
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(
A．椭圆
B．线段
C．圆
D．直线
B
)
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，所以点M的轨迹是线段
圆的标准方程为(
)
2
A．
4
2
C．
4
A
+
2
＝1
3
2
B． ＋y2＝1
4
+
2
＝1
3
2
D． ＋x2＝1
4
解析：由题意知c＝1.因为椭圆的焦点在x轴上，所以，可设椭圆
2
的标准方程为 2
2
+ 2 ＝1(a>b>0)．
4
0
又点P(2，0)在椭圆上，所以 2 + 2 ＝1，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝3.
)
3
A．2
B．4
C．8
D．
2
2
2
B 解析：由椭圆的方程 + ＝1，得a＝5.
25
9
由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2×5＝10.
又|MF1|＝2，所以|MF2|＝10－2＝8.
因为N为MF1的中点，O为F1F2的中点，所以线段ON为△MF1F2的中
1
位线．所以|ON|＝
2
1
2 ＝ ×8＝4.
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
半焦距
离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为______．
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(
A．椭圆
B．线段
C．圆
D．直线
B
)
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，所以点M的轨迹是线段
圆的标准方程为(
)
2
A．
4
2
C．
4
A
+
2
＝1
3
2
B． ＋y2＝1
4
+
2
＝1
3
2
D． ＋x2＝1
4
解析：由题意知c＝1.因为椭圆的焦点在x轴上，所以，可设椭圆
2
的标准方程为 2
2
+ 2 ＝1(a>b>0)．
4
0
又点P(2，0)在椭圆上，所以 2 + 2 ＝1，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝3.
)
3
A．2
B．4
C．8
D．
2
2
2
B 解析：由椭圆的方程 + ＝1，得a＝5.
25
9
由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2×5＝10.
又|MF1|＝2，所以|MF2|＝10－2＝8.
因为N为MF1的中点，O为F1F2的中点，所以线段ON为△MF1F2的中
1
位线．所以|ON|＝
2
1
2 ＝ ×8＝4.
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
2.2.1 椭圆及其标准方程 (共29张PPT)
• 这两个定点叫做椭圆的焦点，
M
• 两焦点的距离叫做焦距．
F1
F2
2019/11/1
8
问：能否由此得到：到两个定点的距离之和 等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
说明：在平面上到两个定点F1， F2的距 离之和等于定值2a的点的轨迹为：
当2a＞∣F1F2∣=2c ，轨迹为：椭圆 当2a＝ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：线段 当2a＜ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：不存在
2019/11/1
6
反思：
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内
（2）到两定点F1，F2的距离之和等于定长2a
（3）定长2a﹥ |F1F2|
M
F1
F2
2019/11/1
7
1.椭圆的定义
• 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
y2 b2
1(a b 0)
这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的
焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这
2里019c/121/=1 a2-b2．
13
4．椭圆标准方程分析
我们把方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
叫做椭圆的标准方程，它表示
y M (x,y)
答 案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10，c 2 5 。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
2019/11/1
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆及其标准方程 课件
（1） 两焦点的坐标是（-4，0），（4，0）椭圆 上一点P到两焦点的距离之和等于10。 （2）两焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2）
并且椭圆经过点 ( 3 , 5)。
22
（1） 两焦点的坐标是（-4，0），（4，0）椭圆上 一点P到两焦点的距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设标准方程为
没有轨迹
小结：椭圆必须满足的几个条件
1.动点 M 到两个定点 F1、F2的距离之和是常数。 2.常数要大于焦距。
4
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y yy
y
M
F1 O O OF2 xx x
O
x
原则：尽可能使方 程的形式简单、运 算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴.)
由ay椭22 圆bx的22 定1义(a知 ，b 0)
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 2 10
22
22
∵ a 10 , c 2
∴ b2 a 2 c 2 10 6 4
所以标准方程为
y2 x2 1 10 6
例2.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点P( 6,1),Q( 3, 2)的椭圆的标准方程。
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
2a = 10, 2c = 8,
a = 5， c = 4.
b2 a2 c2 52 42 9
所以标准方程为
x2 y2 1 25 9
（2）两焦点的坐标分别是0，-2），（0，2） 并且椭圆经过点 ( 3 , 5) 。
22
解：由椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 移项平方
并且椭圆经过点 ( 3 , 5)。
22
（1） 两焦点的坐标是（-4，0），（4，0）椭圆上 一点P到两焦点的距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设标准方程为
没有轨迹
小结：椭圆必须满足的几个条件
1.动点 M 到两个定点 F1、F2的距离之和是常数。 2.常数要大于焦距。
4
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y yy
y
M
F1 O O OF2 xx x
O
x
原则：尽可能使方 程的形式简单、运 算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴.)
由ay椭22 圆bx的22 定1义(a知 ，b 0)
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 2 10
22
22
∵ a 10 , c 2
∴ b2 a 2 c 2 10 6 4
所以标准方程为
y2 x2 1 10 6
例2.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点P( 6,1),Q( 3, 2)的椭圆的标准方程。
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
2a = 10, 2c = 8,
a = 5， c = 4.
b2 a2 c2 52 42 9
所以标准方程为
x2 y2 1 25 9
（2）两焦点的坐标分别是0，-2），（0，2） 并且椭圆经过点 ( 3 , 5) 。
22
解：由椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 移项平方
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x + c2 + y2F=1-2c a, 0- O x -Fc22c +, 0y2 x
y
x + c2 + y2 = 4a2 - 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
F2
P
设a2 -Pcx(=xa，yx -)c是2 椭+ y圆2 上任意一点
22
解：（1）所求椭圆标准方程为
x2 y2 1 25 9
（2）所求椭圆标准方程为 y2 x2 1
10 6
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)， P到它较近的一个焦点的距离等于2.
2.椭圆的标准方程
y
y
F1 O
F2
x
F1
O
x
F2
x2
y2
a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
方 （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
特 （4）a、b、c都有特定的意义，
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
y
o
x
y2 x2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
y
ox
焦点坐标
F1(-c,0)、F2(c,0)
F1(0,-c)、F2(0,c)
共 同
定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭
a、b、c的关系 圆.
b2 = a2 –c2
点
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个
解：(1)所求椭圆的标准方程为 （２）所求椭圆的标准方程是
.
x2 y2 1 4y2 x2 1 100 36
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.
变式题组一
1.已知椭圆方程为
x2 23
+
y2 =
）
(A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3
3.已知F1、F2是椭圆
x2 25
+
y2 49
=
1的两个焦点，过
F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的
周长为（ ）
(A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28
反思总结 提高素质
标准方程
不
同
图形
点
x2 y2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
点 有关系式a2 b2 c2成立。
典例精析
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
（
2
）
两个焦点的坐标分别是（ 新疆 王新敞 奎屯
0
，-
2
）
、
（
0
，
2
）
，
并且椭圆经过点（
-新疆 王新敞 奎屯
3
，5 ）.
§2.1 椭圆及其标准方程
高二数学 徐根柱
嫦娥卫星运行轨迹
教学目标
• 1.目标 • ①理解椭圆的定义。
• ②掌握椭圆的标准方程，及字母间的关系和 意义。
• ③能根据已知条件求椭圆的标准方程，并初 步体会数形结合的数学思想。
• 2、重点难点 • ①重点：掌握椭圆的标准方程。 • ②难点：椭圆的标准方程的推导。
焦点位置的判定 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.
作业：
一. 人教版选修P42 1,2
二. 思考题
方程Ax2+By2=1什么时候表示椭圆？ 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么 时候表示焦点在y轴上的椭圆？
O
x
设的设a垂a2F2--直c1以c2F2平x==F2b21+分2c、a，2b线yF>2则2为=0所a有2得y在aF轴2 1直-(bc建-22c线x，2立+为a02直y)2、x=角a轴F2b坐22，(标c，线系0段F)．1 F1F2
即： x2 + y2 = 1 a > b > 0
a2 b2
为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
变式题组二
1.如果方程x2 +ky2 =1表示焦点在y轴上的椭圆，
那么实数k的取值范围是（ ）
(A)（0，+¥ ） (B)（0，2）
(C)（1，+¥ ） (D)（0，1）
2.椭圆
x2 m
+
y2 4
=1的焦距是2，则实数m的值是（
椭圆
线 不段存在
归纳：椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.
探究：如何建立椭圆的方程？
化 列设建简式点系
椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a，则2a>2c
y
则： x + c2 + y2 + x - cP(2x+, yy)2 = 2a
32
1，则这个椭圆的焦距为（
）
(A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5
2.F1、F2是定点，且 F1F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
3.已知椭圆 x2 + y2 = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16
复习提问：
1．圆的定义是什么？ 2．圆的标准方程是什么？
导入新课： 绘图纸上的三个问题
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点， 动点到两定点距离之和符合什么条 件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|