第一讲数与数系

中学数学研究（代数）
第一讲 数与数系
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数系的历史发展 数学思维对象与实体的分离
数的概念的产生和发展
人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。古 人是运用“匹配”的方法来确认事物对象的“多” 和“少”的。
从这种原始的“数觉”到抽象的“数”的概念形成， 是一个缓慢的、渐进的过程。
原始人先是注意到一只羊与许多羊、一匹狼与一群 狼的区别，逐渐看到一只羊、一匹狼、一条鱼之 间存在着某种共通的东西，即它们的单位性。
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第一讲 数与数系
顺序性质
自然数基数理论 顺序
相等。反身性、对称性、传递性（Th1） a与b大小。全序性三传 对歧递 逆性性 性（Th2）
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 顺序
Th1⑴a N,有a a ⑵a,b N,若a b,则b a ⑶a,b, c N,若a b,b c,则a c
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
自然数的乘法对加法满足分配律。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
自然数的乘法满足交换律、结合律。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
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第一讲 数与数系
自然数和0
“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。 数学史家把0比作“哥伦布的鸡蛋”： ①零是一个概念，表示“一无所有”； ②在位值制计数法中，零表示“空位”； ③零本身是一个数； ④零是标度的起点或分界。
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第一讲 数与数系
自然数和0
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 提出原因
自然数的基数理论虽然反映了自然数在数量上的意 义，但是没有很好揭露自然数在顺序上的意义， 也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 定义
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第一讲 数与数系
顺序定义
自然数的序数理论 顺序
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第一讲 数与数系
顺序性质
自然数的序数理论 顺序
相等。反身性、对称性、传递性（Th1） a与b大小。全序性三传 对歧递 逆性性 性（Th2）
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑶第二数学归纳法（串值归纳法）
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑷第二数学归纳法的一种变形（增多起点）
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Baidu Nhomakorabea
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑸跳跃式归纳法（加大跨度）
④在A的具有上述三个性质的所有扩展中，在同构 意义下，B是唯一最小扩展。
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第一讲 数与数系
同构
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第一讲 数与数系
扩展
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第一讲 数与数系
自然数系和0 自然数的基数理论和序数理论
建立自然数理论的几种方案 ⑴19世纪中叶，康托尔以集合论为基础，建立自然
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 性质
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 顺序
顺序定义
, Z,则
－ Z
Z
0
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 顺序
运算定义
自然数基数理论 运算
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 运算
运算性质 Th3 自然数的加法满足交换律和结合律。
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 运算
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 运算
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第一讲 数与数系
关于自然数系的几点说明
⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算 术系统。
⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑 上的相容性，也就是说必须保证从公理出发不会 推导出两个矛盾的命题。
⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
例2 证明2×3＝6
证 2 1 2，2 2 2 1 2 1 2 4,
23 22 22 2 4 2 6
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
运算性质
思考：加法结合律的证明。
归纳法是“观察——归纳——证明”三个环节之一， 是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于 全体对象的判断，属于归纳。
数学归纳法是对给定结论予以证明，属于证明。
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
⑵帮助学生正确理解数学归纳法。 ①数学归纳法中的两个步骤，缺一不可。例如： ②防止“貌合神离”。例如：
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第一讲 数与数系
数系的历史发展 数系扩展的结构主义原则
①A是B的真子集； ②在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算
关系，在B的元间也有相应的定义，且B的元间的 这些关系和运算对B中的A的元来说与原定义一支； 保证老结构与新结构彼此相容。
③B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在 A中不是总能实施，在B中却总能实施。
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑹反向归纳法
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑺螺旋归纳法
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
⑴要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归 纳法的区别。
顺序性质 Z是一个全序集，但不是良序集； 保持离散性、阿基米德性。
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第一讲 数与数系
全序集、良序集
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环
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第一讲 数与数系
作业
参照“从自然数系到整数环”的数系扩展方式，就： 有理数系； 实数系； 复数系； 四元数简介。 任选其一书写一份学习报告。
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
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第一讲 数与数系
数学归纳法 作业
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第一讲 数与数系
我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把 0作为自然数。1993年《中华人民共和国国家标 准》中《量和单位》311页规定自然数包括0。
从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。
,,,,,,,,
将这一系列集合所对应的基数看成自然数列。
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 定义
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 顺序
Th2⑴a,b N,当且仅当a b时，b a ⑵a,b, c N,若a b,b c,则a c ⑶a,b N,在a b, a b, a b中有且只有一个成立。
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第一讲 数与数系
数基数理论； ⑵1889年，皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序
数理论；
⑶罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理 论。
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 定义
自然数：有限集的基数。
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第一讲 数与数系
顺序定义
自然数基数理论 顺序
自然数的序数理论 顺序
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第一讲 数与数系
运算定义
自然数的序数理论 运算
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
例1 证明2＋3＝5
证 2 1 2＝3，2 2 2 1 (2 1) 3 4,
2 3 2 2 (2 2) 4 5
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数学归纳法 例题
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数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
高考题型： ⑴证明恒等式； ⑵不等式的证明； ⑶归纳——猜想——证明。
数：一定物群所共有的抽象性质。
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第一讲 数与数系
数系的历史发展 历史途径扩展
零与负有理数
正有理数 复数
简单的代数无理数 严格的实数系
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第一讲 数与数系
数系的历史发展 逻辑扩展
自然数 增加负数和零整数系作分数域有理数系 作柯西序列等价类实数系作2次代数扩展复数系
⑴第一数学归纳法
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
第一数学归纳法证明：
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑵第一数学归纳法的一种边形（移动起点）
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第一讲 数与数系