2012年福建省高考数学试卷(理科)附送答案
2012高考福建理科数学精彩试题及问题详解(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.理科:第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:(理科)本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科)本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足z i =1-i ,则z 等于( )A .-1-iB .1-iC .-1+iD .1+i A .3+4i B .5+4i C .3+2i D .5+2i2.等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3.下列命题中,真命题是( )A .x 0∈R ,0e 0x≤ B .x ∈R ,2x>x 2C .a +b =0的充要条件是1ab=- D .a >1,b >1是ab >1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A .球 B .三棱锥 C .正方体 D .圆柱 5.下列不等式一定成立的是( )A .lg(x 2+14)>lg x (x >0) B .sin x +1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z )C .x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D .2111x >+(x ∈R ) 6.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A .14 B .15 C .16 D .177.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,则下列结论错误的是( )A .D (x )的值域为{0,1}B .D (x )是偶函数C .D (x )不是周期函数 D .D (x )不是单调函数8.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB..3 D .59.若函数y =2x图象上存在点(x ,y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A .12 B .1 C .32D .2 10.函数f (x )在[a ,b ]上有定义,若对任意x 1,x 2∈[a ,b ],有()()12121()22x x f f x f x +≤[+],则称f (x )在[a ,b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的;②f (x 2)在[1]上具有性质P ;③若f (x )在x =2处取得最大值1,则f (x )=1,x ∈[1,3];④对任意x 1,x 2,x 3,x 4∈[1,3],有12341()44x x x x f +++≤[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)].其中真命题的序号是( )A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷二、填空题:(理科)本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.(文科)本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11. (a +x )4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于________. 13.已知△ABC的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+,前n 项和为S n ,则S 2 012=________. 15.对于实数a 和b ,定义运算“*”:22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩,,,设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是__________.三、解答题:(理科)本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(文科)本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2,分别求X 1,X 2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°;②sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°;③sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°;④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 18.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD =1,E 为CD 中点.(1)求证:B 1E ⊥AD 1.(2)在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(3)若二面角A -B 1E -A 1的大小为30°,求AB 的长.19.如图,椭圆E :22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率12e =.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l :y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=e x+ax2-e x,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21. (1)选修4-2:矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.①求实数a,b的值;②求A2的逆矩阵.(2)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭,圆C的参数方程为22c o s,2s i nxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).①设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线l与圆C的位置关系.(3)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].①求m的值;②若a,b,c∈R+,且11123ma b c++=,求证:a+2b+3c≥9.22.(文)已知函数f(x)=ax sin x-32(a∈R),且在[0,π2]上的最大值为π32-.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.1. A 由z i=1-i,得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----.2. B ∵a1+a5=10=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.3. D ∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1⇒ab>1.4. D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆,∴这个几何体不可以是圆柱.5. C ∵x2+1≥2|x|⇔x2-2|x|+1≥0,∴当x≥0时,x2-2|x|+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0成立;当x<0时,x2-2|x|+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0成立.故x2+1≥2|x|(x∈R)一定成立.6. C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰,∴所求概率为11616=.7. C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数, ∴D (x )不是周期函数是错误的.8. A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,知32pc ==,c 2=9=4+b 2,于是b 2=5,b =2y x =±20y ±=.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9. B 由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x =m 经过函数y =2x的图象与直线x +y -3=0的交点P 时取得最大值,即得2x=3-x ,即x =1=m .10. D ①如图1,图1在区间[1,3]上f (x )具有性质P ,但是是间断的,故①错.②可设f (x )=|x -2|(如图2),当x ∈[1,3]时易知其具有性质P ,但是f (x 2)=|x2-2|=222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3).故②错.图2图3③任取x 0∈[1,3],则4-x 0∈[1,3], 1=f (2)=004()2x x f +-≤12[f (x 0)+f (4-x 0)]. 又∵f (x 0)=1,f (4-x 0)≤1, ∴12[f (x 0)+f (4-x 0)]≤1. ∴f (x 0)=f (4-x 0)=1.故③正确.④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)],故④正确.11.答案:2 解析:∵T r +1=4C ra r x4-r,∴当4-r =3,即r =1时,T 2=14C ·a ·x 3=4ax 3=8x 3.故a=2.12.答案:-3解析:(1)k =1,1<4,s =2×1-1=1; (2)k =2,2<4,s =2×1-2=0; (3)k =3,3<4,s =2×0-3=-3; (4)k =4,直接输出s =-3.13.答案:4-解析:设△ABC 的最小边长为a (m >0),2a ,故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-. 14.答案:3 018 解析:∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==,∴可用分组求和法:a 1+a 5+…+a 2 009=50311+1=503++个…;a 2+a 6+…+a 2 010=(-2+1)+(-6+1)+…+(-2 010+1)=-1-5-…-2 009=503(12009)2--=-503×1 005;a 3+a 7+…+a 2 011=50311+1=503++个…;a 4+a 8+…+a 2 012=(4+1)+(8+1)+…+(2 012+1)=503(52013)2⨯+=503×1009;故S 2 012=503-503×1 005+503+503×1 009 =503×(1-1 005+1+1 009)=3 018.15.答案:,0)解析:由已知,得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩-,,=-+,>,作出其图象如图,结合图象可知m 的取值范围为0<m <14,当x >0时,有-x 2+x =m ,即x 2-x +m =0, 于是x 1x 2=m .当x <0时,有2x 2-x -m =0,于是314x =.故123(14m x x x =.设h (m )=m (1,∵h ′(m )=(1+[m()]=10<,∴函数h (m )单调递减. 故x 1x 2x 3的取值范围为,0). 16.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A , 则231()5010P A +==. (2)依题意得,X 1X 2的分布列为(3)由(2)得,E (X 1)=1×125+2×50+3×10=50=2.86(万元),E (X 2)=1.8×110+2.9×910=2.79(万元).因为E (X 1)>E (X 2),所以应生产甲品牌轿车.17.解:方法一:(1)选择②式,计算如下: sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=13144-=.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34. 证明如下: sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α·(cos30°cos α+sin30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+2sin αcos α+14sin 2α-2sin α·cos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34. 方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34. 证明如下: sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1cos21cos(602)22αα-+︒-+-sin α(cos30°cos α+sin30°sin α)=12-12cos2α+12+12(cos60°·cos2α+sin60°sin2α)-sin αcos α-12sin 2α=12-12cos2α+12+14cos2ααα-14(1-cos2α)=11131cos2cos24444αα--+=.18.解:(1)以A 为原点,AB ,AD ,1AA 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB =a ,则A (0,0,0),D (0,1,0),D 1(0,1,1),E (2a,1,0),B 1(a,0,1),故1AD =(0,1,1),1B E =(2a -,1,-1),1AB =(a,0,1),AE =(2a,1,0).∵1AD ·1B E =2a-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0,z 0), 使得DP ∥平面B 1AE .此时DP =(0,-1,z 0).又设平面B 1AE 的法向量n =(x ,y ,z ). ∵n ⊥平面B 1AE ,∴n ⊥1AB ,n ⊥AE ,得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取x =1,得平面B 1AE 的一个法向量n =(1,2a-,-a ). 要使DP ∥平面B 1AE ,只要n ⊥DP ,有2a-az 0=0,解得012z =.又DP 平面B 1AE ,∴存在点P ,满足DP ∥平面B 1AE ,此时12AP =.(3)连接A 1D ,B 1C ,由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD =1,得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ,∴AD 1⊥B 1C .又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1,且B 1C ∩B 1E =B 1,∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时1AD =(0,1,1).设1AD 与n 所成的角为θ,则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n .∵二面角A -B1E -A 1的大小为30°, ∴|cos θ|=cos303a =, 解得a =2,即AB 的长为2.19.解:方法一:(1)因为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8, 即|AF 1|+|F 1B |+|AF 2|+|BF 2|=8, 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a , 所以4a =8,a =2. 又因为12e =,即12c a =,所以c =1. 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0),所以m ≠0且∆=0,即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*)此时024443km k x k m =-=-+,y 0=kx 0+m =3m , 所以P (4k m -,3m ).由4x y kx m =⎧⎨=+⎩,,得Q (4,4k +m ).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上. 设M (x 1,0),则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ,k 恒成立.因为MP =(14k x m --,3m),MQ =(4-x 1,4k +m ), 由0MP MQ ⋅=,得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=,整理,得(4x 1-4)k m+x 12-4x 1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ,k 恒成立,所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1=1.故存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .方法二:(1)同方法一.(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0),所以m ≠0且∆=0,即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*)此时024443km k x k m =-=-+,y 0=kx 0+m =3m , 所以P (4k m -,3m ).由4x y kx m =⎧⎨=+⎩,,得Q (4,4k +m ). 假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上.取k =0,m =此时P (0),Q (4),以PQ 为直径的圆为(x -2)2+(y)2=4,交x 轴于点M 1(1,0),M 2(3,0);取12k =-,m =2,此时P (1,32),Q (4,0),以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=,交x 轴于点M 3(1,0),M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在,则M 的坐标必为(1,0).以下证明M (1,0)就是满足条件的点:因为M 的坐标为(1,0),所以MP =(41k m --,3m),MQ =(3,4k +m ), 从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++=, 故恒有MP MQ ⊥,即存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .20.解:(1)由于f ′(x )=e x+2ax -e ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线斜率k =2a =0,所以a =0,即f (x )=e x-e x .此时f ′(x )=e x-e ,由f ′(x )=0得x =1.当x ∈(-∞,1)时,有f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,有f ′(x )>0. 所以f (x )的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0),令g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),故曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点.因为g(x0)=0,且g′(x)=f′(x)-f′(x0)=e x-e x0+2a(x-x0).(1)若a≥0,当x>x0时,g′(x)>0,则x>x0时,g(x)>g(x0)=0;当x<x0时,g′(x)<0,则x<x0时,g(x)>g(x0)=0.故g(x)只有唯一零点x=x0.由P的任意性,a≥0不合题意.(2)若a<0,令h(x)=e x-e x0+2a(x-x0),则h(x0)=0,h′(x)=e x+2a.令h′(x)=0,得x=ln(-2a),记x′=ln(-2a),则当x∈(-∞,x*)时,h′(x)<0,从而h(x)在(-∞,x*)内单调递减;当x∈(x*,+∞)时,h′(x)>0,从而h(x)在(x*,+∞)内单调递增.①若x0=x*,由x∈(-∞,x*)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0;x∈(x*,+∞)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0,知g(x)在R上单调递增.所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x=x*.②若x0>x*,由于h(x)在(x*,+∞)内单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(x*,x0)时有g′(x)=h(x)<h(x0)=0,g(x)>g(x0)=0;任取x1∈(x*,x0)有g(x1)>0.又当x∈(-∞,x1)时,易知g(x)=e x+ax2-[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)<e x1+ax2-[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)=ax2+bx+c,其中b=-[e+f′(x0)],c=e x1-f(x0)+x0f′(x0).由于a<0,则必存在x2<x1,使得ax22+bx2+c<0.所以g(x2)<0.故g(x)在(x2,x1)内存在零点,即g(x)在R上至少有两个零点.③若x0<x*,仿②并利用3e6xx>,可证函数g(x)在R上至少有两个零点.综上所述,当a<0时,曲线y=f(x)上存在唯一点P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21. (1)选修4-2:矩阵与变换解:①设曲线2x2+2xy+y2=1上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′,y′).由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′,y′)在x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1,即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a>0,所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知,1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A,21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,所以|A2|=1,(A2)-1=1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.(2)选修4-4:坐标系与参数方程解:①由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,3).又P 为线段MN 的中点,从而点P 的平面直角坐标为(1,3),故直线OP 的平面直角坐标方程为3y x =.②因为直线l 上两点M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,3),所以直线l 30y +-=.又圆C 的圆心坐标为(2,),半径r =2,圆心到直线l 的距离32d r ==<,故直线l 与圆C 相交. (3)选修4-5:不等式选讲解:①因为f (x +2)=m -|x |,f (x +2)≥0等价于|x |≤m ,由|x |≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x |-m ≤x ≤m }.又f (x +2)≥0的解集为[-1,1],故m =1. ②由①知111123a b c++=,又a ,b ,c ∈R +,由柯西不等式得 a +2b +3c =(a +2b +3c )(11123a b c++)≥29=.。
2012年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的.===≤的充要条件是,但是4.(5分)(2012•福建)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不sinx+≥(x∈R)时,不等式两边相等;sinx+6.(5分)(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()By=((﹣=取自阴影部分的概率为=7.(5分)(2012•福建)设函数,则下列结论错误的是()=(8.(5分)(2012•福建)已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则B∵双曲线的右焦点与抛物线∴双曲线的一条渐近线方程为∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于9.(5分)(2012•福建)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件,B10.(5分)(2012•福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]其中真命题的序号是()在](≤=[f二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.11.(4分)(2012•福建)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=2.×12.(4分)(2012•福建)阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s值等于﹣3.13.(4分)(2012•福建)已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为.据三角形三边长成公比为,aaa﹣14.(4分)(2012•福建)数列{a n}的通项公式a n=ncos+1,前n项和为S n,则S2012= 3018.cos ncos的规律,即可求出数列的规律即可求出结ncos=0ncos的每四项和为15.(4分)(2012•福建)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.=)轴的左边,得到,),又在,)上成立,y=(,即故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共80分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(13分)(2012•福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.××+3×=2.86×+2.9×××+3×=2.86××=2.7917.(13分)(2012•福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°(2)sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°(3)sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°(4)sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin2(﹣18°)cos48°(5)sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin2(﹣25°)cos55°(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.﹣,可得这个常数的=++sin2,化简可得结果.sin30..++sin sin﹣sin=++()﹣﹣+cos2﹣=1﹣+.18.(13分)(2012•福建)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长.为原点,,,为原点,,,的方向为,,,==(•.此时的法向量=⊥平面⊥,⊥=,﹣,﹣,只要⊥,即有•,有此得t=,AP=的一个法向量,此时与==|,解得19.(13分)(2012•福建)如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆E的方程.(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.,;,,∴的方程为.(Ⅱ)由===,),此时,,,,﹣),交20.(14分)(2012•福建)已知函数f(x)=e x+ax2﹣ex,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.==,则c=,使得四、选考题(题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。
高考福建理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.理科:第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:(理科)本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科)本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足z i =1-i ,则z 等于()A .-1-iB .1-iC .-1+iD .1+i A .3+4i B .5+4i C .3+2i D .5+2i2.等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为() A .1 B .2 C .3 D .4 3.下列命题中,真命题是()A .x 0∈R ,0e 0x≤ B .x ∈R ,2x >x 2 C .a +b =0的充要条件是1ab=- D .a >1,b >1是ab >1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是() A .球 B .三棱锥 C .正方体 D .圆柱 5.下列不等式一定成立的是()A .lg(x 2+14)>lg x (x >0) B .sin x +1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z )C .x 2+1≥2|x |(x ∈R )D .2111x >+(x ∈R ) 6.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A .14 B .15C .16 D .177.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,则下列结论错误的是()A .D (x )的值域为{0,1}B .D (x )是偶函数C .D (x )不是周期函数D .D (x )不是单调函数8.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()AB..3 D .59.若函数y =2x 图象上存在点(x ,y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为()A .12 B .1 C .32D .2 10.函数f (x )在[a ,b ]上有定义,若对任意x 1,x 2∈[a ,b ],有()()12121()22x x f f x f x +≤[+],则称f (x )在[a ,b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的;②f (x 2)在[1P ;③若f (x )在x =2处取得最大值1,则f (x )=1,x ∈[1,3]; ④对任意x 1,x 2,x 3,x 4∈[1,3],有12341()44x x x x f +++≤[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)]. 其中真命题的序号是()A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷二、填空题:(理科)本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.(文科)本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(a +x )4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于________. 13.已知△ABC的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+,前n 项和为S n ,则S 2012=________. 15.对于实数a 和b ,定义运算“*”:22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩,,,设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是__________.三、解答题:(理科)本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(文科)本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2,分别求X 1,X 2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°; ②sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°;③sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°;④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 18.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD =1,E 为CD 中点.(1)求证:B 1E ⊥AD 1.(2)在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(3)若二面角A -B 1E -A 1的大小为30°,求AB 的长.19.如图,椭圆E :22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率12e =.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l :y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=e x+ax2-e x,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21.(1)选修4-2:矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.①求实数a,b的值;②求A2的逆矩阵.(2)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),π2⎫⎪⎪⎝⎭,圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).①设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线l与圆C的位置关系.(3)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].①求m的值;②若a,b,c∈R+,且11123ma b c++=,求证:a+2b+3c≥9.22.(文)已知函数f(x)=ax sin x-32(a∈R),且在[0,π2]上的最大值为π32-.(1)求函数f(x)的解读式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.1.A由z i=1-i,得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----.2.B∵a1+a5=10=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.3.D∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1⇒ab>1.4.D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆,∴这个几何体不可以是圆柱.5.C∵x2+1≥2|x|⇔x2-2|x|+1≥0,∴当x≥0时,x2-2|x|+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0成立;当x<0时,x2-2|x|+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0成立.故x2+1≥2|x|(x∈R)一定成立.6.C ∵由图象知阴影部分的面积是31220121211)d ()032326x x x x =⋅-=-=⎰,∴所求概率为11616=.7.C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数, ∴D (x )不是周期函数是错误的.8.A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,知32pc ==,c 2=9=4+b 2,于是b 2=5,b =2y x =±20y ±=.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9.B 由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x =m 经过函数y =2x的图象与直线x +y -3=0的交点P 时取得最大值,即得2x =3-x ,即x =1=m .10.D ①如图1,图1在区间[1,3]上f (x )具有性质P ,但是是间断的,故①错.②可设f (x )=|x -2|(如图2),当x ∈[1,3]时易知其具有性质P ,但是f (x 2)=|x 2-2|=222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-≤⎪⎩P (如图3). 故②错.图2图3③任取x 0∈[1,3],则4-x 0∈[1,3], 1=f (2)=004()2x x f +-≤12[f (x 0)+f (4-x 0)]. 又∵f (x 0)=1,f (4-x 0)≤1, ∴12[f (x 0)+f (4-x 0)]≤1. ∴f (x 0)=f (4-x 0)=1.故③正确.④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f (x 4)],故④正确.11.答案:2解读:∵T r +1=4C ra r x 4-r ,∴当4-r =3,即r =1时,T 2=14C ·a ·x 3=4ax 3=8x 3.故a =2.12.答案:-3解读:(1)k =1,1<4,s =2×1-1=1; (2)k =2,2<4,s =2×1-2=0; (3)k =3,3<4,s =2×0-3=-3; (4)k =4,直接输出s =-3. 13.答案:4-解读:设△ABC 的最小边长为a (m >0),2a ,故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-. 14.答案:3018 解读:∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==,∴可用分组求和法:a 1+a 5+…+a 2009=50311+1=503++个…;a 2+a 6+...+a 2010=(-2+1)+(-6+1)+...+(-2010+1)=-1-5- (2009)503(12009)2--=-503×1005;a 3+a 7+…+a 2011=50311+1=503++个…;a 4+a 8+…+a 2012=(4+1)+(8+1)+…+(2012+1)=503(52013)2⨯+=503×1009;故S 2012=503-503×1005+503+503×1009 =503×(1-1005+1+1009)=3018. 15.答案:,0) 解读:由已知,得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩-,,=-+,>,作出其图象如图,结合图象可知m 的取值范围为0<m <14,当x >0时,有-x 2+x =m ,即x 2-x +m =0, 于是x 1x 2=m .当x <0时,有2x 2-x -m =0,于是3x =.故123x x x =设h (m )=m (1,∵h ′(m )=(1+[m()]=10<,∴函数h (m )单调递减. 故x 1x 2x 3的取值范围为,0). 16.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A , 则231()5010P A +==. (2)依题意得,X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得,E (X 1)=1×125+2×50+3×10=50=2.86(万元),E (X 2)=1.8×110+2.9×910=2.79(万元).因为E (X 1)>E (X 2),所以应生产甲品牌轿车. 17.解:方法一:(1)选择②式,计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=13144-=. (2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34.证明如下: sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α·(cos30°cos α+sin30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+2sin αcos α+14sin 2α-2sin α·cos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34. 方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34. 证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1cos21cos(602)22αα-+︒-+-sin α(cos30°cos α+sin30°sin α)=12-12cos2α+12+12(cos60°·cos2α+sin60°sin2α)-2sin αcos α-12sin 2α=12-12cos2α+12+14cos2α+4sin2α-4sin2α-14(1-cos2α)=11131cos2cos24444αα--+=.18.解:(1)以A 为原点,AB ,AD ,1AA 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB =a ,则A (0,0,0),D (0,1,0),D 1(0,1,1),E (2a,1,0),B 1(a,0,1),故1AD =(0,1,1),1B E =(2a -,1,-1),1AB =(a,0,1),AE =(2a,1,0).∵1AD ·1B E =2a-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0,z 0), 使得DP ∥平面B 1AE . 此时DP =(0,-1,z 0).又设平面B 1AE 的法向量n =(x ,y ,z ). ∵n ⊥平面B 1AE ,∴n ⊥1AB ,n ⊥AE ,得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取x =1,得平面B 1AE 的一个法向量n =(1,2a-,-a ). 要使DP ∥平面B 1AE ,只要n ⊥DP ,有2a -az 0=0,解得012z =. 又DP 平面B 1AE ,∴存在点P ,满足DP ∥平面B 1AE ,此时12AP =.(3)连接A 1D ,B 1C ,由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD =1,得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ,∴AD 1⊥B 1C .又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1,且B 1C ∩B 1E =B 1,∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时1AD =(0,1,1).设1AD 与n 所成的角为θ,则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n .∵二面角A -B1E -A 1的大小为30°, ∴|cos θ|=cos30°32a=, 解得a =2,即AB 的长为2.19.解:方法一:(1)因为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8, 即|AF 1|+|F 1B |+|AF 2|+|BF 2|=8, 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a , 所以4a =8,a =2. 又因为12e =,即12c a =,所以c =1. 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0),所以m ≠0且∆=0, 即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0, 化简得4k 2-m 2+3=0.(*)此时024443km k x k m =-=-+,y 0=kx 0+m =3m , 所以P (4k m -,3m ).由4x y kx m =⎧⎨=+⎩,,得Q (4,4k +m ). 假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上. 设M (x 1,0),则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ,k 恒成立.因为MP =(14k x m --,3m),MQ =(4-x 1,4k +m ), 由0MP MQ ⋅=,得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=,整理,得(4x 1-4)km+x 12-4x 1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ,k 恒成立,所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1=1.故存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 方法二:(1)同方法一.(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0),所以m ≠0且∆=0, 即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0, 化简得4k 2-m 2+3=0.(*)此时024443km k x k m =-=-+,y 0=kx 0+m =3m , 所以P (4k m -,3m ).由4x y kx m =⎧⎨=+⎩,,得Q (4,4k +m ). 假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上. 取k =0,m =此时P (0,Q (4,以PQ 为直径的圆为(x -2)2+(y2=4,交x 轴于点M 1(1,0),M 2(3,0);取12k =-,m =2,此时P (1,32),Q (4,0),以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=,交x 轴于点M 3(1,0),M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在,则M 的坐标必为(1,0).以下证明M (1,0)就是满足条件的点:因为M 的坐标为(1,0),所以MP =(41k m --,3m ),MQ =(3,4k +m ), 从而1212330k k MP MQ m m⋅=--++=, 故恒有MP MQ ⊥,即存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .20.解:(1)由于f ′(x )=e x +2ax -e ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线斜率k =2a =0, 所以a =0,即f (x )=e x -e x .此时f ′(x )=e x -e ,由f ′(x )=0得x =1.当x ∈(-∞,1)时,有f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,有f ′(x )>0.所以f (x )的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)设点P (x 0,f (x 0)),曲线y =f (x )在点P 处的切线方程为y =f ′(x 0)(x -x 0)+f (x 0), 令g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0),故曲线y =f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点.因为g (x 0)=0,且g ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0)=e x -e x 0+2a (x -x 0).(1)若a ≥0,当x >x 0时,g ′(x )>0,则x >x 0时,g (x )>g (x 0)=0;当x <x 0时,g ′(x )<0,则x <x 0时,g (x )>g (x 0)=0.故g (x )只有唯一零点x =x 0.由P 的任意性,a ≥0不合题意.(2)若a <0,令h (x )=e x -e x 0+2a (x -x 0),则h (x 0)=0,h ′(x )=e x +2a .令h ′(x )=0,得x =ln(-2a ),记x ′=ln(-2a ),则当x ∈(-∞,x *)时,h ′(x )<0,从而h (x )在(-∞,x *)内单调递减;当x ∈(x *,+∞)时,h ′(x )>0,从而h (x )在(x *,+∞)内单调递增.①若x 0=x *,由x ∈(-∞,x *)时,g ′(x )=h (x )>h (x *)=0;x ∈(x *,+∞)时,g ′(x )=h (x )>h (x *)=0,知g (x )在R 上单调递增.所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x =x *.②若x 0>x *,由于h (x )在(x *,+∞)内单调递增,且h (x 0)=0,则当x ∈(x *,x 0)时有g ′(x )=h (x )<h (x 0)=0,g (x )>g (x 0)=0;任取x 1∈(x *,x 0)有g (x 1)>0.又当x ∈(-∞,x 1)时,易知g (x )=e x +ax 2-[e +f ′(x 0)]x -f (x 0)+x 0f ′(x 0)<e x 1+ax 2-[e +f ′(x 0)]x -f (x 0)+x 0f ′(x 0)=ax 2+bx +c ,其中b =-[e +f ′(x 0)],c =e x 1-f (x 0)+x 0f ′(x 0).由于a <0,则必存在x 2<x 1,使得ax 22+bx 2+c <0.所以g (x 2)<0.故g (x )在(x 2,x 1)内存在零点,即g (x )在R 上至少有两个零点.③若x0<x*,仿②并利用3e6xx>,可证函数g(x)在R上至少有两个零点.综上所述,当a<0时,曲线y=f(x)上存在唯一点P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21.(1)选修4-2:矩阵与变换解:①设曲线2x2+2xy+y2=1上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′,y′).由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′,y′)在x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1,即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a>0,所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知,1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A,21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,所以|A2|=1,(A2)-1=1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.(2)选修4-4:坐标系与参数方程解:①由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,3).又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为(1,3),故直线OP的平面直角坐标方程为3y x=.②因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,3),所以直线l30y+-=.又圆C的圆心坐标为(2,),半径r=2,圆心到直线l的距离32d r==<,故直线l与圆C相交.(3)选修4-5:不等式选讲解:①因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.②由①知111123a b c++=,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(11123a b c ++)=.≥29。
2012年福建省高考试题(数学理)(名师指导)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(理工农医类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数:=i-11的共轭复数是 A. 21+21i B. 21-21i C.1-i D.1+i(2)已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是 A.15 B.30 C.31 D.64(3)在△ABC 中,∠C =90°, =(k ,1), =(2,3),则k 的值是A.5B.-5C.23 D.- 23 (4)已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题:①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ; ②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ; ③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β. 其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3(5)函数f(x)=a a+b 的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是 A.a >b ,b <0 B.a >1,b >0 C.0<a <1,b >0 D.0<a <1,b <0(6)函数y =sin(ωx+φ)(x ∈R ,ω>0,0≤φ<2π )的部分图象如图,则A. ω=2π,φ=4π B. ω=3π,φ=6π C. ω=4π,φ=4π D. ω=4π,φ=45π(7)已知p :|2x -3|<1,q :x (x -3) <0,则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (8)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2,AD =1,点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A 1A.arccos 515B. 4π C.arccos510 D. 2π (9)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种(10)已知F 1、F 2是双曲线12222=-b y a x (a >0,b >0)的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是A.4+23B. 3-1C.213+ D. 3+1(11)设a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是A.-22B.-335 C.-3 D.-27(12)f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且f (2)=0,则方程f (x )=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A.2B.3C.4 D5第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
福建省高考数学试卷(理数)
2012年福建省高考理科数学第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i,则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i2.等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中,真命题是A.B.C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.a>1,b>1是a b>1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱5.下列不等式一定成立的是A.B.C.D.6.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D(x)的值域为{0,1}B. D(x)是偶函数C. D(x)不是周期函数D. D(x)不是单调函数8.已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.59.若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为A.12B.1C.32D.210.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P。
设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的;②f(x2)在上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有其中真命题的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置。
11.(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=_________。
2012年福建卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科数学本试卷共21题,共150分。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足i zi −=1,则z 等于( )A .i −−1B .i −1C .i +−1D .i +1 2. 等差数列}{n a 中,7,10451==+a a a ,则数列}{n a 的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3. 下列命题中,真命题是( )A .0,00≤∈∃x e R xB .22,x R x x>∈∀C .0=+b a 的充要条件是1−=baD .1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱 5. 下列不等式一定成立的是( )A .)0(lg )41lg(2>>+x x x B .),(2sin 1sin Z k k x x x ∈≠≥+π C .)(||212R x x x ∈≥+ D .)(1112R x x ∈>+6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A .41B .51C .61D .717. 设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(,则下列结论错误的是( )A .)(x D 的值域为}1,0{B .)(x D 是偶函数C .)(xD 不是周期函数 D .)(x D 不是单调函数8.双曲线22214x y b−=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A .5 B .24C .3D .59. 若直线xy 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤−−≤−+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为A .21B .1C .23D .2 10. 函数)(x f 在],[b a 上有定义,若对任意],[,21b a x x ∈,有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分·在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的·1、若复数z 满足i zi -=1,则z 等于( )A .i --1B .i -1C .i +-1D .i +1 考点:复数的运算· 难度:易·分析:本题考查的知识点为复数的计算,直接套用复数运算公式即可·解答:iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2、等差数列}{n a 中,7,10451==+a a a ,则数列}{n a 的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 考点:等差数列的定义· 难度:易·分析:本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答:273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3、下列命题中,真命题是( ) A .0,00≤∈∃x eR x B .22,x R x x >∈∀C .0=+b a 的充要条件是1-=baD .1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点:逻辑· 难度:易·分析:本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答:A 中,,R x ∈∀0>xe·B 中,22,4,2x x x x===∃,22,x x x<∃·C 中,⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中,1,1>>b a 可以得到1>ab ,当1>ab 时,不一定可以得到1,1>>b a · 4、一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱 考点:空间几何体的三视图· 难度:易·分析:本题考查的知识点为空间几何体的三视图,直接画出即可· 解答:圆的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为圆;三棱锥的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形; 正方体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形; 圆柱的正视图(主视图)、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆· 5、下列不等式一定成立的是( )A .)0(lg )41lg(2>>+x x x B .),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C .)(||212R x x x ∈≥+ D .)(1112R x x ∈>+ 考点:不等式及基本不等式· 难度:中·分析:本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答:A 中,)410(4122x x x x x =+=≥+时,当· B 中,])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ;))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中,)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中,)](1,0(112R x x ∈∈+· 6、如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A .41B .51C .61D .71考点:积分的计算和几何概型·难度:中·分析:本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答:111)(=⨯=ΩS ,⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(,则下列结论错误的是( )A .)(x D 的值域为}1,0{B .)(x D 是偶函数C .)(xD 不是周期函数 D .)(x D 不是单调函数考点:分段函数的解析式及其图像的作法· 难度:中·分析:本题考查的知识点为分段函数的定义,单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答:A 中,)(x D 由定义直接可得,)(x D 的值域为}1,0{·B 中,)(x D 定义域为R ,)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数,所以)(x D 为偶函数·C 中,)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数,所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中,......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ,所以不是单调函数·8、双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A .5B .24C .3D .5考点:双曲线的定义· 难度:中·分析:本题考查的知识点为双曲线的定义,焦点,渐近线,抛物线的定义· 解答:抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中,5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( )A .21 B .1 C .23D .2 考点:线性规划· 难度:中·分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大致图像·所以,若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则mm 23≥-,即1≤m ·10、函数)(x f 在],[b a 上有定义,若对任意],[,21b a x x ∈,有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的; ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ;③若)(x f 在2=x 处取得最大值1,则1)(=x f ,]3,1[∈x ; ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ,有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是( )A .①②B .①③C .②④D .③④考点:演绎推理和函数· 难度:难·分析:本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误只需举出反例即可,说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答:A 中,反例:如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的,但)(x f 不是连续不断的·B 中,反例:x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ,22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中,在]3,1[上,)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=, 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f , 所以,对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中,=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11、4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8,则实数=a _________·【2】 考点:二项式定理· 难度:易·分析:本题考查的知识点为二项式定理的展开式,直接应用即可· 解答:4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441,令3=r ,则83434=-a C ,即2=a ·12、阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s 值等于_____________________·【3-】考点:算法初步· 难度:易·分析:本题考查的知识点为算法中流程图的读法,直接根据箭头的指向运算即可· 解答: 1,1==s k ;2,1112==-⨯=k s ; 3,0212==-⨯=k s ; 4,3302=-=-⨯=k s ;结束·13、已知ABC ∆_________·【42-】 考点:等比数列和余弦定理· 难度:易·分析:本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答:设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===, 则可得C ∠所对的边最大,且22cos 222=-+=abc b a C · 14、数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ,前n 项和为n S ,则=2012S ___________·【3018】 考点:数列和三角函数的周期性· 难度:中·分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计算和· 解答: 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n , 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ,10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ,14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ, 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15、对于实数b a ,,定义运算“*”:⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22,设)1()12()(-*-=x x x f ,且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ,则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点:演绎推理和函数· 难度:难·分析:本题考查的知识点为新定义的理解,函数与方程中根的个数·解答:由题可得,⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m , 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时,=max 321||x x x 1631-, 所以∈m )0,1631(-·三、解答题:本大题共6小题,共84分·解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤·16、(本小题满分13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆,统计书数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(I )从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II )若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列;(III )该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由· 考点:统计概率及随机变量·难度:易· 分析: 解答:(I )首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== (II )随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为(III )1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17、(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数· (1)02217cos 13sin 17cos 13sin -+; (2)02215cos 15sin 15cos 15sin -+;(3)02212cos 18sin 12cos 18sin -+; (4)00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-; (5)00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·(I )试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(II )根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论· 考点:三角恒等变换· 难度:中· 分析: 解答:(I )选择(2):22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= (II )三角恒等式为:22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=(lby lfx )18、(本小题满分13分)如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 中点· (Ⅰ)求证:11AD E B ⊥;(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面AE B 1?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由·(Ⅲ)若二面角11A E B A --的大小为030,求AB 的长·考点:立体几何· 难度:中· 分析: 解答:(Ⅰ)长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA 得:1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥(Ⅱ)取1AA 的中点为P ,1AB 中点为Q ,连接PQ 在11AA B ∆中,111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == (Ⅲ)设11A DAD O =,连接AO ,过点O 作1OH B E ⊥于点H ,连接AH1AO ⊥面11A B CD ,1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得:AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中,30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中,1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得:2AB =19、(本小题满分13分)如图,椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,且2ABF ∆的周长为8· (Ⅰ)求椭圆E 的方程·(Ⅱ)设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4=x 相交于点Q ·试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由·考点:三角恒等变换·难度:难·分析:解答:(Ⅰ)设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += (Ⅱ)由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--(*) (*)对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=, 得(1,0)M20、(本小题满分14分)已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2(Ⅰ)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴,求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点:导数·难度:难·分析:解答:(Ⅰ)2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得:(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得:函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(,1)-∞(Ⅱ)设00(,())P x f x ; 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---;则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,且0()0g x '=(1)当0a ≥时,00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得:当且仅当0x x =时,min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性,0a ≥不符合条件(lby lfx )(2)当0a <时,令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时,00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时,0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时,()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得:0()()0g x g x '''<=,又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使,0()()0g x g x ''''==得:00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=,与条件不符·③当0x x '<时,同理可证,与条件不符从上得:当0a <时,存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21、本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分·如果多做,则按所做的前两题计分·作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号中·(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·(Ⅰ)求实数b a ,的值· (Ⅱ)求2A 的逆矩阵·解:(Ⅰ)设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得:222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==(Ⅱ)由(Ⅰ)得:21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想、(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π,圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数)·(Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程;(Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】(Ⅰ)由题意知(2,0),M N ,因为P 是线段MN中点,则P因此OP 直角坐标方程为:.y x =(Ⅱ)因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=,圆心(2,,半径2r =、32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交、 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想·(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(,且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·(Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若R c b a ∈,,,且m cb a =++31211,求证:932≥++c b a · 【解析】(1)∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ,∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= (2)由(1)知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得(lby lfx ) 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识,考查运算求解能力,考查化归转化思想。
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对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电通,力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置,机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2,荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷,管调需路控要习试在题验最到;大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资,常料要工试加况卷强下安看与全22过,22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资;中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整,高核或中对者资定对料值某试,些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位,卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置,地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中,案资要,料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气,设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术,技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式;资,对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资,件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调,并试合且技理进术利行,用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活:。。在对对分于于线调差盒试动处过保,程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试,题技应,术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进,变行需压隔要器开在组处事在理前发;掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时,、,强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试,卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用,关高要技中进术资行资料检料试查,卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
2012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(数学理)Word版
2012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(数学理)Word版第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i,则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i2.等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中,真命题是A.B.C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱5.下列不等式一定成立的是A.B.C.D.6.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D(x)的值域为{0,1}B. D(x)是偶函数C. D(x)不是周期函数D. D(x)不是单调函数8.已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.59.若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为A.12B.1C.32D.210.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P。
设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的;②f(x2)在上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有其中真命题的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置。
2012年高考理数真题试卷(福建卷)
(
Ⅰ
)
求
证
:
B1E⊥AD1
;
(Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由.
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
A . lg(x2+ )>lgx(x>0)
B . sinx+
≥2(x≠kx,k∈Z)
C . x2+1≥2|x|(x∈R) D .
(x∈R)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
5. (2012•福建)若函数 y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束条件 为( )
A.
B.1 C.
D.2
6. (2012•福建)下列命题中,真命题是( ) A . ∃x0∈R, ≤0 B . ∀x∈R,2x>x2
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
( Ⅲ ) 若 二 面 角 A ﹣ B1E ﹣ A1 的 大 小 为 30° , 求 AB 的 长 .
7. ( 2012• 福 建 ) 选 修 4 ﹣ 4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,
2012年高考真题——数学理(福建卷)
2012年福建省高考理科数学第I卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1‐i,则z等于A.‐1‐IB.1‐iC.‐1+ID.1=i2.等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中,真命题是A. B.C.a+b=0的充要条件是ab=‐1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱5.下列不等式一定成立的是A. B.C. D.6.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D(x)的值域为{0,1}B. D(x)是偶函数C. D(x)不是周期函数D. D(x)不是单调函数8.已知双曲线22214x yb−=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.59.若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为A.12B.1C.32D.210.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P。
设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的;②f(x2)在上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有其中真命题的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置。
11.(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=_________。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分·在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的·1.若复数z 满足i zi -=1,则z 等于( )A .i --1B .i -1C .i +-1D .i +1 考点:复数的运算· 难度:易·分析:本题考查的知识点为复数的计算,直接套用复数运算公式即可·解答:iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2.等差数列}{n a 中,7,10451==+a a a ,则数列}{n a 的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 考点:等差数列的定义· 难度:易·分析:本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答:273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3.下列命题中,真命题是( ) A .0,00≤∈∃x eR x B .22,x R x x >∈∀C .0=+b a 的充要条件是1-=baD .1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点:逻辑· 难度:易·分析:本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答:A 中,,R x ∈∀0>xe·B 中,22,4,2x x x x===∃,22,x x x<∃·C 中,⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中,1,1>>b a 可以得到1>ab ,当1>ab 时,不一定可以得到1,1>>b a · 4.一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱 考点:空间几何体的三视图· 难度:易·分析:本题考查的知识点为空间几何体的三视图,直接画出即可· 解答:圆的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为圆;三棱锥的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形; 正方体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形; 圆柱的正视图(主视图)、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆· 5.下列不等式一定成立的是( )A .)0(lg )41lg(2>>+x x x B .),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C .)(||212R x x x ∈≥+ D .)(1112R x x ∈>+ 考点:不等式及基本不等式· 难度:中·分析:本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答:A 中,)410(4122x x x x x =+=≥+时,当· B 中,])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ;))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中,)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中,)](1,0(112R x x ∈∈+· 6.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A .41B .51C .61D .71考点:积分的计算和几何概型·难度:中·分析:本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答:111)(=⨯=ΩS ,⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(,则下列结论错误的是( )A .)(x D 的值域为}1,0{B .)(x D 是偶函数C .)(xD 不是周期函数 D .)(x D 不是单调函数考点:分段函数的解析式及其图像的作法· 难度:中·分析:本题考查的知识点为分段函数的定义,单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答:A 中,)(x D 由定义直接可得,)(x D 的值域为}1,0{·B 中,)(x D 定义域为R ,)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数,所以)(x D 为偶函数·C 中,)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数,所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中,......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ,所以不是单调函数·8.双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A .5B .24C .3D .5考点:双曲线的定义· 难度:中·分析:本题考查的知识点为双曲线的定义,焦点,渐近线,抛物线的定义· 解答:抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中,5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( )A .21 B .1 C .23D .2 考点:线性规划· 难度:中·分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大致图像·所以,若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则mm 23≥-,即1≤m ·10.函数)(x f 在],[b a 上有定义,若对任意],[,21b a x x ∈,有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的; ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ;③若)(x f 在2=x 处取得最大值1,则1)(=x f ,]3,1[∈x ; ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ,有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是( )A .①②B .①③C .②④D .③④考点:演绎推理和函数· 难度:难·分析:本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误只需举出反例即可,说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答:A 中,反例:如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的,但)(x f 不是连续不断的·B 中,反例:x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ,22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中,在]3,1[上,)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=, 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f , 所以,对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中,=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8,则实数=a _________·【2】 考点:二项式定理· 难度:易·分析:本题考查的知识点为二项式定理的展开式,直接应用即可· 解答:4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441,令3=r ,则83434=-a C ,即2=a ·12.阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s 值等于_____________________·【3-】考点:算法初步· 难度:易·分析:本题考查的知识点为算法中流程图的读法,直接根据箭头的指向运算即可· 解答: 1,1==s k ;2,1112==-⨯=k s ; 3,0212==-⨯=k s ; 4,3302=-=-⨯=k s ;结束·13.已知ABC ∆_________·【42-】 考点:等比数列和余弦定理· 难度:易·分析:本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答:设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===, 则可得C ∠所对的边最大,且22cos 222=-+=abc b a C · 14.数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ,前n 项和为n S ,则=2012S ___________·【3018】 考点:数列和三角函数的周期性· 难度:中·分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计算和· 解答: 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n , 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ,10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ,14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ, 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15.对于实数b a ,,定义运算“*”:⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22,设)1()12()(-*-=x x x f ,且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ,则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点:演绎推理和函数· 难度:难·分析:本题考查的知识点为新定义的理解,函数与方程中根的个数·解答:由题可得,⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m , 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时,=max 321||x x x 1631-, 所以∈m )0,1631(-·三、解答题:本大题共6小题,共84分·解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤·16.(本小题满分13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆,统计书数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(I )从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II )若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列;(III )该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由· 考点:统计概率及随机变量·难度:易· 分析: 解答:(I )首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== (II )随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为(III )1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17.(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数· (1)02217cos 13sin 17cos 13sin -+; (2)02215cos 15sin 15cos 15sin -+;(3)02212cos 18sin 12cos 18sin -+; (4)00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-; (5)00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·(I )试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(II )根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论· 考点:三角恒等变换· 难度:中· 分析: 解答:(I )选择(2):22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= (II )三角恒等式为:22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=(lby lfx )18.(本小题满分13分)如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 中点· (Ⅰ)求证:11AD E B ⊥;(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面AE B 1?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由·(Ⅲ)若二面角11A E B A --的大小为030,求AB 的长·考点:立体几何· 难度:中· 分析: 解答:(Ⅰ)长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA 得:1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥(Ⅱ)取1AA 的中点为P ,1AB 中点为Q ,连接PQ 在11AA B ∆中,111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == (Ⅲ)设11A DAD O =,连接AO ,过点O 作1OH B E ⊥于点H ,连接AH1AO ⊥面11A B CD ,1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得:AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中,30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中,1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得:2AB =19.(本小题满分13分)如图,椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,且2ABF ∆的周长为8· (Ⅰ)求椭圆E 的方程·(Ⅱ)设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4=x 相交于点Q ·试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由·考点:三角恒等变换·难度:难·分析:解答:(Ⅰ)设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += (Ⅱ)由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--(*) (*)对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=, 得(1,0)M20.(本小题满分14分)已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2(Ⅰ)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴,求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点:导数·难度:难·分析:解答:(Ⅰ)2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得:(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得:函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(,1)-∞(Ⅱ)设00(,())P x f x ; 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---;则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,且0()0g x '=(1)当0a ≥时,00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得:当且仅当0x x =时,min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性,0a ≥不符合条件(lby lfx )(2)当0a <时,令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时,00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时,0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时,()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得:0()()0g x g x '''<=,又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使,0()()0g x g x ''''==得:00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=,与条件不符·③当0x x '<时,同理可证,与条件不符从上得:当0a <时,存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分·如果多做,则按所做的前两题计分·作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号中·(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·(Ⅰ)求实数b a ,的值· (Ⅱ)求2A 的逆矩阵·解:(Ⅰ)设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得:222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==(Ⅱ)由(Ⅰ)得:21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π,圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数)·(Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程;(Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】(Ⅰ)由题意知(2,0),M N ,因为P 是线段MN中点,则P因此OP 直角坐标方程为:.y x =(Ⅱ)因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=,圆心(2,,半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想·(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(,且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·(Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若R c b a ∈,,,且m cb a =++31211,求证:932≥++c b a · 【解析】(1)∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ,∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= (2)由(1)知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得(lby lfx ) 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识,考查运算求解能力,考查化归转化思想。
2012高考福建理科数学精彩试题及问题详解高清版
实用标准文档文案大全2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.理科:第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:(理科)本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科)本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足zi=1-i,则z等于()A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i2.等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列命题中,真命题是()A x0∈R,0e0x?B x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是1ab??D.a>1,b>1是ab>1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是() A.球B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱5.下列不等式一定成立的是()A.lg(x2+14)>lg x(x>0) B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D2111x??(x∈R) 6.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A14 B15C16 D177.设函数1,()0,xDxx????为有理数,为无理数,则下列结论错误的是() A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数实用标准文档文案大全8.已知双曲线22214xyb??的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A5 B42 C.3 D.59.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件30,230,,xyxyxm????????????则实数m的最大值为()A12 B.1 C32 D.2 10.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有????12121()22xxffxfx??[+],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,3]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有12341()44xxxxf????[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].其中真命题的序号是()A.①② B.①③ C.②④ D.③④第Ⅱ卷二、填空题:(理科)本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.(文科)本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11. (a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=________..12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于________..13.已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为________..14.数列{a n}的通项公式πcos12n nan??,前n项和为S n,则S2 012=________..15.对于实数a和b,定义运算“*”:22*.aabababbabab????????,,,设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是__________..实用标准文档文案大全三、解答题:(理科)本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(文科)本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲首次出现故障时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.19.如图,椭圆E:22221xyab??(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率12e?.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M.实用标准文档文案大全的坐标;若不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=e x+ax2-ex,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21. (1)选修4-2:矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵 0 1ab???????A(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.①求实数a,b的值;②求A2的逆矩阵.(2)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),23π,32????????,圆C的参数方程为22cos,32sinxy????????????(θ为参数).①设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线l与圆C的位置关系.(3)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].①求m的值;②若a,b,c∈R+,且11123mabc???,求证:a+2b+3c≥9.22.(文)已知函数f(x)=axsinx-32(a∈R),且在[0,π2]上的最大值为π32?.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.1. A由zi=1-i,得221i(1i)iiii+11iii11z????????????.2. B∵a1+a5=10=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.3. D∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1?ab>1.4. D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆,∴这个几何体不可以是圆柱.5. C∵x2+1≥2|x|?x2-2|x|+1≥0,∴当x≥0时,x2-2|x|+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0成立;当x<0时,x2-2|x|+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0成立.故x2+1≥2|x|(x∈R)一定成立.6. C∵由图象知阴影部分的面积是?,31220121211()d()032326xxxxx???????实用标准文档文案大全∴所求概率为11616?.7. C∵D(x)是最小正周期不确定的周期函数,∴D(x)不是周期函数是错误的.8. A由双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,知32pc??,c2=9=4+b2,于是b2=5,5b?.因此该双曲线的渐近线的方程为52yx??,即520xy??.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d???.9. B由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x=m经过函数y=2x的图象与直线x+y-3=0的交点P时取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.10. D①如图1,图1在区间[1,3]上f(x)具有性质P,但是是间断的,故①错.②可设f(x)=|x-2|(如图2),当x∈[1,3]时易知其具有性质P,但是f(x2)=|x2-2|=222,12,2,23xxxx???????????不具有性质P(如图3).故②错.图2图3实用标准文档文案大全③任取x0∈[1,3],则4-x0∈[1,3],1=f(2)=004()2xxf??≤12[f(x0)+f(4-x0)].又∵f(x0)=1,f(4-x0)≤1,∴12[f(x0)+f(4-x0)]≤1.∴f(x0)=f(4-x0)=1.故③正确.④3412123422()()42xxxxxxxxff???????≤34121()+()222xxxxff????????≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故④正确.11.答案:2解析:∵T r+1=4C r a r x4-r,∴当4-r=3,即r=1时,T2=14C·a·x3=4ax3=8x3.故a=2.12.答案:-3解析:(1)k=1,1<4,s=2×1-1=1;(2)k=2,2<4,s=2×1-2=0;(3)k=3,3<4,s=2×0-3=-3;(4)k=4,直接输出s=-3.13.答案:24?解析:设△ABC的最小边长为a(m>0),则其余两边长为2a,2a,故最大角的余弦值是22222(2)(2)2cos42222aaaaaaa??????????.14.答案:3 018 解析:∵函数πcos2ny?的周期2π4π2T??,∴可用分组求和法:a1+a5+…+a2 009=50311+1=503??个…;a2+a6+…+a2 010=(-2+1)+(-6+1)+…+(-2 010+1)=-1-5-…-2 009=503(12009)2??=-503×1 005;a3+a7+…+a 2 011=50311+1=503??个…;a4+a8+…+a2 012=(4+1)+(8+1)+…+(2 012+1)=503(52013)2??=503×1 009;故S2 012=503-503×1 005+503+503×1 009 =503×(1-1 005+1+1 009)=3 018.15.答案:(1316?,0) 解析:由已知,得??22200xxxfxxxx??????-,,=-+,>,实用标准文档文案大全作出其图象如图,结合图象可知m的取值范围为0<m<14,当x>0时,有-x2+x=m,即x2-x+m=0,于是x1x2=m.当x<0时,有2x2-x-m=0,于是31184mx???.故123(118)4mmxxx???.设h(m)=m(1-18m?),∵h′(m)=(1-18m?)+[m(18218m??)]=4118018mmm?????,∴函数h(m)单调递减.故x1x2x3的取值范围为(1316?,0).16.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则231()5010PA???.(2)依题意得,X1的分布列为X1 1 2 3P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910(3)由(2)得,E(X1)=1×125+2×350+3×910=14350=2.86(万元),E(X2)=1.8×110+2.9×910=2.79(万元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.17.解:方法一:(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=13144??.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=34.证明如下:实用标准文档文案大全sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α) =sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sinαcosα+14sin2α-32sin α·cosα-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1cos21cos(602)22???????-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) =12-12cos2α+12+12(cos60°·cos2α+sin60°sin2α)-32sinαcosα-12sin2α=12-12cos2α+12+14cos2α+34sin2α-34sin2α-14(1-cos2α)=11131cos2cos24444??????.18.解:(1)以A为原点,AB,AD,1AA的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(2a,1,0),B1(a,0,1),故1AD=(0,1,1),1B E=(2a?,1,-1),1AB =(a,0,1),AE=(2a,1,0).∵1AD·1B E=2a?×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE.此时DP=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).∵n⊥平面B1AE,∴n⊥1AB,n⊥AE,得00.2axz ax y?????????,取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,2a?,-a).实用标准文档文案大全要使DP∥平面B1AE,只要n⊥DP,有2a-az0=0,解得012z?.又DP平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时12AP?.(3)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(Ⅰ)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1.∴1AD是平面A1B1E的一个法向量,此时1AD=(0,1,1).设1AD与n所成的角为θ,则1212·2cos||||214aaADADaa???????nn.∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°,即233225214aa??,解得a=2,即AB的长为2.19.解:方法一:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以4a=8,a=2.又因为12e?,即12ca?,所以c=1所以223bac???.故椭圆E的方程是22143xy??.(2)由22143ykxmxy?????????,,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且?=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时024443kmkxkm?????,y0=kx0+m=3m,所以P(4km?,3m).由4xykxm??????,,得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.设M(x1,0),则0MPMQ??对满足(*)式的m,k恒成立.因为MP=(14kxm??,3m),MQ=(4-x1,4k+m),由0MPMQ??,实用标准文档文案大全得211141612430kxkkxxmmm???????,整理,得(4x1-4)km+x12-4x1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以1211440,430,xxx????????解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.方法二:(1)同方法一.(2)由22143ykxmxy?????????,,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且?=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时024443kmkxkm?????,y0=kx0+m=3m,所以P(4km?,3m).由4xykxm??????,,得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,3m?,此时P(0,3),Q(4,3),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-3)2=4,交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取12k??,m=2,此时P(1,32),Q(4,0),以PQ为直径的圆为225345()()2416xy????,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以MP=(41km??,3m),MQ =(3,4k+m),从而1212330kkMPMQmm???????,故恒有MPMQ?,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.20.解:(1)由于f′(x)=e x+2ax-e,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率k =2a=0,所以a=0,即f(x)=e x-ex.此时f′(x)=e x-e,由f′(x)=0得x=1.当x∈(-∞,1)时,有f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,有f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0),令g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),故曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点.因为g(x0)=0,且g′(x)=f′(x)-f′(x0)=e x-ex0+2a(x-x0).(1)若a≥0,当x>x0时,g′(x)>0,则x>x0时,g(x)>g(x0)=0;当x<x0时,g′(x)<0,则x<x0时,g(x)>g(x0)=0.故g(x)只有唯一零点x=x0.由P的任意性,a≥0不合题意.实用标准文档文案大全(2)若a<0,令h(x)=e x-ex0+2a(x-x0),则h(x0)=0,h′(x)=e x +2a.令h′(x)=0,得x=ln(-2a),记x′=ln(-2a),则当x∈(-∞,x*)时,h′(x)<0,从而h(x)在(-∞,x*)内单调递减;当x∈(x*,+∞)时,h′(x)>0,从而h(x)在(x*,+∞)内单调递增.①若x0=x*,由x∈(-∞,x*)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0;x∈(x*,+∞)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0,知g(x)在R上单调递增.所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x=x*.②若x0>x*,由于h(x)在(x*,+∞)内单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(x*,x0)时有g′(x)=h(x)<h(x0)=0,g(x)>g(x0)=0;任取x1∈(x*,x0)有g(x1)>0.又当x∈(-∞,x1)时,易知g(x)=e x+ax2-[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)<ex1+ax2-[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)=ax2+bx+c,其中b=-[e+f′(x0)],c=ex1-f(x0)+x0f′(x0).由于a<0,则必存在x2<x1,使得ax22+bx2+c<0.所以g(x2)<0.故g(x)在(x2,x1)内存在零点,即g(x)在R上至少有两个零点.③若x0<x*,仿②并利用3e6x x?,可证函数g(x)在R上至少有两个零点.综上所述,当a<0时,曲线y=f(x)上存在唯一点P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.21. (1)选修4-2:矩阵与变换解:①设曲线2x2+2xy+y2=1上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′,y′).由 0 1xayb???????????????xaxybxy??????????????,得,.xaxybxy????????又点P′(x′,y′)在x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1,即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.依题意得222,22,abb??????解得1,1,ab?????或1,1,ab??????因为a>0,所以1,1.ab?????②由①知,1 01 1???????A,21 01 01 01 11 12 1????????????????????A,所以|A2|=1,(A2)-1= 1 02 1???????.(2)选修4-4:坐标系与参数方程解:①由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,233).又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为(1,33),故直线OP的平面直角坐标方程为33yx?.②因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,233),所以直线l的平面直角坐标方程为33230xy???.实用标准文档文案大全又圆C的圆心坐标为(2,3?),半径r=2,圆心到直线l的距离|233323|3239dr??????,故直线l与圆C相交.(3)选修4-5:不等式选讲解:①因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.②由①知111123abc???,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(11123abc??)≥2111(23)923abcabc?????=.。
2012年全国高考理科数学试题及答案-福建卷-试卷1
如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 中点。
(Ⅰ)求证:11AD E B ⊥;(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面AE B 1?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由。
(Ⅲ)若二面角11A A B A --的大小为030,求AB 的长。
2. (本小题满分13分)如图,椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率21=e 。
过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,且2ABF ∆的周长为8。
(Ⅰ)求椭圆E 的方程。
(Ⅱ)设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4=x 相较于点Q 。
试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由。
已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2(Ⅰ)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴,求函数)(x f 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 。
4. 本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。
如果多做,则按所做的前两题计分。
作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号中。
(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A )1(10>⎪⎪⎭⎫a 对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x 。
(Ⅰ)求实数b a ,的值。
(Ⅱ)求2A 的逆矩阵。
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
2012年福建高考数学理科试卷(带详解)
2012年福建省高考理科数学第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足i 1i z =-,则z 等于 ( ) A.1i -- B.1i - C.1i -+ D.1+i 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】除法运算,直接求出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】i 1i z =-,(1i)(i)1i z =--=--.2.等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a = ,则数列{}n a 的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】由等差数列的中项公式,直接求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】153210a a a +==,35a =,所以432d a a =-=.3.下列命题中,真命题是 ( ) A.00,e 0xx ∃∈R … B.2,2>x x x ∀∈R C.0a b +=的充要条件是1ab=- D.>1,>1a b 是>1ab 的充分条件 【测量目标】全称量词与存在量词,充分、必要条件. 【考查方式】全称量词与存在量词的应用. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】x ∀∈R ,e 0x>,所以A 错;(步骤1)当2x =时,22xx =,因此B 错;(步骤2)0a b +=中b 可取0,而1ab=-中b 不可取0,因此,两者不等价,所以C 错,故选D .(步骤3)4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( ) A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 【测量目标】平面图形的三视图.【考查方式】由三视图形状,得出几何体,空间想象能力. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】圆柱的三视图,分别矩形,矩形,圆,不可能三个视图都一样,而球的三视图可以都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形.5.下列不等式一定成立的是 ( ) A .21lg()lg (0)4x x x +>> B .1sin 2(π,)sin x x k k x+≠∈Z … C .212()x x x +∈R … D .211()1x x >∈+R 【测量目标】不等式恒成立问题.【考查方式】运用基本不等式及性质直接解题. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】对于A,当12x =时,两边相等,故A错误;(步骤1) 对于B,具有基本不等式的形式,但是x sin 不一定大于零,故B错误;(步骤2) 对于C,22212||210(1)0x x x x x +⇔±+⇔±厖?,显然成立;对于D,任意x 都不成立,故选C.(步骤3)6.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )第6题图A.14 B. 15 C. 16 D. 17【测量目标】定积分的几何意义,几何概型.【考查方式】由图象,写出原函数,对原函数进行定积分运算即可求得答案. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】322101211)()3023262x x S x dx '==-=-=⎰, 点P 恰好取自阴影部分的概率16S p S '==. 7.设函数1,()0,x D x x ∈⎧=⎨∈-⎩QR Q则下列结论错误的是 ( )A.()D x 的值域为{0,1}B.()D x 是偶函数C.()D x 不是周期函数D.()D x 不是单调函数 【测量目标】分段函数、利用函数单调性求最值,函数的周期性. 【考查方式】利用函数定义,直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】显然,A ,D 是对的;若x 是无理数,则x -也是无数理,则()()D x D x -=,所以()D x 是偶函数,同理,对于任意有理数T ,()()f x T f x +=(若x 是无理数,则x T +x -也是无理数;若x 是有理数,则x T +也是有理数)8.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )B. C.3 D.5 【测量目标】双曲线的标准方程及简单几何性质,抛物线的简单几何性质. 【考查方式】由抛物线的标准形式求解焦点坐标,进而求解渐近线. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】212y x =的焦点(3,0),由题,249b +=,25b =,(步骤1) 又双曲线的渐近线方程b y x x a =±=20y ⇒=,(步骤2) 双曲线的焦点坐标为(3,0),∴双曲线的焦点到其渐近线的距离:d ==.(步骤3)9.若函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩………则实数m 的最大值为( )A .12 B.1 C. 32D.2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值,指数函数的图象和性质. 【考查方式】由线性约束条件作出可行域,通过目标函数求未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】如图,当直线m x =经过函数xy 2=的图象与直线03=-+y x 的交点时,函数xy 2=的图象仅有一个点P 在可行域内,由230xy x y ⎧=⎨+-=⎩,得)2,1(P ,∴1m ….第9题图10.函数()f x 在[],a b 上有定义,若对任意[]12,,x x a b ∈,12121()[()()]22x x f f x f x ++…,则称()f x 在[],a b 上具有性质P .设()f x 在[]1,3上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[]1,3上的图象时连续不断的;②2()f x 在上具有性质P ;③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1f x =,[]1,3x ∈; ④对任意[]12341,3x x x x ∈,,,,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x ++++++…,其中真命题的序号是 ( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】结合已知条件运用函数的单调性的相关性质判断命题正误. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由关系式12121()[()()]22x x f f x f x ++…得,函数不连续,①错;(步骤1) 对于②,()f x x =-在[]1,3上具有性质P ,而22()f x x =-显然不具备性质P ;所以②错;(步骤2)对于③,在[]1,3中任取一个数x (11)x -剟,另一个数4x -同样也落在[]1,3内,max (2)1()f f x == ,又41()[()(4)]22x x f f x f x +-+- …, 即()(4)2f x f x +-….又()1,(4)1f x f x - 剟,所以()1,(4)1f x f x =-=,所以③对;(步骤3)对于④,341212343412122()()[()()]42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++++=+ (12341234111)[()()][()()][()()()()]442f x f x f x f x f x f x f x f x +++=+++…, 所以④对.(步骤4)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.4()a x +的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =_________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】运用二项展开式求解实数. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】4()a x +的展开项为441C r rr r T ax -+=,由题,当3r =时,4343C 48a a -==,2a ∴=. 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s 值等于______.第12题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】按照程序框图的执行流程分析循环过程得到输出结果.【难易程度】中等 【参考答案】3-【试题解析】进入循环体,第一次,1s =,2k =第二次,0s =,3k = 第三次,3s =-,4k =然后,退出循环,输出3s =-13.已知△ABC_________. 【测量目标】余弦定理、等比数列的性质. 【考查方式】利用等比数列的基本定义和公式求解. 【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】依次设三边为,2a a ,则最大边为2a ,最大角的余弦值为cos θ==. 14.数列{}n a 的通项公式πcos12n n a n =+,前n 项和为n S ,则2012S =___________. 【测量目标】数列的前n 项和,任意角的三角函数.【考查方式】由数列的通项逐个写出数列的各个项,找出规律,再求解. 【难易程度】较难 【参考答案】3018 【试题解析】πcos12n n a n =+,1πcos 112a ∴=+=,22cos π121a =+=-+,33π3cos112a =+=,44cos2π141a =+=+.(步骤1) 可见,前2012项的所有奇数项为1,(步骤2)1006S =奇,1006个偶数项依次为21,41,61,81,-++-++…,发现依次相邻两项的和为4,所以100622012S =⨯=偶.20123018S =.(步骤3)15.对于实数a 和b ,定义运算“*”:22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩…设()(21)(1)f x x x =-*-,且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根123x x x ,,,则123x x x 的取值范围是_________________. 【测量目标】定义新运算.【考查方式】利用分段函数基本性质,将函数与方程进行互化. 【难易程度】较难【参考答案】 【试题解析】当0x …时,(21)(1)x x --…,则22()(21)(1)(21)(21)(1)2f x x x x x x x x =-*-=----=-,(步骤1) 当0x >,(21)(1)x x ->-,则22()(21)(1)(1)(21)(1)f x x x x x x x x =-*-=----=-+,(步骤2)可知当1(0,)4m ∈时,()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根123123()x x x x x x <<,,其中,23x x ,,是方程20x x m -+-=的根,1x 是方程220x x m --=,则23x x m =,114x =,(步骤3)所以1231)4m x x x -=,显然,该式随m 的增大而减小,因此,当0m =,123max ()0x x x =;当12m =,123min ()x x x =4) 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:2(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 【测量目标】互斥事件的概率,古典概型,离散型随机事件的分布列. 【考查方式】利用互斥事件间的关系,计算概率,数据的处理能力,应用意识. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==.(步骤1) (2)随机变量1X 的分布列为(步骤2)随机变量2X 的分布列为(步骤3) (3)1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯=(万元),(步骤4) 219() 1.8 2.9 2.791010E X =⨯+⨯=(万元),(步骤5) ∵12()()E X E X >,∴应该生产甲品牌汽车.(步骤6)17(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①22sin 13cos 17sin13cos17+-②22sin 15cos 15sin15cos15+-③22sin 18cos 12sin18cos12+-④22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+-- (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论. 【测量目标】同角三角函数的基本关系,两角和与差的三角函数公式,二倍角公式. 【考查方式】运用二倍角公式,两角和与差的三角函数公式先化简再证明结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)选择②:22sin 15cos 15sin15cos15+-131sin 3024=-= .(步骤1)(2)三角恒等式为:223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=, 证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+---2211sin sin )sin sin )22αααααα=++-+(步骤2)211sin (cos sin )(sin )2222ααααα=++- 22231sin cos sin 44ααα=+-22333sin cos 444αα=+=.(步骤4)18.(本小题满分13分)如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,11AA AD ==,E 为CD 中点.(Ⅰ)求证:11B E AD ⊥;(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30,求AB 的长.第18题图【测量目标】直线与直线、直线与平面的位置关系,二面角,空间直角坐标系. 【考查方式】运用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)以A 为原点,1,,AB AD AA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图:设AB a =,则()()()10,0,0,0,1,0,0,1,1A D D ,,1,02a E ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,1B a ,(步骤1) ()()1110,1,1,,1,1,,0,1,,1,022a a AD B E AB a AE ⎛⎫⎛⎫∴==--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110111102aAD B E =-⨯+⨯+⨯-= ,11B E AD ∴⊥.(步骤2)第18题图(Ⅱ)假设在棱1AA 上存在一点()10,0,P x ,使得DP ∥平面1B AE ,此时()10,1,DP x =-,又设平面1B AE 的法向量(),,x y z =n ,⊥ n 平面1B AE ,1,AB AE ⊥⊥ n n ,得,002ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,(步骤3)取1x =,得平面1B AE 的一个法向量1,,2a a ⎛⎫=--⎪⎝⎭n .(步骤4) 要使DP ∥平面1B AE ,只要DP ⊥ n ,有1=02a DP ax -= n ,解得,112x =. 又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 满足DP ∥平面1B AE ,此时12AP =.(步骤5) (Ⅲ)连接11,A D B C 、由长方体1111ABCD A BC D -中,11AA AD ==,得11A D AD ⊥,1B C ∥1A D ,11AD B C ∴⊥,(步骤6)又由(Ⅰ)知,11B E AD ⊥,且111B E B C B = ,1AD ∴⊥平面11A B CD , 又平面11A B E ⊂平面11A B CD ,1AD ∴ 是平面11A B E 的一个法向量,此时()10,1,1AD =,(步骤7)设1AD 与n 所成的角为θ,则11cos a a AD AD θ--==n n (步骤8) 二面角11A B E A --的大小为30,cos cos30θ∴=,3a =,解得2a =,即2AB =.(步骤9) 19.(本小题满分13分)如图,椭圆()2222:1>>0x y E a b a b+=的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =过1F ,直线交椭圆于,A B 点,且2ABF △的周长为8. (Ⅰ)求椭圆E 的方程.(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.第19题图【测量目标】椭圆的标准方程和性质,圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】已知椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程,再探索求证直线与椭圆的交点存在问题. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)设c 122c e a c a ==⇒=⇒22222234344a ab a b a =-=⇒=.(步骤1)2ABF △的周长为228AB AF BF ++=12128AF AF BF BF ⇒+++=,482,1a a b c ⇒=⇒==(步骤2)椭圆E 的方程为22143x y +=.(步骤3)(Ⅱ)220031434x x y y y k y '+=⇒=⇒=⇒=-由对称性可知设()()000,>0P x y y 与(),0M x 过直线l :00000033(1)()(4,)4x x y y x x Q y y --=--⇒,(步骤4) 0MP MQ = ()()()00003140x x x x y y -⇒--+⨯=()()()0113x x x x ⇒-=--① ①对()00,2x ∈恒成立1x ⇒=,得()1,0M .(步骤5) 20.(本小题满分14分)已知函数2()e e ,x f x ax x a =+-∈R .(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间.【考查方式】给出函数解析式,先求导然后求函数的单调区间,再判断是否存在点满足题干要求.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)2()e e ()e 2e xxf x ax x f x ax '=+-⇒=+-,(步骤1)由题意得:(1)e 2e=00f a a '=+-⇒=,()e e 01x f x x '=-⇒厖;()<0<1f x x '⇒,(步骤2) 即函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞,单调递减区间为(),1-∞.(步骤3) (Ⅱ)设()00,()P x f x ,则过切点P 的切线方程为()000()()y f x x x f x '=-+ 令000()()()()(),g x f x f x x x f x '=---则0()0g x =,(步骤4) 切线与曲线只有一个公共点()0P g x ⇒=只有一个根0x .()000()()()e e 2x x g x f x f x a x x '''=-=-+-,且0()0g x '=.(步骤5)(1)当0a …时,0()>0>;g x x x '⇒0()<0<g x x x '⇒. 当且仅当0x x =时min 0()()0g x g x ==. 由0x 的任意性,0a …不符合条件.(步骤6)(2)当<0a 时,()00()e e 2x xh x a x x =-+-,()()e 2ln 2x h x a x x a ''⇒=+⇒==-,(步骤7) ①当0x x '=时,0()>0>h x x x '⇒;0()<0<h x x x '⇒.当且仅当0x x =时,0()()0()g x g x g x ''=⇒…在x ∈R 上单调递增.()0g x ⇒=只有一个根0x ;(步骤8)②当0>x x '时,()>0>h x x x ''⇒;()<0<h x x x ''⇒.0()<()0g x g x '''∴=,又,();x g x '→+∞→+∞,()x g x '→-∞→-∞.(步骤9)存在两个数0<x x ''使0()()0g x g x ''''==,0()<0<<g x x x x '''∴⇒,即0()<()0g x g x ''=,又,()x g x '→+∞→+∞,存在1>x x ''使()0g x ''=,与条件不符;(步骤10)③当0<x x '时,同理可证,与条件不符.当<0a 时,存在唯一的点()ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P .(步骤11)21.(1)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 设曲线22221x xy y ++=在矩阵()0>01a a b ⎛⎫=⎪⎝⎭A 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值; (Ⅱ)求2A 的逆矩阵.【测量目标】二次函数与圆的互化,矩阵与行列式初步.【考查方式】运用转化化归思想,将二次函数与圆进行转化,进而求解矩阵. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)设曲线22221x xy y ++=上任一点(),P x y , 在矩阵A 对应变换下的象是(),P x y ''',则01x a x ax y b y bx y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221x ax ax bx y y bx y'=⎧⇒⇒++=⎨'=+⎩.(步骤1) ()222221a b x bxy y ∴+++=222,22a b b ⇒+==,1,1a b ⇒==.(步骤2)(Ⅱ)由(Ⅰ)得:21010101011111121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ,()1210121-⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭A A .(步骤3)(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点,M N 的极坐标分别为()π2,032⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,圆C的参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).(Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 圆C 的位置关系.【测量目标】坐标系与参数方程,点到直线的距离公式.【考查方式】利用转化化归思想,将中点坐标公式代入方程中求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由题意知()2,0,0,3M N ⎛ ⎝⎭, 因为P 是线段MN 中点,则13P ⎛⎝⎭,,(步骤1) 因此OP直角坐标方程为:y x=.(步骤2)(Ⅱ)因为直线l 上两点()2,0,M N ⎛ ⎝⎭.∴l30y +-=,圆心(2,,半径2r =.(步骤3)3<2d r ==故直线l 和圆C 相交.(步骤4) (3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知函数()2,f x m x m =--∈R ,且(2)0f x +…的解集为[]1,1-. (Ⅰ)求m 的值; (Ⅱ)若,,a b c ∈R ,且11123m a b c++=,求证:239a b c ++…. 【测量目标】绝对值不等式,柯西不等式.【考查方式】利用绝对值不等式和柯西不等式,将等式进行转化,进而求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)(2)0,f x m x xm +=-∴ 厔,(步骤1)>0<<,(2)011m m x m f x x ⇒-+⇒-厔?,1m ⇒=.(步骤2)(Ⅱ)由(Ⅰ)知111123a b c++=,,,a b c ∈R ,由柯西不等式得: ()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭29=…. (步骤3)。
2012年高考理科数学福建卷(含答案解析)
数学试卷 第1页(共21页)数学试卷 第2页(共21页) 数学试卷 第3页(共21页)绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足i 1i z =-,则z 等于( )A .1i --B .1i -C .1i -+D .1i +2. 等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为( )A .1B .2C .3D .4 3. 下列命题中,真命题是( )A .0x ∃∈R ,0e 0x ≤B .x ∀∈R ,22x x >C .0a b +=的充要条件是1ab=-D .1a >,1b >是1ab >的充分条件4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( )A .球B .三棱锥C .正方体D . 圆柱 5. 下列不等式一定成立的是( )A .21lg()lg (0)4x x x +>>B .1sin 2(π,k )sin x x k x +≠∈≥ZC .22||(x x x ∈+1≥R)D .211()1x x ∈+>R6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A .14 B .15 C .16D .177. 设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,则下列结论错误的是 ( )A .()D x 的值域为{0,1}B .()D x 是偶函数C .()D x 不是周期函数D .()D x 不是单调函数8. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB.C .3D .59. 若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的最大值为( )A .12 B .1 C .32D .210. 函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x ++≤,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[1,3]上的图象是连续不断的; ②2()f x在上具有性质P ;③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1f x =,[1,3]x ∈; ④对任意1x ,2x ,3x ,4[1,3]x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x ++++++≤.其中真命题的序号是( )A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_______. 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于________.13.已知ABC △的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{}n a 的通项公式ππcos12n n a =+,前n 项和为n S ,则2012S =________.15.对于实数a 和b ,定义运算“*”;22,,*,.a ab a b a b b ab a b ⎧-=⎨-⎩≤>设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程()(f x m m =∈R)恰有三个互不相等的实数根1x ,2x ,3x ,则123x x x 的取值范围是_______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已将频率视为概率,解答下列问题:(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列;(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应产生哪种品牌的轿车?说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共21页)数学试卷 第5页(共21页)数学试卷 第6页(共21页)17.(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-; (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-; (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-; (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--; (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.(本小题满分13分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AA AD ==,E 为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥;(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30,求AB 的长.19.(本小题满分13分)如图,椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,且2ABF △的周长为8. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设动直线l :y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数2()e e x f x ax x =+-,a ∈R .(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵01a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)a >对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.(Ⅰ)求实数a ,b 的值;(Ⅱ)求2A 的逆矩阵.(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),π)2,圆C的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数). (Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系. (3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲已知函数|2|f x m x =--(),m ∈R ,且2()0f x +≥的解集为[1,1]-. (Ⅰ)求m 的值; (Ⅱ)若,,a b c ∈R ,且11123m a b c++=,求证:239a b c ++≥.2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)答案解析又双曲线的渐近线方程故选B.30x y+-≤⎧数学试卷第7页(共21页)数学试卷第8页(共21页)数学试卷第9页(共21页)数学试卷 第10页(共21页)数学试卷 第11页(共21页)数学试卷 第12页(共21页)(2)1f =,又42x f +⎛ ⎝又()1f x ≤1≤,所以对于④,f ⎛⎛ ⎝4)()]f x +216,1()E X >可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数数学试卷 第13页(共21页)数学试卷 第14页(共21页)数学试卷 第15页(共21页)21315cos 15sin15cos151sin3024+-=-=;3(30)sin cos(30)4ααα---=,(30)sin cos(30)ααα---2131⎫⎛【提示】(Ⅰ)选择②,由22sin 15cos 15sin15cos151sin3024+-=-=,可得这个常数的值.(Ⅱ)推广,得到三角恒等式223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=,直接利用两角(0,1,1)AD ∴=,a B E ⎛=- ,(,0,1)AB a =,,1,0a AE ⎛= 1101102aAD B E =-⨯+⨯+,11B E AD ∴⊥;(Ⅱ)假设在棱,使得DP ∥平面此时(0,DP =-的法向量(,,)n x y z =n ⊥平面1B AE ,n AB ⊥,n AE ⊥,得,02ax y +=⎩取1x =,得平面AE 的一个法向量1,,2a n ⎛=- ⎝⎭,只要n DP ⊥,有2a n DP =-1AP =; 11B C A D ∥1AD B ∴⊥11EB C B =1AD ∴⊥平面平面11A B CD ,AD ∴是平面的一个法向量,此时(0,1,1)AD =,设AD 与n 所成的角为11cos ||||n AD n AD θ==,二面角A -的大小为30, cos30,即y 轴,可求出向量AD 与B E 的坐标,验证其数量积为30建立关于||F =0MP MQ =①,①对0(0,2)x ∈数学试卷 第16页(共21页)数学试卷 第17页(共21页)数学试卷 第18页(共21页)③当0<x x '时,同理可证,与条件不符;∴当<0a 时,存在唯一的点[]ln(2),ln(2)P a f a ⎡⎤--⎣⎦使该点处的切线与曲线只有一个公共点P .【提示】(Ⅰ)求导函数,利用曲线()f x 在点[]1,(1)f 处的切线平行于x 轴,可求a 的值,令()e e 0xf x '=-<,可得函数()f x 的单调减区间;令()0f x '>,可得单调增区间;(Ⅱ)设点[]00,()P x f x ,曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+, 令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于()g x 有唯一零点,求出导函数,再进行分类讨论:(Ⅰ)若0a ≥,()g x 只有唯一零点0x x =,由P 的任意性0a ≥不合题意;(Ⅱ)若<0a ,令00()e e 2()x xh x a x x =-+-,则()0h x =,()e 2xh x a '=+,可得函数的单调性,进而可研究()g x 的零点,由此可得结论.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性 21.【答案】(Ⅰ)1a =1b =(Ⅱ)2110()21-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A【解析】(Ⅰ)设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y ,在矩阵A 对应变换下的项是(),P x y ''',则220()()11x a x ax x axax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎧⎛⎫⎛⎫==⇒⇒++=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩, 2222()21a b x bxy y ∴+++=, 222a b ∴+=,22b =,1a ∴=,1b =;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:21010101011111121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A , 2110||1()21-⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭A A .【提示】(Ⅰ)确定点在矩阵0(0)1a a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭A 对应的变换作用下得到点坐标之间的关系,利用变换前后的方程,即可求得矩阵A ;23.【答案】(Ⅰ)(2)||0f x m x +=-≥,||x m ∴≤,>0<<m m x m ⇒-,(2)011f x x +≥⇒-≤≤,1m ∴=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知111123a b c++=,a ,b ,c ∈R , 由柯西不等式得:211123(23)2392323a b c a b c a bc a b c a bc ⎛⎫+++++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎭. 【提示】(Ⅰ)由条件可得(2)||f x m x +=-,故有||0m x -≥的解集为[]1,1-,即||x m ≤的解集为[]1,1-,故1m =;(Ⅱ)根据111233223(23111232233)a b c a c a b a b c a b c a b a b b c c c ⎛⎫++=++++++++ ⎪⎝⎭++=++,利用基本不等式证明它大于或等于9.【考点】带绝对值的函数,不等式的证明数学试卷第19页(共21页)数学试卷第20页(共21页)数学试卷第21页(共21页)。
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2012年福建省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若复数z满足zi=1﹣i,则z等于()A.﹣1﹣i B.1﹣i C.﹣1+i D.1+i2.(5分)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1 B.2 C.3 D.43.(5分)下列命题中,真命题是()A.∃x0∈R,≤0 B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是=﹣1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件4.(5分)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是()A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱5.(5分)下列不等式一定成立的是()A.lg(x2+)>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kx,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.(x∈R)6.(5分)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.7.(5分)设函数,则下列结论错误的是()A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数8.(5分)已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B.C.3 D.59.(5分)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为()A.B.1 C.D.210.(5分)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]其中真命题的序号是()A.①②B.①③C.②④D.③④二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.11.(4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=.12.(4分)阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s值等于.13.(4分)已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为.14.(4分)数列{a n}的通项公式a n=ncos+1,前n项和为S n,则S2012=.15.(4分)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.三、解答题:本大题共5小题,共80分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x<11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率,解答下列问题:(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.17.(13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°(2)sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°(3)sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°(4)sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin2(﹣18°)cos48°(5)sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin2(﹣25°)cos55°(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.(13分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长.19.(13分)如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆E的方程.(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.20.(14分)已知函数f(x)=e x+ax2﹣ex,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.四、选考题(题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。
如果多做,则按所做的前两题计分。
)21.(7分)(1)选修4﹣2:矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.(Ⅰ)求实数a,b的值.(Ⅱ)求A2的逆矩阵.22.(7分)选修4﹣4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),(),圆C的参数方程(θ为参数).(Ⅰ)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;(Ⅱ)判断直线l与圆C的位置关系.23.已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)若a,b,c∈R,且=m,求证:a+2b+3c≥9.2012年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2012•福建)若复数z满足zi=1﹣i,则z等于()A.﹣1﹣i B.1﹣i C.﹣1+i D.1+i【分析】由复数z满足zi=1﹣i,可得z==,运算求得结果.【解答】解:∵复数z满足zi=1﹣i,∴z===﹣1﹣i,故选A.2.(5分)(2012•福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1 B.2 C.3 D.4【分析】设数列{a n}的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得d的值.【解答】解:设数列{a n}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得d=2,故选B.3.(5分)(2012•福建)下列命题中,真命题是()A.∃x0∈R,≤0 B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是=﹣1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误;通过特例判断,全称命题判断B的正误;通过充要条件判断C、D的正误;【解答】解:因为y=e x>0,x∈R恒成立,所以A不正确;因为x=﹣5时2﹣5<(﹣5)2,所以∀x∈R,2x>x2不成立.a=b=0时a+b=0,但是没有意义,所以C不正确;a>1,b>1是ab>1的充分条件,显然正确.故选D.4.(5分)(2012•福建)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是()A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义,容易判断圆柱的三视图不可能形状相同,大小均等【解答】解:A、球的三视图均为圆,且大小均等;B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥,其一个侧面放到平面上,其三视图均为三角形且形状都相同;C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形;D、圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形.故一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是圆柱.故选D.5.(5分)(2012•福建)下列不等式一定成立的是()A.lg(x2+)>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kx,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.(x∈R)【分析】由题意,可对四个选项逐一验证,其中C选项用配方法验证,A,B,D 三个选项代入特殊值排除即可【解答】解:A选项不成立,当x=时,不等式两边相等;B选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出sinx+≥2;C选项是正确的,这是因为x2+1≥2|x|(x∈R)⇔(|x|﹣1)2≥0;D选项不正确,令x=0,则不等式左右两边都为1,不等式不成立.综上,C选项是正确的.故选:C.6.(5分)(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.【分析】根据题意,易得正方形OABC的面积,观察图形可得,阴影部分由函数y=x与y=围成,由定积分公式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案.【解答】解:根据题意,正方形OABC的面积为1×1=1,而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01(﹣x)dx=(﹣)|01=,则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为=;故选C.7.(5分)(2012•福建)设函数,则下列结论错误的是()A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数【分析】由函数值域的定义易知A结论正确;由函数单调性定义,易知D结论正确;由偶函数定义可证明B结论正确;由函数周期性定义可判断C结论错误,故选D【解答】解:A显然正确;∵=D(x),∴D(x)是偶函数,B正确;∵D(x+1)==D(x),∴T=1为其一个周期,故C错误;∵D()=0,D(2)=1,D()=0,显然函数D(x)不是单调函数,故D正确;故选:C.8.(5分)(2012•福建)已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B.C.3 D.5【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离.【解答】解:抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为,即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A.9.(5分)(2012•福建)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为()A.B.1 C.D.2【分析】根据题意,由线性规划知识分析可得束条件确定的区域,由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点(1,2),结合图形分析可得m的最大值,即可得答案.【解答】解:约束条件确定的区域为如图阴影部分,即△ABC的边与其内部区域,分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点(1,2),若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件,即y=2x图象上存在点在阴影部分内部,则必有m≤1,即实数m的最大值为1,故选B.10.(5分)(2012•福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]其中真命题的序号是()A.①②B.①③C.②④D.③④【分析】根据题设条件,分别举出反例,说明①和②都是错误的;同时证明③和④是正确的.【解答】解:在①中,反例:f(x)=在[1,3]上满足性质P,但f(x)在[1,3]上不是连续函数,故①不成立;在②中,反例:f(x)=﹣x在[1,3]上满足性质P,但f(x2)=﹣x2在[1,]上不满足性质P,故②不成立;在③中:在[1,3]上,f(2)=f()≤,∴,故f(x)=1,∴对任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,故③成立;在④中,对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有=≤≤=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],∴[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故④成立.故选D.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.11.(4分)(2012•福建)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=2.=a4﹣r x r,令r=3可得(a+x)【分析】根据(a+x)4的展开式的通项公式为T r+14的展开式中x3的系数等于×a=8,由此解得a的值.【解答】解:(a+x)4的展开式的通项公式为T r=a4﹣r x r,+1令r=3可得(a+x)4的展开式中x3的系数等于×a=8,解得a=2,故答案为2.12.(4分)(2012•福建)阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s 值等于﹣3.【分析】直接利用循环框图,计算循环的结果,当k=4时,退出循环,输出结果.【解答】解:由题意可知第1次判断后,s=1,k=2,第2次判断循环,s=0,k=3,第3次判断循环,s=﹣3,k=4,不满足判断框的条件,退出循环,输出S.故答案为:﹣3.13.(4分)(2012•福建)已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为.【分析】根据三角形三边长成公比为的等比数列,根据等比数列的性质设出三角形的三边为a,a,2a,根据2a为最大边,利用大边对大角可得出2a所对的角最大,设为θ,利用余弦定理表示出cosθ,将设出的三边长代入,即可求出cosθ的值.【解答】解:根据题意设三角形的三边长分别为a,a,2a,∵2a>a>a,∴2a所对的角为最大角,设为θ,则根据余弦定理得:cosθ==﹣.故答案为:﹣14.(4分)(2012•福建)数列{a n}的通项公式a n=ncos+1,前n项和为S n,则S2012=3018.【分析】先求出cos的规律,进而得到ncos的规律,即可求出数列的规律即可求出结论.【解答】解:因为cos=0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…;∴ncos=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…;∴ncos的每四项和为2;∴数列{a n}的每四项和为:2+4=6.而2012÷4=503;∴S2012=503×6=3018.故答案为:3018.15.(4分)(2012•福建)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.【分析】根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值,根据一元二次方程的根与系数之间的关系,写出两个根的积和第三个根,表示出三个根之积,根据导数判断出函数的单调性,求出关于m的函数的值域,得到结果.【解答】解:∵2x﹣1≤x﹣1时,有x≤0,∴根据题意得f(x)=即f(x)=画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时,m的取值范围是(0,),当﹣x2+x=m时,有x1x2=m,当2x2﹣x=m时,由于直线与抛物线的交点在y轴的左边,得到,∴x1x2x3=m()=,m∈(0,)令y=,则,又在m∈(0,)上是增函数,故有h(m)>h(0)=1∴<0在m∈(0,)上成立,∴函数y=在这个区间(0,)上是一个减函数,∴函数的值域是(f(),f(0)),即故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共80分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(13分)(2012•福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x<11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率,解答下列问题:(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.【分析】(I)根据保修期为2年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3,由此可求其概率;(II)求出概率,可得X1、X2的分布列;(III)由(II),计算期为E(X1)=1×+2×+3×=2.86(万元),E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元),比较期望可得结论.【解答】解:(I)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P (A)=(II)依题意得,X1的分布列为X1123PX2的分布列为X2 1.8 2.9P(III)由(II)得E(X1)=1×+2×+3×=2.86(万元)E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元)∵E(X1)>E(X2),∴应生产甲品牌轿车.17.(13分)(2012•福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°(2)sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°(3)sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°(4)sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin2(﹣18°)cos48°(5)sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin2(﹣25°)cos55°(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【分析】(Ⅰ)选择(2),由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=,可得这个常数的值.(Ⅱ)推广,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)=.证明方法一:直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边,化简可得结果.证明方法二:利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα),即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣,化简可得结果.【解答】解:选择(2),计算如下:sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=,故这个常数为.(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)=.证明:(方法一)sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)=sin2α+﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=.(方法二)sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)=+﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=1﹣+(cos60°cos2α+sin60°sin2α)﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=.18.(13分)(2012•福建)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长.【分析】(Ⅰ)由题意及所给的图形,可以A为原点,,,的方向为X 轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AB=a,给出图形中各点的坐标,可求出向量与的坐标,验证其数量积为0即可证出两线段垂直.(II)由题意,可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量与直线DP的方向向量内积为0,由此方程解出t的值,若能解出,则说明存在,若不存在符合条件的t的值,说明不存在这样的点P满足题意.(III)由题设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向量,利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程,解出a的值即可得出AB的长【解答】解:(I)以A为原点,,,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1)故=(0,1,1),=(﹣,1,﹣1),=(a,0,1),=(,1,0),∵•=1﹣1=0∴B1E⊥AD1;(II)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此时=(0,﹣1,t).又设平面B1AE的法向量=(x,y,z).∵⊥平面B1AE,∴⊥B1A,⊥AE,得,取x=1,得平面B1AE的一个法向量=(1,﹣,﹣a).要使DP∥平面B1AE,只要⊥,即有•=0,有此得﹣at=0,解得t=,即P(0,0,),又DP⊈平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=(III)连接A1D,B1C,由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.由(I)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1.∴AD1⊥平面DCB1A1,∴是平面B1A1E的一个法向量,此时=(0,1,1).设与所成的角为θ,则cosθ==∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°=,即||=,解得a=2,即AB的长为219.(13分)(2012•福建)如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆E的方程.(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.【分析】(Ⅰ)根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e=,b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆E的方程.(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),可得m≠0,△=0,进而可得P(,),由得Q(4,4k+m),取k=0,m=;k=,m=2,猜想满足条件的点M存在,只能是M(1,0),再进行证明即可.【解答】解:(Ⅰ)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.∴4a=8,∴a=2∵e=,∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为.(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0)∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==,y0=,即P(,)由得Q(4,4k+m)取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x﹣2)2+(y﹣)2=4,交x轴于点M1(1,0)或M2(3,0)取k=,m=2,此时P(1,),Q(4,0),以PQ为直径的圆为(x﹣)2+(y﹣)2=,交x轴于点M3(1,0)或M4(4,0)故若满足条件的点M存在,只能是M(1,0),证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M(1,0)方法二:假设平面内存在定点M满足条件,因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M,所以当PQ平行于x轴时,圆也过定点M,即此时P点坐标为(0,)或(0,﹣),由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点,即点M必在x轴上.设M(x1,0),则•=0对满足①式的m,k恒成立.因为=(﹣﹣x1,),=(4﹣x1,4k+m),由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0,整理得(4x1﹣4)+x12﹣4x1+3=0.②由于②式对满足①式的m,k恒成立,所以,解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.20.(14分)(2012•福建)已知函数f(x)=e x+ax2﹣ex,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.【分析】(Ⅰ)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴,可求a的值,令f′(x)=e x﹣e<0,可得函数f(x)的单调减区间;令f′(x)>0,可得单调增区间;(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x ﹣x0)+f(x0),令g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g(x)有唯一零点,求出导函数,再进行分类讨论:(1)若a≥0,g(x)只有唯一零点x=x0,由P的任意性a≥0不合题意;(2)若a<0,令h(x)=,则h(x0)=0,h′(x)=e x+2a,可得函数的单调性,进而可研究g(x)的零点,由此可得结论.【解答】解:(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=e x+2ax﹣e∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,∴k=2a=0,∴a=0∴f(x)=e x﹣ex,f′(x)=e x﹣e令f′(x)=e x﹣e<0,可得x<1;令f′(x)>0,可得x>1;∴函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,1),单调增区间为(1,+∞)(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x ﹣x0)+f(x0)令g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0)∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P,∴g(x)有唯一零点∵g(x0)=0,g′(x)=(1)若a≥0,当x>x0时,g′(x)>0,∴x>x0时,g(x)>g(x0)=0当x<x0时,g′(x)<0,∴x<x0时,g(x)>g(x0)=0,故g(x)只有唯一零点x=x0,由P的任意性a≥0不合题意;(2)若a<0,令h(x)=,则h(x0)=0,h′(x)=e x+2a 令h′(x)=0,则x=ln(﹣2a),∴x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),h′(x)<0,函数单调递减;x∈(ln(﹣2a),+∞),h′(x)>0,函数单调递增;①若x0=ln(﹣2a),由x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),g′(x)>0;x∈(ln(﹣2a),+∞),g′(x)>0,∴g(x)在R上单调递增∴g(x)只有唯一零点x=x0;②若x0>ln(﹣2a),由x∈(ln(﹣2a),+∞),h(x)单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(ln(﹣2a),x0),g′(x)<0,g(x)>g(x0)=0任取x1∈(ln(﹣2a),x0),g(x1)>0,∵x∈(﹣∞,x1),∴g(x)<ax2+bx+c,其中b=﹣e﹣f′(x0).c=∵a<0,∴必存在x2<x1,使得∴g(x2)<0,故g(x)在(x2,x1)内存在零点,即g(x)在R上至少有两个零点;③若x0<ln(﹣2a),同理利用,可得g(x)在R上至少有两个零点;综上所述,a<0,曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P(ln(﹣2a),f(ln(﹣2a))).四、选考题(题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。