初三中考第一轮复习反比例函数(一对一 教案)

学科教师辅导讲义

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授课类型 T 反比例函数 C 反比例函数的应用 T 反比例函数综合应用

授课日期及时段

教学内容

一、同步知识梳理

知识点1：反比例函数的概念

一般的，形如y=x k

（k 不等于零的常数）的函数叫反比例函数。

反比例函数的解析式又可以写成：1,k

xy k y kx x

-==

=（ k 是不等于零的常数）, 知识点2：反比例函数的图象及性质

（1）反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于原点对称，这种图象通常称为双曲线。它与x 轴和y 轴没有交点，它的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴. (2)反比例函数y=

x

k 图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关， ① 当k>0时，函数的图象分布在第 一、三象限； (如下图) 函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 减小；

②当k<0时，函数的图象分布在第 二、四 象限、函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 的值随x 的增大而增大。

(3)双曲线既是中心对称图形. 也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线

知识点3：反比例函数中的比例系数k 的几何意义

(1)反比例函数x k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k

y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

(2)过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22

xy k S =

=。 知识点4： 反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定只需确定k 值，需要一个点即可列出方程

知识点5：反比例函数在实际问题中的应用

在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y=

x

k 中的k 不等于零这一条件，结合图像说出性质，根据性质画

出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点

二、同步题型分析

题型1：反比例函数的概念、图像与性质

例1：下列函数关系中，哪些是反比例函数？如果是，比例系数是多少？

（1）x y 4=

；（2）x y 21-=；（3）2

x y =；（4）

x y -=1（5）1=xy

解：（1）是反比例函数，比例系数是4 （2）是反比例函数，比例系数是2

1-

（3）不是

（4）不是

（5）是反比例函数，比例系数是1

例2：已知函数x

k k y )

3(+=

是反比例函数，则k 应满足的条件是（ ）

A ．3≠k

B ．3-≠k

C ．0≠k 或3≠k

D ．0≠k 且3-≠k

解析：反比例函数x

k

y =（0≠k ）,所以(3)0k k +≠，即D ．0≠k 且3-≠k 答案：D

变式:函数3

2

-=

x y 的自变量x 的取值范围是 ． 总结:反比例函数的取值范围 一般地，函数y=

k

x

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，x 的取值范围是x≠0，y 的取值范围是y≠0． 例3：已知函数2

3)2(m x

m y --=为反比例函数.

（1）求m 的值；

（2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ （3）当－3≤x ≤2

1-时，求此函数的最大值和最小值.

解：（1）

（2）它的图象在第二，三象限内，在各象限内y 随x 的增大而增大

（3）当－3≤x ≤21-时，由于在第二象限内y 随x 的增大而增大，所以y 大＝8 y 小

=34

变式: 1.反比例函数1

m y x

-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ．

答案：1m ≥ 2.函数y ＝1

x

-

图象的大致形状是（ ）

A B C D

总结：反比例函数k

y x

=

的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况： （1）0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限 （2）0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限 答案：D

例4：已知函数24213m y m x -⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭是反比例函数，且在每一象限内，y 随x 增大而减小，求这个反比例函数

答案：56y x

=

∴－5m=－2 ∴m=

5

2 点A 关于x ，y 两坐标轴和原点的对称点分别是 A 1（－5， －

5

2）；A 2（5， 52）；A 3

（5， －52） 由k=－2得，A 1 ；A 2不在图像上。A 3在图像上 变式:若反比例函数k

y x

=

的图象经过点（-1,2)，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ） A 、(2,-1) B 、(12-,2) C 、(-2,-1) D 、(1

2

,2)

分析：由反比例函数解析式判断点是否在图像上. 答案：A

例3：已知y 与 2x 成反比例，且当x =3时，

y =6

1

，那么当x =2时，y =_________，当y =2时，

x =_________. 答案：14y =

, 14

x = 题型3：反比例函数K 的几何意义 例1：如图，过反比例函数

图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，

与梯形ECDB 的面积分别为

，比较它们的大小，可得( ) A.

B. C. D. 大小关系不能确定

分析：由反比例的几何性质可得，S AOC S BOD =，又1S S AOC S EOC =-, 2S S BOD S EOC =-

所以，

答案：B

例2： 如图：点A 在双曲线k

y x

=

上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB=2，则k =______．