现代控制理论与汽车控制

写成矢量矩阵形式的标准型,即
X AX bu
系统的状态方程
6.输出方程 在指定系统输出的情况下,该输出与状态变 量间的函数关系式,称为系统的输出方程。 例如：在上述的系统中,指定x1=x作为输出, 一般输出符号用y表示,则有y=x1,写成矢量 矩阵形式为
x1 y 1 0 x2
列出约束条件
建立目标函数 数学模型表征了受控动态系统在运动过程中所遵循的物理或化学
规律。
1）数学模型的表征：状态方程表达式：
f ( x(t ), u(t ), t ) x
状态变量 通常又表征为（线性系统）
t [t 0, t f ]
控制变量
A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x

汽车横向（侧向）运动的运动学模型：
考虑两轮模型：建立侧偏角β与前后轮转向角的关系
高速时，将车轮速度方向认为是车轮方向的假设不成立，需
要用动力学模型代替运动学模型
汽车横向（侧向）运动的动力学模型： 假设车辆为一单质量刚体表示，该刚体在外力及外力矩作 用下具有道路平面运动的3个自由度：纵向运动、侧向运 动及横摆运动。沿y轴应用牛顿第二定律，侧向运动和横
踪目标而将敌击落？ 3电梯控制：如何以最快速度平稳到达地面 以上都涉及到：依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的 目的，寻求一个最优控制规律u（t）的问题，
这就是最优控制的基本问题的发展过程。
x3 最优控制中的数学模型
建立数学模型是求解最优控制问题的第一步 建模过程包括： 确定变量（输入变量，输出变量，控制变量）
线性时变系统
Ax(t ) Bu(t ) x
A(t)，B(t) ：时变矩阵 A，B：定常矩阵
线性时不变系统
2)约束条件
a) 变量的边界条件，即系统的初态和终态，
7.2 车辆横向控制模型


运动学：从几何的角度（指不涉及物体本身的物 理性质和加在物体上的力) 描述和研究物体位置随 时间的变化规律的力学分支 动力学：理论力学的一个分支学科，它主要研究 作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研 究对象是运动速度远小于光速的宏观物体
区别：动力学，涉及运动又涉及受力情况的，或者说跟物体质量有关 系的问题。常与牛顿第二定律或动能定理、动量定理等式子中含有m 的学问。含有m说明要研究物体之间的的相互作用（就是力）。 运动学，跟质量与受力无关，只研究速度、加速度、位移、位置、角 速度等参量，常以质点为模型。
Y CX Du
C bm
bm 1
b0
0
n m 1
0
例 已知系统的传递函数为
s2 2s 3 G( s) 3 2 s 4 s 2 6 s 10
试求出其对应的能控标准型。 解: 首先把G(s)分母中s最高次项系数变成 1,用2除G(s)的分母与分子,得
0 x1 0 A2 v x2 B1 1 x3 0 A4 x4 B2 v
A1 A3
(K f Kr )
m ( L f K f Lr K r ) I
Kr K f mvx v y L K L K f f r r Ivx

K f L f K r Lr
Kf vx mvx v y m 2 2 L K Lr K r L f K f f f I Ivx
动态最优控制
给定条件下，确定系统的一种
最优控制规律 u (t )，使系统 相应的性能指标为最优。
静态最优控制——最优化问题的解u (t )不随时间变化， 通常又称为参数最优化问题。 即：最优控制变量与时间t没关系或说 在 所研究的时间区域内为常数。
目标函数：多元的普通函数。
最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。
x K f F ( t)
M
质量-弹簧-阻尼系统的微分方程式为
d2 x dx M 2 f Kx F ( t ) dt dt d x f dx K 1 x F (t ) 2 dt M dt M M
2
选择位移x(t)=x1(t)和速度 x (t)=x2(t)作为系 统的状态变量，可把上述方程化为两个一 阶微分方程，即
Z ( s) R( s ) s n a1 s n1 an1 s an
z ( n ) a1 z ( n1) x1 z , x2 z x1 x2 , x2 x3
x1 0 x 0 2 X x3 , A 0 xn an 1 0 0 a n 1
bm 1 s bm )
Z ( s) C ( s) R( s ) Z ( s )
Z ( s)
R( s ) s n a1 s n1 an1 s an bm 1 s bm ) Z ( s )
C ( s ) (b0 s m b1 s m 1
1.能控标准型实现 写成状态方程
第七章 现代控制理论与汽车控制
• 7.1 状态空间模型
• 7.2 车辆横向控制模型
• 7.3 最优控制问题
• 7.4 车辆横向最优控制器设计
7.1 状态空间模型
一、基本概念
1. 状态：系统的状态就是系统过去、现在 和将来的状况。 系统的状态可以定义为信息的集合。 表征系统运动的信息。
2.状态变量
若是线性系统,可写成
X AX Bu Y CX Du
式中,
A-系数矩阵
B-控制矩阵
n n
nr
C-输出矩阵
m n
D-直接传递矩阵 mr
8.状态空间表达式的系统方框图
状态空间表达式的系统方框图如图所示
二、系统传递函数的状态空间表达式
由系统的高阶微分方程式或传递函数,求出 相应的状态空间表达式,这类问题称为实现 问题。 若系统的传递函数为 正常情况下，n≥m。
3.状态矢量 设一个系统有n个状态变量x1、x2、…、xn, 用这n个状态变量作为分量所构成的矢量X, 称为该系统的状态矢量。 4.状态空间 状态矢量所有可能值的集合称为状态空 间。系统在任一时刻的状态都可用状态 空间中的一点表示。
5.状态方程 描述系统状态变量与系统输入之间关系的 一阶方程组,称为状态方程。 例1 某机械动力系统如图所示
系统的状态变量是指可以完全表征系统运动状 态的最少个数的一组变量 x1、x2 、 … 、 xn, 并且 满足下列两个条件: ( 1 ) 在 任 何 时 刻 t=t0, 这 组 变 量 的 值 x1(t0)、 x2(t0) 、…、xn(t0)都表示系统在该时刻的状态; (2) 当系统在t≥t0的输入和上述初始状态确定的 时候,状态变量应完全能表征系统在将来的行为。
an 1 z a n z r xn z ( n1) xn z ( n )
0 1 0 an 2 0 0 1 a1
X AX Bu
0 0 B 0 1
输出方程
C ( s) (b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm ) Z ( s )
2） 模型分析，选择合适的最优化求解方法。
3）根据选定的最优化算法，编程，求解 。
最优化的基本问题：
就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究 的对象（或系统）能最优地达到预期的目标。 例如：1 温度控制系统，如果出现干扰而产生偏差，用什么方 法最快消除偏差而使系统恢复到原来的平衡状态。
2雷达高炮随动系统，当发现敌机后，如何以最快速度跟
x1 x x2 K f 1 x2 x1 x2 F M M M
若用矢量矩阵的形式表示,则可写成
0 x1 x K 2 M 1 1 x 1 F f 1 x2 M M
1
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G( s ) n s a1 s n1 an1 s an R( s ) s a1 s
n n 1

a n 1 s a n
(b0 s m b1 s m 1
写成标准式为
Y CX
7.状态空间表达式 状态方程和输出方程构成对一个系统性能 的完整描述,称为系统的状态空间表达式。 若系统是r×m×n维空间,即
y1 x1 u1 y x u 2 2 2 u , Y , X ur ym xn
1 2 3 s s 2 G( s ) 3 2 2 s 2s 3s 5
直接写出系统的能控标准型:
0 x1 0 x1 0 1 x 0 0 1 x 0 u 2 2 x3 5 3 2 x3 1 x1 1 3 Y 1 x 2 2 2 x3
静态最优化方法：
a. 解 析法（间接法） 无约束条件 有约束条件
黄金分割法（0.618法） b. 数值计算法（直接法) 区间消去法
（一维搜索）
插值法
爬山法
（多维搜索法）
步长加速法
方向加速法 c. 以梯度法为基础的方法 d. 网络最优化方法
动态最优控制——最优化问题的解u（t）随时间变化 特点： 受控对象：动态系统 所有变量：时间的函数 最优解：古典变分法求泛函的极值问题 a. 动态最优控制绪论及最优控制问题的提法 b. 最优控制问题的变分法 c. 最小值原理及应用 d. 线性二次型最优控制问题 e. 动态规划及应用
摆运动分别对应侧向平移运动方程和横摆动力学方程。 2
d y m F f Fr 2 dt
d 2 I L f Ff Lr Fr 2 dt
Vy：侧向位置
Ψ：横摆角
K：车轮的侧偏刚度 参考：汽车理论
Kr K f mvx v y L K L K f f r r Ivx K r Lr K f L f Kf vx mvx v y m L K L2f K f L2 K f f r r I Ivx f
最优控制属于现代控制技术的核心内容，是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
ห้องสมุดไป่ตู้
现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为
主要内容，最优控制发展早。
最优化技术要解决的主要问题：
研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案， 其间包括以下任务 1）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型。 确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标）
A2
( L f K f Lr K r ) m
B1
Kf m Lf K f
A4
( L f 2 K f Lr 2 K r ) I
B2
I
7.3 最优控制问题
最优控制，顾名思义，就是最好的控制，好的标准是什么？ 在最优控制中用一个综合的目标函数或性能指标来 衡量。
最优控制：静态最优控制
f
若定义系统的状态量为
x x1 x2 x3 x4 y
T
y
T
则状态空间描述可写成
0 x1 x 0 d 2 dt x3 0 x4 0
1 A1 v 0 A3 v
0 A1 0 A3