数值分析复习题答案

数值分析复习题 一、填空Chapter1 绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值1210.10(0)s n x a a a a =⨯≠的绝对误差为1x*-x 102s t-≤⨯。

设 2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 3 位有效数字。

设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44111010224--⨯=⨯⨯ ，其绝对误差限是41102-⨯。

当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使=。

Chapter2 插值方法设642()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。

若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。

对32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。

设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。

已知y=f(x)的均差021[,,]5f x x x =,402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14，f[x0, x3, x2]=8 ,.那么均差f[x4, x2, x0]= 9 。

（交换不变性）设有数据112032x y -则其2次Larange 插值多项式为32(1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。

以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则nkk=0kl(x)=∑ x 。

？？（注：k y k=，则有拉格朗日插值公式：nk k k=0y l (x)(),0,1,2...,0,1,2...,n y L x x n n≈==∑；y=，即：y x =）若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数， 则：a=_3_, b=_3_, c= 0 。

三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)， k=0,1,2,…,n ，且满足S(x)在每个子区间[xk, xk+1]上是 不超过三次的多项式 。

过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)={1.51[0,2]310[2,3]x x x x +=-+=设有函数表如：'i.x x0 x1 x2 x3 x4ii.y y0 y1 y2 y3 y4iii.y m0 m1 m2 m3 m4，则可利用分段三次Hermite插值，其插值多项式的次方为 三次 .？？Chapter3 函数的最佳平方逼近无Chapter4 数值积分与数值微分牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k c ==∑积分区间的长度（b-a ）。

（验证梯形、辛普森、科特斯公式满足）？？数值求积公式1311f(x)dx f()+f(1)434=⎰的代数精度为：2次代数精度 。

（依次将函数21,x,x ,...代入验证是否满足，可得代数精度）求积公式11113()[2()()2()]3424f x dx f f f ≈-+⎰的代数精度为：3次代数精度 。

求积分⎰badxx f )(的近似值，其辛卜生公式为[()()4()]62b a a bf a f b f -+++.求积分()baf x dx ⎰的近似值，其复化梯形公式为11[()()2()]2n k k hf a f b f x -=++∑设()I f =⎰，则用梯形公式得近似值为[()()]22b a f a f b -+=n 点高斯型求积公式其代数精度是2n-1 。

如5点高斯求积公式，其代数精度为 9 。

Chapter5 线性方程组的直接解法能用高斯消元法求解Ax b =的充要条件是 A 的各阶顺序主子式不为零（P113）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1221a A ,当a 满足条件13a a ≠-≠且时( 各阶顺序主子式不为零),A 可作LU 分解,当a 满足条件3a >时（A 为n 阶对称正定矩阵）,必有分解式TLL A =,其中L 是对角元素为正的下三角阵。

Chapter6线性方程组的迭代解法设215314278A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1||||A = 17 ，设A ＝⎢⎢⎢⎣⎡375 2117 ⎥⎥⎥⎦⎤623，则1A ＝20 。

设有矩阵3346A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则||||A ∞= 10 ，2||||A= 。

已知A ＝⎢⎢⎢⎣⎡761852⎥⎥⎥⎦⎤943，x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，则=1Ax 45 。

设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1253A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=33x ，则： _8_,_3_,_9_,.24A x Ax Ax A x ∞∞∞∞∞∞===≤=。

方阵A 的谱半径是指max()1A i i n ρλ=≤≤矩阵A 的条件数是指 。

1()cond A A A -=•非奇异矩阵A 的条件数Cond(A)＝ ？？，A 是病态是指 条件数数值很大 。

？？已知 12,()01A A ∞⎛⎫==⎪⎝⎭则条件数cond 9 。

Chapter8非线性方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x)满足在有根区间内 ' (x)1L ϕ≤< ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。

利用二分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为[]2k b aR f -=。

设f(x)可微，则求方程x 2=f(x)根的牛顿迭代格式为21()()2k k k k k k f x x x x f x x +-=-'- 。

的近似值，其牛顿迭代格式为11n k k k n k x ax x nx +--=-。

求53的近似值，其牛顿迭代格式是 51435k k k k x x x x +-=-。

求解方程()0f x =的Newton 迭代公式为1()()'k k k k f x x x f x +=-，割线公式为111()()1,2,3...()()k k k k k k k f x x x x x k f x f x +--=--=- 。

序列{}n n=0y ∞满足递推关系：n n-1y =10y -1,(n =1,2,...)，若0y 有误差, 这个计算过程不 稳定。

Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方程数值解的几何意义是指 用直线代替曲线 。

？？求解常微分方程处值问题 (,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩的改进Euler （梯形法）公式为11120[(,)(,)]()0,1,...1hj j j j j j y y f x y f x y y a j n η+++=++⎧⎪⎨==-⎪⎩，它是 二阶 方法(二阶精度)。

Euler 法是 一阶 方法(一阶精度)。

P218解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报---校正公式是1111(,)0,1,2...,1[(,)(,)]2j j j k j jj j j k y y hf x y j n h y y f x y f x y ++++⎧=+=-⎪⎨=++⎪⎩。

预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：111[(,)(,)2j j j j j k hy y f x y f x y +++=++ 。

计算题Chapter1 绪论无Chapter2 插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4(x)，满足下列插值条件：' x 0 1 2f(x) 0 1 1 f (x) 0 1解： 设：4321443210P ()x a x a x a x a x a =++++根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得：19343210244a a a a a -=====即：1943234244P ()x x x x -=++二、 设)(x f 在],[20x x 上具有三阶连续导数，且20''',)(x x x M x f ≤≤≤，1x 是区间],[20x x 的中点，)(2x P 是经过点))(,(,))(,(,))(,(221100x f x x f x x f x 的二次多项式。

试证明对任意],[20x x x ∈有39)()(32M h x P x f ≤-，其中202x x h -=。

证明：由于，)(2x P 是经过点))(,(,))(,(,))(,(221100x f x x f x x f x 则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：(1)21101()()()[](),()()()...()(1)!n n n n f x f x P x R f x x x x x x x x n ωω+++-===---+本题中2n =，20''',)(x x x M x f≤≤≤，3012()()()()x x x x x x x ω=---3000max[()]()()(2)x x x x x h x x h ω=-----，其中：202x x h -=。

333max[()]0.0276x h ω=≤所以：(1)331()[]()0.0276(1)!n n f x R f x h M n ω++==≤+ 三、作一个三次多项式)(x H 使满足：1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H 。

解：()f x 为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：011012111-可得：()1(1)f x x x x =-+-，令()()(1)(2)H x f x Ax x x =+--则'2()22(362)H x x A x x =-++-+，因为'(1)1H =，解得1A =- 最后得满足条件的三次多项式：23()144H x x x x =-+-。

四、对于积分⎰1)(dx x f ，若取节点,54,21,51210===x x x 试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求⎰10dxe x 的近似值。

P74 解：1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：202122(0.5)(0.8) 1.30.4()(0.20.5)(0.20.8)0.18(0.2)(0.8)10.16()(0.50.2)(0.50.8)0.09(0.2)(0.5)0.70.1()(0.80.2)(0.80.5)0.18x x x x L x x x x x L x x x x x L x ⎧---+==⎪--⎪⎪---+⎪==⎨---⎪⎪---+==⎪--⎪⎩2、先计算系数,0,1,2k A k =，具体过程如下：120012101210 1.30.4250.185410.1620.092710.1250.1854x x A dx x x A dx x x A dx ⎧-+==⎪⎪⎪-+⎪==⎨-⎪⎪-+⎪==⎪⎩⎰⎰⎰然后构造出积分公式：12012025225()()()()()542754k k k f x dx A f x f x f x f x =≈=++∑⎰3、根据构造的积分公式，计算⎰1dxe x ，具体过程如下：10.20.50.801202522525225()()()542754542754x e dx f x f x f x e e e =++=++⎰五、给定数据0 2 3 5()4 1 1 9xf x试求()f x 的3次Newton 插值多项式，并写出插值余项。