1.5带电体系的静电能

U i U ( Pi ) 1 4 0
பைடு நூலகம்j 1, j i

n
qj rji
Ui:除点电荷i外其它 点电荷单独存在时qi 所在处的电势总和
1 n A ' qU i i 2 i 1
点电荷组的静电势能的几种不同形式
We
We
1 4 0
1 8 0
q
i 1
n
n
i 1
j 1 i 1
代表第j 个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势
U ji U j ( Pi )
Pi

qi E j dl 4 0 rij 1
n i 1
点电荷 组的总 功应为
A' A'1 A'2 A'3 A'n A'i 1 n i 1 qi q j qi U ji 4 0 i 1 j 1 rji i 1 j 1
1 dq E r3 r 4 0
dq e dV dq e dS
连续电荷体分布： 面分布： 线分布：
2、电势U
dq e dl q 定义： U pq E dl
p
点电荷： U
q 4 0
qi 点电荷组 U r 4 0 i 1 i 1
平移
• 设想带电体系有一微小位移l
A F l Fl l W
l 0
转动
W Fl l
• 设带电体系绕某一方向的轴有微小角位移
A L W
W 0 L
和l都是虚设的，可称为虚位移和虚角位移
qi q j rji
qi q j rji
i
j 1
n
qi U ji (1)
i 1 j 1
n
i 1

i 1
(2)
Ui:除点电荷i外其它 点电荷单独存在时qi 所在处的电势总和
j 1, j i
1 n We qiU i 2 i1
(3)
二 电荷连续分布情形 的静电能
1 n We qU i i 2 i 1
q ˆ 5、均匀带电球壳场强： E 4 r 2 r 0
r>R
r<R
E=0
五 带电体系的静电能
六 带电体在电场中受的力及其运动
n i 1
(1)
形式对称的表达式
• 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
1 1 qi q j q jU ij qiU ji (q jU ij qiU ji ) q jU ij qiU ji 2 4 0 rij
1 n n 1 n n qi q j A ' qi U ji ji r 2 i 1 j 1, j i 8 0 i 1 1, j ji
• 假定电荷体密度为 e ，把连续分布的带电体分 割成许多电荷元，其电量qi=eVi，则有
总静电能 不是相互 作用能
1 We e ViU i 2 i
Vi 0
带电体各部分电荷 在积分处的总电势
1 We eUdV 2 V 1 1 线电荷：We eUdl；面电荷：We eUd S 2 2
n
3、E与U的关系：U pQ
dq U 分布电荷： 4 0 r Q E U E dl
p
1
三、描述静电场性质的基本定理
1、高斯定理： E dl 0
2、环路定理： S
q E dS
0
四 解题方法
a、求解电场分布的常用方法 电势：定义和迭加原理 电场强度：定义，叠加原理，高斯定理和电势梯度
两个点电荷的情形
• 先移动q1 到M点：外力不做功 • 再移动q2 到N点：外力做功
A '
N
q1
q2
M
N
q1 单独存在时 N的点电势
F 12 dl q2 E1 dl q2U1
N
交换移动次序可得
N
N A '' F 21 dl q1 E 2 dl qU 2 1 1 q1q2 q2U1 q1U 2 A' A' ' q1 单 独 存 在 时 q2处的电势 4 0 r
本章小结
一、静电场性质的表现 1、对置于场内带电体有力的作用 2、带电体在场中移动时，电场力对其作功 二、描述静电场的物理量 1、电场强度
点电荷：E
定义： E F q
q
2
4 0r 1 n qi 点电荷组： E r 2 ri 4 0 i 1 i
ˆ r
分布电荷：
四 带电体系在外场中受的力或力矩与静电 势能的关系
• 设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化 • 电势能将相应地改变W • 电场力做一定的功A • 设系统无能量耗散和补充，能量守恒 A= -W • 电场力的功等于电势能的减少
• 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系 受力的关系
三 电荷或电荷组在外电场中的能量
• 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场）中具有电势能 • 一个电荷在外电场中的电势能
W ( P) qU ( P)
• 电偶极子在外电场中的电势能
W qU(r ) qU(r l )
E
l
U U (r l ) U (r) l l U (r ) U (r l ) U (r ) l U W ql U P U p E(r ) pE cos
系统的静电能
q2 单独存在时 M点的电势
1 q1q2 1 We (q1U 2 q2U1 ) 4 0 r 2 q 单独存在时
在q1处的电势
2
多个点电荷的情形
• 把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相应 位置，计算外力所做的功
A'1 0, A'2 q2U12 , A'3 q3 (U13 U 23 ) A'n qn (U1n U 2 n U n 1, n ) A'i qi U ji
1-5 带电体系的静电能
一 点电荷之间的相互作用能
作业：1.5-3
• 定义静电能为零的状态 – 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许 多小单元，最初认为它们分散在彼此相距 很远的位置上，规定这种状态下系统的静 电能为零。 • 静电能 – 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集 成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的 全部功
b、常用公式 1、电偶极子的场强： 延长线上：E 中垂面上：E
4 0
1
2p r3
1 4 0
p r3
λ 2、均匀带电无限长细棒场强。 E 2πε0 r qZ 3、均匀带电细环轴上的场强： E 4 0 ( R 2 Z 2 )3/ 2
4、均匀带电无限大平面外场强： E 2 0