一般二阶电路分析.ppt
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电路分析—二阶电路
A sin U 0
， arctan
ω0
，0，间的关系:
sin 0
0 A U0
δ
ω
duC U 0 t i C e sin t dt L
uL L
0 uC U 0e t sin( t )
di 0 U 0e t sin( t ) dt
整理得 解答形式为
di 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 2i dt
d2i di 8 12i 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
i i i
第二步，求通解 i ： p2 8 p 12 0 特征根为 p1= 2 ，p2 = 6
临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case）
L R2 C
(一) R 2
L C
不等的实根 p1，p2 解答形式为 L
S uC + C i
R
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) uC (0 )U 0 duC C i (0 ) i (0 )0 dt t 0
(natural frequency) 解答形式
uC Ae
t
sin(t )
其中A ， 为待定系数。
由起始始值
uC (0 ) U 0 duC i (0 ) C dt
0
t 0
定系数。
A( )sin A cos 0
解得
U0 A sin
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
电路分析第7章 二阶电路1
根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2
二阶动态电路分析
待定常数A1，A2由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) A1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duC dt
t0
0
A1
A2
0
A1 U0 A2 U0
uC (t) U0et (1 t) t 0
电路中其它响应：
i(t) C duC dt
2CUOtet
uL (t)
L
di dt
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0
2L
d 0
1 LC
uC (t) U0 cosdt U0 cos0t
i(t) 0CU0 sindt 0CU0 sin0t uL (t) U0 cosdt U0 cos0t
R＝0时，i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，
i(t) C
duC dt
02CU0 d
et sin dt
uL (t)
L
di dt
0 d
U 0e t cos( d t
)
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
0
d
衰减uC，(t)、称ei为(t)响衰、t 应减uL有系(t衰)数减，振d荡是的振特荡性的，角其频振率荡。幅度按指数规律
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应 5-2 RLC串联电路的全响应 5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关
K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
uC
第八部分二阶电路-
Us R
Au 1 R
求
导
合
并
:
d 2u1 dt 2
1 RC
( 2 A ) du 1 1 dt LC
u1 0
显然: 当 A2
时
产生等幅振荡
d 2u1 1
dt 2
LC
u1 0
解 方 程 : (P149 例8-5）
s j 0
0
1 LC
u 1 ( t ) K 1 cos 0 t K 2 sin 0 t
iC ( 0 ) iC iC iC /// 8 A
即 K1SK2S8 解得 K18.2 K20.11
uC(t)(8.2e1.12t 0.11e9.89t 11010)U(t) V
例 2 如图电路，uc (0 ) 0V iL (0 ) 0A 若要求u0 为等幅振荡 A ? 求此时的u0 (t) t 0
解：1.方程的编写 ①参考方向
②两种约束 KVL： uC uS uR1 ①
uCuLuR2 ② KCL： iiLiC 7个 变 量
元件约束：u R1 R1i uR2 R2iL
uL
L
diL dt
iC
C
duC dt
代入①、②，有：
uC
uS
R1(iL
C
duC dt
)
③
uC
L diL dt
R2iL
④
2． 振 荡 周 期 由 L、 C 确 定
0=
1 LC
3． 振 荡 振 幅 与 初 始 贮 能 有 关
< u C(0 -) iL(0 -) >
§8.2 RLC串联电路的
零输入响应
<应用对偶概念可得出并联GLC电路>
一阶电路与二阶电路PPT
t 0
t RC
duc (t ) U 0 e dt R
t0
3.解的物理含义：uc及i的波形
从图可见，电容电压从初始值U0开始按指数规律衰减到0， 电流在换路瞬间有1个跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R, 然后按指数规律衰减到0。
U0 U0 R
U0 R
图
RC 电路零输入响应 电压电流波形图
图示一阶RC电路，电容处于零状态， 求电路中的响应。
＋
ic(t) C
物理过程分析：
理论求解：
(t ) R
－
iR(t)
+ uc(t) _
1.列方程： ic (t ) iR (t ) (t )
第四章 一阶电路与二阶电路
4.1 一阶电路的零输入响应 4.2 一阶电路的阶跃响应
4.3 一阶电路的冲激响应
4.4 一阶电路对阶跃激励全响应 4.5 二阶电路的冲激响应
学 习 目 标
深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 理解一阶电路阶跃响应和冲击响应的概念。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的 三要素分析法。 了解二阶电路的冲击响应。
L R
RC电路： RC
L RL电路： R
R多数情况下是等效电阻。
例1：求换路后的零输入响应i(t)和u0(t)：
分析： 换路前为直流电路，电容开路 S1(t=0) +uC(t) - 20 + 200 0.02uF u c (0 ) u c (0 ) 60 120V + 60 u0(t) 60 40 200V 60 80 换路后电容两端看进去的等效电阻 Req 60 80 2 100
第四讲 二阶系统.ppt
Va
Km
m
Ls + R
3. 电机转矩：
C J － －
m
1
m
m
m
m
C J －
2
l
l
l
l
/ N,
l
m
N
2
1
ωl = ωm / N, τ2 = N τ1
m
Jm
Jl N2
m
Cm
Cl N2
NR
ζ= 2
K p Ka Km J
R
ω2 n
C
s ω ω 2 + 2ζ
s+ 2
n
n
图.4.14 一般闭环传递函数
◆ 阶跃响应
当阶跃输入作用于二阶系统时，
ω C(s) = (s ω ω S
2
n
2
+ 2ζ
ns+
2n)
=
1 S
－
(S
+ζ
S + 2ζ ωn
ωn)2
+
ω2 n
(1－ζ
2
)
c t L1 C s 1
1
s2
1 LC
Rs
1
L LC
ω2 = 1
n LC
ωn =
1 LC
2ζ
ωn
=
R L
闭环传递函数为:
R
ω2 n
s ω ω 2 + 2ζ
ns+
2 n
图.4.14 一般的闭环传递函数
二阶电路.ppt
p2e p2t )
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5
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可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 p1 ， 所p2以随
着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图 9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。
图9-2 变化波形
动画演示：二阶电路的零 输入响应(RLC串联) 1
duc iL (0 ) I0
dt t0
C
C
对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输
入响应，令 uc ，A得e p特t 征方程为
LCp2 RCp 1 0
特征方程的根为
p1,2
R 2L
R
2
1
2L LC
2 2
方程的通解为 uc A1e p1t A2e p2t p1 p2
RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应。 串联电路的冲激响应的求解方法：
方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方程 求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬 间冲激施加于电路，在t=0＋时建立了初始值，而冲激信号消失， 求零状态响应转换为求零输入响应。
图9-7 二阶阶跃响应电路
根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直 处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情 况。
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i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻， 令
di dt
0,即uL
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
解 （1） 换路前电路已达稳态，则有
二阶电路分析
(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电 源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为
y (t ) y () [ y (0 ) y ()]e
求三要素的方法为
t
t>0
① 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 ② 稳态响应y(∞): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达 到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电 阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y(∞)。 ③ 时常数τ：RC电路，τ=RC; RL电路，τ=L/R。式中R为断
s s arctgCR
uC (t ) Ae
t RC
UCm cos(t )
利用初始条件确定常数A， 即
uC (0) A U Cm cos U 0 A U 0 U Cm cos
uC (t ) (U 0 U Cm cos )e U Cm cos(t )
4.7 二阶电路分析
用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路， 需要给定两个独立的初始条件。与一阶电路不同，二阶电路的
响应可能出现振荡形式。本节以RLC串联电路为例，讨论二阶
电路的零输入响应和单位阶跃响应。 RLC串联电路如图4.7-1所示，以电容电压uC作为电路响应， 列写该电路方程。根据KVL, 有
p1 p2
微分方程的通解为
uC e ( A1 A2t )
由初始条件
at
uC (0) A1
duC dt
t 0
A1 A2 0
A1 uC (0) A2 auC (0)
uC uC (0)(1 at)e (t )
电路分析基础一般二阶电路和高阶动态电路
X
解（续）
i 4 用状态变量和已知量 将方程中的非状态变量i 3 、 uC1 表示： i3 is R1
uC2 us i4 R2
将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理得：
1 1 1 duC1 u i is C1 L dt R1C1 C1 C1 duC2 1 1 1 uC2 iL us R2C 2 C2 R2C 2 dt di 1 1 L u uC2 C1 L L dt
开始
对于二阶电路，列出的方程已不是单以 uC 或 iL 为变量 的二阶方程，通常是以 uC 和 iL 为变量的两个一阶方程， 即是一阶方程组，称其为状态方程。
X
内容提要
一般二阶电路 高阶动态电路
X
1 一般二阶电路
如果电路中只含有一个电感元件和一个电容元件， 且这两个元件是并联或串联连接，则可利用戴维 南定理或诺顿定理将含源电阻网络等效为电压源 与电阻串联或电流源与电阻并联的形式，然后仍 按照简单RLC电路的分析方法求解。
i (0 )0 u (0 ) 0 ， 则开关 ， 电路的工作原理如下：如果 C L
S闭合后电容被充电，当电容电压达到工具电极和金 属工件间绝缘介质的击穿电压时，即产生电火花，电 容瞬时放电，电容电压很快降到接近于零，此时工具 电极和金属工件间的绝缘介质迅速恢复绝缘性，把放 电电流切断，电源再次对电容充电，重复上述过程， 直至加工结束，开关断开。
1
1μF
-
2
jd 417 j4061
uC (0) 0, iL (0) 0
uC (t ) e [ A1 cos(d t ) A2 sin(d t )] 300 A1 300, A2 300 d
解（续）
i 4 用状态变量和已知量 将方程中的非状态变量i 3 、 uC1 表示： i3 is R1
uC2 us i4 R2
将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理得：
1 1 1 duC1 u i is C1 L dt R1C1 C1 C1 duC2 1 1 1 uC2 iL us R2C 2 C2 R2C 2 dt di 1 1 L u uC2 C1 L L dt
开始
对于二阶电路，列出的方程已不是单以 uC 或 iL 为变量 的二阶方程，通常是以 uC 和 iL 为变量的两个一阶方程， 即是一阶方程组，称其为状态方程。
X
内容提要
一般二阶电路 高阶动态电路
X
1 一般二阶电路
如果电路中只含有一个电感元件和一个电容元件， 且这两个元件是并联或串联连接，则可利用戴维 南定理或诺顿定理将含源电阻网络等效为电压源 与电阻串联或电流源与电阻并联的形式，然后仍 按照简单RLC电路的分析方法求解。
i (0 )0 u (0 ) 0 ， 则开关 ， 电路的工作原理如下：如果 C L
S闭合后电容被充电，当电容电压达到工具电极和金 属工件间绝缘介质的击穿电压时，即产生电火花，电 容瞬时放电，电容电压很快降到接近于零，此时工具 电极和金属工件间的绝缘介质迅速恢复绝缘性，把放 电电流切断，电源再次对电容充电，重复上述过程， 直至加工结束，开关断开。
1
1μF
-
2
jd 417 j4061
uC (0) 0, iL (0) 0
uC (t ) e [ A1 cos(d t ) A2 sin(d t )] 300 A1 300, A2 300 d
电路分析-二阶电路
uC US Ae t sin(t ) (P1、2 j)
由初值
uC(0
),
du(0 dt
)
确定二个常数
uC
US
0
t
返回 上页 下页
例 求电流 i 的零状态响应。
0.5u1
解 首先写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2
2A S
= 2i －2
i1 2W + u1 2W -
第7章 二阶电路
本章重点
7.1 LC电路中的正弦振荡 7.2 RLC串联电路的零输入响应 7.3 RLC串联电路的全响应 7.4 GCL并联电路的分析
首页
§7-1 R、L、C 电路的物理特点
7-2
（1）一阶电路只含一种储能元件，储能或是 增长或是减少，在这过程中耗能元件R将影响过 程的快慢。
含L和C的二阶电路中储能可以交换，在交 换过程中，耗能元件R将影响过程的性质、快慢。
2-i
1/6F 1H
2W
i
由KVL：
2(2
i)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得： d2i 8 di 12i 12
dt 2 dt
二阶非齐次
常微分方程
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d2i 8 di 12i 12 dt 2 dt
解答形式为： i i i 第二步求通解 i
2A + 2W u1 -
0.5u1
50V
-
2A iC
iR (0 )
diR dt
(0
)
1
?
iC
(0
iR
) 1
50 R
《电路基础》第17讲 二阶电路分析 (1)
uL
L
di dt
0
U 0e
t
sin(
t
)
uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。
i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。
U0
uc uL零点： t = , +，2+ ... n+
uC i
0
U0e
t
+
0 -
2- 2
t
uL
0
U0e
t
14
能量转换关系
0 < t<
uC减小，i 增大
L吸，C释
+
R
C -
L
< t < -
uC减小，i 减小
L释，C释
+
R
C -
L
- < t <
|uC |增大，i 减小
L释，C吸
+
R
C -
L
U0 uc uC i
0 -
0
U0
e
t
+ 2- 2
0
U
0
e
t
衰减振荡
t
欠阻尼
15
特例 R = 0 0
s1,2 ±j 0
us (t) (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
(t)
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
1 LC
(t)
C + uL L -
18
d 2uC dt 2
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析PPT课件
U 63.2%U
uC
u
' C
o -36.8%U
u
" C
t
-U
§7-3 一阶电路的零状态响应
uRR iUet
稳态分量(强制分量)：电 路到达稳定状态时的电压， 其变化规律和大小都与电 源电压U有关。 瞬态分量(自由分量)：仅 存在于暂态过程中，其变 化规律与电源电压U无关， 但其大小与U有关。
§7-3 一阶电路的零状态响应
讲课7学时，习题1学时。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的有关概念
⒈ 一阶(动态)电路 仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不
变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。
⒉ 二阶(动态)电路 含两个动态元件的电路，其电路方程是二阶微分
方程。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
⒊ 过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件 §7-2 一阶电路的零输入响应 §7-3 一阶电路的零状态响应 §7-4 一阶电路的全响应 §7-5 二阶电路的零输入响应 §7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 *§7-9 卷积积分 *§7-10 状态方程 *§7-11 动态电路时域分析中的几个问题
dt
t=0
+
所以
eL
L
di dt
很大
+
U-
R uRL
eL可能使开关两触点之
L-
间的空气击穿而造成电弧以
1S
i
延缓电流的中断，开关触点
二阶电路课件PPT
例7-3 电路如图7-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流
的零输入响应。
图7－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R
2
1
3
2L LC
32 52 3 j4
uC
0
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0
其特征根为
s1，2
R 2L
R 2L
2
1 LC
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当
R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1.
R2
L C
时， s1, s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时， s1, s2
为两个相等的实根。临界阻
uC (t) K1est K2test
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 t=0得到
uC (0) K1
求导，再令得到
duC (t) dt
t 0
K1s K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程，可以得到
K1 uC (0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果，代入得到电容电压的零输入
3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出 现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的 正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周 期越小，振荡越快。
图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅 的变化范围。
(大学物理电路分析基础)第7章二阶电路分析
作用
阻尼比决定了二阶电路的响应 速度和振荡幅度，对电路的稳 定性有很大影响。
分类
根据阻尼比的大小，可以分为 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三
种情况。
自然频率
定义
自然频率是二阶电路在没有外部激励时自由振荡的频率，表示为ωn， 它等于电路的总电感与总质量的比值。
计算公式
自然频率的计算公式为ωn = sqrt(K/m)，其中K是弹簧常数，m是电 路的总质量。
赫尔维茨判据
赫尔维茨判据也是一种基于系统 极点的判据，通过计算系统函数 的零点和极点来判断系统的稳定 性。
乃奎斯特判据
乃奎斯特判据是一种基于频率域 分析的判据，通过分析系统的频 率响应来判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
时域分析法
时域分析法是一种直接分析法，通过求解电路的微分方程来分析系统的动态响应和稳定 性。
大学物理电路分析基 础 第7章 二阶电路分 析
目 录
• 二阶电路的概述 • 二阶电路的响应分析 • 二阶电路的稳定性分析 • 二阶电路的阻尼比和自然频率 • 二阶电路的实例分析
01
二阶电路的概述
二阶电路的定义
二阶电路
由两个或更多电容元件或电感元 件组成的电路，其中每个元件有 两个端子。
定义中的关键点
频域分析法
频域分析法是一种间接分析法，通过将电路方程转化为频率域下的传递函数来分析系统 的稳定性。
04
二阶电路的阻尼比和自 然频率
阻尼比
定义
阻尼比是衡量二阶电路中阻尼作 用的参数，表示为ζ，它等于阻 尼电阻与电路总电阻的比值。
计算公式
阻尼比的计算公式为ζ = R/2L， 其中R是阻尼电阻，L是电路的总 电感。
二阶电路必须包含两个电容元件 或电感元件，且每个元件有两个 端子。
一阶电路与二阶电路ppt
uL (t)
L diL (t) dt
Rt
RI0e L
RiL (t)
t0
10
3.解的物理含义：iL及u的波形
从图可见，电感电流从初始值I0开始按指数规律衰减到0 电感电压在换路瞬间有1个跳变，从uL(0-)=0跳变到 uL(0+)=-I0R,然后按指数规律衰减到0。
I0
图3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
包权
人书友圈7.三端同步
4.时间常数：
7
换路之后，电路中各电压、电流量都是从各自的初始值开 始按照指数规律衰减到0，那么衰减速率与什么有关？
a. 电容C越大，电容中存储的电荷越多，放电的时间越长
b. 电阻R越大，放电电流越小，放电时间越长。
所以各个电量衰减速率与R和C的乘积即 RC 有关。 越小，衰减速率越快，反之，则慢。U0只是影响瞬时值，
0.5U
I1=I+0.5u
由KVL得：U=3*I+[0.5u+I] *1
13
R=3
I1 R=1
L=4H
U(t)
i(t)
→0.5U=4I →Req=U/I=8
2.求 L 4 0.5
R8
3.求i(t):
t
i(t) i(0 )e
t
i(0 )e
2e2t
4.求u(t) u(t) L di(t) 16e2t
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图9－12
运行符号网络分析程序SNAP，读入图9－12(b)所示 电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
RUs-rUs U5 (S)= --------------------------------
duC dt
(0
)
2K1
5K2
27
4
联立求解以上两个代数方程可以得到
44 K1 3
1 K2 3
最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式
uC (t )
44 3
e2t
1 3
e5t
9e3t
V
(t 0)
从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程
变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程
dt (Ls 2R)iL RCsuC uS (r R)iL (2RCs rCs 1)uC 0
用克莱姆法则求得
uC
( Ls
(r 2R)(2RCs
R)uS rCs 1)
(r
R)RCs
(2R
r ) LCs2
(R (L
r )uS 3R2C
2uC uS 将变为一个代数方程了。
由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、 r…)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对 电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。
用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困 难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将 图9－11各结点编号，如图9－12(a)所示。
为齐次微分方程，响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输 入响应的性质。
假设改变电路参数，令r=2R时，二阶项的系数为零， 以上方程变为
(L
R2C )
duC dt
2RuC
RuS
此式是一阶微分方程，说明图9－11电路此时是一个一 阶电路。
假设人们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足 条件L+R2C=0，则一阶项系数也变为零，此时微分方程
和求解微分方程所需的初始条件。
建立二阶微分方程的主要步骤如下：
1. 以uC(t)和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。 2. 利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。 3. 联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中x 表示电容电压uC(t)或电感电流iL(t)，P(s),Q(s)是s的多项式。 4. 将x=P(s)/Q(s)改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出 二阶微分方程。
例9-10 电路如图9-11所示，以uC(t)为变量的列出电路微分 方程。
图9-11
解：以iL(t)和uC(t)为变量列出两个网孔的KVL方程
L
diL dt
2RiL
RC
duC dt
uS
(r
R)iL
(2R
r )C
duC dt
uC
0
引用微分算子 s d 将以上微分方程变换成代数方程
7
duC dt
10uC
duS dt
6uS
从特征方程
（s2 7s 10) 0
求得特征根，即固有频率为
s1 2
s2 5
uC(t)的固有响应为
uCh(t )
K1e2t
K
e5t
2
uC(t)的强制响应为
uCp(t ) Be3t
代入微分方程中得到
9Be3t 21Be3t 10Be3t 18e3t 36e3t
rRC ) s
2R
反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方
程
(2R
r)LC
d2uC dt 2
(L
3R2C
rRC )
duC dt
2RuC
(R
r )uS
(2R
r)LC
d2uC dt 2
(L
3R2C
rRC )
duC dt
2RuC
(R
r )uS
由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当r =R时，变
4iL uS 6)iL 0
用克莱姆法则求得
uC
(s
(s 6)uS 1)(s 6)
4
(s 6)uS s2 7s 10
将上式改写为
（s2 7s 10)uC (s 6)uS
最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶
微分方程
d2uC dt 2
4(
1 4
duC dt
iL )
uC
uS
uC
6iL
1 diL dt
0
从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以
电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是 引用微分算子 s d 将以上微分方程变换成代数方程
dt
(suC1)u(Cs
求得B=-9，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应 为
uC(t) uCh(t) uCp(t) K1e2t K2e5t 9e3t
现在利用初始条件确定常数K1 和K2 。将uC(0+)=6V代 入上式得到
uC(0 ) K1 K2 9 6
另外一个初始条件
duC dt
(0 )
可以从代数方程中求得
suC uS 4iL uC
反变换得到
duC dt
(0
)
与uC(0+),
iL(0+),
uS(0+)的关系式
duC dt
(0
)
uS
(0
)
4iL
(0
)
uC(ຫໍສະໝຸດ )6
4
6
4
得到
duC dt
(0
)
2K1
5K
2
27
4
uC(0 ) K1 K2 9 6
图9-10
解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 6
uC(0 ) uC(0 ) 4 6 10V 6V 10V
iL (0 ) iL (0 ) (4 6) 1A 由此得到t>0的电路如图(b)所示。
以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为变量，列出两个网 孔的KVL方程
§9－4 一般二阶电路分析
除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很 多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。 本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如 何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始 条件。现在举例加以说明。
例9-9 图9-10(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已 知 uS(t)=6e-3tV ， t=0 闭 合 开 关 。 试 求 t0 时 电 容 电 压 uC(t)的全响应。
运行符号网络分析程序SNAP，读入图9－12(b)所示 电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
RUs-rUs U5 (S)= --------------------------------
duC dt
(0
)
2K1
5K2
27
4
联立求解以上两个代数方程可以得到
44 K1 3
1 K2 3
最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式
uC (t )
44 3
e2t
1 3
e5t
9e3t
V
(t 0)
从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程
变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程
dt (Ls 2R)iL RCsuC uS (r R)iL (2RCs rCs 1)uC 0
用克莱姆法则求得
uC
( Ls
(r 2R)(2RCs
R)uS rCs 1)
(r
R)RCs
(2R
r ) LCs2
(R (L
r )uS 3R2C
2uC uS 将变为一个代数方程了。
由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、 r…)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对 电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。
用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困 难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将 图9－11各结点编号，如图9－12(a)所示。
为齐次微分方程，响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输 入响应的性质。
假设改变电路参数，令r=2R时，二阶项的系数为零， 以上方程变为
(L
R2C )
duC dt
2RuC
RuS
此式是一阶微分方程，说明图9－11电路此时是一个一 阶电路。
假设人们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足 条件L+R2C=0，则一阶项系数也变为零，此时微分方程
和求解微分方程所需的初始条件。
建立二阶微分方程的主要步骤如下：
1. 以uC(t)和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。 2. 利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。 3. 联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中x 表示电容电压uC(t)或电感电流iL(t)，P(s),Q(s)是s的多项式。 4. 将x=P(s)/Q(s)改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出 二阶微分方程。
例9-10 电路如图9-11所示，以uC(t)为变量的列出电路微分 方程。
图9-11
解：以iL(t)和uC(t)为变量列出两个网孔的KVL方程
L
diL dt
2RiL
RC
duC dt
uS
(r
R)iL
(2R
r )C
duC dt
uC
0
引用微分算子 s d 将以上微分方程变换成代数方程
7
duC dt
10uC
duS dt
6uS
从特征方程
（s2 7s 10) 0
求得特征根，即固有频率为
s1 2
s2 5
uC(t)的固有响应为
uCh(t )
K1e2t
K
e5t
2
uC(t)的强制响应为
uCp(t ) Be3t
代入微分方程中得到
9Be3t 21Be3t 10Be3t 18e3t 36e3t
rRC ) s
2R
反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方
程
(2R
r)LC
d2uC dt 2
(L
3R2C
rRC )
duC dt
2RuC
(R
r )uS
(2R
r)LC
d2uC dt 2
(L
3R2C
rRC )
duC dt
2RuC
(R
r )uS
由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当r =R时，变
4iL uS 6)iL 0
用克莱姆法则求得
uC
(s
(s 6)uS 1)(s 6)
4
(s 6)uS s2 7s 10
将上式改写为
（s2 7s 10)uC (s 6)uS
最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶
微分方程
d2uC dt 2
4(
1 4
duC dt
iL )
uC
uS
uC
6iL
1 diL dt
0
从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以
电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是 引用微分算子 s d 将以上微分方程变换成代数方程
dt
(suC1)u(Cs
求得B=-9，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应 为
uC(t) uCh(t) uCp(t) K1e2t K2e5t 9e3t
现在利用初始条件确定常数K1 和K2 。将uC(0+)=6V代 入上式得到
uC(0 ) K1 K2 9 6
另外一个初始条件
duC dt
(0 )
可以从代数方程中求得
suC uS 4iL uC
反变换得到
duC dt
(0
)
与uC(0+),
iL(0+),
uS(0+)的关系式
duC dt
(0
)
uS
(0
)
4iL
(0
)
uC(ຫໍສະໝຸດ )6
4
6
4
得到
duC dt
(0
)
2K1
5K
2
27
4
uC(0 ) K1 K2 9 6
图9-10
解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 6
uC(0 ) uC(0 ) 4 6 10V 6V 10V
iL (0 ) iL (0 ) (4 6) 1A 由此得到t>0的电路如图(b)所示。
以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为变量，列出两个网 孔的KVL方程
§9－4 一般二阶电路分析
除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很 多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。 本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如 何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始 条件。现在举例加以说明。
例9-9 图9-10(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已 知 uS(t)=6e-3tV ， t=0 闭 合 开 关 。 试 求 t0 时 电 容 电 压 uC(t)的全响应。