振动波动部分例题及作业
振动波动作业习题及解答
Ch.10.振动、Ch.11波动作业习题及解答AωOXt =0图2A图1ωt =0OX=010-1. 一小球与轻弹簧组成的谐振动系统,振动规律为0.05cos(8π3),x =t +π(t 的单位为秒, x 的单位为米)。
求: (1) 振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值； (2) t =1s 、t =2s 、t =10s 时刻的相位； (3) 分别画出位移、速度和加速度与时间的关系曲线。
解(1): 将小球的运动方程0.05cos(8π3),x =t +π与谐振动的表达式0cos()x A t ωϕ=+比较知，系统的角频率、周期、振幅和初相分别为：108π(s );=2(4)s ;0.05(m );3;T A πωπωπϕ-====系统振动速度、加速度的表式分别为02220sin(4sin(8π3)(m s);cos( 3.2cos(8π3)(m s )v =dx /dt =-A t t +πa =dv /dt =-A t t +πωωϕπωωϕπ+)=-0.+)=-速度和加速度的最大值为：12220.4π 1.26(m s );=3.2π31.6(m s )m m v A a A ωω--==≈=≈ 解(2): 由相位表达式0()8/3t t t ϕωϕππ=+=+知， t =1s 、t =2s 、t =10s 时刻振子的相位分别为：2549241333333(1s )8π(2s )16(10s )80t +t t +ππππππϕϕπϕπ=====+====；； 解(3): x (t ), v (t ), a (t )曲线如下图所示。
10-2.（选作题）某个与轻弹簧相连的小球，沿X 轴作振幅为A 的简谐振动，周期为T 。
其振动表达式用余旋函数表示。
若t =0时小球的运动状态分别为：(1) 0x A =-； (2) 过平衡位置向X正向运动； (3) 过x =0.5A 向X 负向运动； (4) 过x =X 正向运动。
振动和波动习题课(改)
x)
yBP
Acos[ t
2
(30 x)]
l
两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干静止的点满足：
(t 2 x) [t 2 (30 x)]
l
l
(2k 1)
k 0,1,2,...
化简后 30 2x kl
30 2x kl O x
X
因为： l u 4m
x 15 k 2
1
3
x 3 102 sin(4t 1 ) （SI）
2
6
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动
方程.
x1
5
102
cos(4t
1 3
)
x2
3
102
sin(4t
1 6
)
3
102
cos(4t
1 6
1 2
)
3 102 cos(4t 2 ) 3
x x1 x2
1
2 102 cos(4t 1 )
7.一简谐振动曲线如图所示，试由图确
定在t=2s时刻质点的位移为
，速
度为
。
t=2s, x=0
Vm
A
2 A
T
3
102
8.已知两个简谐振动 曲线如图所示，
X1的位相比X2的位相
A) 落后 1
2
C) 落后
B) 超前 1 √
2
D) 超前
9.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的 周期。
解： =/3+ /2=5/6 t=5= 5/6 = /6
2
之间)
（1）2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 振动加强; 此时有= 1= 2
A1
大学物理振动波动例题习题
振动波动一、例题（一）振动1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。
2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。
当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。
求: (1) 振动表达式；(2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为：x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+求：(1)合振动的初相及振幅.(2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +ϕ 3 ), 则当ϕ 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又ϕ 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小?（二）波动1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。
在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求：(1)波动方程(2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。
2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。
已知原点的振动曲线如图所示。
求：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。
3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。
S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。
求：两波在P 点引起的合振动振幅。
4.沿X 轴传播的平面简谐波方程为：310cos[200(t )]200x y π-=- ，隔开两种媒质的反射界面A 与坐标原点O 相距2.25m ，反射波振幅无变化，反射处为固定端，求反射波的方程。
波动与振动-答案和解析
1. 一简谐振动的表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时的初位移为, 初速度为s -1，则振幅A = ，初相位 =解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)309.0(04.0)(222020=-+=-+=ωv x A 初相： 1.1439.36)04.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ因为x 0 > 0, 所以 9.36-=ϕ2. 两个弹簧振子的的周期都是, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为 。
解：从旋转矢量图可见，t = s 时，1A 与2A反相，即相位差为。
3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）。
当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为 解：谐振动总能量221kA E E E p k =+=，当A x 21=时4)2(212122EA k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。
物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=，振动周期gl km T ∆==ππ224. 上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。
解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为1A 1A 2Ax=t .0=t 5.0=t(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 点。
振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 点。
振动波动例题
解：
t =0
x =0 y =0
y0= 0.03 cos(2 ×2.5 t π ) π 2
v0
π j= 2
π 2 x π y = 0.03 cos 2 ×2.5 t 2 π 0.24 π 50 x π 0.03 cos 5 t π =
2 6 0.03 cos 5 (t 10 x ) π π = 2 6
例1. 有一个和轻弹簧相联的小球，沿x 轴作振幅为A的简谐振动，其表达式用余弦 函数表示。若t =0 时，球的运动状态为: (1)x0=-A; (2)过平衡位置向x 正方向运动; (3)过x=A/2处向 x 负方向运动; A (4)过 处向 x 正方向运动; 2 试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写 出振动表式。
由波形图得：t =1/3 s时
y/cm
10
x0
v< 0 y0 =-0.05
o
-5
20
x/cm
1 0.05 0.1cos( j ) 3
1 2 j 3 3
j
3
波动方程为：
πx + π y =10cos π t 20 3
O点(x =0)的振动方程为：
cm (1)
π π 解： A =0.24m ω = 2 = 2 = π =1.57s-1 T 2 4 x 0 = A =0.24m φ =0 t =0 v0 = 0
振动方程为： x = 0.24 cosπ t 2 (1) t =0.5s cos (π × 0.5 ) x = 0.24 2 = 0.24 cos 0.25π
= 0.24 ×
2 =0.17m 2
(2)
大学物理习题详解—振动与波动部分
第十二章 机械振动简谐振动12．1 一倔强系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为1T ，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m 的物体,则系统振动周期2T 等于 （A ）21T ；（B ）1T ；（C ）1T /2；（D ）1T /2 ；（E ）1T /4． ［ ］ 答：（C ）分析：一根弹簧，弹性系数为k ，把它截短以后，k 不是减小了，而是增大了。
弹簧的弹力大小取决于弹簧的形变，在伸长相同的长度x 的情况下，弹簧越短，其变形越大，弹力f 也越大。
而胡克定律为：f kx =，即 fk x=，因此弹簧变短后弹性系数k 增大。
12T = 22k k =，下端挂一质量为12m 的物体，则系统振动周期2T 为： 2T 1112222T ⎛=== ⎝ 12．2 图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v 和加速度a ，下列说法中那一个是正确的？（A ）曲线3、1、2分别表示x 、v 、a 曲线； （B ）曲线2、1、3分别表示x 、v 、a 曲线； （C ）曲线1、3、2分别表示x 、v 、a 曲线； （D ）曲线2、3、1分别表示x 、v 、a 曲线； （E ）曲线1、2、3分别表示x 、v 、a 曲线．第12. 3题图v (a)(b)t答：（E ）分析：位移x 与加速度a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v 曲线；另外，速度比位移的位相超前2π，加速度比速度的位相超前2π，从图上看曲线3比2超前了2π，3是加速度曲线；曲线2比1超前了2π，1是位移曲线12．3 在t =0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1） ； （2） ； （3） ． 答：（1）X =A cos (t T π2－2π) （2）X =A cos (t T π2+2π) （3）X =A cos (t Tπ2+π)． 分析：关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：ωx xx（a ）φ= -π/2ω ω（b ）φ= π/2（c ）φ= π12．4 设振动周期为T ，则a 和b 处两振动的时间差t ∆=____________。
振动波动检测题解答
A, x k;
1 C , x (2k 1) ; 2
1 B, x k ; 2
D, x (2k 1) 4.
振动和波动检测题部分解答
解:
y y1 y2 A cos
2x 0
2x
cos 2t
cos
时
2x
(2k 1)
2
x (2k 1)
由(1)、(2)两式可得
m2 g k x
振动和波动检测题部分解答
m1x T 2 m2 g
应该选 B
振动和波动检测题部分解答
2 一简谐振动曲线如图所示,则振动周期为[ B ]
x(cm)
A,2.62s; C,2.20s;
B,2.40s; D,2.00s.
4 2
t (s )
1
o
振动和波动检测题部分解答
解:
2 振动方程为 x 4 10 cos( ) T
2
当t=0时,
x0 0.02
2 v0 A sin 0 T
3
2 x 4 cos( ) T 3
振动和波动检测题部分解答
t 1时，x 0
2 0 0.04 cos( ) T 3
y
B
O
x
L
振动和波动检测题部分解答
解:
t x 设 y反 A cos[ 2 ( ) ' ] T t L y入B A cos[ 2 ( ) ] T
y 反B
t L A cos[ 2 ( ) ] T
2L
反OB '
振动波动作业解
x A/2
2
5 3 2 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 T t 6 5 12s 5
2
2 t t T
物理系：史彭
史彭振动波动作业解
4．一质点作简谐振动，已知振动频率为 f，则振动动能的 变化频率是： [ B ]
1 1 2 E K m m[A sin( t )] 2 2 2
3 1 2 2 sin t cos t ] 10 2 [sin sin t cos cos t ] 10 2 3 3 2 2 2 cos(t ) 10 2 3 x / 2 2 y cos(t ) 10 2 u 3 2 2x 2 y cos(t ) 10 u 3
x’ x
1 x y Acos[ (t ) ] u
物理系：史彭
史彭振动波动作业解
2.一平面简谐波沿 OX 轴传播，波函数为 y A cos[2 (t x / ) ] ， 则在X1=L处，介质质点振动的初相位是 ；与X1处质点振动 状态相同的其它质点的位置是 ；与X1处质点振动速度大小 相同，但方向相反的其它各质点的位置是 。 各点初相位 2x / y X1=L
3 sin (t ) 4
2
1 2 1 E kA m 2 A2 2 2
EK 3 E 4
物理系：史彭
史彭振动波动作业解
二、填空题 1．一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图， 它的周期 ；用余弦函数描述时初相位 。
2
x
7 t t 12
物理系：史彭
史彭振动波动作业解
2．一质点作简谐振动，周期为 T 。质点由平衡位置向 X 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路 所需要的时间为 [ B ]
振动和波动计算题及答案
(2)x/8处振动方程为
1
yAcos[t(2/8)]Acos(t/4)1分
2
x3/8的振动方程为
3/81
yAcos[t2]Acos(t/4)1分
2
1
(3)dy/dtAsin(t2x/)
2
t=0，x/8处质点振动速度
1
dy/dtAsin[(2/8)]2A/21分
2
t=0，x3/8处质点振动速度
1
dy/dtAsin[(23/8)]2A/21分
解：由题意x1=4×10cos(2t)(SI)
4
y
-2
x2=3×10
cos(2t)(SI)
2
u
按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为
Ot=t′x
2324cos(/2/4)10
22
A4m
-2
=6.48×10
m2分
4sin(/4)3sin(/2)
arctg=1.12 rad2分
4cos(/4)3cos(/2)
(2)t= 3 s时的波形曲线方程
2x
y210cos(/10)，(SI)2分
波形曲线见图2分
y(m)
y(m)
-2
2×10
u
O510152025
x(m)
O
-2
-2×10
1
234
t(s)
(b)
(a)
11.已知一平面简谐波的表达式为y0.25cos(125t0.37x)(SI)
(1)分别求x1= 10m，x2= 25 m两点处质点的振动方程；
(1)物体的振动方程；
(2)物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；
(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间．
大学物理学振动与波动习题答案
大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章振动P174．4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T= π．当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ= ±π/3．物体的速度为v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sinφ，由于v > 0，所以sinφ < 0，因此φ = -π/3．简谐振动的表达式为x= 0.12cos(πt –π/3)．（2）当t = T/4时物体的位置为x= 0.12cos(π/2–π/3)= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．速度为v = -πA sin(π/2–π/3)= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．加速度为a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5，因此πt1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v< 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．当物体从x= -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2，可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），初位相的取值由速度决定．由于v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sinφ，当v > 0时，sinφ < 0，因此φ = -arccos(x0/A)；当v < 0时，sinφ > 0，因此φ = arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ= π．4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cosΦ，其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以cosΦa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cosΦc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为Φd = 2π/3，Φe = π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为t a = T/6．到达b点的时刻为t b = 2t a = T/3．到达c点的时刻为t c = t a + T/4 = 5T/12．到达d点的时刻为t d = t c + T/12 = T/2．到达e点的时刻为t e = t a + T/2 = 2T/3．（2）设振动表达式为x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，因此φ =±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3，因此振动表达式为cos(2)3tx ATπ=π-．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于x f= 0，根据运动方程，可得cos(2)03tTππ-=图6.2所以232f t Tπππ-=±． 显然f 点的速度大于零，所以取负值，解得 t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为t a = T /4 + t f = T /6，其位相为203a a t T Φπ=π-=． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k= 8×103N·m -1，木块的质量为4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅； （2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv = (m + M )v 0．解得子弹射入后的速度为v 0 = mv/(m + M ) = 2(m·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m + M ) v 02/2 = kA 2/2，所以振幅为A v =-2(m)． （2）振动的圆频率为ω=s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)．4．4 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为v =物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为0m v v m M ==+这也是它们振动的初速度． 设振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中圆频率为ω=物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则x 1 = Mg/k ．物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则x 2 = (M + m )g/k ．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ． 因此振幅为图4.3图4.4A===初位相为arctanvxϕω-==4．5重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k=k1k2/(k1+ k2)，因此固有频率为2πων===．（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为2πων===4．6 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为I c = mR2．根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR2 = 2mR2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M = -mgR sinθ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得Iβ = M，即22dsin0dI mgRtθθ+=，由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程22ddmgRt Iθθ+=．摆动的圆频率为ω=周期为2πTω=22==方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为E p = mg(R - R cosθ)，绕O点的转动动能为212kE I=ω，总机械能为21(cos)2E I mg R R=+-ωθ．环在转动时机械能守恒，即E为常量，将上式对时间求导，利用ω= dθ/d t，β=dω/d t，得0 = Iωβ + mgR(sinθ)ω，由于ω ≠ 0，当θ很小有sinθ≈θ，可得振动的微分方程22ddmgRt Iθθ+=，从而可求角频率和周期．[注意]角速度和圆频率使用同一字母(b)图4.5ω，不要将两者混淆．4.7 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。
振动波动部分习题作业
π(t
x) 0.08
π 2
]
m
。
ym u
0.2 a
b 0.4
O 0.2
xm
4.已知一简谐振动
x1
4 cos(10t
3
5
)，另有一个同方向简谐振
动 x2 6 cos(10t )，若令两振动合成的振幅最大，则 的取值应
3π
为5。
5.相干波叠加区域会出现有的地方振动始终 减弱 的现象。
加强 ，有的地方振动始终
(3) 该波的波长。
书上P214页： 10-18 设S1与S2为两个相干波源，相距1/4波长，S1比S2 的位相超前π/2。若两波在在S1、S2连线方向上的强度相 同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧和S2外侧各 点的合成波的强度如何？
o S•1
S•2
r1 r2
y(cm)Ⅰ Ⅱ
1 A
1 2 3 4 5 6 x(cm)
初始条件： 0 Acos
π
2
u Asin 0 sin 0 π
2
y0
0.01cos(πt
π )m 2
π
原点的振动方程：
y0
0.01cos(πt
)m 2
y(cm)Ⅰ Ⅱ
1 A
1 2 3 4 5 6 x(cm)
波动式： y 0.01cos[π(t x ) π ]m 0.02 2
5.一平面简谐波以速度 u 0.8m/s沿x轴负方向传播
。已知原点的振动曲线如图所示。则该波的初相位
为（ C ）
（A） 2π 3
π （B） 3
（C） π 3
（D） π 6
6.关于右图说法正确的是（ B）
（A） 此图中可看出周期
振动波动部分大练习
振动波动部分大练习一、填空题1. 一圆锥摆摆长为l 、摆锤质量为m ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹角θ，则(1) 摆线的张力T ＝_____________________；(2) 摆锤的速率v ＝_____________________．2. 三个简谐振动方程分别为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πω21cos 1t A x 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πω67cos 2t A x 和⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πω611cos 3t A x ，画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线．3. 一倔强系数k =196牛顿/米的轻弹簧，下挂一质量为m = 1 kg 的物体，并作谐振动，则此物体从2A +位置运动到2A -位置（A 为振幅）的最短时间为_________________．4. 一声波在空气中的波长是0.25 m ，传播速度是340 m /s ，当它进入另一介质时，波长变成了0.37 m ，它在该介质中传播速度为______________．5. 如图所示为一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图，该简谐波的表达式是________________________________________；P 处质点的振动方程是____________________________． （该波的振幅A 、波速u 与波长λ 为已知量）6. 在简谐波的一条射线上，相距0.2 m 两点的振动相位差为 π/6．又知振动周期为0.4 s ，则波长为_________________，波速为________________． 7. 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律如图所示，则其初位相为__________．8. 两个弹簧振子的周期都是0.4 s ， 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为___________．9. 一简谐振动曲线如图所示，其振动周期T 为_______________，振动表达式为__________________．10. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期T = 4 s 。
振动与波动常见题型
2 400 , 200 Hz
T 1
1 200
s
uT 20
1 200
0 .1m
例6：原点O 振动方程为 y 6 10
2
sin 800 t
波速 u 200 m/s 方向向右，求：①波函数； ②波长、频率；③ x 5 m 处质点振动与原点的相位差。
5 2
o
2 y 0 . 04 cos t 2 5
②.波函数
y 0 . 04 m a o
b
u
P
t
x 2 y 0 . 04 cos t 5 0 . 08 2
0 .2 m
③. P 点的振动方程
x P 0 .4 m
由旋转矢量法可得：
x 0 . 12 cos( t
T
3
3
o
A
x
)( SI )
3
（2）由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置 5 时，振幅矢量转过的角度为：
t
0 . 83 ( s )
2
6
例2 一质点作简谐振动，周期为T。求：当它由平衡位 置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位 移处这段路程所需要的时间。 解：由旋转矢量图可知，
A 0 . 05 m
，求：
（1）标出O，A，B，C，D五点的运动方向； （2）坐标原点的振动方程； （3）波动表达式；
，
解： ①该列波沿x 轴正向传播，可知各点运动方向：
y(m)
0.05
u 10 10
2
m /s
振动、波动练习题及答案
振动、波动练习题一．选择题1．一质点在X 轴上作简谐振动，振幅A=4cm。
周期T=2s。
其平衡位置取作坐标原点。
若t=0 时刻质点第一次通过x= -2cm 处，且向X 轴负方向运动，则质点第二次通过x= -2cm 处的时刻为（）。
A 1sB 2sC 4sD 2s332．一圆频率为ω的简谐波沿X 轴的正方向传播，t=0 时刻的波形如图所示，则t=0 的波形t=0 时刻，X 轴上各点的振动速度υ与X轴上坐标的关系图应（）3．图示一简谐波在 t=0 时刻的波形图，波速υ =200m/s ，则图中O 点的振动加速度的表达式为（）2A a 0.4 2 cos( t ) 2 23B a 0.4 2 cos( t )22C a 0.4 2cos(2 t ) 4．频率为 100Hz ，传播速度为 300m/s 的平面简谐波，波线上两 点振动的相位差为 3 ，则这两点相距（ ）A 2mB 2.19mC 0.5mD 28.6m5．一平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从平衡位置运动到最大位置处的过程中， （ ）。
A 它的动能转换成势能B它的势能转换成动C 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大Da20.4 2 cos(2 t2)υ (m/s)Bυ (m/s)DX(m)D 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小6．在下面几种说法中，正确的说法是：（）。
A 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的B 波源振动的速度与波速相同C 在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源的位相滞后D 在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源的位相超前7．一质点作简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（）。
A TBTCTDT4 12 6 88．在波长为λ的驻波中两个相邻波节之间的距离为（）。
A λB 3 λ/4C λ/2D λ /49．在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比I1I 4是，则两列波的振幅之比是：（）A A1 4 BA1 2 CA1 16 DA11A2 A2 A2 A2 410．有二个弹簧振子系统，都在作振幅相同的简谐振动，二个轻质弹簧的劲度系数K 相同，但振子的质量不同。
大学物理--振动波动试题
振动、波动部分1．把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) ． (B) /2． (C) 0 ． (D) ．［ ］2．一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图所示。
则振动系统的频率为(A) m k 32π1． (B) m k2π1． (C) m k 32π1． (D) m k62π1． ［ ］3．一质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，当时间t = T/2（T 为周期）时，质点的速度为(A) φωsin A -． (B) φωsin A ．(C) φωcos A -． (D) φωcos A ． ［ ］ 4．一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A) /6． (B) 5 /6． (C) -5 /6． (D) - /6．(E) -2 /3．［ ］5．一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E2变为(A) E1/4． (B) E1/2．(C) 2E1． (D) 4 E1 ． ［ ］6．一质点作简谐振动，其振动方程为)cos(φω+=t A x ．在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式：(1))(sin 21222φωω+t A m ． (2) )(cos 21222φωω+t A m ．(3))sin(212φω+t kA ． (4) )(cos 2122φω+t kA ．(5))(sin 22222φω+πt m A Tmvv21其中m 是质点的质量，k 是弹簧的劲度系数，T 是振动的周期．这些表达式中 (A) (1)，(4)是对的． (B) (2)，(4)是对的． (C) (1)，(5)是对的． (D) (3)，(5)是对的． (E) (2),(5)是对的 .［ ］7．机械波的表达式为y = 0.03cos6 (t + 0.01x ) (SI) ，则(A) 其振幅为3 m ． (B) 其周期为s 31．(C) 其波速为10 m/s ． (D) 波沿x 轴正向传播． ［ ］8．一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O 的振动方程为 (A) ]2)(cos[π+'-=t t b u a y ． (B) ]2)(2cos[π-'-π=t t b u a y ． (C)]2)(cos[π+'+π=t t b u a y ． (D)]2)(cos[ππ-'-=t t b u a y ． ［ ］9．如图所示，两列波长为 的相干波在P 点相遇．波在S1点振动的初相是 1，S1到P 点的距离是r1；波在S2点的初相是 2，S2到P 点的距离是r2，以k 代表零或正、负整数，则P 点是干涉极大的条件为：(A) λk rr =-12． (B) π=-k 212φφ．(C) π=-π+-k r r 2/)(21212λφφ． （D ） π=-π+-k r r2/)(22112λφφ． ［ ］10．两相干波源S1和S2相距 /4，（ 为波长），S1的相位比S2的相位超前π21，在S1，S2的连线上，S1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的相位差是：(A) 0． (B) π21． (C) ． (D) π23． ［ ］11．一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时，(1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________；(3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为______．SS 1S 2Pλ/412．一物体作简谐振动，其振动方程为)2135cos(04.0π-π=t x (SI) ．(1) 此简谐振动的周期T =__________________；当t = 0.6 s 时，物体的速度v =__________________．13．一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 0.25 Hz ．t = 0时x = -0.37 cm 而速度等于零，则振幅是_____________________，振动的数值表达式为______________________________．14．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm ，则该简谐振动的初相为____________．振动方程为______________________________．15．一单摆的悬线长l = 1.5 m ，在顶端固定点的竖直下方0.45 m 处有一小钉，如图示．设摆动很小，则单摆的左右 两方振幅之比A1/A2的近似值为_______________．16．图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为=+=21x x x __________(SI)17．已知波源的振动周期为4.00×10-2 s ，波的传播速度为300 m/s ，波沿x 轴正方向传播，则位于x1 = 10.0 m 和x2 = 16.0 m 的两质点振动相位差为__________．18．一平面简谐波沿x 轴负方向传播．已知 x = -1 m 处质点的振动方程为)c o s (φω+=t A y ，若波速为u ，则此波的表达式为__________．19．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波的强度之比I1 / I2 = 16，则这两列波的振幅之比是A1 / A2 = ____________________．20．两相干波源S1和S2的振动方程分别是)cos(1φω+=t A y 和)cos(2φω+=t A y .S1距P 点3个波长，S2距P 点 4.5个波长．设波传播过程中振幅不变，则两波同时传到P 点时的合振幅是________________．t0.45 m-21．一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m-1． (1) 求振动的周期T 和角频率 ．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v0及初相 ． (3) 写出振动的数值表达式．22．一物体作简谐振动，其速度最大值vm = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ； (2) 加速度的最大值am ；(3) 振动方程的数值式．23． 质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能．24．一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．25．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．-26．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为x1 =5×10-2cos(4t + /3) (SI) , x2 =3×10-2sin(4t - /6）(SI)画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．27．一简谐波沿x轴负方向传播，波速为1 m/s，在x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t = 0时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达式．28．已知一平面简谐波的表达式为)37.0125cos(25.0xty-=(SI)(1) 分别求x1 = 10 m，x2 = 25 m两点处质点的振动方程；(2) 求x1，x2两点间的振动相位差；(3) 求x1点在t = 4 s时的振动位移．29．一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和 ，波速为u，设t = 0时的波形曲线如图所示．(1) 写出此波的表达式．(2) 求距O点分别为 / 8和3 / 8 两处质点的振动方程．(3) 求距O点分别为 / 8和3 / 8 两处质点在t = 0时的振动速度．x uOy30．如图所示，S1，S2为两平面简谐波相干波源．S2的相位比S1的相位超前 /4 ，波长 = 8.00 m，r1 = 12.0 m，r2 = 14.0 m，S1在P点引起的振动振幅为0.30 m，S2在P点引起的振动振幅为0.20 m，求P点的合振幅．31．设入射波的表达式为)(2cos1TtxAy+π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置．P SS2。
振动与波专题(2024高考真题及解析)
振动与波专题1.[2024·安徽卷] 某仪器发射甲、乙两列横波,在同一均匀介质中相向传播,波速v大小相等.某时刻的波形图如图所示,则这两列横波()A.在x=9.0 m处开始相遇B.在x=10.0 m处开始相遇C.波峰在x=10.5 m处相遇D.波峰在x=11.5 m处相遇1.C[解析] 由题意可知两列波的波速相同,所以相同时间内传播的距离相同,故两列横波在x=11.0 m处开始相遇,故A、B错误;甲波峰的坐标为x1=5 m,乙波峰的坐标为x2=16 m,m=10.5 m处相遇,故C正确,D错误.由于两列波的波速相同,所以波峰在x'=5 m+16-522.[2024·北京卷] 图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置.手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示.下列说法正确的是()A.t=0时,弹簧弹力为0B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大D.a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s22.D[解析] 由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg,A错误;由题图乙知,t=0.2 s时,手机的加速度为正,则手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度=2.5π rad/s,则a随t变化的关系减小,动能减小,C错误;由题图乙知T=0.8 s,则圆频率ω=2πT式为a=4sin (2.5πt) m/s2,D正确.3.[2024·福建卷] 某简谐运动的y -t 图像如图所示,则以下说法正确的是( )A .振幅为2 cmB .频率为2.5 HzC .0.1 s 时速度为0D .0.2 s 时加速度方向竖直向下3.B [解析] 根据图像可知,振幅为1 cm,周期为T =0.4 s,则频率为f =1T =10.4 Hz=2.5 Hz,故A 错误,B 正确;根据图像可知,0.1 s 时质点处于平衡位置,此时速度最大,故C 错误;根据图像可知,0.2 s 时质点处于负向最大位置处,此时加速度方向竖直向上,故D 错误.4.[2024·甘肃卷] 如图为某单摆的振动图像,重力加速度g 取10 m/s 2,下列说法正确的是 ( ) A .摆长为1.6 m,起始时刻速度最大 B .摆长为2.5 m,起始时刻速度为零 C .摆长为1.6 m,A 、C 点的速度相同 D .摆长为2.5 m,A 、B 点的速度相同4.C [解析] 由单摆的振动图像可知振动周期为T =0.8π s,由单摆的周期公式T =2π√lg 得摆长为l =gT 24π2=1.6 m,A 、C 点的速度相同,A 、B 点的速度大小相同,方向不同;综上所述,可知C 正确.5.[2024·广东卷] 一列简谐横波沿x 轴正方向传播,波速为1 m/s,t =0时的波形如图所示.t =1 s 时,x =1.5 m 处的质点相对平衡位置的位移为 ( )A .0B .0.1 mC .-0.1 mD .0.2 m5.B [解析] 由图像可知,波长λ=2 m,周期T =λv =2 s,由于1 s-0=T2,故t =1 s 时,x =1.5 m 处的质点运动到波峰,相对平衡位置的位移为0.1 m,B 正确.6.[2024·河北卷] 如图所示,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x -t 图像.已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min .该振动的圆频率和光点在12.5 s 内通过的路程分别为 ( )A .0.2 rad/s,1.0 mB .0.2 rad/s,1.25 mC .1.26 rad/s,1.0 mD .1.26 rad/s,1.25 m6.C [解析] 根据题意可知,紫外光笔的光点在纸面上沿x 轴方向做简谐运动,光点的振动为受迫振动,其振动周期等于电动机转动周期,故该振动的圆频率ω=2πT =2πn =0.4π rad/s≈1.26 rad/s,A 、B 错误;该振动的周期T =1n =5 s,由于轻杆长0.1 m,故振幅A =0.1 m,因12.5 s=(2+12)T ,故12.5 s 内光点通过的路程s =(2+12)×4A =1.0 m,C 正确,D 错误.7.[2024·湖南卷] 如图所示,健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端,长绳自右向左呈现波浪状起伏,可近似为单向传播的简谐横波.长绳上A 、B 两点平衡位置相距6 m,t 0时刻A 点位于波谷,B 点位于波峰,两者之间还有一个波谷.下列说法正确的是 ( )A .波长为3 mB .波速为12 m/sC .t 0+0.25 s 时刻,B 点速度为0D .t 0+0.50 s 时刻,A 点速度为07.D [解析] 由题意知A 、B 的平衡位置之间的距离x =32λ=6 m,解得λ=4 m,A 错误;波源的振动频率为f =6060 Hz=1 Hz,则波速v =λf =4 m/s,B 错误;质点的振动周期T =1f =1 s,由于0.25 s=T 4,故B 点在t 0+0.25 s 时刻即14周期后由波峰运动至平衡位置,速度最大,C 错误;由于0.50 s=T2,故A 点在t 0+0.50 s 时刻即12周期后由波谷运动至波峰,速度为0,D 正确.8.[2024·江西卷] 如图甲所示,利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷.在某次检测实验中,入射波为连续的正弦信号,探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号,分别如图乙、丙所示.已知超声波在机翼材料中的波速为6300 m/s.关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d,下列选项正确的是 ()A.振动减弱;d=4.725 mmB.振动加强;d=4.725 mmC.振动减弱;d=9.45 mmD.振动加强;d=9.45 mm8.A[解析] 根据题图乙可知,超声波的传播周期T=2×10-7 s,又波速v=6300 m/s,则超声波在机翼材料中的波长λ=vT=1.26×10-3 m,结合题图乙和题图丙可知,两个反射信号传播到λ,解探头处的时间差为Δt=1.5×10-6 s,故两个反射信号的路程差为2d=vΔt=9.45×10-3 m=152得d=4.725×10-3 m;由题图乙和题图丙可知,这两个反射信号的起振方向相同,振动周期相同,传播到探头处的路程差为半波长的奇数倍,则这两个反射信号发生干涉且在探头处振动方向相反,故这两个反射信号在探头处振动减弱,A正确.9.(多选)[2024·山东卷] 甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播,波速均为2 m/s.t=0时刻二者在x=2 m处相遇,波形图如图所示.关于平衡位置在x=2 m处的质点P,下列说法正确的是()A.t=0.5 s时,P偏离平衡位置的位移为0B.t=0.5 s时,P偏离平衡位置的位移为-2 cmC.t=1.0 s时,P向y轴正方向运动D.t=1.0 s时,P向y轴负方向运动9.BC [解析] 由于两波的波速均为2 m/s,故t =0.5 s 时,两波均传播了Δx =v Δt =2×0.5 m=1 m,题图所示平衡位置在x =1 m 处和x =3 m 处两质点的振动形式传到P 点处,由波的叠加原理可知,t =0.5 s 时,P 偏离平衡位置的位移为-2 cm,A 错误,B 正确;同理,t =1 s 时,题图所示平衡位置在x =0处和x =4 m 处两质点的振动形式(均向y 轴正方向运动)传到P 点处,根据波的叠加原理可知,t =1 s 时,P 向y 轴正方向运动,C 正确,D 错误.10.(多选)[2024·新课标卷] 位于坐标原点O 的波源在t =0时开始振动,振动图像如图所示,所形成的简谐横波沿x 轴正方向传播.平衡位置在x =3.5 m 处的质点P 开始振动时,波源恰好第2次处于波谷位置,则 ( )A .波的周期是0.1 sB .波的振幅是0.2 mC .波的传播速度是10 m/sD .平衡位置在x =4.5 m 处的质点Q 开始振动时,质点P 处于波峰位置10.BC [解析] 波的周期和振幅与波源振动的周期和振幅一致,可知波的周期为T =0.2 s,振幅为A =0.2 m,故A 错误,B 正确;质点P 开始振动时,波源第2次到达波谷,可知波从波源传到质点P 所用的时间为t =34T +T =0.35 s,则波速为v =x OP t=3.5-00.35 m/s=10 m/s,故C 正确;质点Q 的平衡位置在x =4.5 m 处,波从质点P 传到质点Q 需要的时间为t'=x PQ v=4.5-3.510 s=0.1 s=12T ,所以质点Q 开始振动时,质点P 处于平衡位置,故D 错误.11.[2024·浙江6月选考] 如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg 的小铁球,两端A 、B 悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为 1.5 m .小球平衡时,A 端细线与杆垂直;当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB 交点的单摆,重力加速度g 取10 m/s 2,则 ( )A .摆角变小时,周期变大B .小球摆动周期约为2 sC .小球平衡时,A 端拉力为√32 ND.小球平衡时,A端拉力小于B端拉力11.B[解析] 单摆的周期T=2π√Lg,与摆角无关,故A错误.光滑细线穿过小铁球,则小铁球两侧细线上拉力大小相等,所以A端拉力与B端拉力大小相等,平衡时对小球受力分析如图所示,根据数学关系可知F A=F B=mg2cos30°=√33N,故C、D错误.根据几何关系可知,细线与竖直方向夹角为30°,两侧细线夹角为60°,等效摆长为L=d AB cot60°cos30°=1 m,则小球摆动周期T=2π√Lg≈2 s,故B正确.12.[2024·浙江6月选考] 频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内,S1、S2到M的距离之差为6 m.t=0时,S1、S2同时垂直平面开始振动,M点的振动图像如图所示,则()A.两列波的波长为2 mB.两列波的起振方向均沿x正方向C.S1和S2在平面内不能产生干涉现象D.两列波的振幅分别为3 cm和1 cm12.B[解析] 由图像知,t=4 s时一列波传到M点且使M点沿x正方向振动,振幅A1=3 cm,t=7 s时这列波使M点沿x负方向振动且振幅变小为A=1 cm,说明此时另一列波也传到M点且其使M点沿x正方向振动,这列波的振幅A2=A1-A=2 cm,所以两列波刚传到M 时均使M点沿x正方向振动,即两列波的起振方向均沿x正方向,B正确,D错误;S1、S2到M的距离之差为Δx=6 m,由图像可知两列波传到M的时间之差为Δt=7 s-4 s=3 s,则波速v=ΔxΔt=2 m/s,由图像可知振动周期T=2 s,则波长λ=vT=4 m,A错误;S1、S2频率相等,所以在平面内能产生干涉现象,C错误.。
第10章振动与波动习题与答案汇总
第10章振动与波动一. 基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。
2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。
3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。
4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。
5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。
6. 理解机械波产生的条件。
7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。
8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。
9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。
掌握波的相干条件。
能用相位差或波程差概念 来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。
10. 理解驻波形成的条件，二.内容提要作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即F则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为d 2x 23. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定,A 斗X 2+V04.周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数 Y 称为频率。
T 1 十 1 T =—或V =—VT了解驻波和行波的区别，了解半波损失。
1.简谐振动的动力学特征取系统的平衡位置为坐标原点, 2.简谐振动的运动学特征函数关系，即作谐振动的物体的位置坐标 X 与时间t 成余弦（或正弦）由它可导出物体的振动速度 X = Acos(©t + 旳V =-©Asi n((a t + 切 物体的振动加速度a = -O 2 Acos(©t + 场周期与频率互为倒数，即作谐振动的物体在2n秒内完成振动的次数，它与周期、5.角频率（也称圆频率）频率的关系为T =—0510.机械波产生的条件机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机械振11. 波长入 在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离（一个完整波的 长度），它是波的空间周期性的反映。
6 振动、波动例题
y o
入射波
x
d
反 射波 m (叠加点)
墙 p 面
考虑到半波损失后P点的振动方程： y p = A cos [ ( t d ) +π ] ω u
反射波在叠加点(m点) 的振动方程： y反 = A cos [ω ( t d d x ) +π ] u u 2d x = A cos [ω ( t ) +π ] u
例1.一平面简谐波，向 x 轴负方向传播， 波速为u=120m/s,波长为60m,以原点处质 点在y =A/2处并向y轴正方向运动作为计时 零点，试写出波动方程。 解： u=120 l =60 在 t = 0 时刻 v > 0 j= π 3 y =A/2
波动方程为：
π + + 2 (x u t ) j y = A cos l
j= π 3
π
A
x
3
＜
0
π Φ 1= 2
A
π
2
x
j =ω × 1 π =π Φ1 =ω t 1+ 3 2
ω = 5π
5 x = A cos ( 6
πt
π
) 3
A
本题ω 的另一种求法：
π
2 + 3 2π
π
1 = T t=0
π
t =1
x
2
12 T = 5
2 T
π
5 6
3
A
结束 返回
[ 例 5 ] AB为一均质细杆，其长度为l ,质 量为m,它可以绕水平轴A 旋转，其B 端固定 一劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧的另一端 固定在天花板上，如图所示。在开始时，将 B 端抬起使弹簧无变形，然后从静止开始释 放。求证B端作简谐振动，并求其振动周期 及谐振动方程。 l k
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0 2
2 A 4 或 3 3
4 A 3 2 2
O
A
x
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其振 x/m 动表达式 2 解：由图知
[例7]两列相干平面简谐波沿x轴传播。 波源S1和S2相距d=30m，S1为坐标原点, 已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的 两个因干涉而静止的点。求两波的波长 和两波源的最小位相差
S1
解：设S1、S2的初相位为1 、2 因x1和x2处为相邻干涉静止点，有0x1 Nhomakorabeax2
S2
x
x x2 2 (d x1 ) 2x1 [ 2 ] [1 ] (2k 1) 2 (d 2 x1 ) 2 1 (2k 1) 2 (d 2 x2 ) 同理 2 1 (2k 3)
2 T 4s T 2
x0 A
由旋转矢量法得
0.24 0.24 x 0 x 0.24 cos t m 2 (2) t=0.5s: 1 x 0.24 cos 0.17 m 2 2 2 2 F ma m x 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
v0
即
x 0, v 0
2
2
O
x
[ 例 3] 质量为 0.01kg 物体作周期为 4s 、振 幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位移 x=0.24m。求(1)谐振动表达式；(2)t=0.5s 时 , 物体的位置和所受的力； (3) 物体从 初始位置运动至 x =-0.12m 处所需的最短 时间 解：(1)设振动表达式为 x A cos( t ) 其中 A 0.24 m
A 2 m, T 2s O 2t / s 1 2 T 设振动表达式为 x A cos( t ) v A sin( t ) t=0时： x 0 即 0 A cos 2
又
旋转矢量法
A sin 0 sin 0 2 x 2 cos(t ) m 2
0.4
y A cos(t ) A 0 . 2 m x m 0.4 m
u 2 0 . 08 2 2 2 0.4 5 又t =0时： y 0 v 0 2 y m u 2 y 0.2 cos( t ) m 5 2 0 x m 波动方程为 2 x y 0.2 cos[ (t ) ]m 5 0.08 2
0
2 (3) t min 2 3 t min 3 0.12 2 3 4 t min 0.24 x s 0.24 0 2 3 T T 或 t min 4 12 T T T 6 12 4 4 s A x A 0 3
[例4]一水平放置的弹簧振子，质量为m ，弹性系数为k，当它振动时，在什么位 置动能和势能相等？它从该位置到达平 衡位置所需的最短时间为多少？
x / cm
0.05
2 T 20
1
0.1
1振动在t=0时：
t / s 1 2 2
x0 0 v0 0
5 M 4 5 x 5 2 cos(20 t ) cm A 4
2
5 A 2 x1 5 cos(20t 2) cm x2 5 cos(20t ) cm 2 2 由旋转矢量法 A 0M 1 0M 2 5 2 cm
解： (1)
1 2 1 2 2 kx kA 2 2
2 x A 2
即
(2)
t 2 4 4
t
4
m k
O
2 A 2
x
[例5]已知两谐振动的曲线(如图),它们是 同频率的谐振动,求它们的合振动方程 解：由图知 A 5 cm T 0.1s
5 0 5
0
S1
x1
S2
相减得
4 ( x2 x1 )
2( x2 x1 ) 2 (12 9) 6 m 2 (d 2 x2 ) 2 1 (2k 3) (2k 5)
k=-2时，位相差最小
2
2 1
作业：9-1、9-7、9-9、9-11、 9-15
2振动在t=0时： x0
5 4
O
M1
x
[例6]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求：a,b两点的振动方向； 0点的振动方程；波动方程 解：由波形传播过程知 a向下, b向上 y m 设 0 点振动方程为 u 0.2
a b
O
0.2