振动波动部分例题及作业
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[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时刻位 移为以下情况时谐振动的初相位：A ；-A；0，且向负方向运动；-A/2 ，且向正方向运动 解：由旋转矢量法得
0 2
2 A 4 或 3 3
4 A 3 2 2
O
A
x
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其振 x/m 动表达式 2 解：由图知
解： (1)
1 2 1 2 2 kx kA 2 2
2 x A 2
即
(2)
t 2 4 4
t
4
m k
O
2 A 2
x
[例5]已知两谐振动的曲线(如图),它们是 同频率的谐振动,求它们的合振动方程 解：由图知 A 5 cm T 0.1s
5 0 5
0
2 (3) t min 2 3 t min 3 0.12 2 3 4 t min 0.24 x s 0.24 0 2 3 T T 或 t min 4 12 T T T 6 12 4 4 s A x A 0 3
[例4]一水平放置的弹簧振子，质量为m ，弹性系数为k，当它振动时，在什么位 置动能和势能相等？它从该位置到达平 衡位置所需的最短时间为多少？
0.4
y A cos(t ) A 0 . 2 m x m 0.4 m
u 2 0 . 08 2 2 2 0.4 5 又t =0时： y 0 v 0 2 y m u 2 y 0.2 cos( t ) m 5 2 0 x m 波动方程为 2 x y 0.2 cos[ (t ) ]m 5 0.08 2
A 2 m, T 2s O 2t / s 1 2 T 设振动表达式为 x A cos( t ) v A sin( t ) t=0时： x 0 即 0 A cos 2
又
旋转矢量法
A sin 0 sin 0 2 x 2 cos(t ) m 2
v0
即
x 0, v 0
2
2
O
x
[ 例 3] 质量为 0.01kg 物体作周期为 4s 、振 幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位移 x=0.24m。求(1)谐振动表达式；(2)t=0.5s 时 , 物体的位置和所受的力； (3) 物体从 初始位置运动至 x =-0.12m 处所需的最短 时间 解：(1)设振动表达式为 x A cos( t ) 其中 A 0.24 m
x / cm
0.05
2 T 20
1
0.1
1振动在t=0时：
t / s 1 2 2
x0 0 v0 0
5 M 4 5 x 5 2 cos(20 t ) cm A 4
2
5 A 2 x1 5 cos(20t 2) cm x2 5 cos(20t ) cm 2 2 由旋转矢量法 A 0M 1 0M 2 5 2 cm
2 T 4s T 2
x0 A
由旋转矢量法得
Leabharlann Baidu
0.24 0.24 x 0 x 0.24 cos t m 2 (2) t=0.5s: 1 x 0.24 cos 0.17 m 2 2 2 2 F ma m x 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
0
S1
x1
S2
相减得
4 ( x2 x1 )
2( x2 x1 ) 2 (12 9) 6 m 2 (d 2 x2 ) 2 1 (2k 3) (2k 5)
k=-2时，位相差最小
2
2 1
作业：9-1、9-7、9-9、9-11、 9-15
2振动在t=0时： x0
5 4
O
M1
x
[例6]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求：a,b两点的振动方向； 0点的振动方程；波动方程 解：由波形传播过程知 a向下, b向上 y m 设 0 点振动方程为 u 0.2
a b
O
0.2
[例7]两列相干平面简谐波沿x轴传播。 波源S1和S2相距d=30m，S1为坐标原点, 已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的 两个因干涉而静止的点。求两波的波长 和两波源的最小位相差
S1
解：设S1、S2的初相位为1 、2 因x1和x2处为相邻干涉静止点，有
0
x1
x2
S2
x
x x2 2 (d x1 ) 2x1 [ 2 ] [1 ] (2k 1) 2 (d 2 x1 ) 2 1 (2k 1) 2 (d 2 x2 ) 同理 2 1 (2k 3)
0 2
2 A 4 或 3 3
4 A 3 2 2
O
A
x
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其振 x/m 动表达式 2 解：由图知
解： (1)
1 2 1 2 2 kx kA 2 2
2 x A 2
即
(2)
t 2 4 4
t
4
m k
O
2 A 2
x
[例5]已知两谐振动的曲线(如图),它们是 同频率的谐振动,求它们的合振动方程 解：由图知 A 5 cm T 0.1s
5 0 5
0
2 (3) t min 2 3 t min 3 0.12 2 3 4 t min 0.24 x s 0.24 0 2 3 T T 或 t min 4 12 T T T 6 12 4 4 s A x A 0 3
[例4]一水平放置的弹簧振子，质量为m ，弹性系数为k，当它振动时，在什么位 置动能和势能相等？它从该位置到达平 衡位置所需的最短时间为多少？
0.4
y A cos(t ) A 0 . 2 m x m 0.4 m
u 2 0 . 08 2 2 2 0.4 5 又t =0时： y 0 v 0 2 y m u 2 y 0.2 cos( t ) m 5 2 0 x m 波动方程为 2 x y 0.2 cos[ (t ) ]m 5 0.08 2
A 2 m, T 2s O 2t / s 1 2 T 设振动表达式为 x A cos( t ) v A sin( t ) t=0时： x 0 即 0 A cos 2
又
旋转矢量法
A sin 0 sin 0 2 x 2 cos(t ) m 2
v0
即
x 0, v 0
2
2
O
x
[ 例 3] 质量为 0.01kg 物体作周期为 4s 、振 幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位移 x=0.24m。求(1)谐振动表达式；(2)t=0.5s 时 , 物体的位置和所受的力； (3) 物体从 初始位置运动至 x =-0.12m 处所需的最短 时间 解：(1)设振动表达式为 x A cos( t ) 其中 A 0.24 m
x / cm
0.05
2 T 20
1
0.1
1振动在t=0时：
t / s 1 2 2
x0 0 v0 0
5 M 4 5 x 5 2 cos(20 t ) cm A 4
2
5 A 2 x1 5 cos(20t 2) cm x2 5 cos(20t ) cm 2 2 由旋转矢量法 A 0M 1 0M 2 5 2 cm
2 T 4s T 2
x0 A
由旋转矢量法得
Leabharlann Baidu
0.24 0.24 x 0 x 0.24 cos t m 2 (2) t=0.5s: 1 x 0.24 cos 0.17 m 2 2 2 2 F ma m x 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
0
S1
x1
S2
相减得
4 ( x2 x1 )
2( x2 x1 ) 2 (12 9) 6 m 2 (d 2 x2 ) 2 1 (2k 3) (2k 5)
k=-2时，位相差最小
2
2 1
作业：9-1、9-7、9-9、9-11、 9-15
2振动在t=0时： x0
5 4
O
M1
x
[例6]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求：a,b两点的振动方向； 0点的振动方程；波动方程 解：由波形传播过程知 a向下, b向上 y m 设 0 点振动方程为 u 0.2
a b
O
0.2
[例7]两列相干平面简谐波沿x轴传播。 波源S1和S2相距d=30m，S1为坐标原点, 已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的 两个因干涉而静止的点。求两波的波长 和两波源的最小位相差
S1
解：设S1、S2的初相位为1 、2 因x1和x2处为相邻干涉静止点，有
0
x1
x2
S2
x
x x2 2 (d x1 ) 2x1 [ 2 ] [1 ] (2k 1) 2 (d 2 x1 ) 2 1 (2k 1) 2 (d 2 x2 ) 同理 2 1 (2k 3)