广东省高三上学期期末数学(理)试题(含解析)

广东省高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则AB =（ ）A ．(][),23,-∞⋃+∞B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由题意得{}{}{}21|560|23,2102A x x x x x x B x x x x ⎧⎫=-+≥=≤≥=-=⎨⎬⎩⎭或，∴1|232A B x x x ⎧⎫⋂=<≤≥⎨⎬⎩⎭或．选D ． 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii i⋅=-+，则3z +=（ ）A ．B ．CD ．5【答案】A【解析】利用复数乘法和除法运算求得z ，进而求得3z +的模. 【详解】依题意()()()()()3215515i i i i i z i i i i i +----====--⋅-，所以325z i +=-==故选：A 【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒ 1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.4．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论． 【详解】解：对于A ，AB 为体对角线，MN ，MQ ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB 垂直于MN ，MQ ，NQ ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于B ，AB 为上底面的对角线，显然AB 垂直于MN ，与AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于C ，AB 为前面的面对角线，显然AB 垂直于MN ，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB 所在的面，即有AB 垂直于QN ，可得AB 垂直于平面MNQ ；对于D ，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与AB 所成角为60，则AB 不垂直于平面MNQ ．故选：D ． 【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．5．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( ) A ．a b c >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x x x=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系. 详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.6．已知,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则1z x y =+-的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．1【答案】D【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为12,2x y z +-=⋅所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍，由可行域可知点A （2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.z =故选D.点睛：本题的关键是找到1z x y =+-的几何意义，要找到1z x y =+-的几何意义，必须变形，12,2x y z +-=⋅所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.7．电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）A ．1027B ．448729C ．100243D ．4081【答案】B【解析】先求,A C 连通的概率，再求,B D 连通的概率，然后求,A B 连通的概率. 【详解】先考虑,A C 没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为111339P =⨯=. 所以,A C 连通的概率18=199P -=. ,E F 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为224339P =⨯=, 所以,E F 没有连通的概率为：45=199P -=. 则,B D 之间没有连通的概率5525=9981P =⨯ 所以,B D 连通的概率255618181P =-=， 所以,A B 连通的概率. 568448=819729P =⨯ 故选：B 【点睛】本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.8．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ） A ．8种 B ．16种 C ．32种 D ．48种【答案】B【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧， 选出一人排在左侧，有：1122C A 种方法， 另外一人排在右侧，有12A 种方法，余下两人排在余下的两个空，有22A 种方法，综上可得：不同的站法有1112222216C A A A =种.本题选择B 选项.9．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．-1【答案】D【解析】根据()f x 的最小正周期求得ω，由()1fα=列方程，利用诱导公式求得32f πα⎛⎫+⎪⎝⎭. 【详解】由于()f x 的最小正周期为π，所以()2ππ0T ωω==>，所以2ω=.所以()()sin 2f x A x ϕ=+.由()1f α=得()()sin 21f A ααϕ=+=.所以[]()33sin 2sin 23πsin 2122f A A A ππααϕαϕαϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．22πB 82C ．23D ．2π【答案】B【解析】根据11B A ACC -体积的最大值求得此时,AC BC 的长，判断出球心的位置，求得111ABC A B C -的外接球的半径，进而求得球的体积. 【详解】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==+=所以外接球的体积为34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.11．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．18【答案】D【解析】将已知条件转化为1,a q 的形式，结合基本不等式求得423a a +的最小值. 【详解】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦()43216181q q ≥⨯-⋅=-.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选：D 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12．若关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈， 2.718e =为自然对数的底数，则A．e B．1m-C．1m+D．1【答案】D【解析】设xxte=即11t mt++=-所以2(1)10t m t m+-+-=,令g()xxxe=,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于t的方程2(1)10t m t m+-+-=一定有两个不等的实数根12,t t，且12t t<<，且则31231212,xx xxx xt te e e===即可求解.【详解】由方程0xx xx eme x e++=-，有11xxxmxee++=-设xxte=即11t mt++=-所以2(1)10t m t m+-+-=令g()xxxe=，则1()xxg xe'-=所以g()x在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减,且g(0)0=，1(1)ge=，当0x>时，()0>g x其大致图像如下.要使关于x的方程0xx xx eme x e++=-有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且123x x x<<<.结合图像可得关于t的方程2(1)10t m t m+-+-=一定有两个不等的实数根12,t t且12t t<<,12121,1t t m t t m+=-⋅=-则31231212,xx xxx xt te e e===.所以()()()2212121211][+1][t t t t t t -+=--=2[1(1)+1]1m m =---=故选：D 【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.二、填空题13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________.【答案】52【解析】利用根与系数关系，等差数列前n 项和公式，求得13S 的值. 【详解】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：52 【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.14．已知向量a 与b 的夹角是56π，且a a b =+，则向量a 与a b +的夹角是_____. 【答案】23π 【解析】首先根据a a b =+，求得3b a =，由此利用夹角公式计算出向量a 与a b +的夹角的余弦值，由此求得向量a 与a b +的夹角.【详解】由a a b =+两边平方并化简得22222,20a a a b b a b b =+⋅+⋅+=，即25π2cos 06a b b ⋅⋅+=，即3b a =.所以()cos ,a a ba ab a a b⋅++=⋅+2225πcos 61a b a a b aa⋅⋅+⋅==+31122=-=-，由于[],0,πa a b +∈，所以2π,3a ab +=. 故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题. 15．已知()()()()()921120121112111xx a a x a x a x +-=+-+-++-，则1211a a a +++的值为 .【答案】2【解析】试题分析：令1=x ，得()012a =-⨯，令2=x ，得()1132102012a a a a a ++++=⨯+，联立得：211321=+++a a a a ，故答案为2. 【考点】二项式定理的应用.【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的()1-x 变为0和1，在本题中要使01=-x 即给等式中的x 赋值1，求出展开式的常数项0a ；要使11=-x 即给等式中x 赋值2求出展开式的各项系数和即113210a a a a a ++++，两式相减得到要求的值．16．已知函数()2x xxxe ef x e e ---=++，若有()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()1,+∞【解析】∵222221(1)22()2223111x x x x x x x x xe e e ef x e e e e e ----+-=+=+=+=-++++， ∴函数()f x 在R 上为增函数，由题意得()()2(2)4x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e-------+=+++=++， ∴()4()f x f x =--，∵()()24f a f a +->，∴()()42(2)f a f a f a >--=-。