第九章弯曲刚度.
钢筋混凝土构件的变形、裂缝及混凝土结构的耐久性
在试验中量测这些值，就可求出η。
Ate—有效受拉面积，图9-6。
3. ζ——受压边缘混凝土平均应变综合系数
为了简化计算，直接给出：
（9－15）
最后的Bs的计算公式：
（9－16）
纯弯段内平均截面弯曲刚度
9.1.4 受弯构件的截面刚度B——考虑荷载长期作用的影响
考虑荷载长期作用的影响 后，截面弯曲刚度将降低，构件挠度将增大。
得：
解：（1）本题的关键：将多孔板截面换算成工字形截面。 换算条件：ⅰ. 形心位置不变； ⅱ. 面积不变； ⅲ. 对形心轴的惯性矩不变。
解出bh，hh
本题：
9.2 钢筋混凝土构件裂缝宽度验算 9.2.1 裂缝的出现、分布和开展 以轴心受拉构件为例 由此看来： 首批裂缝在混凝土抗拉强度较薄弱的截面产生，其次的裂缝将在裂缝间距≥2L的区段上产生，哪里最薄弱，哪里先出现裂缝。 但裂缝间距不会小于L，即稳定后的裂缝间距为：L～2L。
实际工程中：0.5～0.7Mu。
9.1.2 短期刚度Bs
（1）不考虑徐变影响 短期刚度
（2）引用平截面假定 指平均应变
而
∴有
计算短期刚度的思路：
由定义知：
由平截面假定知：
∴
（9－3）
∴ 导出εcm、εsm的计算公式，即可获得Bs的计算公式。
影响因素及其讨论：
（1） 为什么？
（2） 为什么？
【例题9-5】。。。。。。
【例题9-6】。。。。。。
9.3 钢筋混凝土截面延性
9.3.1 延性的概念
材料与截面
受拉
受压
脆性的
有延性的
构件截面
受弯正截面
第九章梁弯曲刚度
③物理方程——变形与力的关系
y Bq
=
ql 4 8 EI
; y BR B
=
RB l 3 3 EI
④补充方程
ql 4 - RB l 3 = 0 \ R
3ql =
8 EI 3EI
B
8
⑤求解其它问题（反力、应
力、变形等）
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q
A l
y q
A EI
l
A
=
=
上一页 下一页
C EA a 例8 q，EI，EA，l 求B的反力。
上一页 下一页
AC段
( ) q = F 4 x 2 - l 2
1 16 EI
1
0 x
l
( ) y =
Fx 1
4 x 2 - 3l 2
1 2
1 48 EI
1
CB段
F
( ) q = 2 16EI
( ) y2
=
Fx2 48EI
4x22 - l 2
- F(2x2 - l) 2
8EI
l2 4x22 - 3l2
max
W
Z
B b
h
3M
得b
max
2 [s ]
=83mm
M图
h=2b=166mm
②按刚度计算
ymax
=
yB
= ql 4 8EI
A
I = bh3 = 2b4 12 3
根据刚度条件 y [y ] , 有 max
ql 4 l 8 EI 250
4
b
3´ 250´ ql3 2´ 8E
= 89.6(mm)
EIy″=M(x) 积分一次得角方程
EIy' = EIq = M (x)dx+ C
第9章__梁的挠度和刚度计算
第9章__梁的挠度和刚度计算在结构分析中，梁的挠度和刚度是非常重要的参数，它们能够帮助我们了解和评估梁的性能和稳定性。
本章主要介绍了梁的挠度和刚度的计算方法。
首先，我们需要了解梁的挠度是什么。
简单来说，梁的挠度指的是梁在承受荷载时的弯曲和垂直变形程度。
挠度大小反映了梁的柔软性和变形能力，对于结构工程来说，挠度必须在允许范围内，以保证结构的安全和稳定。
梁的挠度计算可以通过简化的工程解析方法或者数值计算方法来进行。
这里主要介绍两种常用的方法。
第一种方法是基于简化的工程解析方法，即梁的挠度计算公式。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到不同类型梁的挠度计算公式。
例如，对于简支梁，其挠度可以用以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ是梁的最大挠度，q是梁的单位长度荷载，L是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
对于其他类型的梁，如悬臂梁、连续梁等，也有相应的挠度计算公式。
通过这些公式可以得到梁的最大挠度。
第二种方法是使用数值计算方法，主要是有限元法。
有限元法是一种通过将结构分割成若干小单元，然后进行位移解和力学分析的方法。
通过有限元软件，可以模拟梁在荷载作用下的变形情况，并得到挠度的数值解。
此外，在梁的挠度计算中，还需要考虑梁的边界条件。
梁的边界条件决定了梁的约束程度，也会影响梁的挠度大小。
常见的边界条件包括简支、悬臂、固支等。
在梁的刚度计算中，主要考虑的是梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度指的是梁在弯曲过程中对外力的抵抗能力，可以用弯矩-曲率关系来表示。
剪切刚度指的是梁在受剪力作用下的变形能力，可以用剪力-变形关系来表示。
梁的弯曲刚度和剪切刚度分别可以通过以下公式计算：弯曲刚度：EI=M/θ剪切刚度：GA=T/ϕ其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，G是梁的剪切模量，A是梁的横截面积，M是梁的弯矩，θ是梁的曲率，T是梁的剪力，ϕ是梁的剪应变。
通过计算弯曲刚度和剪切刚度，我们可以评估梁在荷载作用下的响应和变形情况，进一步判断结构的性能和稳定性。
弯曲刚度公式
弯曲刚度公式
弯曲刚度是物理力学上用于评估弯曲模量，即弹性弯曲荷载和扭曲变形程度之间的相互关系的重要参数。
通常，当某一部件在受到载荷作用下发生扭转作用时，弯曲刚度计算公式便可以发挥作用，该公式可用来衡量材料的弯曲刚度的实际情况。
为了计算一个物体的弯曲刚度，根据力学原理，弯曲刚度的计算公式为:
EI=F·L/θ，其中EI为弯曲刚度，F为受力，L为横截面有效长度，θ为弯曲变形的
角度。
首先，计算弯曲刚度前，需要确定所使用的物质的材料性质。
除特殊情况（如拉伸杆的弯曲刚度）外，大多数材料的弯曲刚度计算直接需要对材料的弹性模量和横截面截面积进行精确的测量。
其次，根据施加的位移大小来测定横截面的变形量，参照有效长度，并采用角度值来表示，即θ=L/ρ，其中L为实际位移量，ρ为有效
长度。
最后，将上述参数代入公式EI=F·L/θ进行计算，即可得到模型的弯曲刚度。
需要注意的是，弯曲刚度的计算公式的有效性仅限于弹性物质和表面光滑的情况，若物质为粘弹性物质或形状不规则，弯曲刚度的计算公式仍需根据实际情况灵活运用。
综上所述，弯曲刚度是衡量材料弹性弯曲刚度的重要参数，用于评估力学弯曲模量之间的相互关系。
此外，根据不同情况，弯曲刚度的计算公式也有所差异。
因此，应根据材料性质及形状，正确使用弯曲刚度的计算公式，以获取最准确的结果，从而帮助分析研究的问题。
第九章梁的弯曲变形
a xl
在 x l / 2处
y 0.5l
Fb
(3l 2 4b 2 ) 48 EI
yqx(l32lx2x3) 2E 4 I
A
B
ql3 24EI
x
l 2
ymax
5ql4 384EI
梁的简图
第九章 梁的弯曲变形
挠曲线方程
y6M EI(xllx)2(lx)
yC1
aB
qa4 2EI
yC2
qa4 8EI
3）叠加 y C y C 1 y C 2 2 q E 4a 8 I q E 4a I 5 8 q E 4( a I)
第九章 梁的弯曲变形
例9-5 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。
挠曲线方程 y f (x)
第九章 梁的弯曲变形
二、挠度和转角
挠度：截面形心线位 移的垂直分量称为该 截面的挠度，用 y 表 示，一般用 ymax 表示 全梁的最大挠度。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tanydy
1
(x)
M(x) EI
曲线 y f(x)的曲率
1
(x)
(1yy2)3/2
二阶小量
y (1y2)3/2
M(x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M(x) EI
第九章 梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
y
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
弯曲刚度文档
弯曲刚度1. 弯曲刚度的概念弯曲刚度是一个物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的量化指标。
它描述了物体在弯曲过程中的抗弯刚度，即物体受到一定弯曲力后，发生的弯曲程度与力的大小之间的关系。
2. 弯曲刚度的计算公式弯曲刚度可以通过以下的计算公式来表示：EI = M/f其中，EI 为弯曲刚度，M 是作用在物体上的弯矩，f 是物体所发生的弯曲程度。
3. 弯曲刚度的单位和量纲弯曲刚度的单位是 Nm²，它是由力的单位 N 乘以长度的单位 m 的平方得到的。
在 SI 系统中，弯曲刚度的单位可以简化为 Nm²。
4. 弯曲刚度与材料的关系弯曲刚度与材料的性质密切相关。
不同的材料具有不同的弯曲刚度，这取决于材料的组成和结构。
一般来说，材料的强度和刚度越高，它的弯曲刚度也越大。
5. 弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程设计和材料选择中起着重要的作用。
在设计中，了解材料的弯曲刚度可以帮助工程师确定材料是否适用于特定的应力条件下。
此外，也可以通过调整材料的组成和结构来改变弯曲刚度，以满足特定的设计要求。
6. 弯曲刚度的影响因素弯曲刚度受到多种因素的影响，其中包括材料的性质、截面形状、截面尺寸、载荷大小等。
例如，增加物体的截面尺寸可以增加弯曲刚度；增加材料的刚度可以提高弯曲刚度。
7. 弯曲刚度的测试方法常用的测试方法包括悬臂梁法、三点弯曲法和四点弯曲法等。
这些方法都可以测量物体在不同的弯曲条件下的弯曲变形程度，从而计算出弯曲刚度。
8. 弯曲刚度与其他刚度指标的关系弯曲刚度与其他刚度指标，如剪切刚度和压缩刚度等相关，它们共同描述了物体在不同受力条件下的刚度表现。
这些刚度指标之间的关系可以用来评估材料的力学性能和应用范围。
9. 结论弯曲刚度是一个描述物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的指标。
它与材料的性质、截面形状和尺寸、载荷大小等因素密切相关，可以通过不同的测试方法来测量和计算。
了解和掌握弯曲刚度对于工程设计和材料选择具有重要意义，有助于优化设计和提高材料的力学性能。
第十三讲：第九章 梁的弯曲-变形刚度计算概要
例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A
x
e
解：
1.列微分方程并积分
B
M e Me x e M e FAy= M M EIy xx M l l l Me 2 EIy x Me x C 2l Me 3 Me 2 EIy x x Cx D 6l 2
33 5 Fl Fl Fl 2 l 6EI EI 2 EI 3
五、 叠加法求梁的变形
基本原理 由几个外力同时作用时所引起的梁的变形 转角和挠度 等于
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F M
e
y yq y F y M e
例13 求B和yB 解： 1. Me单独作用时 2Mel BM e EI 2 2 2 M l M 2 l e y BM e e EI 2 EI 2. F单独作用时 2 Fl BF CF 2 EI yBF yCF CF l
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2.数学方面
A
第九章弯曲刚度
，有：K y 当 y 1
3、小挠度微分方程及其积分
M K y 方法一： EI
方法二：
1
d 2 M 2 dx EI
d dx
1
d d 2 dx dx
2
d d K ds dx
d 2 dx 1
2
M EI
挠度曲线近似微分方程。
M EI 1
在小变形情况下，轴向位移与挠度相 比为高阶小量，通常不考虑。
(x)
(x)
挠度与转角的关系： 如图：挠度 与转角的关系
x
x
(x)
d tan dx
挠度方程
小变形情况下： tan d dx
二、小挠度微分方程及其积分
1、弧微分
函数 f (x)在区间（a,b）上
0: 0: 0:
FAx 0 FAy FB FC ql 0 1 1 FAyl FB l ql 0 2 2
M
C
q A B
l 2
Cx
l 2
变形协调条件：
梁在C处的挠度必须为零。
由叠加原理：
q A B
l 2
C c (q) c ( FC ) 0
l 2
ql 5 3 3 3 7ql 4 ( l l ) 48EI 4 8 384 EI
C
l 2
x
1 3 q( l ) 1 1 ql 4 c 2 (q) B l 2 l 2 24 EI 2 384 EI
7ql 4 ql 4 6ql 4 c (q) c1 (q) c 2 (q) 384 EI 384 EI 384 EI 3 FC l l 2 l l FC l c ( FC ) ( 3l ) 12 EI 4 2 2 12 EI
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
材料力学第9章梁的挠度和刚度计算梁的挠度和刚度计算材料力学第9章引言梁是一种常见的结构元素，在各个工程领域都有广泛的应用。
了解梁的挠度和刚度计算方法对于设计和分析梁的性能至关重要。
本文将介绍材料力学第9章中梁的挠度和刚度计算的相关内容。
1. 梁的挠度计算方法1.1 单点弯曲当梁受到单点弯曲时，可以使用梁的弯曲方程来计算梁的挠度。
梁的弯曲方程可以表达为：δ = (M * L^2) / (2 * E * I)其中，δ为梁的挠度，M为梁的弯矩，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
1.2 均匀分布荷载当梁受到均匀分布荷载时，梁的挠度计算稍有不同。
可以使用梁的基本方程来计算梁的挠度。
梁的基本方程可以表达为：δ = (q * L^4) / (8 * E * I)其中，δ为梁的挠度，q为梁的均匀分布荷载，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
2. 梁的刚度计算方法梁的刚度是指梁对外界荷载的抵抗能力。
梁的刚度可以通过计算梁的弯曲刚度和剪切刚度得到。
2.1 弯曲刚度梁的弯曲刚度可以通过梁的截面惯性矩来计算。
弯曲刚度可以表示为：EI = ∫(y^2 * dA)其中，EI为梁的弯曲刚度，y为离梁中性轴的距离，dA为微元面积。
2.2 剪切刚度梁的剪切刚度可以通过梁的截面两点间的剪力和相对位移关系来计算。
剪切刚度可以表示为：GJ = ∫(θ * dA)其中，GJ为梁的剪切刚度，θ为梁的剪切角，dA为微元面积。
3. 示例为了加深对梁的挠度和刚度计算的理解，下面以一根长度为L的梁为例进行计算。
假设梁受到均匀分布荷载q作用，并且梁的截面为矩形截面，梁的宽度为b，高度为h。
根据梁的挠度计算方法，可以得到梁的挠度公式为：δ = (q * L^4) / (8 * E * b * h^3)根据梁的刚度计算方法，可以得到梁的弯曲刚度和剪切刚度公式为： EI = (b * h^3) / 12GJ = (b * h * h^3) / 12通过计算梁的挠度和刚度，可以得到梁的性能参数，进而进行工程设计和分析。
弯曲刚度的表示
弯曲刚度的表示弯曲刚度是描述材料抵抗弯曲变形的能力的指标。
在物理学和工程学中，弯曲刚度是一个非常重要的概念，尤其在结构分析和材料科学中。
它可以通过材料的弹性模量、截面形状和尺寸等因素来衡量。
一、弯曲刚度的定义弯曲刚度定义为材料在受到弯曲应力时，抵抗变形的能力。
在数学表达式上，它可以通过弹性力学中的挠曲线方程来描述。
对于一个简支梁，其挠曲线方程可以写成：f(x) = -剪切挠度。
其中，f(x)是梁上某点的挠度，即该点在弯曲变形后的垂直位移，x是沿梁长方向的坐标，剪切挠度是与弯曲刚度相关的物理量。
二、影响弯曲刚度的因素1. 材料类型：不同材料的弹性模量、屈服强度等力学性能不同，因此抵抗弯曲变形的能力也不同。
例如，钢材和铝合金具有较高的弯曲刚度，而塑料和橡胶则较低。
2. 截面形状和尺寸：截面形状和尺寸也会影响材料的弯曲刚度。
例如，较粗的梁具有较高的弯曲刚度，而细长且薄的梁则较低。
对于具有空心截面的梁，由于截面面积较小，其弯曲刚度也会降低。
3. 温度和湿度：这些环境因素可以影响材料的力学性能，进而影响其弯曲刚度。
例如，在高温下，材料的弹性模量和屈服强度可能会降低，导致其弯曲刚度下降。
而湿度也可能引起材料的老化或腐蚀，从而降低其弯曲刚度。
4. 应力历史：材料的应力历史也可能对其弯曲刚度产生影响。
例如，经过预先加载或变形的材料可能会发生塑性变形或应力松弛，从而改变其弯曲刚度。
三、弯曲刚度的测量和应用1. 实验测量：通过实验方法测量材料的弯曲刚度是常用的方法之一。
实验中，通常将试样放在一个弯曲装置中，如三点弯或四点弯装置，并施加一定的横向荷载，然后测量试样的挠度和曲率。
通过这些测量数据，可以计算出材料的弯曲刚度。
2. 工程应用：在工程中，弯曲刚度是一个非常重要的参数，因为它直接影响结构的稳定性和变形行为。
例如，桥梁、房屋和机械零件等结构都需要具有足够的弯曲刚度来承受外部荷载并保持其形状和功能。
因此，在设计这些结构时，需要对材料的弯曲刚度进行评估和优化。
第九章弯曲变形和刚度计算
3. 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线 的夹角，或 x 轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方 d 向为正。 tan dx d f x 小变形： tan dx 即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为： EI
不可能
A B
不可能
问题讨论：
y
A B
问题的边界条件、连续条件 ？
q c x
O A
边界条件
分几段？ 连续条件
A处： wA=0 B处： wB=0
A处： wA=0， A =0 分OA一段。
AB、BC两段
B处： w1=w2 1 = 2
11
例：图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁, 在自由端受一集 中力 F作用。试求梁的挠度方程和转角方程 , 并确定 其最大挠度wmax和最大转角max 。
(a x l )
17
（2）建立挠曲线近似微分方程并积分来自梁段I ( 0 x a)
挠曲线近似 微分方程
b EIw1 M 1 F x l
梁段II ( a x l)
EIw2 M 2 F b x F ( x a) l
2 积分一次 b x 转角方程 EIw1 F l 2 C1
P x1 a 2 C1 2 P EI1 x1 a 3 6 C1 x1 a D1 EI1
EIw M ( x) Fl Fx
Fx 2 EIw Flx C1 (a) 2 2 Flx Fx3 EIw C1 x C2 (b) 2 6
(3) 由边界条件确定积分常数 在x＝0处: w＝0 θ＝ 0 y
A
弯曲刚度问题
第9章弯曲刚度问题9.1 基本概念9.1.1 梁弯曲后的挠曲线吊车梁若变形过大，将使小车行走困难，还会引起梁的严重振动。
因此，必须对梁的变形加以限制若梁的变形在弹性范围内，梁的轴线在梁弯曲后变为一条连续光滑曲线，该曲线称为弹性曲线或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。
挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。
9.1.2梁的挠度与转角设有一具有纵向对称面的悬臂梁，在自由端处作用一集中力F p。
F p力作用在梁的纵向对称面内，使梁发生平面弯曲。
一、挠度与转角梁的变形可用以下两个基本量来度量。
tan"二dw ,、w(x)二 w ‘ dxtan0-W⑴挠度挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移梁轴线上各点（各截面）的挠度w 随着点（截面）的位置 x 的不同而改变，即各截面的挠度是截面位置坐标x 的函数。
因小变形时，u 与w 相比为高阶无穷小，故忽略不计。
、挠度w 于转角二间的关系w = w(x)d挠曲线方程 单位：mm挠度 w 符号规定：向下为正⑵转角，向上为负。
转角：横截面绕中性轴转过的角度。
用“，”表示。
梁不同横截面其转角是不相同的，二是横截面位置坐标x 的函数 6 = &(兀)转角方程 单位：rad71的符号规定：由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。
⑶ 水平位移：横截面形心沿水平方向的位移，用 u 表示。
9.2 小挠度微分方程及其积分9.2.1 小挠度微分方程1梁发生平面弯曲时，其轴线由直线变成一条曲率为7的平面曲线1 M 1 M (x)纯弯曲EI细长梁横力弯曲(x) El12d w d2w M(x)2dx2El 由高数知(x)dxM (x)与W的符号总是相反的JElM (x)dx C _______ 转角方程dw w解上二阶微分方程可求得挠度 w ，再根据dx，可求得截面转角71。
等截面梁：EI =常数。
Elw …M (x) Elw dx …M (x)dxElw = El — - 严(x)dx C Elw dx 二[j M (x)dx]dx Cdx Elw 二 」| M (x)dx]dx Cx Dd 2w M (x) dx 2 El尸EIw” = -M (工)求梁的变形：d 2w Eldx 2-M (x)挠曲线近似微分方程1 5 / 28w[ M (x)dx]dx Cx DE| i i ''____ 挠度方程其中C 、D 为积分常数。
工程力学中的弯曲刚度与刚度优化设计
工程力学中的弯曲刚度与刚度优化设计工程力学中的弯曲刚度是指材料、结构或系统在受到弯曲作用时的抵抗变形的能力。
弯曲刚度是工程设计中非常重要的一个参数，影响着结构的稳定性、安全性和使用寿命。
本文将详细介绍工程力学中的弯曲刚度的概念、计算方法以及刚度优化设计的应用。
一、弯曲刚度的概念与计算方法1. 弯曲刚度的概念弯曲刚度是指材料或结构在受到弯曲作用时所表现出的抵抗变形的能力。
一般来说，弯曲刚度可以通过弯曲刚度系数（bending stiffness）来表示，它是弯曲力矩对应的曲率和截面惯性矩的比值。
2. 弯曲刚度的计算方法计算弯曲刚度的方法根据不同的工程问题和结构类型而有所不同。
对于一维梁的弯曲刚度计算，可以使用梁的基本弯曲理论，根据梁的几何形状、材料的力学性质以及施加载荷的形式进行计算。
对于复杂的结构或系统，可以使用有限元分析等数值方法进行计算。
二、刚度优化设计的概念与方法1. 刚度优化设计的概念刚度优化设计是指在满足工程要求的前提下，通过合理设计结构的尺寸和布局，以提高结构的弯曲刚度。
刚度优化设计可以使结构在承受荷载时变形较小，增强结构的稳定性和抗震性能，提高结构的使用寿命。
2. 刚度优化设计的方法刚度优化设计的方法分为直接优化方法和参数化优化方法两种。
直接优化方法主要是通过对结构的形状、截面和材料等进行优化，以提高结构的弯曲刚度。
参数化优化方法则是通过对结构的参数进行调整，以实现刚度的优化设计。
常用的优化算法有遗传算法、蚁群算法等。
三、刚度优化设计的应用案例1. 建筑结构的刚度优化设计在建筑结构设计中，刚度优化设计可以减少结构的变形和振动，提高结构的整体稳定性和抗震性能。
通过对结构的布局、尺寸和材料等进行优化，可以达到节约材料、降低成本的效果。
2. 机械结构的刚度优化设计在机械结构设计中，刚度优化设计可以提高机械系统的精度和稳定性，减少机械运动过程中的变形和振动。
通过优化机械结构的刚度，可以提高机械系统的工作效率和使用寿命。
材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算
x
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 24
qx4
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
3l 2
3
x
C2 x
D2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
EIw1
1 6
qx3
C1
EIw2
1 16
ql
3l 2
2
x
C2
x
0,
l 2
x
l 2
,
3l 2
4 边界条件、连续条件 5 梁的转角方程和挠曲线方程
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 2 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
[f] L ~ L 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.30
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件， x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
弯曲刚度文档
弯曲刚度1. 弯曲刚度的定义在材料力学中，弯曲刚度是指材料或结构在弯曲加载下产生的抗弯能力。
弯曲刚度是描述材料或结构在受外力作用下沿曲线形变情况的重要参数。
2. 弯曲刚度的计算方法弯曲刚度的计算方法根据材料的类型和加载条件的不同而有所差异。
下面介绍两种常见的计算方法：2.1 杆件的弯曲刚度计算对于直线杆件的弯曲刚度计算，可以使用欧拉-伯努利弯曲理论来进行近似计算。
该理论假设杆件在弯曲时保持线弹性，即材料的应力-应变关系为线性。
计算弯曲刚度的基本公式为：EI = (1/3) * F * L^3 / δ其中，EI 为弯曲刚度，F 为施加在杆件上的力，L 为杆件的长度，δ 为杆件在弯曲时的挠度。
E 表示杨氏模量，I 表示杆件的截面惯性矩。
2.2 板件的弯曲刚度计算对于板件的弯曲刚度计算，可以使用薄板理论来进行近似计算。
薄板理论假设板件在弯曲时保持平面，即材料在平面内的应力-应变关系为线性。
计算弯曲刚度的基本公式为：EI = D * h^3 / 12其中，EI 为弯曲刚度，D 为板件的弯曲刚度系数，h 为板件的厚度。
3. 弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程中具有重要的应用价值。
以下是几个应用弯曲刚度的常见领域：3.1 结构设计在建筑和机械结构设计中，弯曲刚度是一个重要的设计参数。
通过合理选择材料和结构形式，可以满足结构在受弯曲载荷下的稳定性和强度要求。
3.2 材料选择不同材料的弯曲刚度不同，因此在选择材料时需要考虑材料的弯曲刚度。
对于需要具有较高刚度的应用场景，可以选择具有较高弯曲刚度的材料。
3.3 加工过程控制在材料加工过程中，弯曲刚度可以用于控制加工过程中的变形情况。
通过了解材料的弯曲刚度，可以采取相应的措施来减小加工引起的变形。
4. 弯曲刚度的影响因素弯曲刚度受多个因素的影响，以下是常见的影响因素：4.1 材料性质材料的弯曲刚度与其弹性模量和截面形状有关。
不同材料的弯曲刚度存在显著差异。
4.2 结构形式结构形式对弯曲刚度有较大影响。
弯曲刚度
解：建立坐标系并写出弯矩方程
P(x a) (0 x a)
M (x) 0
(a x L)
a
P
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EIw"
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EIw'
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIw
1 6
P(a
x)3
C1x
C2
D1x D2
应用位移边界条件求积分常数
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
m ax
(a)
Pa 2 2EI
a
P
L
x
wm a x
w(L)
Pa 2 6EI
3L
a
f
例题 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并
确定其最大挠度wmax和最大转角max。
解：约束力为
FA
F
b， l
a FB F l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
wmax w1 |xx1 9
Fb 3lEI
l2 b2 3
Fb
wmax w1 |xx1 9 3lEI
l2 b2 3
由上式还可知，当集中荷载F
作用在右支座附近因而b值甚小，
以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有
Fbl 2
Fbl 2
wmax 9
0.0642 3EI
EI
它发生在 x1
wD 0 D 0
或写成
w C
左
wC 右
或写成 C 左 C 右
EIw'' M (x)
EIw' EI (M (x))dx C1 EIw ( (M (x))dx)dx C1x C2
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一、弯曲变形与位移
二、小挠度微分方程及其积分 三、变形叠加原理
四、弯曲刚度计算 五、简单静不定梁
一、弯曲变形与位移
1、变形和挠度有关概念
在平面弯曲的情况下，梁的轴线弯曲成平面曲 线，梁的横截面变形后仍然为平面，与梁的轴线垂 直。由于弯曲变形使梁的横截面发生位置改变，称 为位移。梁的位移包括三部分：
a M 2 ( x) (l x) P； a x l l d 22 a Pa
EI
2
M 2 ( x) (l x) P x Pa dx l l
Pa 3 Pa 2 EI 2 x x C2 x D2 6l 2
EI 2
x 0： A 0
Pa 2 x Pax C2 2l
x l： B 0
Pa 2 C2l D2 l 0 3
D1 0
x a：
Pa3 Pa 2 EI1 C1 2l 2
1 2
Pa3 EI 2 Pa 2 C2 2l
Pa 2 C1 C2 2
Pa 4 Pa3 3 EI1 C1a D1 Pa 1 2 (C1 C2 )a 6l 6 D2 6 Pa 4 Pa3 EI2 C2 a D2 6l 2
挠度方程： EI ( M ( x)dx)dx Cx D
l l
4、积分常数的确定、约束条件及连续条件
在上面的转角方程和挠度方程中，积分常数 由梁的约束条件和连续条件确定。
约束条件是指约束对挠度和转角的限制，也 称边界条件。 常见约束条件：
0 在固定铰链支座和辊轴支座处，有：
a M 2 ( x) (l x) P； a x l l
A
C
B
C点的挠度和转角相等。 P214，例题8-1
l a M 1 ( x) px； 0 x a l
d 21 l a EI 2 M 1 ( x) Px dx l 3 2 P ( l a ) x P(l a) x C1 x D1 EI1 C1 EI1 6l 2l
横截面形心处垂直于轴线方向的位移，称为挠
度； 变形后横截面相对于变形前位置绕中性轴转过 的角度，称为转角； 横截面形心沿轴线方向的位移，成为轴向位移。
2、弯曲变形的挠度曲线
在弹性范围内，梁的轴线在弯曲变形 变成一条连续光滑的曲线，称为弹性曲线 或挠度曲线。 挠度曲线上某一点的曲率半径与这一 点横截面上的弯矩、弯曲刚度的关系：
d y K 3 2 ds 1 y dx ( 1 y2 ) 2
y dx 2 1 y
，有：K y 当 y 1
3、小挠度微分方程及其积分
M K y 方法一： EI
方法二：
1
d 2 M 2 dx EI
d dx
1
d d 2 dx dx
y
连续可导。在曲线上取一 点A(x0，y0)作为基点，对于 f ( x) 曲线上任意一点M(x，y)， 规定： N T 曲线的正向为x增大的 方向；
A
M
x
s AM
o
s f ( x) 是x的单调增函数
s f ( x) 的导数与微分：
N ( x x，y y) 为曲线上另 一点， s MN
在固定端处，有： 0和 0
连续条件是指在梁的弹性范围内，其轴线弯曲变 形为一条连续光滑曲线，因此在集中力、集中力偶以 及分布载荷的间断处，两侧的挠度和转角相等。 a l a P FB P F P x B A A l l
( x) C
a
l
M l a pa l
AC段弯矩方程： l a M 1 ( x) ( ) Px； 0 x a l BC段弯矩方程：
M EI 1
在小变形情况下，轴向位移与挠度相 比为高阶小量，通常不考虑。
( x)
( x)
挠度与转角的关系： 如图：挠度 与转角的关系
x
x
( x)
d tan dx
挠度方程
小变形情况下： tan d dx
二、小挠度微分方程及其积分
1、弧微分
函数 f ( x)在区间（a,b）上
2
d d K ds dx
d 2 dx 1
2
M EI
挠度曲线近似微分方程。
1
d M 2 dx EI
2
d 2 M 2 dx EI
式中的正负号与坐标取向相关。
对于等截面梁，对上式进行不定积分，得：
d EI M ( x)dx C 转角方程： EI dx l
K s
s
点M处的曲率：
d K lim s 0 s ds
M
o
x
设 y f ( x) 二阶可导，有：
y tan
arctan y
y d (arctan y)dx dx 2 1 y
2 由：ds 1 y dx
2 MN s MN x x MN f ( x) 2 MN x 2 y 2 2 MN N x T 2 MN y 2 1 2 MN x
2
有：
y
2
MN x
2
A
M
x
o
x0
x x x
得： s
MN MN
2
y 2 1 x 2
当： x 0，N M
lim N M
MN MN
1，
2
y lim y x 0 x
s f ( x) 是x的单调增函数 由于：
2 ds 1 y dx
弧微分公式
2、曲率的定义
描述曲线局部弯曲程度的量 如图：s MM ，M M 切线的转角为
y
f ( x)