动力气象学第五章.hlw
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大气中（基本方程中）除了大尺度的天气波动外， 还存在其他波动。
大气中四类基本波动： 大气长波，声波，重力波，惯性波
（∵没有电磁学方程，∴不能不包含电磁波、光波）
各种波动的形成机制、性质及对天气产生的影响有所不同， 因此，在进行大气波动学分析时，不可能把所有波动类型都考 虑进去。
大气声波波速约330 m/s，所产生的气压扰动的振幅只有约0.1hPa，声波对天气 几乎没有影响；旋转大气中的重力内波主要与中尺度飑线、山地背风波、晴空 湍流等有关，对地转平衡的建立和维持做贡献；大气长波传播速度10 m/s左右， 气压扰动可达20 hPa以上，大气长波（Rossby波）与大范围天气的演变有关。
在数值预报中滤波很重要：
u f (t) 差分 u f (t)
t
t
utt ut f (t) t
即用有限元(t)代替无限元(t 0), u u t t
时间步长t 0时,误差 0,由于计算机资源限制，
t不能取太小
u
u
t
t
∆t
∆t
如果取时间步长为10分钟，对于时间尺度为105s的天 气尺度波动来说，误差较小。而对于像声波等快波 来说，误差就很大(随机的），且是累积的。
大气运动＝纬向平均运动＋涡旋运动 ＝大气环流＋天气系统
2011年 7月15日 500 hPa北半球位势高度场及其纬向偏 差（单位：10gpm）
水面波
以直观的天气学和物理学图像作为基础，在气 象学中引入“波动”概念，并用数学方式进行理论 探讨和完善→大气波动理论→大气波动学
（感性认识→理论完善）
波动学的优点： 1、可以利用成熟的波动学理论对天气系统形
若质点振动方向与波的传播方向垂直，此种波 动称为横波。
3、波动的数学表示
实际大气扰动不是单纯的简谐波，可以看成是 各种不同波长、不同振幅（强度）的简谐波的叠加。
各简谐波之间位相会有差异，因而出现振幅相抵 消或叠加的现象。
数学上，任一周期函数都可以用傅立叶级数展开来 表达。
某物理量的波在纬圈上展开成傅立叶级数：
i ( k1 k2 x 1 2 t )
i ( k1 k2 x 1 2 t )
i ( k2 k1 x 2 1 t )
Ae 2
2 [e 2
2 e 2
2]
ei ei cos i sin cos i sin
2 cos
令：k
k1
2
k2
,
1
2
2
; k
k2
k1,
2
1
则：S 2 A cos( k x t)ei(kxt)
如何在方程组中就进行滤波？ 例如：声波是由于大气可压缩性引起的。 假设大气是不可压的就可以滤去声波，但对天 气波动影响不大。
研究天气波动的机制、性质——理解天气变化的 规律和机理。 研究次要波动的机制和性质——滤波。 所以，只要是基本方程包含的波动，都必须研究。
本章内容
§1 波动的基本概念 §2 波群与群速度 §3 微扰动线性化方法 §4 声波 §5 重力外波和重力惯性外波 §6 重力内波 §7 大气长波 §8 “噪音”与滤波
S(x,t) Sm
m
m=1,2,3…
Sm Bm cos km (x cmt) Dm sin km (x cmt)
Am cos[km (x cmt) m ] 第m个谐波
已知S (x, t)，可以得到各Bm、Dm或者Am。
m：纬向波数目，一个纬圈上波的个数（整数）
m=1,2,3…
m——纬向波数目（整数）
Acos[kx (t T ) ] Acos(kx t )
上式成立的条件：T 2
iii）圆频率ω：
T 2
2 T 2 时间内质点完成全振动的次数。
iv）波长L：相邻两个同位相点之间的距离
Acos[k(x L) t ] Acos(kx t )
z
L
L 2
k
x
o
v）波数k：2π距离内包含了多少个波长
波动的机制包括振荡机制和传播机制，二者缺一不可。
①振荡引起的机制（回复机制）： 机械学中的观点：回复力。
如
大
气
层
结
稳 不
定 稳
： 定
净 ：
浮 净
力 浮
与 力
位 与
移 位
方 移
向 方
相 向
反 相
， 同
可 。
以
产
生
振
荡
；
②传播机制：质点与质点之间的联系。
波动的最大特点：周期性 ——时间上周期变化；空间上周期分布 ——有规律、重复发生 ——可预测
例1 气旋增强： 涡度增加～涡旋动力学； K’增加～能量学； 槽加深～波动学。
例2 系统移动：
槽脊东移～波动学；
如果
气旋前：
t
气旋后：
t
0,即 0,即
气旋东移～涡旋动力学。
目前波动学是主流理论。
波动学目的： 通过大气运动方程组，利用波动学理论
讨论天气系统的形成、发生发展及移动的机理。 存在问题：
S ( x, t ) S i S m
i
可见：四个脊四个槽， 所以，四波最强
如果考虑“线性波动的传播问题”时候， 可以近似把波动考虑为简谐波形式解。
如果是线性波动，波动方程为：
LS (x,t) 0, L为线性算子，则有：
L Sm 0 LSm 0
m
m
LSm 0
取波动形式解为——简谐波解 1某个简谐波最具有代表性 2每个简谐波都满足原方程，都具有相同性质解
波长L=l/m，a地球半径，φ纬 度
纬向波数目 纬向波数
m
l L
2 R
L
2
a cos L
2 2 2 m m
km
L
l/m
l
a cos
实际扰动虽然是许多简谐波组成，但往往只有几个 谐波分量是主要的，其频率、振幅虽然不同，但动 力学性质往往一样。因此如果想得到定性的结果， 分析一个典型的谐波分量就足够了。
2、波动的数学模型、波参数
简谐振动：回复力大小与位移成正比，方向与位移 相反。
设质量为M，回复力大小为-ky，k为比例系数。
根据牛顿第二定律：
M d 2 y ky d 2 y k y
dt 2
dt2 M
令
k M
=
2，则：d 2 dt
y
2
+2 y=0
简谐振动方程
简谐振动方程的解为： y c1 sint c2 cost Acos(t )
和圆频率。即：
k
k1
k2 2
k1
k2,
1
2
2
1
2
载波的波速也接近于各个单波的波速，即：
c 1 2
k k1 k2
振幅：A(x,t) 2 A cos( k x t)
22
称为低频包络，它是载波的包络线，是载波最大振幅 点的连线，又称波包迹。
波包迹随时空是周期变化的，且传播的。
波包迹的传播速度：C g
讨论线性波动的传播问题：
S Acos(kx t)
或S Aei(kxt)
S Re Aei(kxt)
ei cos i sin
简谐波的复数形式（略去实部符号Re）
振幅A为常量，不随时空变化，没有办法讨论波 的强度变化，同样无法讨论频率、波数的时空变化。
对于非线性波动——波－波相互作用的讨论使用别 的方法。
4、二维、三维平面波
一维波动（位相只随x变化），波动在x方向上传播。
S ( x , t ) A e i A e i ( kx t ) kx t k(x ct)
★一维波动
一维运动
一维运动:
u 0, v w 0, 0 y z
一维波动: 0, v / w可 以 不 等 于0
第五章 大气中的基本波动 Atmospheric Oscillations
2000年 ？1？月 5？0？0 hPa
北半球位势高度场 （单位：10gpm）和温
度场 （单位：℃）
天气图上可见：高度场、温度场基本呈波状分布。 因此，似乎可用物理学中研究波动现象的方法来讨论 大气运动。
注意：在高空天气图上看到的是气流的流型，并非是 波动。但西风气流大幅度的弯曲流动折射出大 气长波的存在。
K r t 波矢K ，等位相面的法线方向
波速C的方向
c
s t
, cpx
x t
c cpx
典型波动：
一维波动：渠道波 二维波动：湖里水面波 三维波动：声波、电视塔发射的球面波
单个简谐波解（单波解）：
S Aei
kx ly nz t 三维波动 kx ly t 二维波动
声波
弹性振动（大气的可压缩性）
快波
惯性波
惯性振荡（旋转性）+辐合辐散
高频波
重力内波 浮力振荡（层结性）+辐合辐散
高频波
重力外波 辐合辐散
快波
Rossby波 β效应
慢波
重 次
要 要
： ：
大 如
气 声
长 波
波 等
谐音： 噪音：
要保留的； 要去 掉的 。
滤
波
滤波的目的：去除次要波动的干扰，讨论主要波动。
成机理、发生发展和移动进行研究。 2、由于槽脊的移动是等位相线的运动，即波
的移动，所以，槽脊的移速＝相速＝波速。 3、波动学把气旋（低压）、反气旋（高压）
系统联系起来。
波动学与涡旋动力学、大气能量学： ∆ 讨论的对象、内容、目的相同； ∆ 角度和理论不同，可以互相补充。 学习中应该将它们联系起来思考。
k 2
L
vi）位相θ: 波在x轴上各点各时刻的位置，α为初位相；
y Acos(kx t ) Acos
const. 的点构成的面称为等位相面。
kx t
Ⅶ）波速：等位相线（面）的移速，即：槽脊的移动速度。
dx C
dt 常量
＝(kx t)＝常量 k dx 0
dt
C dx
L 一个周期，正好移动一个全波形
dt 常量 k T
波动学中，天气系统的移动问题也就是求解波速C的问题。
S ( x, t) A cos( 2 x 2 t) A cos(k x t) A cos k ( x ct)
LT
一石激起千重浪
按振动方向与波动传播方向的关系，可分为横波 与纵波两大类。
若质点振动方向与波的传播方向一致，此种波 动称为纵波。
K2 k2 l2
而c px
k
, cpy
l
因为k、l均 K
所以c
px、c
均
py
C
C cpxi cpy j
C
s t
, cpx
x t
C cpx
不满足矢量合成法则
三维波动：
S (x, y, z, t) Aei Ae , i(kxlynzt )
kx ly nz t
K ki lj nk r =xi yj zk
22
由上式可见，波群中包含两个波动的乘积。
令：A(x,t) 2 A cos( k x t) 则 ： S A ( x , t )e i(kx t )
22
波数为k，圆频率为ω，振幅为 A ( x, t )的波动。
其中：ei(kxt ) 称为高频载波（合成波列）。
载波的波数k和圆频率ω都分别接近各个单波的波数
kx t 一维波动
第二节 波群与群速度
振幅表示了波动强度（能量 E A 2 ）。
S Sm0 单个简谐波，振幅A是常量。
S Sm 多个简谐波叠加可以表达实际的波动
m
振幅是时空的函数
考虑“线性波动传播”时，使用单个简谐波解； 考虑波动强度变化时，应该用多个简谐波叠加 ——称波群或波列。
y z
二维波动：在x和y方向均有传播
S (x, y, t) Aei
kx ly t
k和l分别为x和y方向的波数。
k 2 / Lx，l 2 / Ly，Cpx / k，Cpy / l
大气长波的斜槽结构可用二维波动表达。 等位相面是倾斜的。
C=
K
K K
K2
K=
k2
l 2（ki
lj）
第一节 波动的基本概念
1、波动定义： 质点受力的作用围绕某平衡位置振动，振动在空
间的传播形成波动。
需要二个条件： 1）振动 2）能够传播：质点与质点之间建立联系。 例如：单个单摆摆动，不能引起其它单摆摆动；但用 一根线把它们的摆球连起来，一个摆动可以传播出去。
波动传播的是振荡的状态。 波动是能量传播的一种基本形式。
k
2
k
dБайду номын сангаас
dk
2
波波的振振幅幅（（波能能 量量 ））的的传传速播称速为度群称速为度群。速 。
cg
d
dk
c
k
dc dk
振幅：A(x,t) 2 A cos( k x t)
振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，多属于 常微分方程问题。
•简谐振动稳定的传播所形成的波动称为简谐波。
一维简谐波解： y Acos(kx t ) Acos
波动是以时间、空间为变量的，属于偏微分方程问题。
波参数：
i）振幅A：物体离开平衡位置的最大位移
ii）周期T：空间固定位置上的点完成一次全振动所需时间
多个简谐波迭加至少是2个。考察二个振幅相同， 频率与波数相近的简谐波迭加的结果。
S1 Aei(k1x1t ) , S 2 Aei(k2 x2t ) k2 k1 k1 & k2 波数相近
2 1 1 & 2 频率相近
波包迹
载波
S S1 S2 Aei(k1x1t ) Aei(k2x2t )
大气中四类基本波动： 大气长波，声波，重力波，惯性波
（∵没有电磁学方程，∴不能不包含电磁波、光波）
各种波动的形成机制、性质及对天气产生的影响有所不同， 因此，在进行大气波动学分析时，不可能把所有波动类型都考 虑进去。
大气声波波速约330 m/s，所产生的气压扰动的振幅只有约0.1hPa，声波对天气 几乎没有影响；旋转大气中的重力内波主要与中尺度飑线、山地背风波、晴空 湍流等有关，对地转平衡的建立和维持做贡献；大气长波传播速度10 m/s左右， 气压扰动可达20 hPa以上，大气长波（Rossby波）与大范围天气的演变有关。
在数值预报中滤波很重要：
u f (t) 差分 u f (t)
t
t
utt ut f (t) t
即用有限元(t)代替无限元(t 0), u u t t
时间步长t 0时,误差 0,由于计算机资源限制，
t不能取太小
u
u
t
t
∆t
∆t
如果取时间步长为10分钟，对于时间尺度为105s的天 气尺度波动来说，误差较小。而对于像声波等快波 来说，误差就很大(随机的），且是累积的。
大气运动＝纬向平均运动＋涡旋运动 ＝大气环流＋天气系统
2011年 7月15日 500 hPa北半球位势高度场及其纬向偏 差（单位：10gpm）
水面波
以直观的天气学和物理学图像作为基础，在气 象学中引入“波动”概念，并用数学方式进行理论 探讨和完善→大气波动理论→大气波动学
（感性认识→理论完善）
波动学的优点： 1、可以利用成熟的波动学理论对天气系统形
若质点振动方向与波的传播方向垂直，此种波 动称为横波。
3、波动的数学表示
实际大气扰动不是单纯的简谐波，可以看成是 各种不同波长、不同振幅（强度）的简谐波的叠加。
各简谐波之间位相会有差异，因而出现振幅相抵 消或叠加的现象。
数学上，任一周期函数都可以用傅立叶级数展开来 表达。
某物理量的波在纬圈上展开成傅立叶级数：
i ( k1 k2 x 1 2 t )
i ( k1 k2 x 1 2 t )
i ( k2 k1 x 2 1 t )
Ae 2
2 [e 2
2 e 2
2]
ei ei cos i sin cos i sin
2 cos
令：k
k1
2
k2
,
1
2
2
; k
k2
k1,
2
1
则：S 2 A cos( k x t)ei(kxt)
如何在方程组中就进行滤波？ 例如：声波是由于大气可压缩性引起的。 假设大气是不可压的就可以滤去声波，但对天 气波动影响不大。
研究天气波动的机制、性质——理解天气变化的 规律和机理。 研究次要波动的机制和性质——滤波。 所以，只要是基本方程包含的波动，都必须研究。
本章内容
§1 波动的基本概念 §2 波群与群速度 §3 微扰动线性化方法 §4 声波 §5 重力外波和重力惯性外波 §6 重力内波 §7 大气长波 §8 “噪音”与滤波
S(x,t) Sm
m
m=1,2,3…
Sm Bm cos km (x cmt) Dm sin km (x cmt)
Am cos[km (x cmt) m ] 第m个谐波
已知S (x, t)，可以得到各Bm、Dm或者Am。
m：纬向波数目，一个纬圈上波的个数（整数）
m=1,2,3…
m——纬向波数目（整数）
Acos[kx (t T ) ] Acos(kx t )
上式成立的条件：T 2
iii）圆频率ω：
T 2
2 T 2 时间内质点完成全振动的次数。
iv）波长L：相邻两个同位相点之间的距离
Acos[k(x L) t ] Acos(kx t )
z
L
L 2
k
x
o
v）波数k：2π距离内包含了多少个波长
波动的机制包括振荡机制和传播机制，二者缺一不可。
①振荡引起的机制（回复机制）： 机械学中的观点：回复力。
如
大
气
层
结
稳 不
定 稳
： 定
净 ：
浮 净
力 浮
与 力
位 与
移 位
方 移
向 方
相 向
反 相
， 同
可 。
以
产
生
振
荡
；
②传播机制：质点与质点之间的联系。
波动的最大特点：周期性 ——时间上周期变化；空间上周期分布 ——有规律、重复发生 ——可预测
例1 气旋增强： 涡度增加～涡旋动力学； K’增加～能量学； 槽加深～波动学。
例2 系统移动：
槽脊东移～波动学；
如果
气旋前：
t
气旋后：
t
0,即 0,即
气旋东移～涡旋动力学。
目前波动学是主流理论。
波动学目的： 通过大气运动方程组，利用波动学理论
讨论天气系统的形成、发生发展及移动的机理。 存在问题：
S ( x, t ) S i S m
i
可见：四个脊四个槽， 所以，四波最强
如果考虑“线性波动的传播问题”时候， 可以近似把波动考虑为简谐波形式解。
如果是线性波动，波动方程为：
LS (x,t) 0, L为线性算子，则有：
L Sm 0 LSm 0
m
m
LSm 0
取波动形式解为——简谐波解 1某个简谐波最具有代表性 2每个简谐波都满足原方程，都具有相同性质解
波长L=l/m，a地球半径，φ纬 度
纬向波数目 纬向波数
m
l L
2 R
L
2
a cos L
2 2 2 m m
km
L
l/m
l
a cos
实际扰动虽然是许多简谐波组成，但往往只有几个 谐波分量是主要的，其频率、振幅虽然不同，但动 力学性质往往一样。因此如果想得到定性的结果， 分析一个典型的谐波分量就足够了。
2、波动的数学模型、波参数
简谐振动：回复力大小与位移成正比，方向与位移 相反。
设质量为M，回复力大小为-ky，k为比例系数。
根据牛顿第二定律：
M d 2 y ky d 2 y k y
dt 2
dt2 M
令
k M
=
2，则：d 2 dt
y
2
+2 y=0
简谐振动方程
简谐振动方程的解为： y c1 sint c2 cost Acos(t )
和圆频率。即：
k
k1
k2 2
k1
k2,
1
2
2
1
2
载波的波速也接近于各个单波的波速，即：
c 1 2
k k1 k2
振幅：A(x,t) 2 A cos( k x t)
22
称为低频包络，它是载波的包络线，是载波最大振幅 点的连线，又称波包迹。
波包迹随时空是周期变化的，且传播的。
波包迹的传播速度：C g
讨论线性波动的传播问题：
S Acos(kx t)
或S Aei(kxt)
S Re Aei(kxt)
ei cos i sin
简谐波的复数形式（略去实部符号Re）
振幅A为常量，不随时空变化，没有办法讨论波 的强度变化，同样无法讨论频率、波数的时空变化。
对于非线性波动——波－波相互作用的讨论使用别 的方法。
4、二维、三维平面波
一维波动（位相只随x变化），波动在x方向上传播。
S ( x , t ) A e i A e i ( kx t ) kx t k(x ct)
★一维波动
一维运动
一维运动:
u 0, v w 0, 0 y z
一维波动: 0, v / w可 以 不 等 于0
第五章 大气中的基本波动 Atmospheric Oscillations
2000年 ？1？月 5？0？0 hPa
北半球位势高度场 （单位：10gpm）和温
度场 （单位：℃）
天气图上可见：高度场、温度场基本呈波状分布。 因此，似乎可用物理学中研究波动现象的方法来讨论 大气运动。
注意：在高空天气图上看到的是气流的流型，并非是 波动。但西风气流大幅度的弯曲流动折射出大 气长波的存在。
K r t 波矢K ，等位相面的法线方向
波速C的方向
c
s t
, cpx
x t
c cpx
典型波动：
一维波动：渠道波 二维波动：湖里水面波 三维波动：声波、电视塔发射的球面波
单个简谐波解（单波解）：
S Aei
kx ly nz t 三维波动 kx ly t 二维波动
声波
弹性振动（大气的可压缩性）
快波
惯性波
惯性振荡（旋转性）+辐合辐散
高频波
重力内波 浮力振荡（层结性）+辐合辐散
高频波
重力外波 辐合辐散
快波
Rossby波 β效应
慢波
重 次
要 要
： ：
大 如
气 声
长 波
波 等
谐音： 噪音：
要保留的； 要去 掉的 。
滤
波
滤波的目的：去除次要波动的干扰，讨论主要波动。
成机理、发生发展和移动进行研究。 2、由于槽脊的移动是等位相线的运动，即波
的移动，所以，槽脊的移速＝相速＝波速。 3、波动学把气旋（低压）、反气旋（高压）
系统联系起来。
波动学与涡旋动力学、大气能量学： ∆ 讨论的对象、内容、目的相同； ∆ 角度和理论不同，可以互相补充。 学习中应该将它们联系起来思考。
k 2
L
vi）位相θ: 波在x轴上各点各时刻的位置，α为初位相；
y Acos(kx t ) Acos
const. 的点构成的面称为等位相面。
kx t
Ⅶ）波速：等位相线（面）的移速，即：槽脊的移动速度。
dx C
dt 常量
＝(kx t)＝常量 k dx 0
dt
C dx
L 一个周期，正好移动一个全波形
dt 常量 k T
波动学中，天气系统的移动问题也就是求解波速C的问题。
S ( x, t) A cos( 2 x 2 t) A cos(k x t) A cos k ( x ct)
LT
一石激起千重浪
按振动方向与波动传播方向的关系，可分为横波 与纵波两大类。
若质点振动方向与波的传播方向一致，此种波 动称为纵波。
K2 k2 l2
而c px
k
, cpy
l
因为k、l均 K
所以c
px、c
均
py
C
C cpxi cpy j
C
s t
, cpx
x t
C cpx
不满足矢量合成法则
三维波动：
S (x, y, z, t) Aei Ae , i(kxlynzt )
kx ly nz t
K ki lj nk r =xi yj zk
22
由上式可见，波群中包含两个波动的乘积。
令：A(x,t) 2 A cos( k x t) 则 ： S A ( x , t )e i(kx t )
22
波数为k，圆频率为ω，振幅为 A ( x, t )的波动。
其中：ei(kxt ) 称为高频载波（合成波列）。
载波的波数k和圆频率ω都分别接近各个单波的波数
kx t 一维波动
第二节 波群与群速度
振幅表示了波动强度（能量 E A 2 ）。
S Sm0 单个简谐波，振幅A是常量。
S Sm 多个简谐波叠加可以表达实际的波动
m
振幅是时空的函数
考虑“线性波动传播”时，使用单个简谐波解； 考虑波动强度变化时，应该用多个简谐波叠加 ——称波群或波列。
y z
二维波动：在x和y方向均有传播
S (x, y, t) Aei
kx ly t
k和l分别为x和y方向的波数。
k 2 / Lx，l 2 / Ly，Cpx / k，Cpy / l
大气长波的斜槽结构可用二维波动表达。 等位相面是倾斜的。
C=
K
K K
K2
K=
k2
l 2（ki
lj）
第一节 波动的基本概念
1、波动定义： 质点受力的作用围绕某平衡位置振动，振动在空
间的传播形成波动。
需要二个条件： 1）振动 2）能够传播：质点与质点之间建立联系。 例如：单个单摆摆动，不能引起其它单摆摆动；但用 一根线把它们的摆球连起来，一个摆动可以传播出去。
波动传播的是振荡的状态。 波动是能量传播的一种基本形式。
k
2
k
dБайду номын сангаас
dk
2
波波的振振幅幅（（波能能 量量 ））的的传传速播称速为度群称速为度群。速 。
cg
d
dk
c
k
dc dk
振幅：A(x,t) 2 A cos( k x t)
振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，多属于 常微分方程问题。
•简谐振动稳定的传播所形成的波动称为简谐波。
一维简谐波解： y Acos(kx t ) Acos
波动是以时间、空间为变量的，属于偏微分方程问题。
波参数：
i）振幅A：物体离开平衡位置的最大位移
ii）周期T：空间固定位置上的点完成一次全振动所需时间
多个简谐波迭加至少是2个。考察二个振幅相同， 频率与波数相近的简谐波迭加的结果。
S1 Aei(k1x1t ) , S 2 Aei(k2 x2t ) k2 k1 k1 & k2 波数相近
2 1 1 & 2 频率相近
波包迹
载波
S S1 S2 Aei(k1x1t ) Aei(k2x2t )