材料力学 第十三章 能量法
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材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学(单辉祖)第十三章 能量法
第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法几何关系i ij u ~ε微体法静力学关系物理关系ijij εσ~平衡ij σd v ⇓V控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件ijε3-引言能量法1P P 1P 外力作用线弹性体恢复22P 变形效应外力卸除原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Lineariij u ~ε线弹性体f广义载荷δ广义位移δ∝f 引进比例常数δk f =下面看能量如何写?与外力有何关系?4由能量守恒WV =ε(外力功全部转化成应变能)P26488主平面微体应变能(P264 8-8)1ii εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)6外力功与应变能杆件应变能微段d x 储存应变能∫∫⋅==dVAdAdx dV dV εεευυdAxx体积分化为面积分d x dV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加==dAdx dV V εεευ变∫∫∫AlV822 EA21 2NFdx EAd ml2ρ2p外力功与应变能弯曲(忽略切应力)21zM 21zM 2zEI ευ=2z lV dxEI ε=∫Conclusion外力功与应变能应变能特点C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关M(a) M 、F 同时作用(b)ABF (b)先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?FM F M M FM M M M M =+=+19互等定理23互等定理讨论2F 独立加第I 组力系F 123411121:0;0;Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系3F 2F 21110;0:Δ′→Δ′→Δ12344F ????;21211111Δ′=ΔΔ′=Δ问1F F =k Δ保证相等27互等定理线弹性体变形能特点：大小取决于加载终值而与加载次序无关21V V =414313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点43F F II 组力系，3，4力点II 组力系作用点2212,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移4131,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移28互等定理等定功的互等定理第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---IIthen F =F FF =2then F 1Δ12= F 2Δ2112FF =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21位移互等定理弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ2129Example-1实测w 1 ,w 2 ,w 3方案：1F3211.三点装位移计浪费2.一个位移计逐点测费工1新方案(位移互等定理)F323.自由端加位移计逐点加载不影响原有力系30单位载荷法32Example-1E ample1qABlx已知：梁EI=const已知梁求：w=?θA=?A38Example-2M aCB B1x x FAa 2已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?40E l3 Example-3BA1αβ2CF已知：桁架EA, l1l2? Δ?求: Δcx=? Δcy=?43Example-4 (P20 12-5)F FR已知：小曲率曲梁AB已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求：截面A和B的相对转角46E l5(P56)Example-5 (P56)F OA BϕCA B已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求求：A的铅垂位移48余能与卡氏第二定理50。
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学第13章能量法
2
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
材料力学之能量法
A
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
工科教材—材料力学完整成套课件第13章- 能量法讲诉
解：T() PR(1 cos) , M() PR sin
U T 2 () Rd M 2 () Rd
l 2G I p
l 2EI
3 P2 R3 P2 R3
4GI p
4E I
1 W 2 P AV
由U W，得：
3 PR3 PR3
AV 2GI p 2EI
R
§13.4 互等定理
Pl EA
P
P2l N 2l
2EA 2EA
P
U N 2 (x) dx l 2EA(x)
l l
二、扭转
m
m
U
W
1 m
2
1 ml m
2 GIp
m2l 2G I p
T 2l 2G I p
T 2 (x)
U
dx
l 2G I p (x)
三、弯曲
纯弯曲：U
W
1 2
m
1 2
m
ml EI
m2l M 2l 2EI 2EI
M(x) M 0(x)
l
EA
dx
l
GIp
dx
l
EI
dx
注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广 义位移对应的广义力
例：试用莫尔定 理计算图(a)所示 A 悬臂梁自由端B 的挠度和转角。
A
A
P
B
x
l
1
B
x
1
B
x
解：(1)在B截面作用一单位力, 如图(b)所示 M(x) Px, M 0 (x) x
[ M 0 (x)]2
M(x) M 0(x)
l
2E I
dx
l
2E I
dx
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
材料力学 第十三章能量方法
l
l
l
25
例13-4 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力
M ( x ) xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x) PA x
③变形
fA
U PA
L
2
M ( x ) M ( x ) EI PA
dx
L
0
Px EI
U U ( P1 , P2 ,..., Pn )
给Pn 以增量 dPn ，则：应变能增量：
结构的应变能： U1 U U dPn
P n
U Pn
d Pn
n
Pn
2.先给物体加力 dPn ，则应变能
1 2 ( d Pn ) ( d n )
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
F l
2 3
6 EI
由于应变能V 等于外载荷所做的功W。即V =W
F l
2 3
1 2
6 EI
Fy A
由该式得自由端的挠度
yA
Fl
3
3EI
由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求 位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。
7
例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。
12
二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:
在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分 量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。
M x
FN x
dx
M x
T x
材料力学第十三章__能量方法
解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B
1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。
q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i
U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i
U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i
l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U
l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s
10 9 2 .0
U弯
l
22
1 (Px)2dxP2l3
材料力学第十三章 能量法
1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.
材料力学13能量法
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F
FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16EI
材料力学第13章(能量方法)
M 2 ( x) [ M ( x ) M ( x )]2 M 2 ( x) dx L 2 EI dx L 2 EI dx 1 f A L 2 EI
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
中国民航大学《材料力学》第13章 能量法
CAUC
几何法：
1
1
F1L1 EA
2PL EA
2β B
Δ2
Δ1
β
C
B’
D
2
PL EA
BC
21
2
2PL EA
CD
2
PL EA
BD (2 2 1)PL EA
CAUC
例5：图示简支梁 AB，承受均布载荷 q 作用。试用卡氏定理计算 B
截面的转角，设 EI 为常数。
q
解：在 B 处附加一力偶 MB，计算在 q 和
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能。
固体在外力作用下，引起力作用点沿力作用方向位移，外力 因此而做功。另一方面，弹性固体因变形而具备了做功的能 力，即储存了变形能。物体的变形能在数值上等于外力在加 载过程中在相应位移上所做的功，即
Vε ＝W
在弹性范围内，弹性体的变形能量是可逆的；超过弹性范围， 塑性变形将耗散一部分能量，变形能不能全部再转变为功。
CAUC
第一节 外力功、应变能与克拉比隆定理
一 杆件变形能的计算
1、轴向拉伸或压缩
Vε
W
1 2
FN
L
FN2 L 2EA
当拉力FN为变量时，
F
dF F
L
L
d(L)
dVε
FN2 (x) 2EA
dx
2、纯剪切
Vε
L
FN2 (x) 2EA
dx
u 2 1
2G 2
单位体积变形能：
u Vε
2
1
关系时，才能应用卡氏定理。
卡氏定理的特殊形式：
(1)横力弯曲的梁：
材料力学-13 能量法共36页文档
RA
2a
a
1/2
2a
a
【解】
RA
qa 2
1 RA 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”）
AB:
M(x1)
q2ax1
qx12 2
M
(
x1
)
x1 2
河南理工大学力学系
材料力学
q
A
RA
2a
F=qa
B
CA
x2
a
1/2
第十三章 能量法
1
B
C
x2
2a
a
BC:
M(x1)q2ax1
qx12 2
M(
x1 )
§13-2 杆件变形能的计算
一、变形能的计算
拉压变形能 扭转变形能
V
FN2l 2EA
T 2l V 2GI p
河南理工大学力学系
材料力学
第十三章 能量法
弯曲变形能
Me
1. 纯弯曲
θ
Me
Me
Me
V W 1 2M eθ1 2M eM E el IM 2E e2lI
2. 横力弯曲
V
Me2(x)dx l 2EI(x)
河南理工大学力学系
材料力学
第十三章 能量法
例题13-2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性 节点, ABC=90°在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚 度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移。
F
A a
C Bb
河南理工大学力学系
材料力学
F
C
A
x1
x2 B b a
【解】在 C点加竖向单位力
V L 2EI dx
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l/2
F Me
A
C
B
1
2
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
δ1
Fl 3 48EI
Mel 2 16EI
δ2
θ
Fl 2 16EI
Mel 3EI
梁的变形能为
U
1 2 Fδ1
1 2
Meδ2
1 EI
F 2l3 (
96
Me2l 6
MeFl 2 ) 16
点名
先加力 F 后，再加力偶 Me
先加力 F后，C 点的位移
(Chapter Thirteen) (Energy Method)
点名
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading ) §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 单位荷载法 • 莫尔定理 (Unit-load method & mohr’s theorem) §13-5 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for mohr’s integration)
横力弯曲 (nonuniform bending )
U
M
2 e
(
x
)dx
l 2EI ( x)
点名
4、组合变形的变形能（Strain energy for combined loads) 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立， 力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功.
U FN2( x) dx T 2( x) dx M 2( x)dx
3
F2
一广义位移，例如 2可表示为
B
B' F3
C
δ2 C1F1 C2F2 C3F3
F2 (C1
F1 F2
C2
C3
F3 F2
)
F1
1
2
C1F1，C2F2，C3F3 分别表示力 F1 , F2,
A
F3 在 C 点引起的竖向位移.
C1，C2，C3 是比例常数. 在比例加载时 F1/F2和 F3/F2 也是常数
点名
§13-2 杆件变形能的计算
( Calculation of strain energy for various
types of loading )
一、杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading )
1、轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads)
(
FRsin
)2
Rd
πF 2R3
0 2EI
8EI A
F
R
θ
O
W
1F 2
ΔBV
由 U=W 得
ΔBV
πFR3 4EI
点名
例题4 拉杆在线弹性范围内工作. 抗拉刚度 EI ，受到F1和F2 两个力作用.
(1) 若先在 B 截面加 F1 ， 然后在 C 截面加 F2 ；
(2) 若先在 C 截面加 F2 ， 然后在 B 截面加 F1.
U T 2( x) dx
l 2GIp ( x)
或
n
U
Tn2i li
i1 2Gi Ipi
点名
3、 弯曲变形的变形能
Me
（Strain energy for flexural loads)
θ
纯弯曲（pure bending ) Me
Me
Me
U
W
1 2 Me θ
1 2 Me
Mel EI
Me2l 2EI
δ1
Fl 3 48EI
l/2
l/2
F
A
C
B
1
力 F 所作的功为
W
1 2
Fδ1
1F 2
Fl 3 48EI
力偶由零增至最后值 Me
B 截面的转角为 θ Mel 3EI
l/2
l/2
F Me
A
C
B
力偶
Me 所作的功为 W2
1 2
Meθ
1 2
Me
Mel 3EI
C截面的位移为
δ3
Mel 2 16EI
先加上的力F所作的功为
U
W
1 FΔl 2
1 2 FNΔl
Δl Fl FNl EA EA
U F 2l FN2l 2EA 2EA
当轴力或截面发生变化时：
U n FN2i Li i1 2Ei Ai
点名
当轴力或截面连续变化时：U l FN2( x)dx
0 2EA( x)
▼
比能 （ Strain energy density) ： 单位体积的应变能. 记作u
1 2
F2δC2
F22(a 2EA
b)
A
a
B
F1
b C
F2
点名
在加F2 后，B截面又有位移
δB2
F2a EA
在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）
W3
F1δB2
F1F2a EA
所以应变能为
A
a
B
F1
b C
U
W
1 2
F1δB1
1 2 F2δC2
F1δB2
F2
F12a F22(a b) F1F2a
1、计算变形能(Calculating strain energy)
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
点名
例1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的
挠度. F
解：
A
B
M(x) F x
x
l
U M 2( x)dx l (Fx)2dx F 2l 3
F1
couple)
1
2
δ--广义位移
C' (generalized displacement)
A
包括线位移和角位移
(include normal displacement &angular displacement)
点名
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义
位移也由零增致最后值. 对于线性结构，位移与荷载之间是线性关系，任
F 2a2 2EIl 2
b3 3
F 2a2b2 6EIl
F
B
C
x2
b l
W
1F 2
vC
由 U=W 得
Fa 2b 2 vC 3EIl
点名
例3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B
截面的垂直位移. 已知EI 为常量.
B
解： M( ) FRsin
U M 2( ) Rd
l 2EI
π 2
点名
§13-1 概述（Introduction)
一、能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
二、外力功（Work of the external force)
固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功.
u
U
1 2
FΔl
1
σε
V Al 2
σ Eε
u 1 σε σ 2 Eε2 （单位 J/m3) 2 2E 2
点名
2、扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads)
Me
Me
Me
l
U
W
1 2
M
e
Δ
1 2 Me
Mel GIp
Me2l 2GIp
T 2l 2GIp
分别计算两种加力方法拉杆的应变能.
A
a
B
F1
b C
F2
点名
(1) 先在 B 截面加 F1，然后在 C 截面加 F2 在 B 截面加 F1， B截面的位移为
δB1
F1a EA
外力作功为
W1
1 2
F1δB1
F12a 2EA
再在C上加 F2
C截面的位移为
δC2
F2(a b) 2EA
F2 作功为
W2
F1
b C
所以应变能为
F2
1
1
U W 2 F1δB1 2 F2δC2 F1δB2
F12a F22(a b) F1F2a
2EA 2EA
EA
点名
注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别. (2) 应变能 U只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载
次序无关.
点名
l/2
The formula:
U=W
（Work-Energy Principle)
We will not consider other forms of energy such as thermal energy, chemical energy, and electromagnetic energy. Therefore, if the stresses in a body do not exceed the elastic limit, all of work done on a body by external forces is stored in the body as elastic strain energy.