静电场4(电场与电势关系)
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q 0dU
E cos dl dU
E
b
a
dl
Ub
q0
Ua
El
E cos
dU dl
U b U a dU
2、微分关系
Eb
El
E cos
dU
dl
a
dl
Ub
q0
电场强度 E
在某一方向
dl
上的分量
E
l
Ua
等于该方向单位长度上电势的减少。
对 X，Y，Z 方向有：
U
EX
X
EY
U Y
U E Z Z
小结：等势面的性质 1. 在静电场中，沿等势面移动电荷时
电场力所作的功为零。
2. 电场线和等势面处处正交。
3. 电场线（电场强度方向）总是指向 电势降低的方向。
4. 电场强度的大小和等势面之间的距 离成反比。
二、电场强度与电势的关系
电场中各点的性质可以用 E 和 U 两 个物理量来描述。它们有一定关系。
2. 等势面与电场线的关系
结论1：电场线与等势面处处垂直
将正电荷 q0 沿电场线（电场强度方向）
从A移动到B，电场力作正功
dA q 0Edl
BE
UB
q 0(U A U B ) 0 U A U B
q o dl
UA
A
结论2：电场强度的方向总是指向 势降低的方向
3. 等势面图示法 等势面画法规定：相邻两等势面之间的
已知 U ，可求 E ( E X , EY , E Z )
[ 例1 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点
的电势为： q
q
ε ε U = 4π or = 4π o(x 2பைடு நூலகம்R 2)1 2
求：轴线上任一点的场强。
r
R
[解]
U
E E x x
X
X
q
4 0
(x 2
x R
2
)
3 2
[ 例2 ] 已知一点电荷的电势为： q
§8-5 电场强度与电势的关系
描述电场有两个物理量：
E
U
它们之间有一定的关系。
一、等势面 电场图示法：
电场线 等势面
1. 等势面：在静电场中，电势相等的 点连接组成的曲面。
1. 等势面：在静电场中，电势相等的 点连接组成的曲面。 点电荷的等势面
+
电偶极子的等势面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
v2
v
2 0
2ad
2 qE Ed m
V U A U B Ed
E
1 mv 2
2
1 mv 2
2 0
qV
q+
A
v0
d
B
2、 粒子初速 v 0 与电场垂直
qE
aX 0 aY m
x v0t
Y
y
1 2
a
Y
t
2
1 qE 2m
t2
E
y 1 qE x 2
2
mv
2 0
+
v0
X
[例] 将半径分别为 R1 和 R2 (R2 R1)
2. 等势面与电场线的关系
动
若A、B为一等势面。
dl ，设
E
与 dl
成θ
q0 在等势面上移
角。
dA q0 (U A UB ) 0 电场力不作功，所以
dA q0 E dl q0E cosdl 0
因为 所以
E0
2
，q0
即
0，dl
E dl
0
qo A
E θ dl
B
结论1：电场线与等势面处处垂直
U = 4πε or
求：任一点的场强。
[解]： E
Er
U r
q1
q
( )
4 0 r 2 4 0r 2
[例3] 求均匀带电圆盘轴线上一点的
电场强度。圆盘半径 R，电荷面密度
[解] 先求电势
Rr
dq
dq 2rdr
X
X
dU
dq
rdr
4 0 r 2 x 2
2 0 r 2 x 2
R
1、积分关系
U a E dl E cos dl
a
b a
b
U ab U a U b E dl E cos dl
a
a
已知
E ，可以求
U a 和 U ab 。
2. 微分关系
电荷 q 0 从a 经位移 dl 到达 b ，
电场力所作功为：
dA q 0E cos dl
q 0(U a U b )
U
rdr
R2 x2 x
0 2 0 r 2 x 2 2 0
U R 2 x 2 x R
2 0
再由电势求电场
X
X
U
U
EY
Y
0
EZ
Z
0
EX
U X
x
2 0
R 2 x 2 x
E
EX
2 0
1
R
x 2
x
2
8-6 带电粒子在静电场中的运动 一、带电粒子在静电场中所受力
电势差相等。 将单位正电荷沿等势面法线方向移动。
U A U B E 1dl 1
U B U c E 2dl 2 A
因为 U A U B U B U C B
所以 E1dl 1 E 2dl 2 C
E1 dl1
E2 dl2
U dU
U U dU
若 dl 1 dl 2，则 E1 E2
等势面越密的地方电场强度越大。
F qE
[例] 电偶极子在电场中所受的作用
F F qE
F
+
M Fd qEl sin l p
Pe E sin
F
e
θ
M Pe E
E
二、带电粒子在静电场中的运动
m dv
F qE
dt
1 mv 2
2
1 mv 2
2 0
q (U
U 0)
qV
1、 粒子初速 v 0 与电场平行
a F qE mm
的两个很长的共轴金属圆筒分别连
到直流电源的两极上。让一电子以
速率 v 沿半径为 r (R1 r R2 ) 的 圆周切线方向射入两圆筒间。欲使
电子作圆周运动，电源电压应多大？
[解]
v2 m eE
mv 2 E
V
r
R2
Edr
R1
mv e
2 R2 dr R1 r
er
mv e
2
ln
R2 R1
E cos dl dU
E
b
a
dl
Ub
q0
Ua
El
E cos
dU dl
U b U a dU
2、微分关系
Eb
El
E cos
dU
dl
a
dl
Ub
q0
电场强度 E
在某一方向
dl
上的分量
E
l
Ua
等于该方向单位长度上电势的减少。
对 X，Y，Z 方向有：
U
EX
X
EY
U Y
U E Z Z
小结：等势面的性质 1. 在静电场中，沿等势面移动电荷时
电场力所作的功为零。
2. 电场线和等势面处处正交。
3. 电场线（电场强度方向）总是指向 电势降低的方向。
4. 电场强度的大小和等势面之间的距 离成反比。
二、电场强度与电势的关系
电场中各点的性质可以用 E 和 U 两 个物理量来描述。它们有一定关系。
2. 等势面与电场线的关系
结论1：电场线与等势面处处垂直
将正电荷 q0 沿电场线（电场强度方向）
从A移动到B，电场力作正功
dA q 0Edl
BE
UB
q 0(U A U B ) 0 U A U B
q o dl
UA
A
结论2：电场强度的方向总是指向 势降低的方向
3. 等势面图示法 等势面画法规定：相邻两等势面之间的
已知 U ，可求 E ( E X , EY , E Z )
[ 例1 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点
的电势为： q
q
ε ε U = 4π or = 4π o(x 2பைடு நூலகம்R 2)1 2
求：轴线上任一点的场强。
r
R
[解]
U
E E x x
X
X
q
4 0
(x 2
x R
2
)
3 2
[ 例2 ] 已知一点电荷的电势为： q
§8-5 电场强度与电势的关系
描述电场有两个物理量：
E
U
它们之间有一定的关系。
一、等势面 电场图示法：
电场线 等势面
1. 等势面：在静电场中，电势相等的 点连接组成的曲面。
1. 等势面：在静电场中，电势相等的 点连接组成的曲面。 点电荷的等势面
+
电偶极子的等势面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
v2
v
2 0
2ad
2 qE Ed m
V U A U B Ed
E
1 mv 2
2
1 mv 2
2 0
qV
q+
A
v0
d
B
2、 粒子初速 v 0 与电场垂直
qE
aX 0 aY m
x v0t
Y
y
1 2
a
Y
t
2
1 qE 2m
t2
E
y 1 qE x 2
2
mv
2 0
+
v0
X
[例] 将半径分别为 R1 和 R2 (R2 R1)
2. 等势面与电场线的关系
动
若A、B为一等势面。
dl ，设
E
与 dl
成θ
q0 在等势面上移
角。
dA q0 (U A UB ) 0 电场力不作功，所以
dA q0 E dl q0E cosdl 0
因为 所以
E0
2
，q0
即
0，dl
E dl
0
qo A
E θ dl
B
结论1：电场线与等势面处处垂直
U = 4πε or
求：任一点的场强。
[解]： E
Er
U r
q1
q
( )
4 0 r 2 4 0r 2
[例3] 求均匀带电圆盘轴线上一点的
电场强度。圆盘半径 R，电荷面密度
[解] 先求电势
Rr
dq
dq 2rdr
X
X
dU
dq
rdr
4 0 r 2 x 2
2 0 r 2 x 2
R
1、积分关系
U a E dl E cos dl
a
b a
b
U ab U a U b E dl E cos dl
a
a
已知
E ，可以求
U a 和 U ab 。
2. 微分关系
电荷 q 0 从a 经位移 dl 到达 b ，
电场力所作功为：
dA q 0E cos dl
q 0(U a U b )
U
rdr
R2 x2 x
0 2 0 r 2 x 2 2 0
U R 2 x 2 x R
2 0
再由电势求电场
X
X
U
U
EY
Y
0
EZ
Z
0
EX
U X
x
2 0
R 2 x 2 x
E
EX
2 0
1
R
x 2
x
2
8-6 带电粒子在静电场中的运动 一、带电粒子在静电场中所受力
电势差相等。 将单位正电荷沿等势面法线方向移动。
U A U B E 1dl 1
U B U c E 2dl 2 A
因为 U A U B U B U C B
所以 E1dl 1 E 2dl 2 C
E1 dl1
E2 dl2
U dU
U U dU
若 dl 1 dl 2，则 E1 E2
等势面越密的地方电场强度越大。
F qE
[例] 电偶极子在电场中所受的作用
F F qE
F
+
M Fd qEl sin l p
Pe E sin
F
e
θ
M Pe E
E
二、带电粒子在静电场中的运动
m dv
F qE
dt
1 mv 2
2
1 mv 2
2 0
q (U
U 0)
qV
1、 粒子初速 v 0 与电场平行
a F qE mm
的两个很长的共轴金属圆筒分别连
到直流电源的两极上。让一电子以
速率 v 沿半径为 r (R1 r R2 ) 的 圆周切线方向射入两圆筒间。欲使
电子作圆周运动，电源电压应多大？
[解]
v2 m eE
mv 2 E
V
r
R2
Edr
R1
mv e
2 R2 dr R1 r
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mv e
2
ln
R2 R1