第二章(3)传递函数

则
G (s)
X 0 (s) 1 2 2 X i (s) T s 2Ts 1
特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性， 这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。 y 0 (t) f (t)
i
例 如图所示质量-弹簧-阻尼系统， 0 (t ) ky0 (t ) M 0 (t ) y 列方程 f i (t ) Dy 2 F ( s ) DsY ( s ) kY ( s ) Ms Y0 (s) i 0 0 经拉氏变换得 则传递函数为
Y (s) 1 G (s) 0 Fi (s) Ms 2 Ds k 1/ k 2 M D M s2 2 s 1 k k 2 Mk 1/ k T 2s 2 , T 2Ts 1 M D , k 2 Mk
示系统的输出函数。因而，也可以把传递函数看成
单位脉冲响应的像函数； （5)分母s的阶次n大于等于分子中s的阶次m （6）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。 自变量s的量纲为1/秒 (7) 如果将传递函数进行代换s=jω，可以直接得到系统 的频率特性函数(详见第3章)。
需要特别指出的是：
由于传递函数是经过拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种 线性积分运算，因此传递函数的概念仅适用于线性定常系 统； 传递函数是在零初始条件下定义的，因此，传递函数原则
k
n0(t)
其中，ni(t) ——输入轴转速； n0(t) ——输出轴速； Z1，Z2——齿轮齿数。
(2)一阶惯性环节
凡运动方程为下面一阶微分方程
T d xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：
G( s) X o ( s) K X i ( s ) Ts 1
其中，xi(t) ——输入位移； x0(t) ——输出位移 K——弹簧刚度； D——粘性阻尼系统。
图 弹簧-阻尼系统
（3）微分环节
输出量正比于输入量的微分。
i (t ) 微分环节的数学模型 xo (t ) T x X o ( s) X o ( s) TsX i ( s) 传递函数 G( s) Ts X i ( s)
i (t)
对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的， 电路中常遇到下述的近似微分环节。
i (t ) ——输入转角； 其中， u0(t) ——输出电压。
图 永磁式直流测速机
kTs G ( s ) 2 近似微分环节 Ts 1
例7 图2-14所示的无源微分电路
u i (t)
1 u ( t ) i(t )dt i(t )R 已知 i C u 0 (t ) i(t )R
上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。
一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，因此 只适用于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间 变量的变化情况，传递函数也无法反映。
2.4.2 典型环节的传递函数 （ 1）比例环节
由比例环节的数学模型 xo (t ) Kxi (t ) X o ( s ) KX i ( s ) 传递函数 X o (s) G( s) K X i (s)
U i (s) (RCs 1)U o (s)
则
G (s )
U 0 (s ) 1 , 图 无源滤波电路 U i (s) RCs 1
其中，ui(t) ——输入电压； uo(t) ——输出电压； R为电阻；C为电容。
Biblioteka Baidu R
求低通滤波器的传递函数
u i (t )
i (t )
C
u o (t )
M k
D
f i (t) ——输入外力； 其中， y 0 ( t ) ——输出位移； M——质量； k——弹簧刚度； D——拈行阻尼系数。 图 质量-弹簧-阻尼系统
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5 二阶振荡环节
含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互 转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：
2 d d T 2 2 xo (t ) 2 T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ), 0 1 dt dt X o ( s) K G ( s ) 传递函数： X i ( s) T 2 s 2 2 Ts 1
量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。 (2) 传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同
的物理系统可能具有相同的传递函数。 (3) 传递函数比微分方程简单，通过拉氏变换将时域内 复杂的微积分运算转化为简单的代数运算；
(4) 当系统输入典型信号时，输出与输入有对应关系。 特别地，当输入是单位脉冲信号时，传递函数就表

C
i( t )
图 无源微分网络
1 U i (s) I(s) RI(s) 拉氏变换得 Cs u 0 (t) U 0 (s) RI(s) 其中， RCs 1 ui(t) ——输入电压 化简得 U i (s) R U 0 (s) u0(t) ——输出电压 RCs RC=T U ( s ) RCs R——电阻； G (s) 0 K=1 则 C——电容。 U i (s) RCs 1
2.4 传递函数
2.4.1 传递函数的定义
传递函数的概念和定义
X o ( s) 传递函数 G ( s) ˆ X i ( s)
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： t<0时，输入量及其各阶导数均为0；
输入量施加于系统之前，系统处于稳定 的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶 导数也均为0；
设线性定常系统的微分方程为
a x (t ) a x
(n) 0 o
n 1 1 o
o (t ) a n x0 (t ) (t ) a n1 x
m 1 1 i
b x
( m) 0 i
(t ) b x
i (t ) a m xi (t ) (t ) bm1 x
则零初始条件下，
对数学模型取拉氏变换 (a0 s n a1s n1 an1s an ) X o (s ) (b0 s m b1s m1 bm1s bm ) X i (s )
系统的传递函数 X o ( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 G( s) X i ( s) a n s n a n1 s n1 a1 s a0
低通滤波电路
ui (t ) Ri (t ) uo (t ) U i ( s ) RI ( s ) U o ( s ) 1 1 uo (t ) i (t )dt U o (t ) I ( s ) I ( s ) CsU o ( s ) C Cs 消去 I ( s ), 得 U i ( s ) ( RCs 1)U o ( s ) 传递函数为 X o (s) 1 1 G(s) X i ( s ) Rcs 1 Ts 1
式中，T—振荡环节的时间常数 ζ—阻尼比，对于振荡环节，0<ζ<1 K—比例系数
特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性， 这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。
X i ( s)
输出的拉氏变换 X o ( s) G( s) X i ( s)
时域中的输出 xo (t ) L [G( s) X i ( s)]
单位脉冲响应：
G ( s)
X 0 ( s)
1
g (t ) L1[G(s)]
传递函数具有以下特点：
(1) 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的 固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入
例 如图所示无源滤波电路，
1 u ( t ) i ( t ) R i( t )dt i C u ( t ) 1 i( t )dt 0 C
k
m
c
略去质量的阻尼—弹簧系统
Ui(t)
R
i(t)
Uo(t) C
已知


拉氏变换后得 消去I(s)，得
1 U ( s ) I ( s ) R I(s) i Cs U (s) 1 I(s) 0 Cs
只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。
（4）积分环节
如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 X 0 (s) k
x 0 ( t ) k x i ( t )dt
G (s) X 0 (s ) k X i (s ) s

则
X i (s) s
特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系， 有记忆功能，能提高系统的稳态精度， 系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。
特点：改善系统的动态性能； 增加系统的阻尼，提高系统的稳定性 常被作为校正装置
例 如图所示永磁式直流测速机， 已知 u (t) k di (t) 0 dt U 0 (s ) G ( s ) ks 进行拉氏变换后得 i (s ) d i 则
U 0 (s) k dt (t )
U0(t)
u i (t )
i1 (t )
+
K
0
u o (t )
R1
U o (s) K U i (s)
z1 ni(t) z2
z1 z2
n 0 (t ) z 2 n i (t ) z1
N 0 (s) z 2 N i (s) z 1 G (s) N 0 (s) z 1 , N i (s) z2
特点：输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟，而是按比例反映输入， 即线性变化。
由运算放大器构成的比例环节
R2 uo (t ) ui (t ) Kui (t ) R1 拉氏变换 U o ( s ) KU i ( s ) G ( s )
如图所示齿轮传动副，
R2
i2 (t )
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
特点：有一个阻尼元件存在，当有一个输入信号时，不会 马上达到一定值，而是需要一个缓慢上升的过程。
xi (t )
x0 (t )
忽略质量，由达朗贝尔 原理可知 o 0 数学模型 ( xi xo )k cx o kxo kxi csX o ( s ) kX o ( s ) kX i ( s ) cx X o (s) k 1 传递函数 G ( s ) X i ( s ) cs k Ts 1
数学模型 o (t ) ui (t ) RCu
uo(t)
RCsUo (s) U i (s)
U o ( s) 1 K G( s) U i ( s) RCs s
5
二阶振荡环节
G (s)
1 T s 2Ts 1
2 2
, 0 1
0 (t ) 2Tx 0 (t ) x 0 (t ) x i (t ) 如果输入，输出函数可表达为如下二阶微分方程： T 2 x 经拉氏变换得 T 2 s 2 X 0 (s) 2TsX 0 (s) X 0 (s) X i (s)
(t )
r
x(t )
数学模型 x(t ) r (t )dt
0
t
X (s)
r X (s) r ( s) G ( s) s ( s) s
齿轮——齿条传动
积分环节传递函数的一般形式 : K G ( s) s
i2(t) ui(t)
i1(t)
R a +
C
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
Xo(t)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k