第四讲矩形和菱形性质和判定
矩形和菱形的性质和判定(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形和菱形的基本概念。矩形是一种四边形，有四个直角，对边平行且相等；菱形则是四边相等的四边形，对角线互相垂直平分。它们在几何图形中具有重要的地位，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用矩形和菱形的性质来解决实际问题，如计算图形的面积和周长。
4.培养学生的数学应用意识，将矩形和菱形的知识应用于生活实际，如设计图案、计算面积等，增强数学与生活实际的联系，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形和菱形的性质：熟练掌握矩形和菱形的定义、特征及性质，包括对边平行且相等、对角线互相平分等。
举例：矩形性质的应用——计算矩形面积；菱形性质的应用——判断菱形对角线长度关系。
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察、操作矩形和菱形，使其理解并掌握其性质，能运用这些性质解决实际问题；
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过矩形和菱形的判定方法的学习，使学生能够运用严谨的逻辑推理证明四边形的类型，提高解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用矩形和菱形的相关性质，分析解决实际问题时四边形边长、角度等数据的变化规律；
（4）几何证明的逻辑推理：在判定矩形和菱形时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，能够运用已知条件和性质进行证明。
举例：运用矩形和菱形的性质，通过步骤严谨的推理过程，证明一个四边形是矩形或菱形。
在教学过程中，教师需针对这些难点和重点，采用适当的教学策略，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生透彻理解矩形和菱形的性质与判定方法，提高解决问题的能力。
（2）矩形和菱形的判定方法：理解和掌握矩形、菱形的判定条件，能够准确判断四边形的类型。
1.3_平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(4)
P
3.已知正方形ABCD中对角线 AB、 CD相交于O. ①若E是AC上的点，过A作AG⊥BE 于G，AG、BD交于F.求证OE=OF.
A F
B D
O E G C
3.已知正方形ABCD中对角线 AB、CD 相交于O. ②若点E在 AC的延长线上，AG⊥EB 交EB的延长线于G，AG的延长线交BD D 的延长线于点F， A OE=OF还成立 O 吗？若成立， 请给予证明， G C 若不成立， B 请说出理由。 F E
O
3 5
4
F
2
B
1
E
C
（1）观察四边形OECF的面积与正 方形ABCD的面积有何关系？ （2）如果将正方形A’B’C’D’换成 扇形OB’D’，满足什么条件时上述 的关系还成立吗？ A D
O
F
D’
B
E
B’
C
3.如图，正方形ABCD中，E是 对角线BD上一点，过点E作 EF⊥ BC，EG⊥ CD，垂足为F、 G 。求证：AE=FG。
回顾思考
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边 形 对边平行且相 等 四边都相等 矩形 菱形 正方形
√
√
√ √
√ √ √
四个角都是直 角
对角线互相平 分 对角线互相垂 直 对角线相等
√
√ √ √ √ √
√ √ √
4.如图，正方形ABCD，AB＝4a，M为AB 的中点，ED＝3AE。 （1）求ME的长。 （2）求证△EMC为直角三角形。
点拨矫正
如图，已知正方形ABCD，延长 AB到E，作AG⊥EC于G，AG交 BC于F， 求证：AF＝CE。 1
2
才艺展示：
1.在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD 的交点，过O作 OE⊥OF分别交AB、BC于 E、F，若AE=4，CF=3，则EF长为 . A D
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(4)
007 1、3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（4） 知识与技能 掌握正方形的定义和性质，并运用正方形的性质解决有关的证明和计算。 通过探索与类比得到正方形的性质，并能利用性质解决问题。 过程与方法 正方形的性质。 正方形性质的应用。 预习内容 预习活动 课堂补充
教学目标 教学重点 教学难点
3、通过类比，你发现菱形和正方形在计算面积时 的有哪些共同点吗？你能用一句话总结你的结论 吗？
三、典例分析： 例 1、已知，如图，P 是正方形 ABCD 内一点，在正 方形 ABCD 外有一点 E，且∠ABE=∠CBP，BE=BP。 （1）求证：△CPB≌△AEB （2）求证：PB⊥BE
D P A
E C B
情感、 态度与价值观 培养观察、分析、和比较归纳的能力及联想能力，通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的美。
一、创设情境 我们知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 那么 更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么 特殊性质呢？
二、合作交流 1、你能证明正方形的这些性质吗？
2、与菱形类比，你认为正方形的两条对角线将一 个正方形分成的图形有什么特殊的地方？如果要 计算一个正方形的面积，你有几种方法？
例 2、已知，如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 中
-1-
点，点 F 在 CD 上，且∠FAE=∠BAE。 求证：AF=BC+FC
A D
F B E C
四、中考题型展示： 你能再补充一个跟本节内容相关的中考题目吗？ 请把题目整理出来并给出答案！
五、随堂练习： 1、如图，已知正方形 ABCD，延长 AB 到 E，作 AG ⊥EC 于 G，AG 交 BC 于 F，求证：AF＝CE。
矩形与菱形性质及判定
矩形与菱形性质及判定【教学目标】1. 掌握矩形及菱形的概念和性质，理解矩形、菱形与平行四边形的区别与联系2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题3. 掌握矩形及菱形的判定，能求解较为综合型问题【教学重难点】1. 熟练运用矩形与菱形的性质，求解相关问题2. 对于矩形及菱形的判定熟练掌握3. 综合运用矩形及菱形的性质及判定求解较为复杂的问题【教学内容】★知识梳理一、矩形1. 性质定理（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的两条对角线相等2. 判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形1. 性质定理（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角2. 判定定理（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）四条边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形★考点一、矩形例1. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有个直角三角形，个等腰三角形例2. 如图，在矩形ABCD中，AC和BD是两条对角线，若AE⊥BD于点E，∠DAE = 2∠BAE，则∠EAC =例3. 如图，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，AB⊥BC于点B，E是BC中点，连结AE、DE，则AE与DE的大小关系是（）（A）AE=DE （B）AE>DE （C）AE<DE （D）不能确定例4. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，则DC的长例5. 如图，在矩形ABCD中，已知E是BC的中点，AE=AD=2，求AC的长例6. 如图，在矩形ABCD中，已知点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数例7. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，求证：AC=CE例8. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，求这个平行四边形的面积例9. 如图，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使AD=BA，延长腰CA至点E，使AE=CA，连结CD、DE、EB，求证：四边形BCDE是矩形例10. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：DE⊥DF且DE = DF例11. 如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H求证：四边形EFGH是矩形例12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形二、菱形例13. 若菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为例14. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm，则菱形的两条对角线的长分别是例15. 在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且BE=EC，CF=FD，则∠AEF等于（）（A）120°（B）45°（C）60°（D）150°例16. 在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于（）（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：1例17. 在菱形ABCD中，已知∠A=30°，AB=10 cm，求AD和BC之间的距离例18. 如图，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE求证：BE=AF例19. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AB=5，CO=2，BD=2求证：四边形ABCD是菱形例20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A、D作AE∥BD，DE∥AC交于点E ，求证：四边形AODE 是菱形例21. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD ，BC ，AC 分别交于E 、F 、O 求证：四边形AFCE 是菱形例22. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F 在直线AB 上，且AE=AB=BF ，连结CE 、DF 分别交AD 、BC 于点M 、N（1）求证：四边形DMNC 是平行四边形（2）若要使四边形DMNC 为菱形，则还需增加什么条件？例23. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF//AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分AB C D EF★ 能力训练1. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=4cm ，动点P 以1cm/s 的速度从A 点出发，经点D 、C 到点B ，设△ABP 的面积为s （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（1）求当点P 在线段AD 上时，s 与t 之间的函数关系式（2）求当点P 在线段BC 上时，s 与t 之间的函数关系式2. 如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，且BE=ED ，P 是对角线BD 上任一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ，试探索线段PF 、PG 、AB 之间的数量关系，并证明3. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等【课后作业】A BC OFE1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）（A）平行四边形（B）等边三角形（C）矩形（D）直角三角形2. 下列叙述错误的是（）（A）平行四边形的对角线互相平分（B）平行四边形的四个内角相等（C）矩形的对角线相等（D）有一个角时90º的平行四边形是矩形3. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为（）（A）45°, 135°（B）60°, 120°（C）90°, 90°（D）30°, 150°4. 若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为5. 菱形的一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长为12 cm，则菱形的周长为6. 菱形有条对称轴，对称轴之间具有的位置关系7. 若菱形两邻角的比为1：2，周长为24 cm，则较短对角线的长为8. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则菱形两相邻内角的度数分别是9. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BD=CD，E是BC的中点求证：四边形ABED是矩形10. 如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，∠MAD=∠MDA求证：四边形ABCD是矩形11. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE:∠BCE=3:1，且M为OC的中点，试说明ME⊥AC12. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC，求证：CE = EF13. 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE = AF14. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E F ，分别是边CD 、AD 的中点.，求证：AE CF15. 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 交AD 于F ，连接BF 、CE ，求证：四边形BECF 是菱形A B C DE FA EC BF。
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定4
小结
• 有一组邻边_____的平行四边形叫做菱形; • 性质定理一:菱形的四条边都________; • 性质定理二:菱形的对角线_______,并且每 一条对角线平分_______;
矩形
菱形
平行 四边 形
1.3平行四边形,菱形,菱形, 正方形的性质和判定4.
教学目标
• 1.复习菱形的定义;分清菱形与平行四边形 的关系; • 2.会证明菱形的性质,会利用性质解决有关 的数学问题;
动动脑____的平行四边形叫做菱形; • 根据菱形的定义可知,菱形一定是 ______(图形名称),所以具备这类图形的所 有性质,而且必定有一组邻边_____;
再回忆一下
• 除了由定义得到的性质,菱形还有哪些性质? • 性质定理一:菱形的四条边都________; • 性质定理二:菱形的对角线_______,并且每 一条对角线平分_______; • 如何证明????
看性质掌握了没有?
• 例一; • 例二;
练练吧
• 练习一; • 练习二; • 练习三;
矩形和菱形的特点
矩形和菱形的特点矩形和菱形是常见的几何形状，它们都有各自独特的特点和性质。
本文将详细介绍矩形和菱形的特点，并比较它们之间的不同之处。
一、矩形的特点矩形是一种四边形，其特点如下：1. 边长关系：矩形的相对边长相等，即对边平行且相等。
2. 角度特性：矩形的四个内角都是直角（90度角）。
3. 对角线性质：矩形的对角线互相垂直且相等。
4. 周长和面积：矩形的周长可以通过四条边长的和计算得到，面积可以使用长乘宽的公式进行计算。
二、菱形的特点菱形也是一种四边形，其特点如下：1. 边长关系：菱形的相对边长相等，即对边平行且相等。
2. 角度特性：菱形的所有内角都是锐角（小于90度角）。
3. 对角线性质：菱形的对角线互相垂直，且交点为中心对称点。
4. 对称性质：菱形具有对称性，通过连接对边中点可以得到一个内接圆。
5. 周长和面积：菱形的周长可以通过四条边长的和计算得到，面积可以使用对角线的乘积除以2进行计算。
三、矩形和菱形的比较虽然矩形和菱形都是特殊的四边形，但它们在一些特点上有所不同：1. 角度特性：矩形的四个内角都是直角，而菱形的内角都是锐角。
2. 对角线性质：矩形的对角线互相垂直且相等，而菱形的对角线互相垂直但不相等。
3. 对称性质：菱形具有对称性，通过连接对边中点可以得到一个内接圆，而矩形没有这个性质。
4. 面积计算：虽然矩形和菱形的面积计算公式相同（底乘高），但由于菱形的对角线不相等，计算面积时需要注意。
综上所述，矩形和菱形都是常见的几何形状，它们有各自独特的特点和性质。
矩形的边长相等、角度为直角，而菱形的边长相等、角度为锐角。
此外，菱形具有对称性质和对角线的特点，而矩形没有这些性质。
了解矩形和菱形的特点，有助于我们在几何学和实际生活中的运用。
4.3~4.4矩形,菱形的性质及判定练习
4.3~4.4矩形，菱形的性质及判定练习1．菱形、矩形的有关概念矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.温馨提醒：（1）矩形、菱形具有平行四边形的一切性质；（2）依据矩形的性质，得出直角三角形具有的性质斜边上的中线等于斜边的一半；（3）矩形、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；3．菱形、矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等的平行四边形是矩形.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；温馨提示：（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再找一个角为直角或对角线相等。
很多同学容易忽视这个问题。
（2）在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。
（3）两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件；对角线相互垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件。
5．面积、角度、线段等计算问题S 菱形＝12l l ·l 2(l 1、l 2为菱形对角线长) 连对角线，矩形、菱形就可得到特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形），因此，解矩形、菱形问题时，要注意特殊三角形性质的运用。
利用全等三角形解决问题。
跟踪训练：一、填空题：1.矩形的定义：____________________________的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的所有性质；矩形的四个角______________； 矩形的对角线______________； 矩形是轴对称图形，它的对称轴是______________。
矩形、菱形的性质及判定
矩形、菱形的性质及判定一、矩形的性质和判定1.定义： 有一个角是直角的叫做矩形（通常也叫长方形）。
2.性质：矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质） （1）对边平行且相等； （2）每个角都是直角； （3）对角线相等且互相平分。
矩形是轴对称图形，它有条对称轴。
矩形是中心对称图形，是它的对称中心。
3.判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
(也可以表述成“对角线互相平分且的四边形是矩形”)。
4、直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角。
（会证明吗？）例：如图,在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________.在直角三角形中还有一个涉及“一半”的定理是：例1、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。
例2、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
例3、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，，AB=4cm，求此矩形的面积。
ABOCD例4、四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（） A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=CO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°例5、如图，矩形ABCD中，DE=AB，，求证：EF=EB。
AEBCDF例6、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．二、菱形的性质和判定定义1、四条边都相等的四边形是菱形。
《菱形的性质》课件
其他领域的应用
总结词
除了建筑和服装设计，菱形在艺术、家 居、包装等领域也有广泛的应用。
VS
详细描述
在艺术领域，菱形常被用作创作元素，如 绘画、雕塑等。在家居设计中，菱形图案 的壁纸、地毯等也常被使用，能够营造出 温馨、舒适的氛围。在包装设计中，菱形 形状的包装盒、标签等也十分常见，能够 吸引消费者的注意。
菱形只有一组邻边相 等，而矩形两组邻边 分别相等。
菱形的对角线互相垂 直且平分对方，而矩 形的对角线相等且互 相平分。
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《菱形的性质》ppt课件
• 菱形的定义与性质 • 菱形的判定方法 • 菱形面积的计算 • 菱形在生活中的应用 • 菱形与平行四边形、矩形的联系
与区别
01 菱形的定义与性质
菱形的定义
总结词
明确菱形的定义
详细描述
菱形是一种四边形，其中两组相对边相等且平行。
菱形的性质
总结词：列举菱形的性质
1. 菱形的两组相对边相等 。
05 菱形与平行四边形、矩形的联系与区别
联系
菱形、平行四边形和矩Hale Waihona Puke 都属于 四边形，具有四边形的共同性质
。
菱形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的对边平行且相等的
性质。
矩形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的两组对边平行且相
等的性质。
区别
菱形的两组对边平行 但不一定相等，而平 行四边形的两组对边 分别相等。
详细描述
在建筑设计中，菱形图案的运用可以增加建筑的视觉效果， 使建筑看起来更加独特和美观。同时，在建筑的结构中，菱 形结构也经常被使用，因为它的稳定性强，能够承受较大的 压力。
服装设计中的应用
中考菱形矩形知识点总结
中考菱形矩形知识点总结菱形和矩形是初中数学中的常见几何图形，也是中考考试中经常出现的题型。
理解菱形和矩形的性质和计算方法对学生来说是非常重要的。
接下来我将对菱形和矩形的性质、计算方法和解题技巧进行总结，希望能够对中考复习有所帮助。
一、菱形的性质1. 菱形的定义：对角线相等的四边形是菱形。
2. 菱形的性质：（1）对角线相等：菱形的对角线互相垂直且相等。
（2）四条边相等：菱形的四条边相等。
（3）内角性质：菱形的内角是直角，每个角是90°。
（4）对边平行：菱形的对边是平行的。
二、矩形的性质1. 矩形的定义：对角线相等且四个角都是直角的四边形是矩形。
2. 矩形的性质：（1）对角线相等：矩形的对角线互相垂直且相等。
（2）四个角都是直角：矩形的每一个角都是90°。
（3）对边相等：矩形的对边相等且平行。
三、菱形和矩形的计算方法1. 菱形的周长：菱形的周长等于4倍菱形的一条边的长度。
2. 菱形的面积：菱形的面积等于对角线之积的一半。
3. 矩形的周长：矩形的周长等于矩形的长加矩形的宽的两倍。
4. 矩形的面积：矩形的面积等于矩形的长乘以矩形的宽。
四、菱形和矩形的解题技巧1. 判断题型：在解题时要先判断题目是有关菱形还是矩形的，确定图形的种类是解题的第一步。
2. 利用性质：要善于利用菱形和矩形的性质来解题，如对角线相等、边相等、角度性质等。
3. 关注周长和面积：在解题时要注意计算周长和面积的方法，遵循周长等于边长之和、面积等于底宽乘以高的原则。
通过以上总结，希望同学们能够理解菱形和矩形的性质，掌握计算方法和解题技巧，从而在中考中更好地应用这些知识，取得好成绩。
矩形、菱形性质与判定
一、什么是矩形？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图平行四边形ABCD ,∠A=90°，四边形ABCD 为矩形 ．CABD二、什么是菱形？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图平行四边形ABCD ,AD=AB ，四边形ABCD 为菱形． AC1．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．矩形、菱形的性质与判定知识回顾知识讲解2．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．3．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．4．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．5．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点平行中点模块一 矩形的概念与性质【例1】 矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【例2】 矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【例3】 矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【例5】 矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝12cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【例6】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
矩形、菱形的性质及判定
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1．矩形的有关概念矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质定理说明：矩形具有平行四边形的一切性质．定理1：矩形的四个角都是直角．定理2：矩形的对角线相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．4．菱形的有关概念菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.5、菱形的性质定理说明：菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．定理：菱形的四条边都相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．6、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1．菱形的周长是8 cm ，则菱形的一边长是______.变式1．菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______. 变式2．菱形的对角线的一半的长分别为8 cm 和11 cm ，则菱形的面积是_______.变式3．菱形的面积为24 cm 2，一对角线长为6 cm ，则另一对角线长为______，边长为______.例2. 如图，已知□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，与AC 相交于点O ． 求证：四边形AFCE 是菱形．变式1.如图所示，M ，N 分别是平行四边形ABCD 的对边AD ，BC 的中点，且AD=2AB ，求证四边形PMQN 为矩形．当堂检测1.矩形的两条对角线的夹角之一为60°，矩形的较短边与一条对角线的长的和是12cm ，则较长的边长为 ，较短的边长为 ，对角线的长为 .2.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短边的长为12cm ，则对角线的长为________cm3. 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠BAE=30°，BD=15cm ，则AB=________4.如图所示，在矩形ABCD 中，DG ⊥AC ，G 为垂足，∠CDG:∠GDA=1:3,那么∠BDG=_____；若AC=8，DG=_____5.如图，已知在矩形ABCD 中，DF 平分∠ADC ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，∠BDF=15°，则∠DOC=_______，∠COF=_______6.如图，菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAF=75°，则∠CEF=_______度7.如图，矩形ABCD 中，若AE ⊥BD 于E ，且OE ∶OD ＝1∶2，AE ＝3cm ，则DE ＝ cm 。
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
菱形和矩形知识点总结
菱形和矩形知识点总结一、菱形的定义和性质1. 定义：菱形是指有四条边都相等且相邻的两条边夹角为90度的四边形。
菱形有两条对角线，这两条对角线相等、互相垂直且相交于中心点。
2. 性质：菱形的性质包括边长相等、对角线相等、对角线互相垂直、对角线相交于中心点等。
菱形的内角和为360度，每个内角为90度。
菱形也是平行四边形的特例，具有平行四边形的特点。
3. 计算：对于菱形，一般可以通过已知的边长或对角线长度来计算其面积和周长。
其中，菱形的面积可以通过对角线的长度来计算，即S=1/2×d1×d2，其中d1和d2分别为两条对角线的长度；菱形的周长可以通过直接计算四条边的长相加来得到。
4. 应用：菱形在实际生活和工作中有广泛的应用，例如菱形的钻石形状在珠宝行业中常见；菱形的图案在家具、服装和装饰品中也经常出现。
二、矩形的定义和性质1. 定义：矩形是指有四条边都相等且相邻的两条边夹角为90度的四边形。
矩形的特点是具有四个直角和对角线相等。
2. 性质：矩形的性质包括边长相等、对角线相等、对角线互相垂直、对角线相交于中心点等。
矩形的内角和为360度，每个内角为90度。
矩形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边形的特点。
3. 计算：对于矩形，可以通过已知的边长或对角线长度来计算其面积和周长。
矩形的面积可以通过长和宽相乘来计算，即S=a×b，其中a和b分别为矩形的长和宽；矩形的周长可以通过直接计算四条边的长相加来得到。
4. 应用：矩形在实际生活和工作中也有广泛的应用，例如矩形的桌子、书桌和窗户等家具；矩形的图案在建筑、装修和服装设计中也经常出现。
总结：菱形和矩形是几何中的基本平面图形，它们都具有相等的边长、直角和对角线的特点。
了解和掌握菱形和矩形的知识点，可以帮助我们更好地理解和应用在实际生活和工作中。
因此，通过学习和掌握菱形和矩形的相关知识点，可以帮助我们提高数学水平和解决实际问题。
矩形、菱形、正方形的性质与判定PPT课件 人教版
D
直角三角形中解题。
C
例3：如图, E、F分别为菱形ABCD中BC、CD 上的点,且∠B=∠EAF=60°,求∠AEF的度数．
分析：连结AC， 易得△ABE≌△ACF。 △AEF为等边三角形，∠AEF=60°
分析：（方法二） 连结AC，可得△ABC为等边三角形 ∴∠BAC=∠ACD=60°，由∠EAF=60°， 可得∠BAE=∠CAF， ∴△ACF是△ABE绕点A旋转60°得到， ∴AE=AF，得△AEF为等边三角形， ∴∠AEF=60°．
2、已知正方形ABCD，以AD为边作等边三角形△ ADE， 有的同学的答案
求∠BEC的度数________
是30°，你认为 正确吗？
• 分析： 本题应分两种情况考虑： (1)点E在正方形ABCD的外部;
(2)点E在正方形ABCD的内部. 然后应用正方形和等边三角形的 有关特征即可求解.
•解：(1) 当点E在正方形ABCD的外部 •∠CDE＝90°＋60°＝150°， •DE＝AD＝DC， •∴∠DEC＝∠ECD •＝(180°－150°)÷2＝15°. •同理可推得∠ABE＝15°. •则∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠DEC •＝60°－15°－15°＝30°.
矩形
四 边 形
平 行 四 边 形
有一组邻边相等
对角线互相垂直 有一个内角是直角
正 方 形 菱形
对角线相等
四条边都相等
对称性：
是轴对称图形：
2条
2条
4条
矩形、菱形、正方形也是中心对称图形， 对称中心是其对角线的交点。
类型一：计算类问题 例1： 已知:矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°, AB = 4cm, 则矩形对角线的长为 _________. 8
八年级数学下册矩形菱形与正方形菱形的判定与性质的综合课件华东师大版
19.2.2 第2课时 菱形的判定与性质的综合
2．菱形判定方法的选择： 要判定一个四边形是菱形，可以先说明它是平行四边形，再说 明它的一组邻边相等或对角线互相垂直；也可以说明它的四条 边都相等或它的对角线互相垂直平分．在具体问题中，要注意 根据题目选择合适的方法．
19.2.2 第2课时 菱形的判定与性质的综合
图 19－2－14 上述结论都正确吗？请说明理由．
19.2.2 第2课时 菱形的判定与性质的综合
解：有一组邻边相等的平
平行四 边相等
行四边形是菱形
边形 对角线互 对角线互相垂直的平
相垂直
行四边形是菱形
已知有两组 四条边都相等的四边
四边形
邻边相等
形是菱形
19.2.2 第2课时 菱形的判定与性质的综合
目标二 能综合运用菱形的判定与性质解决问题
例 2 教材补充例题 如图 19－2－13，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC，AH⊥BC 于点 H，E 是 AH 上一点，延长 AH 至点 F，使 FH＝EH. (1)求证：四边形 EBFC 是菱形； (2)如果∠ BAC＝∠ ECF，求证： AC⊥CF.
总结反思
知识点一 菱形判定方法的选择
详见例 1 的【归纳总结】内容．
19.2.2 第2课时 菱形的判定与性质的综合
知识点二 菱形知识的运用
1．菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质 外，还具有特殊性质：既是中心对称图形又是轴对称图形；四条边 都____相_等___ ；对角线 _互__相__垂_直__平__分__ ．
在 Rt△AHC中，∠ CAH＋∠ ACH＝90°，
∴∠ FCH＋∠ ACH＝90°， 即∠ ACF＝90°，∴ AC⊥CF.
矩形、菱形、正方形知识点汇总+5大题型解析+例题
一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．36° B．9°C．27° D．18°例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD 相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3如图，O是矩形ABCD 对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例 4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
例5如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．答案：1：D 2：12cm 3：30° 4:10cm 5：AF=BF+EF二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。
初中平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质
一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。
三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。
五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。
七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。
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第四讲矩形和菱形性质和判定
矩形的性质：
矩形的判定： _______________________________________________________________________________________________ 1. 如图，在矩形ABCD中，延长AB至E，BE=DF，连EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点.
BP=1，PQ=2 2 ，∠ AEF=45°，求矩形ABCD的面积.
2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF。
( 1)求证：△ BOE≌△ DOF
( 2)若BD=EF，连DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由。
3. 如图，AB=CD，AD=AE，DE=BC，且∠ BAD=∠ CAE，求证：四边形EBCD是矩形。
4. 如图，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形
5. 在?ABCD中,过点D作DE⊥ AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1) 求证:四边形BFDE是矩形;
(2) 若CF=3，BF=4，DF=5，求证:AF 平分∠ DAB.
6. 如图,在△ ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ BCA的角平分线于点E，
交∠ BCA的外角平分线于点F.
(1) 求证：EO=FO；
(2) 当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论。
7. 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
( 1)求证：△ BOE≌△ DOF；
1
( 2)若OA= BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
2
菱形的性质： _______________________________________________________________________________________________
菱形的判定： _______________________________________________________________________________________________
1、如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为__ .
2、如图2,在菱形ABCD中, 对角线AC=4,∠ BAD=120° , 则菱形ABCD的周长为 __________
3、如图3, 在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O,下列结论：① AC⊥BD;②OA=OB③; ∠ ADB=∠ CDB;④△ ABC是等边三角形, 其中一定成立的是 ___________
4、如图4，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=2，∠ ABC=60°，则BD的长为___________
BD=4，则菱形
ABCD 的周长是 __________
例 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=60°，∠FAC 、∠ECA 是△ABC 的两个外角， AD 平分∠ FAC ，CD 平分∠ ECA.求证：四边形 ABCD 是菱形。
例 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M ，与 BC 相交于点 N ，连接 BM ，
DN.(1) 求证：四边形 BMDN 是菱形； (2) 若 AB=4， AD=8，求 MD 的长。
例 3.如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， E 、 F 为对角线 AC 上两点，且 AE=CF ，DF ∥BE ，AC 平分∠ BAD ， 求证：四边形 ABCD 为菱形。
例 4：如图 , 在 Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,D 为 AB 的中点 , 且 AE ∥CD,CE ∥ AB.
(1) 证明：四边形 ADCE 是菱形； (2) (2) 若∠ B=60°,BC=6,求菱形 ADCE 的高 .
5、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ，E 、
F 分别是 AB 、 BC 的中点，连 EF ，若 EF=
3 ，
例5：已知：如图，在?ABCD中，E，F 分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.
（1）求证：△ ABE ≌△ CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由。
是（
A. 平行四边形ABCD
B. 菱形ABCD
C. 矩形ABCD
D. 对角线互相垂直的四边形ABCD
5. 如图所示，在△ ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ ABD，等边△ ACE，等边△ BCF. （1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题（只填满足的条件，不需证明）：
①当△ ABC满足 __________________ 条件时，四边形DAEF是矩形；
练习：如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点 B 落在AC上的点M处，将边CD沿CF 折叠，使点D落在AC上的点N 处.
1）求证：四边形AECF是平行四边形；
2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面
积.
作业： 1. 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（
A. 对角相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线相等
D. 对边相等
2. 如图，矩形ABCD沿AE 折叠，使D点落在BC边上的F 点处，如果∠BFA＝
30°，那么∠
A.20 °
B. 30
C. 45
D. 60
3. 菱形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是（
A. 对边相等
B. 对角线互相平分
C. 对角相等
D. 对角线互相垂直平分
4. 已知四边形ABCD，顺次连接各边中点，得到四边形EFGH，添加下列条件能使四边形EFGH成为菱形的
第8题
图
__ 条件时，四边形 DAEF 是菱形形； __ 条件时，以 D 、 A 、 E 、F 为顶点的四边形不存在
E
②当△ ABC 满足
③当△ ABC 满。