指数与指数运算2
指数与指数运算
2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用n a表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,nn a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式. 根式的概念:式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数. 思考nn a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a. 通过探究得到：n 为奇数,nna =a. n 为偶数,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a因此我们得到n 次方根的运算性质：①(n a )n =a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.②n 为奇数,nna =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n 为偶数,nna =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.应用示例思路1例1求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=-8;(2)2)10(-=10;(3)44)3(π-=π-3;(4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子n na 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用. 变式训练求出下列各式的值:(1)77)2(-;(2)33)33(-a (a≤1);(3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=-2,(2)33)33(-a (a≤1)=3a -3,(3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1下列各式中正确的是( )(1)44a =a; (2)62)2(-=32-;(3)a 0=1;(4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n na =|a|,故本题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故本题错.(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1.223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1.所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考上面的例2还有别的解法吗? 活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练若12a -a 2+=a-1，求a 的取值范围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1,即a-1≥0, 所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键. 知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是( ) A.正数的n 次方根是一个正数 B.负数的n 次方根是一个负数 C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n ∈N *). 答案：C2.化简下列各式:(1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.3.计算407407-++=__________. 解：407407-++=2222)2(252)5()2(252)5(+∙-++∙+ =22)25()25(-++=5+2+5-2- =25.答案：25 拓展提升问题：n na =a 与(n a )n =a （n ＞1,n ∈N ）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 解答：①（n a ）n =a （n ＞1,n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1,且n ∈N ）有意义,则无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3,33)5(-=－5.②n na =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时,a ∈R ,nna =a 恒成立.例如：552=2,55)2(-=－2.当n 为偶数时,a ∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a =a.例如443=3,40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3.即（n a na ）n =a （n ＞1,n ∈N ）是恒等式,nna =a （n ＞1,n ∈N ）是有条件的. 点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. 课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. 1.如果x n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(n a )n =a,n 为偶数时,n na =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a作业课本P 59习题2.1A 组 1. 补充作业:1.化简下列各式： (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .解：(1)681=643=323=39;(2)1532-=1552-=32-;(3)48x =442)(x =x 2;(4)642b a =622)|(|b a ∙=32||b a ∙.2.若5<a<8,则式子22)8()5(---a a 的值为__________.分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13.3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式,不难看出625+=22)(3+=3+2.同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23.答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学. (设计者：路致芳)第2课时 指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n. (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,nmx =x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为n a m =a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),（3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1 例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4; ②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65);（2）(m 41n83-)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32nm .点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63; (2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(n m =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259nm =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a ∙(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a ∙=32212aa a ∙=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121. 所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯; (2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a23-b 2)-1·(ab -3)21(b 21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31=(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa a a =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b 32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？ 活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r·)1(4ar =a28r -·a4r-=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂. 点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求. 解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］ =（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x-e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4; (2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x-y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8,。
2.1.1指数与指数幂的运算(2)
§2.1.1指数与指数幂的运算（2）学习目标1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化； 3 掌握有理数指数幂的运算.预习案预习课本P 50—P 52 页内容 1．正数a 的正分数指数幂=n ma （),,0*N n m a ∈> 2．正数a 的负分数指数幂=-nm a（),,0*N n m a ∈>3．s r a a ⋅= （其中),,0Q s r a ∈> 4．s r a )( = （其中),,0Q s r a ∈> 5．s b a )(⋅= （其中),0,Q s b a ∈> 预习自测1. 求下列各式的值：（1）328 （2）21100-（3）239-2．用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）:（1）a a ⋅2 （2）323a a ⋅ （3）a a3．计算下列各式（式中字母都是正数）:（1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n 83-)8.我的疑问探究案自主探究一:(1)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,①510a =552)(a =a 2=a 510; ②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a =225)(a =a 5=a 210. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈+N ,且n>1).(3)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(4)0的正分数指数幂等于多少？0有负指数幂吗？ (5)负整数指数幂的意义是怎样规定的?合作探究例1． 已知231211322[()()]a b a b ab a ------==求的值.变题1：已知31=+-x x ，求下列各式的值：（1）2121-+x x例2． 比较63123,11,5的大小.例3．求下列各式的值:(1)432981⨯; (2)23×35.1×612.总结提升※ 学习小结：1. 分数指数幂nm a 不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新写法 2. 0的正分数指数幂是0,0的负指数幂没有意义3. 负数的分数指数幂是否有意义，应视指数的分子、分母的具体数值而定※ 当堂检测： 1. 235.0322901.0)833(5.1)8.1(+-⋅+---=2. 求下列各式的值（其中各式字母均为正数）：(1)23)425(-= ; （2）()551.0-=__________;（3）()24-π=________ （4）()66y x -()y x >=_______;(5)834121-a a a = ; (6)3163)278(--ba =3. 用根式的形式表示下列各式（a >0）(1).21a (2).43a (3).53-a(4).32-a训练案1. 计算下列各式的值: （1）［(a 23-b 2)-1·(ab -3)21(b 21)7］31（2）1112121-+-++--a a a aa(3)14323)(---÷a b b a2．用分数指数幂表示下列各式(1).32x (2).43)(b a + (3).4)(n m - (4).mm 33．下列运算中,正确的是( )A ．a 2·a 3=a 6B ．(-a 2)3=(-a 3)2C ．(a -1)0=0 D ．(-a 2)3=-a 64．下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n∈N ,a∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④5. 设x 5=4，y 5=2,则y x -25=________.思考题：设n n n x x a a x a )1(),(21,0211++-=>-求的值.。
指数运算知识点总结
指数运算知识点总结1. 指数的定义指数是代表着一种运算规则，也就是表示一个数要乘以自己的次数。
我们先来看看指数的数学定义。
假设a是任意一个非零实数，且n是一个正整数，那么a 的n次方（记作a^n）定义为：a^n = a * a * ... * a （n个a相乘）。
其中，a是底数，n是指数。
根据这个定义，我们可以得出以下几点结论：- 当指数n为0时，任何非零实数a的0次方均为1，即a^0 = 1。
- 当指数n为1时，任何非零实数a的1次方等于a本身，即a^1 = a。
- 当指数n为负整数时，a的-n次方等于1除以a的n次方，即a^(-n) = 1 / a^n。
（当a≠0时）- 当指数n为分数时，a的m/n次方等于a的m次方的n次根，即a^(m/n) =(a^m)^(1/n)。
2. 指数的性质指数有一些非常重要的性质，它们为指数运算提供了一些非常有用的计算规则。
2.1. 指数幂的乘法法则对于相同的底数，不同的指数幂相乘时，可以将底数保持不变，指数相加得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：a^m * a^n = a^(m+n)这个性质被称为指数幂的乘法法则。
2.2. 指数幂的除法法则对于相同的底数，不同的指数幂相除时，可以将底数保持不变，指数相减得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：a^m / a^n = a^(m-n) （当a≠0时）这个性质被称为指数幂的除法法则。
2.3. 指数幂的乘方法则对于一个底数的指数幂的幂，可以将底数保持不变，指数相乘得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：(a^m)^n = a^(m*n)这个性质被称为指数幂的乘方法则。
2.4. 指数幂的负次幂法则一个非零实数的负次幂等于其倒数的相应正次幂。
例如，对于任意非零实数a，以及任意正整数n，有以下恒等式成立：a^(-n) = 1 / a^n （当a≠0时）这个性质被称为指数幂的负次幂法则。
《指数与指数运算》课件
。
积的乘方时，将每个因 数分别乘方，然后再相
乘。
复合指数法则的实例
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(a^m)^n$表示$a$的$m$次方的$n$次 方，根据复合指数法则 a^m times a^n$
根据同底数幂相乘的规则，$a^{m+n}$可 以化简为$a^m times a^n$。
详细描述
指数函数在许多实际问题中都有应用，如人口增长、复利计算、放射性物质的衰变等。通过建立数学 模型，我们可以利用指数函数的性质和图像解决这些问题，从而更好地理解和预测事物的变化趋势。
CHAPTER
04
复合指数法则与运算
复合指数法则的概念
指数法则
指数法则是一种数学运算规则， 用于表示一个数的指数幂。
指数的性质
当底数相同时，指数相加 表示乘法，指数相减表示 除法。
指数的运算顺序
先乘方后乘除，先括号后 加减。
指数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古希腊 数学家欧几里得的《几何原本》 ，其中对指数进行了初步的探讨 。
发展历程
随着数学的发展，指数概念逐渐 完善，经历了文艺复兴、牛顿和 莱布尼茨等人的贡献，最终形成 了现代数学中的指数概念。
指数运算的技巧
简化指数式
利用幂的性质，如$a^{m} times a^{n} = a^{m+n}$，$a^{m} div a^{n} = a^{m-n}$等，简化复杂的指数式。
同底数幂的乘法与除法
当底数相同时，可以直接根据指数进行乘法或除法运算。
科学记数法
将大数表示为$a times 10^{n}$的形式，便于计算和比较大小。
非零实数的0次幂为1
同底数幂的除法法则
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
指数与指数运算
..
51.42 51.5
所以， 5 2 表示一个确定的实数
思考：参照上面的过程，说明无理数指数 幂的意义。
一般地，无理数指数幂 a(a>0, 是 无理
数)是一个确定有的理实数数指。数幂的运算 性质同样适用于无理数指数幂。
对于任意的无理数r，s aras=ar+s(a>0)
(ar)s=ars(a>0)
有条件根式的化简
P31例（3 2） 已知 | x | <3，化简 x2 2x+1+ x2 +6x+9
【解析】(2)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1 时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2. 当 1≤x<3 时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
＝1 1
x95 3
＝1 3
x5
＝x－5
.
1
1
1 3 11
(3)原式＝ab3ab512
2
＝a·a12
1 b3b52
2
＝a32
11 b2
2
＝a4
b4
.
利用分数指数幂的性质化简求值
P33 变式2
1
(1)0.027 3
(
1 )2
(2
71 )2
(
2 1)0
7
9
(2)(
8
1
)3
(
3)0
160.75
1
0.252
根式与分数指数幂的互化
P33 变式1
11
1
(1)
(a 0);(2)
( x 0)
aa
指数与指数幂的运算1-9.28使用
x2
x 2.
x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0 , 或 | x 2 | x 2 . x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0.
x2
所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
2
9 a 6 a 1 3 a 1,
则a 的
(3)已知a, b, c为三角形的三边,则
2b 2c （ a b c ) b a c ________ .
2
主页
§2.1.1指数与指数幂的运算
例3．计算
(e e
1
) 4
2
(e e ) 4.
2
1
3 3
由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.
(n a) a
n
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a ( a ≥ 0 )表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a ( a ≥ 0 )
3
主页
§2.1.1指数与指数幂的运算
【2】求下列各式的值.
⑴
5
32 ;
3） ;
5
2
⑵ （ 3） ;
4
⑶ （ 2
⑷
5
52 6.
解: ⑴
5
32
4
( 2 ) 2;
[( 3 ) ]
2
2
⑵ （ 3）
(3) （ 2
2
9 9;
2
3） |
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
3
1
A.8
B.8
C.
答案 A
解析 由
∴
3
)
2
=
2
3 =4(x>0),得
-
1
3
x2
=4,
1
1
2 1
,∴x = ,∴x= .
4
64
8
4
4
3
D.2 2
探究点二 根式的化简(求值)
【例2】 求下列各式的值:
5
6
(1)( -) +( - )6(b>a);
5
(2) 2 -2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3<x<3).
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以 y=±3 5,即 a2-a-2=±3 5.
规律方法 解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的
取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相
同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时
=
16
.
15
5
9
37
+100+
-3+
=100.
3
16
48
10
1
1
1
+0.1= 4 -1+16 + 8 + 10
3 +
-1
1
2
3 -1
2
1
2
-
=
143
.
80
10
指数的运算与指数函数讲义
指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。
在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。
2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。
注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。
2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。
当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。
此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。
2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。
【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值 【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二 含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)， 求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数 函数 函数 y a x (a 0,a 1)叫做指 数函数 .2. 指数 函数的 性质（ 1 ） 定义域 :实 数 集 合 R ；（ 2）值域 ： y 0 ;（ 3 ）奇偶性 ：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时， 函数 y a x （a 0,a 1）在 （, )上为增函数； 0 a 1时， 函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时 ， y 1, 图 象 恒 过 点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时 ，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域 【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。
指数运算律
指数运算律(一)同底数幂相乘，指数相加，底数不变，即a^m?a^n=a^(m+n)，指数运算律(二)乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即(a?b)^n=a^n?b^n指数运算律(三)幂的乘方，指数相乘，底数不变，即(a^m)^n=a^(mn)指数运算律(四)同底数幂相除，指数相减，底数不变，即a^m/a^n=a^(m-n)其中m>n，a!=0两个同底数(不为0)、同指数的幂相除，其商等于1a^0=1 (a!=0)分数的意义与特点a/b?b=(a?1/b)?b=(b?1/b)?a=1?a=aa/b=am/bm (m!=0)a/b=(a/b)/(b/n) (n!=0)分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变22 分数的运算及运算律加、减法a/b(+，-)c/d=ad/bd(+，-)bc/bd=(ad(+，-)bc)/bd乘法a/b?c/d=ac/bd除法(a/b)/(c/d)=(a/b)?(d/c)=ad/bc乘方(a/b)^m=(a/b)?(a/b)…(a/b){m个括号}=(a^m)/(b^m)分数加法的交换律是 a/b+c/d=c/d+a/b3 有理数的意义31 相反意义的量在研究两者的总效果时，可以互相抵消或一部分抵消等式有以下基本性质：1) 等式的两边可以对调2) 等式的关系可以传递3) 等式的两边，可以加上(或减去)同一个数4) 等式的两边，可以乘以(或除以非零的)同一个数2 不等式用不等号“>”或“<”表示的关系式，叫做不等式1) 如果A>B，那么B2) 如果A>B，B>C，那么A3) 如果A>B，那么A(+，-)m>B(+，-)m4) 如果A>B，且m>0，那么Am>Bm3 多项式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加23 常用乘法公式公式I 平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式II 完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2两数(或两式)和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍3 单项式的除法5) 如果A>B，且m<0，那么Am<Bm初中数学公式：数与代数二来源：网络资源 2009-09-30 15:04:41 [标签：数学公式代数] [当前2861家长在线讨论]。
2.1.1指数与指数幂的运算(二)(用)
1. 整数指数幂的运算性质：
(m, n Z ) n n n (ab) a b (n Z ).
(a ) a
m n mn
a a a
m n
m n
(m, n Z ),
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n
当n为偶数时， n
a ( a 0) a | a | a(a 0). ② 当n为任意正整数时，( n a ) n a .
a a
n
m n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
规定：
(1)
a
m n
1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
阅读P52页 无理数指数幂
有理指数幂的运算性质:
(a ) a
m n
n n
a a a
n
a a;
n
问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物 体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 P( ) 2
提问：
t 5730
.
100000 5730
1 ( ) 2
6000 5730
m n
m n
mn
n
(ab) a b
R (m, n Q), Z R ((m,,n Q), m, n Z )
nZ R (n Q).
例1 求值：
(1) 8 ,
2 3
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
指数与指数运算基础知识+经典练习题
指数与指数运算基础知识+经典练习题指数与指数运算基础知识+经典练题知识梳理：1、根式1）n次方根的定义一般地，如果$x=a^n$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$为奇数时，正数的$n$次方根是一个正数，负数的$n$次方根是一个负数，这时，$a$的$n$次方根用符号$\sqrt[n]{a}$表示。
当$n$为偶数时，正数的$n$次方根有两个，这两个数互为相反数，这时正数$a$的$n$次方根用符号$\pm\sqrt[n]{a}$表示。
注：负数没有偶次方根。
任何数的任何次方根都是唯一的，记作$\sqrt[n]{a}$。
2）根式式子$\sqrt[n]{a}$叫做根式，这里$n$叫根指数，$a$叫做被开方数。
注：①$(\sqrt[n]{a})^n=a$②当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a^n}=|a|$，即$\sqrt[2]{a^2}=|a|$，$a>0$时，$\sqrt[2]{a^2}=a$，$a<0$时，$\sqrt[2]{a^2}=-a$。
2、分数指数幂1）正数的正分数指数幂的意义是$a^m$。
2）正数的负分数指数幂的意义是$\dfrac{1}{a^m}$。
dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$，$(a>0,m,n\in N^*,n>1)$。
dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$。
3）$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$，$\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{\dfrac{1}{a^m}}$。
注：的正分数指数幂等于1，的负分数指数幂没有意义。
3、实数幂的运算性质1）$a^a=a$。
a^r)^s=a^{rs}$，$(a>0,r,s\in Q)$。
2）$(a^{-r})^s=\dfrac{1}{a^{rs}}$，$(a>0,r,s\in Q)$。
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根. 6.零的任何次方根都是零.
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 3
问题提出
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1.整数指数幂有哪些运算性质？
a a a
2 3 2 3
a r a s a r s ( r , s Q)
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
例1.求值：8 ,100 , ( ) 3 , (
2 3
1 2
解： (2 ) 1 2 8 1
例3.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a b )(6a b ) (3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2013-1-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
13
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1 2 2
a
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
2 3 3
a
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3 1 2 2
12
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
【高中数学必修一】2.1.1指数与指数的运算(2)
新课
拓展：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式也可以写成分数指数幂的形式 。如：
3
a a (a 0)
2
4
2 3
b b (b 0)
1 2
c c (c 0)
5
5 4
* (a>0,m,n ∈ N*, 且 n>1) 即：a a (a 0, n N , n 1) n m
r r
小结
a
n
x
n个
通过本节的学习，我们已经将指数幂的范围推广 到实数的范畴.
整数指数幂
a aa
a , n N , a R.
规定 : a 1, a 0.
0
a
m n
n
1 n , n N , a 0. a
1
m n
有理数指数幂
规定 : a
无理数指数幂
x
例题剖析
1 5 16 例2.求值 : 8 , 25 ,( ) ,( ) . 2 81
2 2 4. 解 : 8 (2 )
2 3 2 3 3
1 2 1 2
2 3
1 2
3 4
25
(5 )
2
1 5 . 5
1
1 5 5 1 5 ( ) (2 ) 2 32. 2
1 2 3 1 2 7 2
a3 a , a2 3 a2 ,
a3 a .
a 3 a (a a 3 ) 2 (a 3 ) 2 a 3 .
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6
例4 计算下列各式(式中字母都是正数) : (1) (2a b )( 6a b ) ( 3a b ), (2) ( m n ) .
教学设计4：2.1.1 指数与指数幂的运算 第二课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx=x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为na m =a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma(a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4;②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32n m . 点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a •(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a •=32212aa a •=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121.所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a 23-b 2)-1·(ab -3)21(b21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31 =(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r ·)1(4ar=a 28r -·a4r -=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］=（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x -e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4;(2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x -y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a •等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a -b)52- B.-2(a -b)25-C.-2(a52--b 52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x -y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x -y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x -1=(x31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1);x -x 31=x 31［(x31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a -b, (a 21±b21)2=a±2a 21b 21+b,(a 31±b 31)(a32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a 21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a21)3-(a 21-)3, 所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn=n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n-=m na 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n )n m =n mn a ⨯=a m 来计算.作业课本P 59习题2.1A 组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。
《指数与指数幂的运算(2)》导学案
1 2.1.1《指数与指数幂的运算(2)》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、熟练掌握根式与指数幂的互化2、熟练运用指数幂的运算性质进行化简、求值【重点难点】▲重点：根式、指数幂的运算性质▲难点：化简、求值的技巧【知识链接】1、二次根式的性质 a a =2)(，⎩⎨⎧<->==00||2a a a a a a 2、整数指数幂及运算性质3、立方和、差公式：))((2233b ab a b a b a +±=±【学习过程】阅读课本P49，尝试回答以下问题知识点一：分数指数知识点三：典型例题问题1：求下列各式的值：(考查根式的性质) ⑴88)2(-x ⑵4433)21()21(223-+-+-问题2：用分数指数幂表示下列各式：(0,0>>b a ) (考查根式与分数指数幂的转化) ⑴43a a ⋅⑵a a a ⑶323)(ab a ⋅⑷332)(ab ab2问题3：计算下列各式的值：(分数指数幂的运算) ⑴75.034303116])2[()87(064.0---+-+-- ⑵)0,0()(1.0)4()41(213323121>>⋅----b a b a ab用分数指数幂表示下列各式：【基础达标】A1：计算：（1）6a （a ＞0）B2：把下列各式化成分数指数幂的形式：（1）432981⨯ （2）3252)(1x x (0≠x )C3：计算下列各式（1）3)21()161(164321--- （2）20)154(35-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-3D4：化简2423221)(---÷⋅a b b a【小结】【当堂检测】1，2125-等于（ ）A 25B 251C 5D 51 2，若4=x ，则33x 的平方根是（ ）A 4B 2C 2±D 不确定【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
指数运算和指数函数
指数运算战指数函数之阳早格格创做一、知识面 1.根式的本量（1）当n 为奇数时，有a a n n=（2）当n 为奇数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a nn （3）背数不奇次圆根 （4）整的所有正次圆根皆是整 (1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)整指数幂)0(10≠=a a (3)背整数指数幂).0(1*∈≠=-N p a a a pp (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a an m n m 且(5)背分数指数幂 nm nm aa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的背分数指数幂奇尔思 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且喊搞指数函数. 5. 指数函数的图象战本量x a y =0 < a < 1a > 1图象性 量定义域 R 值域 (0 , +∞)定面过定面（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 <y < 1.（2）0 <a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1.单调性 正在R 上是减函数 正在R 上是删函数 对付称性x y a =战x y a -=闭于y 轴对付称二、指数函数底数变更与图像分散程序 （1）① x y a =②x y b =③x y c =④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，xxxxb a dc <<< （底大幂大）x ∈(－∞,0)时，xxxxb a dc >>>（2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：三、指数式大小比较要领(1)单调性法：化为共底数指数式，利用指数函数的单调性举止比较.(2)中间量法 (3)分类计划法 (4)比较法比较法有做好比较与做商比较二种，其本理分别为： ①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当二个式子均为正值的情况下，可用做商法，推断1A B >，或者1AB<即可． 四、典型例题典型一、指数函数的观念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，供a 的值．【问案】2【剖析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．闻一知十：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【问案】（1）（5）（6）【剖析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4xy -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，切合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．典型二、函数的定义域、值域 例2．供下列函数的定义域、值域. (1)313xxy =+；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)y =(a 为大于1的常数)【问案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞) 【剖析】(1)函数的定义域为R (∵对付十足x ∈R ，3x ≠-1).∵(13)1111313x x xy +-==-++，又∵3x >0， 1+3x >1，∴10113x <<+， ∴11013x-<-<+， ∴101113x <-<+， ∴值域为(0，1).(2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴212=x 即 x=-1时，y 与最小值43，共时y 不妨与十足大于43的真数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数蓄意思可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3xy =是删函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞. (4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【归纳降华】供值域时奇尔要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不克不迭遗漏. 闻一知十：【变式1】供下列函数的定义域： (1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【问案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【剖析】(1)R(2)要使本式蓄意思，需谦脚3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，． (3) 为使得本函数蓄意思，需谦脚2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得本函数蓄意思，需谦脚10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，. 【归纳降华】本题中解不等式的依据主假如指数函数的单调性，根据所给的共底指数幂的大小闭系，分离单调性去推断指数的大小闭系.典型三、指数函数的单调性及其应用例3．计划函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并供其值域．【思路面拨】对付于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒创造，果此不妨通过做商计划函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，果此不妨逐层计划它的单调性，概括得到截止．【问案】函数()f x 正在区间（－∞，1）上是删函数，正在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3]【剖析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对付于x ∈R ，()0f x >恒创造，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 正在（－∞，1）上单调递加．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 正在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 正在区间（－∞，1）上是删函数，正在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]． 解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，正在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭正在其定义域内是减函数，∴函数()f x 正在（－∞，1]内为删函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭正在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1正在[1，+∞）上是删函数，∴函数()f x 正在[1，+∞）上是减函数．值域的供法共解法一．【归纳降华】由本例可知，钻研()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要烦琐些，普遍天有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相共；当0＜a ＜1时，()f x y a =的单调与()y f x =的单调性好异．闻一知十：【变式1】供函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【问案】3(,]2x ∈-∞上单删，正在3[,)2x ∈+∞上单减.14(0,3]【剖析】[1]复合函数——领会为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性推断要领供单调区间； [3]供值域.设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调删函数，u=-x 2+3x-2正在3(,]2x ∈-∞上单删，u=-x 2+3x-2正在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=正在3(,]2x ∈-∞上单删，正在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】供函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【剖析】当a>1时，中层函数y=a u 正在()-∞+∞，上为删函数，内函数u=x 2-2x 正在区间(1)-∞，上为减函数，正在区间[)1+∞，上为删函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，正在区间[)1+∞，上为删函数；当0<a<1时，中层函数y=a u 正在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 正在区间(1)-∞，上为减函数，正在区间[)1+∞，上为删函数，故函数2-2()x x f x a =正在区间(1)-∞，上为删函数，正在区间[)1,+∞上为减函数.例4．说明函数1()(1)1x x a f x a a -=>+正在定义域上为删函数.【思路面拨】利用函数的单调性定义去说明. 【剖析】定义域为x ∈R ，任与x 1<x 2，12122()(1)(1)x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x a a ++>， 又a>1， x 1<x 2， ∴12x x a a <， ∴120xx a a -<， ∴f(x 1)<f(x 2)，则1()(1)1x x a f x a a -=>+正在定义域上为删函数.另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x a >， a>1且x 2-x 1>0， ∴211x x a ->， ∴2110x x a --<.【归纳降华】指数函数是教习了函数的普遍本量后，所教的第一个简直函数.果此，正在教习中，尽管体验从普遍到特殊的历程.例5．推断下列各数的大小闭系：aa+1； (2)24-231(),3,()331(3)2，(2.5)0，2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路面拨】利用指数函数的本量去比较大小.aa+1（2）2-24311()<()<333（3） 2.50 2.51()<(2.5)<22（4）当a>1时，<0<a<1时，>【剖析】 x为单调删函数， aa+1.(2)果为44133-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以-42-23111()<()<333⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2-24311()<()<333．(3)果为 2.521>， 2.5112⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以 2.50 2.51()<(2.5)<22(4)当a>1时，23a a <，当0<a<1时，23a a >． 【归纳降华】(1)注意利用单调性解题的典型书籍写；(2)不是共底的尽管化为共底数幂举止比较(果为共底才搞用单调性)；(3)不克不迭化为共底的，借帮一其中间量去比较大小(时常使用的中间量是“0”战“1”).闻一知十：【变式1】比较大小：(1)2与22.3 (2)3与3 (3)与 (4)与(5)110.233241.5,(),()33-. 【剖析】(1)2＜2(2)3＞3.瞅察二函数值，底数分歧，而指数稳定——不是指数函数，而是y=x 3，它为删函数.(3)由，0<0.9<1， -0.3<0>1， 1.1>1， -0.1<0-0.1<1， 则；(4)由指数函数图象相对付位子闭系——数形分离，. (5)∵0.20.221.5()3-=，又函数2()3x y =为减函数，001x y >⇒<<， ∴10.23221()()033>>>，∵4()3x y =为删函数，103x =>时，y>1，110.233422()()()333>>.另解：幂函数13y x =为删函数，则有113342()1()33>>，(下略).【下浑课堂：指数函数 369066 例1】 122，133，【变式2】利用函数的本量比较166【问案】133>122>166【剖析】122=31136662(2)8==做出8,9,6x x x y y y ===的图象知所以133>122>166【变式3】 比较， 132()3的大小.【问案】7.02.0313.15.1)32(<<-【剖析】先比较31512.02.0)32()32()23(5.1与==--32∈(0，1)， ∴xy )32(=正在R 上是减函数，∵05131>>， ∴1)32()32()32(005131=<<<，再思量指数函数x ， 由于1.3>1， 所以x正在R 上为删函数>=1， ∴7.02.0313.15.1)32(<<-.【归纳降华】正在举止数的大小比较时，若底数相共，则可根据指数函数的本量得出截止，若底数不相共，则最先思量是可化成共底数，而后根据指数函数的本量得出截止；不克不迭化成共底数的，要思量引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，进而得出截止.总之比较时要尽管转移成底的形式，根据指数函数单调性举止推断.例6. (分类计划指数函数的单调性)【思路面拨】先把被启圆数变产生真足仄办法的形式，而后对付a举止分类计划，去掉千万于值.212133331233-,1--,01a a aa aa a a⎧>⎪===⎨⎪<<⎩闻一知十：【变式1】如果215x xa a+-≤（0a>，且1a≠），供x的与值范畴．【问案】当01a<<时，6x≥-；当1a>时，6x≤-【剖析】（1）当01a<<时，由于215x xa a+-≤，215x x∴+≥-，解得6x≥-．（2）当1a>时，由于215x xa a+-≤，215x x∴+≤-，解得6x≤-．综上所述，x的与值范畴是：当01a<<时，6x≥-；当1a>时，6x≤-．典型四、推断函数的奇奇性例7．推断下列函数的奇奇性：)()21121()(xxfxϕ+-= (()xϕ为奇函数)【问案】奇函数【剖析】f(x)定义域闭于本面对付称(∵()xϕ定义域闭于本面对付称，且f(x)的定义域是()xϕ定义域撤除0那个元素)，令21121)(+-=xxg，则211222121221121)(+--=+-=+-=--xxxxxxg∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴f(x)为奇函数. 【归纳降华】供()()()f x g x x ϕ=⋅的奇奇性，不妨先推断()g x 与()x ϕ的奇奇性，而后正在根据奇·奇=奇，奇·奇=奇，奇·奇=奇，得出()f x 的奇奇性．闻一知十：【变式1】推断函数的奇奇性：()221xx xf x =+-. 【问案】奇函数【剖析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，又112121()()()()222211221x xx x x f x x x x --=-+=-+=----21111111()(1)()()222212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---，∴ f(-x)=f(x)，则f(x)奇函数. 典型五、指数函数的图象问题例8．如图的直线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对付应的函数的底数依次是________、________、________、________．【问案】2212π3【剖析】由底数变更引起指数函数图象的变更程序可知，C 2的底数＜C 1的底数＜C 4的底数＜C 3的底数．【归纳降华】利用底数与指数函数图象之间的闭系不妨赶快天解问像本题那样的有闭问题，共时还不妨办理有闭分歧底的幂的大小比较的问题，果此咱们必须流利掌握那一本量，那一本量可简朴天记做：正在y 轴的左边“底大图下”，正在y 轴的左边“底大图矮”．闻一知十：【变式1】 设()|31|x f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列闭系式中一定创造的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a +< 【问案】D【变式2】为了得到函数935x y =⨯+的图象，不妨把函数3x y =的图象()A ．背左仄移9个单位少度，再进与仄移5个单位少度B ．背左仄移9个单位少度，再背下仄移5个单位少度C ．背左仄移2个单位少度，再进与仄移5个单位少度D ．背左仄移2个单位少度，再背下仄移5个单位少度 【问案】C【剖析】注意先将函数935x y =⨯+转移为235x y +=+，再利用图象的仄移程序举止推断．∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象背左仄移2个单位少度，再进与仄移5个单位少度，可得到函数935x y =⨯+的图象，故选C ．【归纳降华】用函数图象办理问题是中教数教的要害要领，利用其直瞅性真止数形分离解题，所以要认识基础函数的图象，并掌握图象的变更程序，比圆：仄移、伸缩、对付称等．指数函数尝试题11．函数210)2()5(--+-=x x y （ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或2．若指数函数x a y =正在[－1,1]上的最大值与最小值的好是1，则底数a 等于（ ）A ．251+B ．251+-C ．251±D ．215± 3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，谦脚1)(>x f 的x 的与值范畴（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或4．函数22)21(++-=x x y 得单调递加区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[5．已知2)(xx e e x f --=，则下列精确的是（ ）A ．奇函数，正在R 上为删函数B ．奇函数，正在R 上为删函数C ．奇函数，正在R 上为减函数D ．奇函数，正在R上为减函数二、挖空题6．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是.7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定面. 8．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的程序是.三、解问题9．（12分）供函数的定义域.10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 正在区间[－1,1]上的最大值是14，供a 的值. 11．（12分）（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，供常数m 的值；（2）绘出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回问：k 为何值时，圆程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有二解？指数函数尝试题1问案一、DCDDD AAD D A 二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．32a ； 14．a a a3331<< ；15． 解：要使函数蓄意思必须：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010 ∴定义域为：16． 解：rrr r rc b c a c b a⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cb ca .当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r ； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .17．解： )1(122>-+=a a a y x x ，换元为)1(122a t at t y <<-+=，对付称轴为1-=t .当1>a ，a t =，即x =1时与最大值，略解得a =3 (a = －5舍去)18．解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无接面,即圆程无解;当k =0或者k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=xy 的图象有唯一的接面，所以圆程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有二个分歧接面，所以圆程有二解.19．解： （1）设210t t <≤，果为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=----t v rt v re e rp g ， 则r p g =)0(；（2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v rt v r e e rp g ----=2112])0([t t vrt vr t vr eeerp g +-⋅-果为0)0(<-rpg ，210t t <<，)()(21t g t g <. 传染越去越宽沉.指数战指数函数训练2一、采用题1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16（B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ）（A ）6（B ）±2 （C ）-2 （D ）23．函数f （x ）=(a 2-1)x 正在R 上是减函数，则a 的与值范畴是（ ）（A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2（D ）1<2<a4.下列函数式中，谦脚f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1)(B)x+41(C)2x (D)2-x5.下列f(x)=(1+a x )2x a -⋅是（ ）（A ）奇函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非奇函数 （D ）既奇且奇函数 6．已知a>b,ab≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b中恒创造的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1212+-x x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）奇函数 （C ）既奇又奇函数 （D ）非奇非奇函数 8．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R +的是（ ） （A ）y=5x-21（B ）y=(31)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21-10.函数y=2x x e e --的反函数是（ ）（A ）奇函数且正在R +上是减函数 （B ）奇函数且正在R +上是减函数（C ）奇函数且正在R +上是删函数 （D ）奇函数且正在R +上是删函数11．下列闭系中精确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）3112．若函数y=3+2x-1的反函数的图像通过P 面，则P 面坐标是（ ）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）13．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞）（B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞）（D ）（－∞，＋∞）14.若圆程a x -x-a=0有二个根，则a 的与值范畴是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ15．已知函数f(x)=a x +k,它的图像通过面（1，7），又知其反函数的图像通过面（4，0），则函数f(x)的表白式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x +3 16.已知三个真数a,b=a a ,c=a aa ,其中0.9<a<1,则那三个数之间的大小闭系是（ ）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像肯定不通过（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、挖空题1．若a 23<a 2,则a 的与值范畴是. 2．若10x =3,10y =4,则10x-y =. 3．化简⨯53xx 35xx×235xx =.4．函数y=1151--x x 的定义域是.5．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次接于A 、B 、C 、D 四面，则那四面从上到下的排列序次是.6．函数y=3232x -的单调递减区间是.7．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=.8．已知f(x)=2x ,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],而且面（2，41）既正在函数F （x ）的图像上，又正在F -1（x ）的图像上，则F （x ）的剖析式为. 三、解问题1． 设0<a<1,解闭于x 的不等式a 1322+-x x >a 522-+x x .2． 设f(x)=2x ,g(x)=4x ,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，供x 的与值范畴.3． 已知x ∈[-3,2]，供f(x)=12141+-x x 的最小值与最大值. 4． 设a ∈R,f(x)= )(1222R x a a xx ∈+-+⋅，试决定a 的值，使f(x)为奇函数.5． 已知函数y=(31)522++x x ，供其单调区间及值域.6． 若函数y=4x -3·2x +3的值域为[1，7]，试决定x 的与值范畴. f(x)=)1(11>+-a a a x x ,(1)推断函数的奇奇性； (2)供该函数的值域；(3)说明f(x)是R 上的删函数.指数与指数函数训练2一、采用题二、挖空题1．0<a<1 2.434.(-∞,0)⋃(0,1) ⋃(1,+ ∞) ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠--015011x xx ,联坐解得x ≠0,且x ≠1.5．[（31）9，39] 令U=-2x 2-8x+1=-2(x+2)2+9,∵ -399,1≤≤-∴≤≤U x ,又∵y=(31)U 为减函数，∴（31）9≤y ≤39. 6.D 、C 、B 、A. 7．（0，+∞）令y=3U ,U=2-3x 2, ∵y=3U 为删函数，∴y=32323x -的单调递减区间为[0，+∞）.8．0 f(125)=f(53)=f(52×2-1)=2-2=0. 9．31或者3.Y=m 2x +2m x -1=(mx+1)2-2, ∵它正在区间[-1，1]上的最大值是14，∴（m -1+1）2-2=14或者（m+1）2-2=14,解得m=31或者3. 10．2710712+-x11．∵ g(x)是一次函数，∴可设g(x)=kx+b(k≠0), ∵F(x)=f[g(x)]=2kx+b .由已知有F （2）=41，F （41）=2，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧==++1412222412412b k b k b k b k 即，∴ k=-712,b=710,∴f(x)=2-710712+x 三、解问题1．∵0<a<2,∴ y=a x 正在（-∞，+∞）上为减函数，∵ a1322+-x x >a522-+x x , ∴2x 2-3x+1<x 2+2x-5,解得2<x<3,2.g[g(x)]=4x4=4x22=2122+x ,f[g(x)]=4x2=2x22,∵g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)], ∴2122+x >212+x >2x22,∴22x+1>2x+1>22x,∴2x+1>x+1>2x,解得0<x<1 3.f(x)=43)212(12124121412+-=+=+-=+-----xx x x xx , ∵x ∈[-3,2], ∴8241≤≤-x .则当2-x =21,即x=1时,f(x)有最小值43；当2-x =8,即x=-3时，f(x)有最大值57.4．要使f(x)为奇函数，∵ x ∈R,∴需f(x)+f(-x)=0, ∴f(x)=a-122)(,122+-=-+-x x a x f =a-1221++x x ,由a-1221221+-+++xx x a =0,得2a-12)12(2++x x =0,得2a-1,012)12(2=∴=++a xx . 5．令y=(31)U ,U=x 2+2x+5,则y 是闭于U 的减函数，而U 是(-∞,-1)上的减函数，[-1，+∞]上的删函数，∴ y=(31)522++x x 正在（-∞，-1）上是删函数，而正在[-1，+∞]上是减函数，又∵U=x 2+2x+5=(x+1)2+4≥4, ∴y=(31)522++x x 的值域为（0，（31）4）].6．Y=4x -33232322+⋅-=+⋅x x x ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅-≤+⋅-1323)2(7323)2(22xx x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≤≤-1222421x x x或，∴ 2,12042≤<≤≤x x 或 由函数y=2x 的单调性可得x ]2,1[]0,(⋃-∞∈.7．（2x ）2+a(2x )+a+1=0有真根，∵ 2x >0,∴相称于t 2+at+a+1=0有正根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+>-≥∆⎩⎨⎧≤+=≥∆010001)0(0a a a f 或 8．（1）∵定义域为x R ∈,且f(-x)=)(),(1111x x f aa a a xxx x ∴-=+-=+---是奇函数； （2）f(x)=,2120,11,121121<+<∴>++-=+-+x xx x x a a a a a ∵即f(x)的值域为（-1，1）； （3）设x 1,x 2R∈,且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=0)1)(1(2211112121221<++-=+--+-xx x x x x x x a a a a a a a a (∵分母大于整，且a 1x <a 2x )∴f(x)是R 上的删函数.。
指数运算和指数函数 (2)
第一节 指数与指数函数一、知识点详解知识点1：指数运算 1.指数幂的有关概念：(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个；(2)零指数幂)0(10≠=a a ；(3)负整数指数()1/0,n n a a a n N -*=≠∈； (4)正分数指数幂)/0,,,1m naa m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)//1/0,,,1m n m n a a a m n N n -*==>∈>； (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2.指数幂的运算性质（1）(0)r s r sa a a a +=>；（2） ()()(0)r s s r rs a a a a ==> ；（3）()(0,0)r r r ab a b a b =>>。
例1、把下列格式中的a 写成分数指数幂的形式（1）5256a =；（2）428a -=；（3）765a -=；（4）()350,,n ma a a m n N -+=>∈。
解：（1）15256a =；（2）1428a -=；（3）675a -=；（4）533mna -=。
例2、3322(1)9;(2)16.-计算 解：3322(1)9;(2)16.-计算 例3、计算下列各式：)20a >；(2)解：1252222361322a a a a a--===•3423132421313424213134245124(2)251255555555555555--⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭=÷-÷=-=例4、已知1x x -+=3，求下列各式的值：11332222(1),(2).x x x x --++解：2221111111222222111221122(1)22325=5,=30=5x x x x x x x x x xx x xx x -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+±++∵∴又由得∴())3322331111111222222222111221(2)=215312 5.x x x x x x x x x x x x x x ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=+-⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤=++-=-= ⎪⎣⎦⎝⎭知识点2：指数函数定义 1.形如()01xy aa a =>≠且称之为指数函数，其中x R ∈。
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1 2
2 3
1 3
(a ) = a （B）
1 5 （D）
0
2 3
1 2
1 3
（C）( a
)
=a
(a )
1 3
3 5
= a
1 5
1 2
3. 0 . 064
1 − 3
7 0 . 75 − − + 16 + 0 . 01 8
=
4. 1.5
1 − 3
7 2 0.25 6 3 4 × − + 8 × 2 + ( 2 × 3) − − 6 3
(2), a −b a +b
1 2
1 4
1 − 4
1 4
1 − 4
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
+
a +b a −b
1 2
1 2
1 2 1 2
1 − 4
1 2
2, (2 x + 3 y )(2 x − 3 y )
1 − 4
例2： ：
1,已知x + x = 3, 求下列各式 (1)，x + x
题型二
分数指数幂
a
m n 求值， 求值，
关键先求a的 次方根 关键先求 的n次方根
题型三
分数指数幂的运算1、系数先放在 分数指数幂的运算 起运算。2、同底数幂 进行运算，乘的指数相加，除的 指数相减。
1 (−2x y )(3x y )(−4x y ) 、
原式 (−2)×3×(−4)x =
1 −1 +1 4 2 4
1 2
1 2 1 − 2
−1
5
1 − 2
(2), x + x
3 2
3 − 2
2 5
(3), x − x
3 2
±1
3 − 2
(4), x − x
±4
2, 化简
x −1 x + x +1
2 3 1 3
+
x +1 x +1
1 3
−
x−x
1 3
1 3
x −1
1 3
−x
3,已知x + x
1 2 1 − 2 2
= ( x －3 + 1 ) 2 －2( x －3 + 1 )x －3 + x －6 = x －6 + 2x －3 + 1 －2 x －6 －2x －3 + x －6
=1 解法二： 解法二： 由 x －3 + 1 = a 得
x －3 = a － 1
x －6 = ( x －3 ) 2 = ( a － 1 ) 2
例1：化简 ：
1。( 2
4
a ÷ 4 ab ) • 3 b
6
3
2。 。 [(
8) × ( 10 ) ] ÷ 10
3
2 − 3
9 2 2
5
例2：化简 ：
1。 。
a b
1 4 1 2
3
23
ab
2
b (a b ) • 3 a 2 a
4
2。
a a
3
2
计算 1。
3
a a
3 3
9 2
−3
÷
3
a a
−7 3
1 1 − 3 4
1 − 2
2 3
1 4
2 3
y
−1+2 +2 3 3 3
= 24y
2.
7 (2 ) 9
100
0.5
10 + 0.1 + (2 ) 27
−2 +
−
2 3
− 3π
0
37 + 48
3, (a b )(−4a b) ÷ (12a b c) −2 −1+ 4 −3+1+ 2 −1 原式 = (−4) ÷ 12a b c
13
2。
a
题型五 利用代数公式进行化简：
a − b = (a + b)(a − b)(平方差公式)
2 2
(a ± b) = a ± 2ab + b (完全平方公式)
2 2 2
a ± b = (a ± b)(a ∓ ab + b )(立方公式)
3 3 2 2
例1：化简 ：
(1),(a + b )(a − b )(a + b )
题型一
将根式转化分数指数幂 根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0) 根式转化分数指数幂
1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 ，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。 、要熟悉运算性质。
4 3 1 3
0
2 3
5.
b 3 ÷ 1 − 23 × a 2 2 a a 3 + 23 ab + 4b 3 a − 8a b
x −x
= u ,其中a>0， ∈ R , 将下 6.已知 a + a x 列各式分别用u表示出来： 3x 3x x x （2） （1） − −
a +a
1 − 3
(3), ( x − 1)
2 3
1 − 2
(5), (3 − 2 x − x )
(6), (| x | −1)
1 − 3
1. 已知
x
−
2 3
= 4
那么x等于
3 1 4 3 （A）8 （B） ± （C） ± 2 2 （D） 8 4
2.对任意实数a,下列等式正确的是
（A）
(a ) = a
3 1 − − 5 3
指数（3）
规定正数的正分数指数幂的意义：
a = a (a > 0, m, n ∈ N 且n > 1)
n m
m n
∗
规定正数的负分数指数幂的意义：
a
m − n
=
1 a
m n
=
1
n
a
m
(a > 0, m, n ∈ N 且n > 1)
∗
0的正数次幂等于 ， 的正数次幂等于0， 的正数次幂等于 0的负数次幂无意义，0的0次幂无意义。 的负数次幂无意义， 的 次幂无意义 次幂无意义。 的负数次幂无意义
（1） ）
a −b a +b
1 2
1 2
1 2 1 2
+
a +b a −b
1 2
1 2
1 2 1 2
（2）( a 2 －2 + a －2 ) ÷( a 2 － a －2 ) ） （3）已知 x + x ）
1 2 − 1 2
= 3 ，求
x + x + 2 的值 2 −2 x + x + 3
2 2
3பைடு நூலகம்2
a b (a +b )−a −b (a −1)(b −1) = + 4 4 2 2 a b −1 a b +1
2 2 2 2 2 2 2 2
(a + b )(a b −1) a b − a − b +1 = 2 2 + 2 2 2 2 (a b +1)(a b −1) a b +1
2 2 2 2 2 2 2 2
= − ac
1 3 −1
−2 −3
−1
−4 −2
例4 计算
(1)( 2 a b )( − 6 a b ) ÷ ( − 3 a b )
1 2 1 2
2 3
1 3
1 6
5 6
(2)(m n )
例5 计算
3
1 4
3 −8 8
(1)( 25 − 125 ) ÷ 4 5 (2) a
3 2 2
a a
(a > 0)
x +1 的值？ = 5, 求 x
23
1， 已知a + a = 3, 则a + a
2
−1
−2
= ____,
a +a
3
−3
= ______ . 18
a b
7
2， 已知100 = 50,10 = 2, 求2a + b的值？
解.∵100 = 50,∴10 = 50
a 2a
又∵10 = 2,∴10
b
2a+b
= 100∴2a + b = 2 ,
3、化简： 、化简：
a +b −a −b (a−a )(b−b ) + 2 2 −2 −2 −1 −1 a b −a b ab+a b
2 2
2 2
−2
−2
−1
−1
1 1 1 1 a + b − 2 − 2 (a − )(b − ) a b + a b 解：原式 = 1 1 2 2 ab − 2 2 ab + ab ab
2
2
a
2
+a
2
7. 8.
3
a
9 2
a
−3
÷
3
1 16
a
−7
× a
3
1 8
13
=
1 4 1 2
(1 + 2 )(1 + 2 )(1 + 2 )(1 + 2 )(1 + 2 )
1 32
9.
设x + x