Active_Contours_Without_Edges_翻译_无边界活动轮廓模型

（10）
是 在 t 时刻的值。 即 ， 可以在(10)中得到。 (10)中的 和 有相同的零水平集， 且 趋近于 1.为了离散化等式(10)，我们使用[22]和[25]中提出的方法。 算法是主要步骤如下： 用 初始化 ，n=0. 通过(6)和(7)计算 和 . 计算在(9)式中 的 PDE，从而获得 . 在曲线中的单位阶跃函数中初始化 (此步骤可以省略) 检测结果是否平稳。如果不是，则令 n=n+1,再重复上述步骤。 我们发现，对 的时间独立 PDE 的应用不是最关键的。而直接从极小值问题中演化而来的问题 也可以通过有限差分方程来解决。
备注 2：通过先前的公式我们可以知道，能量可以写成 记为 .这样，能量函数变为新的形式
的函数，也是 w 的特征函数。我们
因此，我们可以考虑新的最小化问题：
，
在特征函数中设置 Ω 的有限周长。 当然，我们希望能量函数 题的一种特例，这已经在[18](假设
（8）
意思是 Lebesgue 测量法。 存在极小值。对于一般的图像 ，我们的模型是最小分段问 在 连续)，[16]和[17]中得到证明。而且， Mumford–Shah 和对
图 3.冲击函数和阶跃函数的正规化
在 中，为了离散化等式，我们使用了有限差分隐式方程。我们重新定义了一些常用符号：h 为 空间步长， 为时间步长， ( 近似值，且 )=(ih,jh)是网格点， 且 为 的
有限差分式为：
， ，
，
算法如下所示(我们非常同意[23]中散度算子的离散化和[1]中的迭代算法)：知道 后,我们分别使 用(6)式和(7)式计算 和 .然后，我们再通过如下的离散化和(9)式的线性化计算 :
II.模型的描述
我们定义演化曲线 C 为开区间 w 的边界 如 ， 在以下文章中，inside(C)表示区域 由两
w，outside(C)表示区域 Ω \ . 我们的方法是求取能量函数的最小化。在这里简单介绍一下模型的基本思想。假设图像 个不同强度的区域 和 组成.再进一步假设被检测的目标在 中，用
皆为固定的参数。几乎在我们的所有数值计算中，都有 因此，我们考虑最小化问题：
备注 1：在我们的模型中，条件 Length(C)可以重新定义为 的特殊情况。如果考 虑到 N>1 的任意维度的情况(例如 )， 则对于任意 N， p=1 或 p=N/(N-1).再使用等周不等式[7]， 把 和 Area(inside(C))做比较：
常量 。因此，D. Mumford and J. Shah 提出[18]，在每个 的连接部分，
这种情况称之为最小分段问题。 我们的模型(v=0, )是分段问题的一种特例，我们把 u 看作是 种情况：
的最佳近似值，有两
（5） C 为 Snake 模型(活动轮廓模型)的边界。 这种最小分段问题的特殊情况可以通过水平集法来计算解决[19].这将在下文中提出。 B． 模型的水平集方程 在水平集法中[19], 代表 Lipschitz 函数 (Ω )的零水平集，比如：
正规化：
这些 H 和 不同的是，
的不同的近似值和正规化如图 3 所示。 当 在很小的区间[- ， ]中不为 0 ，
时， 这些近似值都趋近于 H 和 .
处处不为 0.因为我们的能量函数有很多峰值(因
此有很多极小值)，所以初始轮廓决定了选取何种方法。使用 和 时，算法计算的是能量函数 的局部极小值，使用 和 时，算法计算的是全局极小值。原因之一是 的 Euler-Lagrange(欧拉 -拉格朗日)等式针对的仅仅是局部，{ }中只有很少的水平曲线使用 和 ；但是，使 用 和 时，等式在全局都起作用。实际上，我们使用第二种种方法，可以得到全局极小值，不 依赖初始轮廓；而且，还可以自动检测内部轮廓(详见第 IV 部分)。我们提到，为了把 推广到所有 水平集中，可能的方法是用 代替 (见[27])。在本文中，我们使用 来使我们的问题与初 始极小值问题相近。把 推广到所有水平集中的问题可以通过使用 的近似值 来解决。
I.引言
Snakes 模型（活动轮廓模型）的基本思想是演化一个曲线，再找到几个约束条件用以检测图像 中的目标。例如，从曲线的周围开始检测，曲线朝着內法线方向移动，然后在目标的边界停止。 是 的一个开子集， 是其边界。 是给定的图像，C(s):[0,1] 是参数化曲线。 在经典的 Snakes(活动轮廓)模型中（见[9],[3],[13],[4]） ，要用到边缘检测器，它依靠于图 像 的梯度停止曲线演化到所需要的边界。我们将在下文简要回顾这些模型。 Snake 模型[9]中能量函数：
这个线性系统通过迭代法来解答，更多细节见[1]. 当使用水平集和单位冲击函数时，要先初始化 和零水平集曲线的单位阶跃函数，如[25]和[27] 所示。用以防止水平集函数图像变得太平坦，或者可以通过尺度改变和正规化得到。对于我们的算 法，可以进行初始化，也可以不进行初始化。另一方面，两个函数也不能固定不变，就像 Fedkiw 提到的一样，这可以阻止内部轮廓的生长。本文中仅仅有少部分的数据结果进行了初始化，用以解 答以下等式：
Area (inside(C))
c 是由 N 决定的常量。 A． Mumford–Shah 方程相关 Mumford–Shah 分割方程为[18]：
是给定的图像， 和 为正数。最小化上述函数得到图像 u，由光滑区域 和边界 C 组成。 这个问题的简化形式就是把 u= 变成 u 的分段常值函数。例如，在 Ω \C 的每个 的连接部分， 。
此外：
，
是 0. 在曲线演化的问题当中， 水平集方法以及 Osher 和 Sethian 提出的平均曲率运动法运用很广泛， 因为它们都可以处理图像的尖角区以及拓扑变化。而且，用矩阵来解决离散化问题。曲线 C 用 Lipschitz 的隐函数 来表示： ，演化曲线是零水平曲线在 t 时刻的函数 。曲线 C 以速度 F 沿着法线方向移动，特征方程如下： 和高斯分布 的卷积， .函数 在均匀区域是正数，在边界为
，
集合 定义为初始轮廓。当曲线以平均曲率运动( 通过点(x,y)的曲率)时，方程变为： 是
， ，
基于平均曲率运动的几何活动轮廓模型有如下演化方程： 、
， ，
（2）
是边界函数中 p=2 时的情况， 为常量， 是初始水平集函数。它的零水平集曲线以速 度 朝着正常的方向运动， 在目标的边界停止时 g=0.常量 v 是一个修正项， 以便于保证数 始终为正数。这个常量可以解释为把曲线推向目标，直到 曲率变为无穷或者负数。因此，v>0 是内部曲线区域的约束条件，随着曲线生长的速度的变化而变 化。 另外两个基于水平集的活动轮廓模型在[13]中提出，依然是利用图像的梯度作为曲线的停止条 件。第一个演化方程为：
来表示它的边界。然后我
们有 为内边界[或者是 inside( )], 虑以下“合适的”条件：
为外边界[或者是 outside( )]。 现在让我们考
C 是任意变量曲线，常数 和 取决于 C。很明显，在这简单的例子中，目标的边界曲线 是上式中 取最小时 C 的值，即： 例 如 ，如 果曲 线 C 是 目 标的 外侧 ，则 ， ， 如 果 曲线 C 是 目标的 内 测， 则 ， 。最后， 如果 C= ，
对 F 进行正规导 的 Euler-Lagrange(欧拉-拉格朗日)等式求取 的极小值，再确定当 时下降方向的速度。对 求关于 t 的偏导：
， ， （9 ）
为边界 的外法线向量， 为 在边界的导数。
III．其它类似方法
的 正规化首先是在[27]中提出：
在本文中，我们应用的是以下 H 的
无边界活动轮廓模型
Tony F. Chan，Luminita A. Vese 摘要：在本文中，我们提出了一种基于曲线演化，Mumford–Shah 函数和水平集的新的活动轮 廓模型来检测图像中的目标。无论边界是否由梯度定义，我们的模型均可检测目标。最小化能量 函数可以作为最小化问题的一种特例。在水平集方程中，最小化问题则变为平均曲率流问题，就 像活动轮廓的演化一样，此模型可以在所需要的边界停止演化。但是，停止的条件不像经典的活 动轮廓模型一样依赖于图像的梯度，而是与相关的分割参数有关。最后，我们得到了不同的实验 结果，特别是一些使用基于梯度的经典 Snakes 模型检测目标却得不到很好效果的例子。而且，在 我们的模型中，初始曲线可以在任何位置，且可以自动检测内部轮廓。
，
，
，
且：
所以，能量函数
定义为：
我们注意到，u 在(5)中定义一样，是我们模型（Mumford–Shah 最小化分段问题的一种特例） 的一种思路，可以用如下方程表示:
，
保持 不变，根据常量 和 ,求取能量函数 的最小值。 和 可以用 表示：
（6 ）
>0，还有
（7 ）
>0.方程对 和 的值没有约束。 和 实际上为：
V 是常量， 和 分别为图像梯度 的最大值和最小值。当梯度达到最大值的时候，演化 曲线的速度变为 0，演化曲线在目标边界停止。第二种模型[13]与几何模型[3]相似,只是 p=1.另外 相关的模型见[14]和[15]。 测地线模型[4]如下所示：
（3 ）
根据图像显示，它在黎曼空间中的矩形计算存在问题。解决最小化问题就是找到最小路径问题。例 如，当 为 0 时，C 最小。这时 C 为目标的边界。[4]的测地线活动轮廓模型(3)也有一 个水平集方程：
是开区间， .我们在图 2 中解释了上述假设和水平集方程 中的符号，还定义了演化曲 线。更多细节详见[19].
图 2.曲线
在各个方向的演化
对于变分活动轮廓的水平集方程，我们用未知变量 代替了未知变量 C，遵循[27]所示。 单位阶跃函数 H 和单位冲击函数 定义为：
， ，
在能量 F 中，我们有以下条件(如[7]所示)：
（1 ）
， 和 都是正向参数。 前两项控制轮廓的平滑度 （内部能量） ， 第三项使轮廓朝着目标移动 （外 部能量） 。很明显，通过求取最小化能量（ 1） ，我们可以在极大值点定位曲线，就像边界检测器一 样，可以保证曲线（对象边界）的光滑。 一个普通的边界检测器可以定义为一个由图像 的梯度决定的正向单调递减函数 g，例如：