坐标系与参数方程专题复习
高考数学 122 坐标系与参数方程复习课件
3．圆的参数方程 (1)圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为
x＝rcosθ y＝rsinθ
(θ 为参数)；
(2)圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝a＋rcosθ y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
4．柱坐标系 (1)如图，空间直角坐标系 O－xyz 中，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) 来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标．则点 P 的位置可用有序 数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ， θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (ρ， θ ， z) 叫做 点 P 的柱 坐标， 记作 P(ρ， θ， z) ，其 中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞.
2．由点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，直接 将 x、y 的值代入可求 ρ＝ x2＋y2，求极角 θ 时，先由(x， y)所在象限得出 θ 所在象限，再由 tanθ＝xy确定角 θ 的值．
3．参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方 法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的) 消去法． 要注意由参数的取值范围求出x或y的取值范围． (2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的 参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通 方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．
x＝2t y＝1＋4t
(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2
2sinθ，
则直线 l 与圆 C 的位置关系为________．
坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
坐标系与参数方程知识点总结及练习题-高考数学(全面)
坐标系与参数方程知识点总结及练习题1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y +=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设)Mθθ，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mθθ+ AP =，())()1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+-⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.1．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ρsin θ＝b .2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于r ：ρ＝2r sin θ.3．常见曲线的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2＝r cos θ，＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0).1．曲线C 的方程为22 341x y +=，曲线C 经过伸缩变换3{4x xy y='='得到新曲线的方程为（）A ．2227641xy +=B ．2264271xy +=C ．22134x y +=D ．221916x y +=2．直线l 的方程为10x y +-=，则极坐标为32,4π⎛⎫⎪⎝⎭的点A 到直线l 的距离为A 2B ．22C ．222-D ．222+3．在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值是A ．3B ．22C ．23D ．44．椭圆的参数方程为53x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A ．()4,0±B ．()0,4±C ．()5,0±D ．()0,3±5．已知抛物线2:2C y x =，过定点(,0)M a 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，若2211||||MA MB +常数，则常数a 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（）A ．1cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．cos 2ρθ=D ．1sin 2ρθ=7．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条线段D ．一条射线8．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b9．已知实数满足，则的最小值是（）A ．55-B ．C ．D ．10．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的方程为2y x =．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(1,2)P -，则PA PB +=（）AB ．10CD ．211．当t R ∈时，参数方程2228444t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）表示的图形是（）A ．双曲线的一部分B ．椭圆（去掉一个点）C ．抛物线的一部分D ．圆（去掉一个点）12．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（）A．2-B．C．D．2+13．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（）A．2B．2CD．214．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（）A ．6B ．5C ．8D ．715．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.16．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.17．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．19．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.20．将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.1．C 【分析】先将34x x y y ''=⎧⎨=⎩反解为34x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，再代入22 341x y +=，最后得到新曲线的方程即可.【详解】解：因为伸缩变换34x x y y ''=⎧⎨=⎩，所以34x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，代入22 341x y +=，所以得到的新曲线的方程为：22134x y +=，故选：C 【点睛】本题考查函数的伸缩变换，是基础题.2．B 【分析】将点432,A π⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标(2,2-，再利用点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】点432,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(2,2，则由点到直线的距离公式得222212211d -+-==+.故选：B.【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标、点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力.3．A 【分析】以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为2cos 12θ+，2sin 1)2θ+，根据AP AB AD λμ=+ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值【详解】如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则()0,0A ，()1,0B ，()0,1D ，()1,1C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，1BC =，1CD =，22BD r ∴===，∴圆的方程为()()221112x y -+-=，设点P 的坐标为2cos 12θ+，2sin 1)2θ+，AP AB AD λμ=+，即2cos 12θ+2sin 1)2θ+=(1λ，0)(0μ+，1)(λ=，)μ，2cos 12θλ∴+=2sin 12θμ+=，22cos 11sin 21sin 12244ππλμθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，故选：A.【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．4．A 【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为(40)±，，故填(±4,0).5．A 【分析】设直线AB 的标准参数方程cos sin x a t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α是直线的倾斜角），代入抛物线方程应用韦达定理，利用12,MA t MB t ==计算可求解．【详解】设直线AB 的方程为cos sin x a t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α是直线的倾斜角），代入抛物线方程得22sin 2cos 20t t a αα--=，224cos 8sin 0a αα∆=+>，1222cos sin t t αα+=，1222sin a t t α=-，2221212122222222121212()21111()t t t t t t t t t t t t MA MB++-+=+==242244cos 4sin sin 4sin aa αααα+=222cos sin a a αα+=221(1)sin a aα+-=，此值与α的取值无关，则10a -=，即1a =．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交问题的定值问题．解题关键是利用直线的参数方程，利用参数的几何意义求解．即设直线AB 的方程为cos sin x a t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α是直线的倾斜角），代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,t t t t +，而12,MA t MB t ==，由此易计算2211||||MA MB +．6．C 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再判断是否相切．【详解】由题意圆的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，圆心上(0,2)C ，半径为2r =，A 中直线方程是12x =，B 中直线方程是2y =，C 中直线方程是2x =，D 中直线方程是12y =，只有直线2x =与圆相切．故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系．在极坐标系中两者位置关系的差别是不方便的，解题方法是把极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断直线与圆的位置关系．7．D 【分析】参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，1,1x y ≤≥，故表示的曲线是射线.【详解】将参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，其中1,1x y ≤≥，又点(1,1)在直线上，故表示的曲线是以(1,1)为起点的一条射线故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，但互化时一定要注意消去参数，得到的普通方程中x,y 的范围，本题中20t ≥，所以消去参数得到的方程为一条射线，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．A 【分析】用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值.【详解】记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，222()4sin 2sin 44(sin )444b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值244b +；若144bb >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b .故选：A 【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.9．A 【分析】先由2246120x y x y +-++=化为圆的参数方程2{3x cos y sin αα+-＝＝，将()22255x y cos sin αααθ--=-+=++()5555αθ⎡++∈-+⎣，求解．【详解】∵实数x ，y 满足2246120x y x y +-++=,∴2{3x cos y sin αα+-＝＝，所以()22255x y cos sin αααθ--=-+=++，()55αθ⎡++∈⎣，min22[5225x y x y∴--∈-+∴--=-，故选A.10．A【分析】将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到关于t的二次方程，根据直线参数方程中t的几何意义可知，12PA PB t t+=+，然后利用韦达定理代值求解.【详解】设在直线l的参数方程中，点A和点B所对应的参数分别为1t和2t，将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：2222122t t⎛⎫+=--⎪⎪⎝⎭，整理得：220t-=，则12t t+=，122t t⋅=-，故1212PA PB t t t t+=+=-==故选：A.【点睛】本题考查直线参数方程中t的几何意义，考查弦长问题的求解，难度一般.11．B【分析】由t R∈，令2tan,(,)22tππαα=∈-结合三角恒等变换即有sin22cos2xyαα⎧-=⎪⎨⎪=⎩即知2214x y+=，不过点(0,1)-，可确定选项；【详解】t R∈时，可令2tan,()22tππαα=∈-，即有：2224tan1tan1tan1tanxyαααα-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即sin22cos2xyαα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴2214x y +=，不过点(0,1)-，故选：B 【点睛】本题考查了根据参数方程确定曲线，利用等价换元，并结合三角恒等变换将参数方程转化为普通方程，注意取值范围；12．A 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -.【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，圆心C 为(1,1)，半径2r =.已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l的距离为d r ==>，故直线l 与圆C相离，所以C 上各点到l的距离的最小值为2d r -=-.故选：A.【点睛】本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.13．C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==.故选：C.【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.14．A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线2413x ty t=-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===.故选：A.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.16．（1）（2）2.【分析】(1)由题意，在OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．17．（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin3πρθ===；即3M π，所以tan 3OM k π==，因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为3(4)3y x =--，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =，4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.18．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x ++=；（2【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.19．（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(,22【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈，半圆C 的圆心是()1,0C因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cosθ=，得[]2220,01x y x y +-=∈，，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,,1+cos 12332D αααπαα⎛⎫-=⇒=∈∴= ⎪-⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.20．（1）cos {2sin x t y t＝＝（t 为参数）；（2）34sin 2cos ρθθ=-.【详解】试题分析：（1）设11(,)x y 为圆上的点，在曲线C 上任意取一点（x ，y ），再根据11{2x x y y ==，由于点11(,)x y 在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得12P P 、的坐标，可得线段12PP 的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为12，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x cos y sin ρθρθ==、可得所求的直线的极坐标方程．（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得11{2x x y y ==由22111x y +=得22)12(y x =+，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为cos {2sin x t y t ＝＝（t 为参数）.（2）由221{4220y x x y +=+-=解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩.不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
超实用高考数学重难点专题复习：专题九 坐标系与参数方程
极坐标是 ( , ) ，则
x cos
y sin
2 x2 y 2
y
tan
( x 0)
x
2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－
函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统
计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解
答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为
载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮
复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《
卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩
固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻
开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟
比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高
我们的自信心。
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就是要求我们在
每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失误！对于
第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们很多同学求
的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我想在考试时一
定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号来提示你充分而
准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可以试试！对于第三
研究；
高三数学一轮总复习 专题十七 坐标系与参数方程含解析,选修4 4 试题
日期：2022年二月八日。
专题十七、选修4-4 坐标系与参数方程抓住1个高考重点重点1 坐标系与参数方程1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是： 〔1〕极点与直角坐标系的原点重合； 〔2〕极轴与直角坐标系的x 轴正半轴重合；〔3〕两种坐标系取一样的长度单位．设点P 的直角坐标为(,)x y ，它的极坐标为(,)ρθ，那么互化公式是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或者222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩；假设把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限〔即角θ的终边的位置〕，以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，那么更要谨防漏解．2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法〔包括集团代人法〕、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中,x y 含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性. 3．参数方程的用处主要有以下几个方面：〔1〕求动点(,)x y 的轨迹，假如,x y 的关系不好找，我们引入参变量t 后，很容易找到x 与t 和y 与t 的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用． 〔2〕可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．〔3〕有些曲线参数方程的参变量t 有几何意义．假设能利用参变量的几何意义解题，常会获得意想不到的效果．如利用直线HY 参数方程中t 的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.[高考常考角度]角度1 假设曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，那么该曲线的直角坐标方程为 .解析：关键是记住两点：1、cos ,sin x y ρθρθ==，2、222y x +=ρ即可.由22sin 4cos 2sin 4cos ρθθρρθρθ=+=>=+2224,x y y x =>+=+22420x y x y ∴+--=为所求.角度2在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的间隔 为〔 〕解析：极坐标(,)π23化为直角坐标为(2cos ,2sin )33ππ，即.圆的极坐标方程2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为〔1,0〕，那么由两点间间隔公式d ==应选D.角度 3两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 .解：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(0)y ≥，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x = 联立得222215450145x y x x x y x ⎧+=⎪⎪=>+-==>=⎨⎪=⎪⎩或者5x =-〔舍去〕， 又因为0y ≥，所以它们的交点坐标为(1,)5角度4 直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕和曲线2C ：1ρ=上，那么||AB 的最小值为 ．点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．解析：曲线1C 的方程是22(3)(4)1x y -+-=，曲线2C 的方程是221x y +=，两圆外离，所以||AB 的113-=．角度5 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x 〔ϕ为参数〕，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 〔0>>b a ，ϕ为参数〕，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的间隔 为2，当α=2π时，这两个交点重合． 〔Ⅰ〕分别说明12,C C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； 〔Ⅱ〕设当α=4π时，l 与12,C C 的交点分别为11,A B ，当α=4π-时，l 与12,C C 的交点为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积．解析：〔Ⅰ〕12,C C 的普通方程分别为221x y +=和22221x y a b+=，故1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a ，因为这两点间的间隔 为2，所以3a =.当2πα=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b ，因为这两点重合，所以1b =.〔Ⅱ〕12,C C 的普通方程分别为221x y +=和22 1.9x y +=当4πα=时，射线l 与1C 交点A 1的横坐标为2x =，与2C 交点B 1的横坐标为10x '= 当4πα=-时，射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称，因此，四边形1221A A B B 为梯形.故四边形1221A A B B 的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=躲避2个易失分点易失分点1 参数的几何意义不明典例 直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，假设以平面直角坐标系xOy 中的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择一样的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos().4πρθ=-〔1〕求直线l 的倾斜角；〔2〕假设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||AB ．易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误．解析：〔1〕直线的参数方程可以化为cos 3sin 23x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0,)2，倾斜角为3π. 〔2〕l的直角坐标方程为2y =+，即20y -= 曲线C 2cos()4πρθ=-的直角坐标方程为22((1x y +-=，所以圆心到直线l 的间隔|24d == 所以||2AB ==易失分点2 极坐标表达不准典例 曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos ,0,ρθρθρ==≥那么曲线1C 与2C 交点的极坐标为_________________易失分提示: 此题考察曲线交点的求法，易错解为：由方程组cos 34cos cos 662ρρρθππρθθθ⎧⎧===⎧⎪⎪=>=>⎨⎨⎨==-⎩=⎪⎪⎩⎩或即两曲线的交点为6π（)或者6π-（)正解解析：由方程组cos 34cos 2cos 62k ρρρθπρθθπθ⎧⎧===⎧⎪⎪=>=>⎨⎨⎨==-⎩=⎪⎪⎩⎩或者26k ρπθπ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即两曲线的交点为)6k ππ-或者2),6k k Z ππ+∈在极坐标系中，有序实数对的集合{(,)|,}R ρθρθ∈(,)ρθ，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，假设点M 不是极点，(,)ρθ是它的一个掇坐标，那么M 有无穷多个极坐标(,2)k ρθπ+与(,(21)),k k Z ρθπ-++∈各类题型展现：1. 〔本小题满分是10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数〕〔1〕求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x tt y t=-⎧⎨=-⎩为参数〕平行的直线l 的普通方程.〔2〕求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。
高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习含答案解析
新《坐标系与参数方程》专题解析一、131．已知点()30A -,，()0,3B ，若点P 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．92B．C．62+ D．62-【答案】D 【解析】 【分析】化简曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线AB 的距离最小值求解即可. 【详解】由曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）知曲线是以()1,0为圆心,1为半径的圆.故直角坐标方程为：()2211x y -+=.又点()30A -,,()0,3B 故直线AB 的方程为30x y -+=. 故当P 到直线AB 的距离最小时有PAB △面积取最小值. 又圆心()1,0到直线AB 的距离为d ==故P 到直线AB 的距离最小值为1h =.故PAB △面积的最小值为()1116222S AB d =⋅=⨯=-. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于中等题型.2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】B 【解析】 【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22xy + 的最大值。
【详解】223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得22332y x x =-，则()2222211919369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由223302y x x =-…，可得02x 剟，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4． 故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。
高考复习数学B版考点考法讲解：坐标系与参数方程
{
ｘ ＝ ２＋２ｃｏｓ θ，
（θ 为
ｙ ＝ ３＋２ｓｉｎ θ
参数） 的对称中心，则直线 ｌ 的方程是
ｘ ＝ －１＋２ｔ，
（２） 若直 线
（ ｔ 为 参 数） 与 曲 线
ｙ ＝ ３－２ｔ
为参数，ａ＞０） 有且只有一个公共点，则 ａ ＝
{
{
解析 （ １） 由曲线的参数方程
如图，ＡＢ 即为直线 ｙ－ｘ ＝ １ 被圆 ｘ ２ ＋ｙ ２ ＝ １ 截得的线段，且 ＡＢ
１ ２ ＋１ ２ ＝ ２ ．
答案 （１） Ｄ （２） Ｂ
１－１ （２０１６ 北京西城一模，２） 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，
{
ｘ ＝ ２＋ ２ ｃｏｓ θ，
ｙ ＝ ２ ｓｉｎ θ
Ａ．关于 ｘ 轴对称的图形
Ａ．
１
２
Ｂ．
２
２
Ｃ．１
（ ）
Ｄ． ２
（２） ☉Ｃ １ ：（ ｘ－１） ２ ＋ｙ ２ ＝ １，☉Ｃ ２ ：ｘ ２ ＋（ ｙ－１） ２ ＝ １，
如图，易得交点为（０，０） ，（１，１） ，则 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ ．
（ ２） （２０１６ 北京海淀一模，６） 在极坐标系中，圆 Ｃ １ ：ρ ＝ ２ｃｏｓ θ
４ｘ＋３ｙ ＝ １０，
所 以
２ｘ－４ｙ ＝ ５，
(
１－
５
２
{
) ＋２ ＝ ２５ ．
２
２
５
，
２ 即 Ｂ
ｙ ＝ ０，
ｘ＝
( ５２ ，０ ) ， 所 以 ｜
ＡＢ ｜ ＝
曲线 Ｃ 的参数方程为
（ θ 为参数） ，则曲线 Ｃ 是
（ ）
Ｂ．关于 ｙ 轴对称的图形
高中数学复习复习(七)——坐标系与参数方程 含解析
专题复习（七)—— 坐标系与参数方程（一）知识梳理1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P （x,y)对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可。
但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系。
（2）极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角，记为.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记作(,)M ρθ。
一般地，不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥可取任意实数。
特别地,当点M 在极点时，它的极坐标为（0，)(∈R ）。
和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。
如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时，极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景:把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示：（2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ(0ρ≥），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限取最小正角。
高考数学压轴专题最新备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习
【最新】数学复习题《坐标系与参数方程》专题解析一、131．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 【答案】A 【解析】 【分析】将伸缩变换53x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解.【详解】解：把53x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即2225361x y +=，即为曲线C 的方程． 故选：A ． 【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】B 【解析】 【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22xy + 的最大值。
【详解】223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得22332y x x =-，则()2222211919369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由223302y x x =-…，可得02x 剟，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4． 故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。
高三数学专题复习--极坐标与参数方程
五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求
A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程； （2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化； （3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、 最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地 过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.
坐标系与参数方程复习课件 (全国通用)
(t 为参数)代入 x2＋y2＋4x＝0，得 t2＋4(sinα＋
cosα)t＋4＝0，设点 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，因为方程的两根 π 2 2 t1，t2 满足 t1t2＝4>0，且 Δ＝4 (sinα＋cosα) －4×4>0，即 α∈0，2， 所 以 |PM| ＋ |PN| ＝ |t1| ＋ |t2| ＝ |t1 ＋ t2| ＝ 4|sinα ＋ cosα| ＝ 4 2 π π sinα＋ ，α∈0， ， 4 2 π 所以当 α＝4时，|PM|＋|PN|取得最大值，且最大值为 4 2.
[方法规律] (1)曲线参数方程有很多优点： ①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别 对于圆、椭圆、双曲线有很大用处． ②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如： x＝x0＋tcosα 直线参数方程 (α 为倾斜角，t 为参数)，其中的|t|＝ y ＝ y ＋ t sin α 0 |PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点． ③把参数方程化为普通方程主要思想是消元，方法有： a．代入消元法；b.整体消元；c.三角消元． (2)极坐标问题的一般处理方法为：先把极坐标化为直角坐标，再 解决问题．
＋y＋
2 2
2y＝0，即x－
22 2
2 2 所以圆心 ，－ . 2 2 (2)因为直线 l 的普通方程为 x－y＋4 2＝0，圆 C 的半径 R＝1， 2 2 ＋ ＋4 2 2 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝5， 2 所以 d>R. 所以直线 l 与圆 C 相离．
[变式训练 1] 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ2－4ρcosθ＋2＝0. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； π 2 (2)若曲线 C 与直线 ρsinθ＋4＝ 2 相交于 A，B 两点，求 AB 的中 点的直角坐标．
坐标系与参数方程专题(解析版)
极坐标方程与直角坐标方程互化1.圆ρ=√2(cosθ+sinθ)的圆心极坐标是______．解：把圆ρ=√2(cosθ+sinθ)即ρ2=√2ρcosθ+√2ρsinθ， 化为直角坐标方程为(x −√22)2+(y −√22)2=1，圆心坐标为(√22,√22)，所以ρ=√(√22)2+(√22)2=1,tanθ=√22√22=1,θ=π4故圆心的极坐标为(1,π4)，故答案为：(1,π4).2.与曲线ρcosθ+1=0关于θ=π4对称的曲线的极坐标方程是______ ．解：将原极坐标方程ρcosθ+1=0，化成直角坐标方程为：x +1=0， 它关于直线y =x(即θ=π4)对称的曲线的方程是y +1=0， 其极坐标方程为：ρsinθ+1=0．故答案为：ρsinθ+1=0．3.极坐标方程ρcos(θ−π6)=1的直角坐标方程是________________．解：∵ρcos(θ−π6)=1可化为√32ρcosθ+12ρsinθ=1⇒√3ρcosθ+ρsinθ=2．∴极坐标方程ρcos(θ−π6)=1的直角坐标方程是√3x +y −2=0． 故答案为√3x +y −2=0．4.在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤π2)的交点的极坐标为______ ． 解：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤π2)分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ． 可得直角坐标方程为：x 2+y 2=y ，x 2+y 2=x ，x ，y ≥0，x 2+y 2>0． 联立解得x =y =12．∴交点P(12,12)，化为极坐标为ρ=√(12)2+(12)2=√22，θ=π4．∴极坐标为：(√22,π4)．故答案为：(√22,π4)．5.极坐标系中，点P(2,−π6)到直线l ：ρsin(θ−π6)=1的距离是______ ．解：点P(2,−π6)的直角坐标为(√3,−1)，直线l ：ρsin(θ−π6)=1，即√32ρsinθ−12ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x −√3y +2=0． √3+√3+2|√1+3=√3+1．故答案为√3+1．6.在极坐标系中，过点(√2,π4)作圆ρ=2sinθ的切线，则切线的极坐标方程是______．解：由圆ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x 2+y 2=2y ，所以圆的直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，点(√2,π4)对应的直角坐标为(1,1)，易知该点为圆上一点，所以切线的方程为x =1，它的极坐标方程为ρcosθ=1，故答案为：ρcosθ=1．7. 圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π3)，圆的直角坐标方程为______ ．解：圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π3)=cosθ−√3sinθ，∴ρ2=ρcosθ−√3ρsinθ， ∴x 2+y 2=x −√3y ，即x 2+y 2−x +√3y =0．故答案为x 2+y 2−x +√3y =0．8.极坐标方程ρ=2√2cos(π4−θ)表示图形的面积是______．解：极坐标方程ρ=2√2cos(π4−θ)展开可得：ρ=2√2(√22cosθ+√22sinθ)，可化成普通方程为(x −1)2+(y −1)2=2.表示半径为√2的圆，面积为2π 故答案为：2π．参数方程化普通方程9.曲线的参数方程是{y =1−t 2x=1−1t(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( ) A. (x −1)2(y −1)=1 B. y =x(x−2)(1−x)2 C. y =1(1−x)2−1D. y =x1−x 2+1解：∵曲线的参数方程是{y =1−t 2x=1−1t(t 是参数，t ≠0)，∴{y =1−t 2x−1=−1t，∴{1−y =t 2(x−1)2=1t2将两个方程相乘可得，(x −1)2(1−y)=1，∴y =x(x−2)(1−x)2，故选B ．圆的参数方程（参数θ）10. 已知实数x ，y 满足x 2+y 2−4x +6y +12=0则|2x −y −2|的最小值是( ) A. √5−1B. 4−√5C. 5−√5D. 5√5解：x 2+y 2−4x +6y +12=0，可化为(x −2)2+(y +3)2=1，∴可设x =2+cosα，y =−3+sinα，∴|2x −y −2|=|2(2+cosα)−(−3+sinα)−2|=|5+2cosα−sinα|=|5+√5cos(α+β)|∴|2x −y −2|的最小值是5−√5．故选C ．11.已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =√3t，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为：√3x −y +3√3=0， 曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=1； (2)设点(θ∈R)，则d =|√3(2+cosθ)−sinθ+3√3|2=|2cos(θ+π6)+5√3|2所以d 的取值范围是·12.已知直线l ：{x =12t,y =m +√32t (其中常数m <0，t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.已知直线l 与曲线C 相切于点A ．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若点P 为曲线C 上一点，求▵OPA 的面积取最大值时点P 的坐标． 解：(Ⅰ)由已知可得直线l 的普通方程为√3x −y +m =0，曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4，根据点到直线的距离公式可知√(√3)+1=|m−2|2=2，解得m =6或m =−2，又m <0，所以m =−2．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，直线l 的普通方程为√3x −y −2=0，与曲线C 联立， 得(x −√3)2=0，则x A =√3，则点A(√3,1)，可得直线OA 的方程为x −√3y =0，而且弦OA 的长度一定，要使△OPA 的面积最大，只需点P 到直线OA 的距离最大，设P(2cosα,2+2sinα)， 则点P 到直线OA 的距离为|2cosα−√3(2+2sinα)2=|cosα−√3sinα−√3|=|2cos(α+π3)−√3|，所以当cos(α+π3)=−1即α=2kπ+2π3(k ∈Z)时，点P 到直线OA 的距离最大， 则▵OPA 的面积取最大值时点P 的坐标为(−1,2+√3).13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ(θ为参数)． (1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A(−2,0)，B(0,2)，圆C 上任意一点M(x,y)，求△ABM 面积的最大值． 解：(1)圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ ( θ 为参数)，所以普通方程为(x −3)2+(y +4)2=4 . ∴圆C 的极坐标方程为 ρ2−6ρcosθ+8ρsinθ+21=0 ． (2)点M(x,y) 到直线AB ：x −y +2=0 的距离为d =√2，△ABM 的面积S =12×|AB|×d =|2cosθ−2sinθ+9|=|2√2sin(π4−θ)+9|，所以△ABM 面积的最大值为 9+2√2 .14.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =√2tsin π6y =tcos 7π4−6√2(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ+π4)．(Ⅰ)求直线l 的普通方程和圆心C 的直角坐标； (Ⅱ)求圆C 上的点到直线l 距离的最小值．解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为y =x −6√2；又ρ=4cos(θ+π4)，ρ2=2√2ρcosθ−2√2ρsinθ，∴圆C 的普通方程为x 2+y 2=2√2x −2√2y ，即x 2+y 2−2√2x +2√2y =0， 即(x −√2)2+(y +√2)2=4，∴圆心C 的直角坐标为(√2,−√2). (Ⅱ)圆C 的半径r =2，圆心到直线的距离d =√2+√2−6√2|√2=4，∴圆C 上的点到直线l 距离的最小值为：d −r =4−2=2．15.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =10+2ty =−t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√33+sin 2θ．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)若点M 与点P 分别为曲线C 1，C 2动点，求|PM|的最小值及此时点P 的坐标．解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =10+2ty =−t (t 为参数)，转换为的普通方程为x +2y −10=0．曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√33+sin 2θ.转换为直角坐标方程为x 216+y212=1．(2)设点P(4cosα,2√3sinα)，则点P 到直线x +2y −10=0的距离为d =√3sinα−10|√5=|8sin(α+π6)−10|√5当sin(α+π6)=1，即α=π3时|PM|取最小值2√55，此时点P 坐标为(2,3)．16.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3−ty =√3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ．(1)求曲线C 1的普通方程以及曲线C 2的直角坐标方程； (2)求曲线C 2上的点到曲线C 1距离的最大值．解：(1)由{x =3−ty =√3t (t 为参数)，消去参数t ，可得√3x +y −3√3=0， ∴曲线C 1的普通方程为√3x +y −3√3=0，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，又ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0；(2)由(1)知，曲线C 2为(x −1)2+y 2=1，表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， 点(1,0)到直线√3x +y −3√3=0的距离d =√3×1+1×0−3√3|√(√3)+1=√3，∴曲线C 2上的点到曲线C 1距离的最大值为√3+1．直线的参数方程（参数t ）17.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l: {x =1+√32ty =12t (t 为参数)与圆C: {x =2+3cosθy =3sinθ(θ为参数)相交于A ，B 两点． (1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知F(1,0)，求|FA| + |FB|的值．解：(1)直线l 的普通方程为x −√3y −1=0,圆C 的普通方程为(x −2)2+y 2=9. (2)将{x =1+√32t,y =12t,代入(x −2)2+y 2=9 得t 2−√3t −8=0， ∴t 1+t 2=√3, t 1t 2=−8．∴| FA | + | FB | =|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2| =√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√35 ．18.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =1+t,y =t −3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθsin 2θ．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 解：(1)由曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθsin 2θ得ρ2sin 2θ=2ρcosθ．∴由曲线C 的直角坐标方程是：y 2=2x ．由直线l 的参数方程为{x =1+ty =t −3(t 为参数)，得t =3+y 代入x =1+t 中消去t 得：x −y −4=0，所以直线l 的普通方程为：x −y −4=0；(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得t 2−8t +7=0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|AB|=√2|t 1−t 2|=√2√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√2√82−4×7=6√2， 因为原点到直线x −y −4=0的距离d =√2=2√2，所以△AOB 的面积是12×|AB|d =12×6√2×2√2=12．19.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =12t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)点P (1,0)，若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点，求|PA |+|PB |的值． 解：(1)由题知：ρ2sin 2θ=4ρcosθ，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ；(2)显然直线l 经过点P (1,0)，将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得：t 2+8√3t −16=0， 设A,B 对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=−8√3,t 1t 2=−16， 所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4⋅t 1t 2=16．20.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=8cosθ1−cos 2θ．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α=π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由已知直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，所以直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα，t 为参数，因为曲线C 的极坐标方程为ρ=8cosθ1−cos 2θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2=8x ；(2)直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t，(t 为参数)，设直线l 与曲线C 所交A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，则t 2−8√2t −16=0，根据韦达定理可得，t 1+t 2=8√2，t 1t 2=−16， 所以|AB |=|t 1−t 2|=√(t 1−t 2)2=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√3，又点O 到直线AB 的距离d =1×sin π4=√22，所以S ΔAOB =12|AB |·d =12×8√3×√22=2√6．射线θ=α（极坐标）21.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=√3． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)射线OP 的极坐标方程为θ=π6，若射线OP 与曲线C 的交点为A(异于点O)，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解：(1)由{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1， 由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=√3． 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为：√3x +y −2√3=0．(2)曲线C 的方程可化为x 2+y 2−2y =0，所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ， 由题意设A(ρ1,π6)，B(ρ2,π6)，将θ=π6代入ρ=2sinθ，得到ρ1=1．将θ=π6代入ρsin(θ+π3)=√3，得到ρ2=√3，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−1. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =cosφy =1+sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程：(2)已知射线l:θ=α(ρ>0,π2<α<π)分别交曲线C 1，C 2于M ，N 两点，若N 是线段OM 的中点，求α的值．解：(1)因为曲线C 1的普通方程为√3x +y −2=0，所以曲线C 1的极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−2=0(写成ρsin(θ+π3)=1也给分)． 因为曲线C 2的普通方程为x 2+(y −1)2=1，即x 2+y 2−2y =0， 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ2−2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ． (2)设M(ρ1,α)，N(ρ2,α)，由题意得ρ1=√3cosα+sinα，ρ2=2sinα，因为N 是线段OM 的中点，所以ρ1=2ρ2，即√3cosα+sinα=4sinα，整理得2√3sinαcosα+2sin 2α=1，故cos2α=√3sin2α，所以tan2α=√33， 因为π2<α<π，所以π<2α<2π，所以2α=7π6，所以α=7π12．23.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =12+cosαy =−√32+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的方程为ρ=2√3sin(θ+π3)． (1)求C 1与C 2交点的直角坐标；(2)过原点O 作直线l ，使l 与C 1，C 2分别相交于点A ，B(A,B 与点O 均不重合)，求|AB|的最大值． 解：(1)∵曲线C 1的参数方程为{x =12+cosαy =−√32+sinα(α为参数)， ∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−x +√3y =0，∵曲线C 2的方程为ρ=2√3sin(θ+π3)． ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−3x −√3y =0．联立{x 2+y 2−x +√3y =0x 2+y 2−3x −√3y =0，解得{x =0y =0或{x =32y =−√32． ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(0,0)和(32,−√32)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π3)．设直线l 的极坐标方程为θ=α(0≤α<π,ρ∈R)．则点A 的极坐标为(2cos(α+π3),α)，点B 的极坐标为(2√3sin(α+π3),α)． 所以|AB|=|2√3sin(α+π3)−2cos(α+π3)|=4|sin(α+π6)|．当α=π3时，|AB|取得最大值，最大值是4．此时，A ，B 与点O 均不重合．24.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1:ρ=4sinθ，曲线C 2:ρ=4cosθ． (1)求曲线C 1与C 2的直角坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R )，设C 3与C 1和C 2异于原点的交点分别为M ，N ，求|MN |．解：(1)根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，所以：ρ=4sinθ，整理得ρ2=4ρsinθ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0． 同理：根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2由ρ=4cosθ，整理得ρ2=4ρcosθ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0．(2)联立{ρ=4sinθθ=π3，得ρM =2√3，联立{ρ=4cosθθ=π3，得ρN =2， 故|MN|=|ρM −ρN |=2√3−2．25. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =sinθ(θ为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =t 2−2ty =t 2−1(t 为参数).已知曲线C 2与x ，y 正半轴分别相交于A ，B 两点． (1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求出A ，B 两点的直角坐标;(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线C 1交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度．解：(1)曲线C 1的普通方程(x −1)2+y 2=1，极坐标方程(ρcosθ−1)2+(ρsinθ)2=1，∴ρ=2cosθ．在曲线C 2上，当x =0时，t =0或t =2，此时y =3或y =−1(舍)，所以B 点为(0,3)． 当y =0时，t =−1或t =1，此时x =3或x =−1(舍)，所以A 点为(3,0)．(2)直线AB 的方程为y =−x +3，极坐标方程为ρsinθ=−ρcosθ+3，∴ρ(sinθ+cosθ)=3， 过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为θ=π4．θ=π4与ρ=2cosθ联立，得ρ1=√2．θ=π4与ρ(sinθ+cosθ)=3联立，得ρ2=3√22． ∴|PQ|=|ρ2−ρ1|=√22．。
专题69 坐标系与参数方程-高考数学复习资料(解析版)
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率.
则 x2＋y2＝1 经过伸缩变换后的方程为 4x′2＋9y′2＝1，为椭圆.
【解法小结】 伸缩变换后方程的求法
x′
x＝ ，
x′＝λx（λ>0），
λ
平面上的曲线 y＝f(x)在变换φ： y′＝μy（μ>0） 的作用下的变换方程的求法是将 y＝y′ 代入 y＝
μ
x′
y′ f(x)，得 ＝f
λ
，整理之后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
【例 4】 将下列参数方程化为普通方程.
x＝1， t
(1) 1 y＝
(t 为参数)； t2－1
t
x＝2＋sin2 θ，
(2)
(θ为参数).
y＝－1＋cos 2θ
【解析】 (1)由 t2－1≥0⇒t≥1 或 t≤－1⇒0<x≤1 或－1≤x<0.
1 x＝ ①，
t 由 y＝1 t2－1②，
t
①式代入②式得普通方程为 x2＋y2＝1.
2sin
－ 4 4 ＝2
2，
4
1
2
|OQ|＝ 2×
2 ＋
2＝ 3 ，
22
故线段 PQ 的长为 2
2－
25 ＝
2 .
33
【解法小结】 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
ρ2＝x2＋y2，tan
y θ＝ (x≠0)．
x
2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变
0<x≤1， －1≤x<0，
坐标系与参数方程复习资料
《坐标系与参数方程》核心知识点及参考练习题一、典型例题（点的坐标互化和不同类型的方程互化） 1.点的直角坐标与极坐标互化 （1）将点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为__________. 练习：)4,3(π)32,2(π )2,4(π),23(π（2）将点M 的直角坐标)1,3(--化为极坐标为__________.练习：)3,3( )35,0(- )0,27()32,2(--2.直角坐标方程化为极坐标方程（1）0132=--y x （2）1622=-y x （3）4)2()1(22=++-y x （4）0222=+-y x x3.极坐标方程化为直角坐标方程（重点） （1）2cos =θρ （2）03sin 42=++θρρ （3）04)sin 5cos 2(=-+θθρ （4）θρsin =（5）θθρsin 4cos 2-= （6）θθρ2sin cos 2=（7）22)4sin(=+πθρ（8）)6cos(2πθρ+=（9）06)4cos(242=+--πθρρ（10）5=ρ （11）)(65R ∈=ρπθ（12）182cos 2=θρ4. 参数方程化为普通方程（重点） （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235（t 为参数） （2）⎩⎨⎧+==ααcos 22sin 2y x （α为参数）（3）⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）（4）⎩⎨⎧==244t y tx （t 为参数） （5）⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数）（6）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11（t 为参数） （7）⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）（8）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）5. 参数方程（1）直线：经过点),(00y x P ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.例1：经过点)5,1(0M 且倾斜角为3π的直线l 的参数方程为_____________________.例2：直线02=+-y x 的参数方程是_______________________.（2）圆：圆心在点),(b a M ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.例1：圆5)2()1(22=++-y x 的参数方程是______________________. 例2：圆034222=+-++y x y x 的参数方程是_______________________. （3）椭圆：)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）.例：椭圆1121622=+y x 的参数方程是______________________.6. 综合转化例1. 将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧+-=+=ty tx sin 31cos 32（t 为参数）化为极坐标方程.例2. 曲线2C 的极坐标方程是1cos sin =-θρθρ，求2C 的参数方程.二、2017高考试题选编1.（全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y ta x 14（t 为参数）. （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .2.（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16||||=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求△OAB 面积的最大值.3.（全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t k y tx 2（t 为参数），直线2l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k my mx 2（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：02)sin (cos =-+θθρ，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.4.（天津卷理）在极坐标系中，直线01)6cos(4=+-πθρ与圆θρsin 2=的公共点个数为____.5. （江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=28ty tx （t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==sy sx 2222（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.6.（北京卷）在极坐标系中，点A 在圆04sin 4cos 22=+--θρθρρ上，点P 的坐标为)0,1(，则||AP 的最小值为_____. 三、2016高考试题选编7.（全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y t a x sin 1cos （t 为参数，0>a ）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C . （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a .8.（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()25622=++y x .（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x ，（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10||=AB ，求l 的斜率.9.（全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211（t 为参数），椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.11.（北京卷）在极坐标系中，直线01sin 3cos =--θρθρ与圆θρcos 2=交于A ，B 两点，则=||AB _____.四、2015高考试题选编12.（广东文）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2sin cos -=+θθρ，曲线2C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 222（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为________.13.（广东理）已知直线l 的极坐标方程为24sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛47,22πA ，则点A 到直线l 的距离为_____.14.（安徽理）在极坐标系中，圆θρsin 8=上的点到直线()R ∈=ρπθ3距离的最大值为___.15.（北京理）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离为____.16. （重庆理）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42cos 2=θρ（4543,0πθπρ<<>），则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 _________________ .17.（湖北理）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0cos 3sin =-θθρ，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t t y tt x 11（t 为参数），l 与C 相交于B A ,两点，则=||AB ___________ .18.（全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，直线2:1-=x C ，圆()()121:222=-+-y x C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为4πθ=（R ∈ρ），设2C 与3C 的交点为N M ,，求MN C 2∆的面积.19.（全国卷Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨⎧==ααsin cos :1t y t x C （t 为参数，0≠t ），其中πα<≤0，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρθρcos 32:,sin 2:32==C C .（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值.20.（江苏）已知圆C 的极坐标方程为044sin 222=-⎪⎭⎫⎝⎛-+πθρρ，求圆C 的半径.21.（福建）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=t y t x sin 32,cos 31（t 为参数）.在极坐标系（与在平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为()R m m ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 2πθρ.（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.22.（湖南）已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x l 213235:（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为()3,5，直线l 与曲线C 的交点为B A ,，求||||MB MA ⋅的值.23.（陕西）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23213（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=. （Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.五、其他高考试题及模拟题选编24.（2014安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31t y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A.14B.142C.2D.2225.（2014北京理）曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）的对称中心 （ ）A. 在直线x y 2=上B. 在直线x y 2-=上C. 在直线1-=x y 上D. 在直线1+=x y 上26.（2011安徽理）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为（ ）A.2B.942π+C.912π+ D.327.（2011北京理）在极坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,1π C.()0,1 D.()π,128.（2013全国卷Ⅰ）已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（πθρ20,0≤≤≥）.29.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=21t y t x （t 为参数）.在以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θρ2cos 213+=.（Ⅰ）直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.30.（2012全国卷）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且D C B A ,,,依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛3,2π.（Ⅰ）求点D C B A ,,,的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.31.（2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为()0,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,232π，圆C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数）. （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系.32.（2014皖南八校联考）若直线⎩⎨⎧-==t y t x l 412:（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==θθsin 5cos 5:m y x C （θ为参数）相切，则实数m 为_____.33. （2015江西联考）在极坐标系中，曲线θθρsin 4cos 2=的焦点的极坐标为__________.（规定：πθρ20,0≤≤≥）34.（2013广州调研）已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x （θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ，则直线l 截圆C 所得的弦长为______.35.（2015长春质量监测）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=ty tx 2122（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ2sin 312+=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）试判断曲线1C 与2C 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，请说明理由.36.（2014大连双基测试）在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 4cos 44y x （α为参数），圆2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C 和2C 的极坐标方程；（Ⅱ）1C 和2C 交于P O ,两点，求P 点的一个极坐标.37. （2014广州综合测试）在极坐标系中，直线()a =-θθρcos sin 与曲线θθρsin 4cos 2-=相交于B A ,两点，若32||=AB ，则实数a 的值为_____.38.（2013惠州调研）在极坐标系中，已知两点B A ,的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3π、⎪⎭⎫⎝⎛6,4π，则AOB ∆（其中O 为极点）的面积为______. （附：海伦公式 ()()()c p b p a p p S ---=∆，其中()c b a p ++=21）39.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=t y tx 312（t 为参数），圆C 的极坐标方程为0sin 2=+θρ，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________.40.已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x （θ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为06cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （Ⅱ）求圆C 截直线l 所得的弦长.41.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x （θ为参数），直线l 经过点()2,1P ，倾斜角6πα=.（Ⅰ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PB PA ⋅的值.42.在极坐标系中，曲线C 的方程为θρ22sin 213+=，点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22πR . （Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.43.以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx sin 2cos 2（t 为参数）.（Ⅰ）若曲线C 在点()1,1处的切线为l ，求l 的极坐标方程； （Ⅱ）若点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22π，且当参数],0[π∈t 时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围.44.已知圆锥曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）和定点()3,0A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ）求直线2AF 的普通方程；（Ⅱ）过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交C 于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.45.已知曲线1C 的极坐标方程为13cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，曲线2C 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 22πθρ. （Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点A 是曲线1C 上的一点，点B 是曲线2C 上的一点，求A 、B 两点间的最短距离.46.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=mt y mt x 233（t 为参数），若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()θθρcos 82cos 1=-.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相切，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.。
高考数学理二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程
专题14 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______． (2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离2π⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t 527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k )4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,1210．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x 1222=-y x专题14 坐标系与参数方程参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．)(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223(⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
数学复习：-坐标系与参数方程第一节坐标系
选考部分选修4－4 坐标系与参数方程错误!错误!错误!1。
了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形（直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x，y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′（x′，y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．答案λ·xμ·y1．(选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为____________．解析:由已知得错误!代入y＝sin x，得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′,所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x.答案：y＝3sin2x知识点二极坐标系1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做______,从O点引一条射线Ox，叫做______,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的______，记为ρ,以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对（ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y）,极坐标为（ρ,θ），则它们之间的关系为x＝______，y＝______。
另一种关系为ρ2＝______，tan θ＝______。
答案1．极点 极轴 极径 2．ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2错误!2．（选修4－4P11例4改编）点P 的直角坐标为(1，－3）,则点P 的极坐标为________．解析：因为点P （1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2，且O P 与x 轴所成的角为－错误!，所以点P 的极坐标为错误!.答案：错误!3．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析：圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4）2＝16。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
坐标系与参数方程专题复习
学号： 班级： 姓名：
1（Ⅰ）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为
1cos 1sin x a y a θ
θ=-+⎧⎨
=-+⎩
（θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.
2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,
2sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），
（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的方程为πsin()4ρθ+l 被曲线C 截得的弦长．
3、已知圆的极坐标方程为06)4
cos(242
=+--π
θρρ
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点),(y x P 在该圆上，求y x +的最大值和最小值．
4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），曲线C 2的参数方程为
cos (0,sin x a a b y b ϕ
ϕϕ=⎧>>⎨
=⎩
为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=时，这两个交点重合.
(Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4
π
α=
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4
π
α=-
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，
B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.
5、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t
y t
=⎧⎨
=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
6、 在直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为23cos 3sin x t α
α
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为().4
R π
θρ=∈
（1）求圆C 的直角坐标方程及其圆心C 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求ABC ∆的面积.
参数方程与极坐标参考答案
1、解（Ⅰ）(0,0),(2,
),(22,)24
O A B π
π
对应的直角坐标分别为(0,0),(0,2),(2,2)O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入得过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为22cos()4
π
ρθ=-； …………………5分
（Ⅱ）圆2:C 1cos 1sin x a y a θθ
=-+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数）对应的普通方程为2
22)1()1(a y x =+++
1C 与2C 外切，2||22,2a a ∴+=∴=± …………………10分
2、（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(3)4x y -+=，即0562
2
=+-+x y x ，………………2分
将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得26cos 50ρρθ-+=；
所以，曲线C 的极坐标方程是26cos 50ρρθ-+=． …………………………5分
（Ⅱ）曲线l 的方程sin cos 1ρθρθ+=，则1x y +=, ………………………………………7分 将1x y =-代入22(3)4x y -+=解得0y =和2y =-
即交点(1,0)A ，(3,2)B -，弦长为22AB =. …………………………………………10分 3、解：（1）
即 ρ2﹣4
（
+
），
即 x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0．（5分） （2）圆的参数方程为
，∴x+y=4+
（sinα+cosα）=4+2sin （α+
）．（8分）
由于﹣1≤sin （α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．（10分）
4、 【解析】(Ⅰ) C 1是圆，C 2是椭圆
当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0）， 因为这两点间的距离为2，所以a =3…………………………………………2分 当2
π
α=
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），
因为这两点重合，所以b =1……………………………………………………5分
(Ⅱ) C 1，C 2的普通方程分别为2
2
1x y +=和2219
x y += ………………………6分
当4
π
α=时，射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为2x =
与C 2的交点B 1
的横坐标为x '= 当4
π
α=-
时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称
因此直线A 1 A 2 、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为
sin 2ρθ=
sin 10
ρθ=10分 5
、（Ⅰ）由cos 4πρθ⎛
⎫
+
=- ⎪
⎝
⎭
)cos sin ρθρθ-=-
)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则
P
到直线l
的距离2cos 4d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭
， 当24t k π
ππ+
=+，即3
2,4
t k k Z ππ=+∈
时，min 2d =. 故点P 到直线l
的距离的最小值为2. （Ⅱ）
曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，
∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，
()4t ϕ+>-（其中2
tan a
ϕ=
）恒成立，
4<，又0a >
，解得0a <<a
的取值范围为(.
6、解：（Ⅰ）圆C ：23cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)得圆C 的直角坐标方程：22(2)9x y -+=，圆心C
的直角坐标(2,0)C ．………………………………………………4分
（Ⅱ）1.直线的直角坐标方程：0x y -=；………………………………5分
2.圆心(2,0)C
到直线的距离d =
=C 的半径3r =，
弦长||AB ==8分
3.ABC ∆
的面积11
||22
AB d =
⨯=⨯=…………………10分。