复变函数与积分变换拉氏变换.
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数①解：2i -+== ②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++④解：1i 1i 22++==4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． 并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭ 8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.⑴i 的三次根． 解：∴1ππ1cosisin i 662=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z ⑵-1的三次根 解：∴1ππ1cos isin 332=+=z的平方根．解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图. 解：(1)、argz =π．表示负实轴． (2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12． (3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换之拉普拉斯变换
工
程 大
数s i,
其中
0,
F(s)
f (t )estdt
学
0
在S平面的某区域内收敛，则称其为 f (t)的
复 变
Laplace变换，记为
函
数 与 积 分
L[ f (t )] F (s) f (t )estdt 0
变 换
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为L1[F (s)]
因此, 按傅氏积分公式, 在f (t)的连续点就有
f (t)u(t) et
1
2
f
(
)u(
)
e
e
j
d
e
jt
d
1
2
e
jt
d
0
f
(
)
e(
j )
d
1
2
F ( j) ejtd, t 0
等式两边同乘以et, 则
f
(t
)
1
2
F ( j) e( j)td,t 0
f
(t)
eit 2
1 2
(L
eit
L
eit )
1 2
(
s
1
i
s
1
i
)
s
复 变
s2 2
函
(Re(s) 0)
L[sint]
s2
2
数
与 积
例2
求函数f t t2 coskt的拉氏变换.
分
变
换
解
L
t 2 cos kt
(1)2 ( s2
s
k
2
)
2s3 (s2
6k2s k 2 )3
复变函数与积分变换公式笔记
复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数1. 任何一个复数 z ≠0 有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z = 1+2kπ (k =0,±1,±2,…)表示 z 的全部辐角，其中满足-π＜ 0≤π的辐角 0称为辐角 Argz 的主值， 记为 0=arg z . 2. 棣莫弗公式：（cosθ + sinθ) =cosnθ + sin θ1. 柯西–黎曼方程：第二章 解析函数∂= ∂，∂= −∂ ∂∂∂∂2. 如果二元实函数 ( , )在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2 ∂2∂ 2 + ∂ 2 = 0则称 ( , )为区域 D 内的调和函数。
3. 共轭调和函数公式：( , )( , ) = ∫ − ( 0, 0) ∂ ∂d + ∂ ∂d + C其中( 0, 0)为 D 内一个定点，( , )为 D 内任一点，C 为任意常数。
该积分与路径无关。
4. 指数函数的定义5. 指数函数的性质 = + = (cos + sin )2 = 16.ln ,称为 Ln z 的主值，于是有ln = ln | | + arg而其他各支可由下式表达：Ln = ln + 2 ( = ±1, ±2, … )7.余弦函数与正弦函数：cos =sin =8.双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh =chz =+ −2 − −2− −2 + −2C C 01. 复积分的计算第三章 复变函数的积分∫ ( )d = ∫ [ ( )] ′( )dC2. 计算：C 为单位圆周| | = 1的上半部分从 1 = 1到 2 = −1的弧。
C 的参数方程为 = (0 ≤ ≤ )，d = d .3. 柯西积分公式：1( 0) = 2 ∮( ) − 0d4. 高阶导数公式:( )∮ C − 0 d = 2 ∙ ( 0)( )(0 !) =2 ( )∮ ( − ) +1d ( = 1,2, ⋯ ).( )∮ d = 2 ( )( ) ( = 1,2, ⋯ ). 0 C( − 0) +1 !1. 幂级数收敛半径公式为第四章级数∞∑=0R = lim ||.2. 幂级数基本展开公式：→∞ +111 −= 1 + + 2 + ⋯ + + ⋯ ，| | < 1； ∞11 += ∑(−1) ，| | < 1； =0 ∞= ∑ =0∞!，| | < +∞；2 +1 sin = ∑(−1) ，| | < +∞；(2 + 1)!=0∞cos = ∑ =0(−1) 2(2 )!，| | < +∞；3. 函数展开结果中可能不含 z 的负幂项，原因在于 ( )在 C 内是解析的。
复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt
对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换， 对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例 求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
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2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作 的.
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* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。
复变函数与积分变换拉普拉斯变换的性质
时移性质
频移性质
微分性质
积分变换具有时移性质，即 对于函数在时间上的平移， 其积分变换结果也相应平移。
积分变换具有频移性质，即 对于函数在频率上的平移， 其积分变换结果也相应平移。
积分变换具有微分性质，即 对于函数的导数或微分，其 积分变换结果等于原函数积 分变换结果的导数或微分。
积分变换的应用
信号处理
实数
在复数中，如果虚部为0，则该数为实数。
虚数
在复数中，如果实部为0，则该数为虚数。
复数的运算
加法
按照实部和虚部分别相加。
减法
按照实部和虚部分别相减。
乘法
按照分配律和 $i^2 = -1$ 进行计算。
除法
通常通过与其共轭复数相乘进行计算。
复变函数的定义
01
复变函数
将复数作为自变量和因变量的函 数，即 $f(z)$，其中 $z = a + bi$。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
积分变换在信号处理中有着广泛的应用，如傅里叶变 换用于信号频谱分析和滤波器设计。
控制工程
拉普拉斯变换在控制工程中用于分析线性时不变系统 的传递函数和稳定性。
图像处理
积分变换在图像处理中用于图像压缩、去噪和增强等 操作。
05 拉普拉斯变换与积分变换 的关系
拉普拉斯变换与积分变换的联系
拉普拉斯变换是积分变换的一种， 它将时域函数转换为复平面上的
时移性质
若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(at)的拉 普拉斯变换为1/|a|F(s/a)。
微分性质
若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f'(t)的拉普 拉斯变换为sF(s)。
频移性质
第八章 拉氏变换
例1. 求f ( t ) cos kt的Lapace 变换，k为实数。
1 ikt L[cos kt] L[ (e e ikt )] 2 1 1 ikt L[e ] L[e ikt ] 2 2 1 1 1 2 s ik s ik
s 2 2 s k
当Re(s)-k>0时收敛，于是当Re(s)>k 时，上述积分收敛 而且
L[ f ( t )]
1 ( s k ) t e sk
0
1 (Re( s ) k ) sk
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教 案 East china university of science and technology
一、 Laplace变换的定义
0, t 0 设指 数衰减函 数 ( t ) t ( 0) e , t 0
考虑f ( t ), t (,), 有
若存在 0, 使 lim e
t t
f (t )u(t ) f ( t ), t 0时.
同理可得
k L[sin kt ] 2 s k2
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教 案 East china university of science and technology
相似性质
若L[ f ( t )] F ( s ), 则 1 L[ f (at )] F ( s / a ) a 例2 求L[sinat]
1 解： L[t cos t ] L[t 2 (1 cos 2t )] 2
2 2
1 d2 2 ds2
s 1 s s2 4
2( s 6 24s 2 32) s 3 ( s 2 4) 3
复变函数与积分变换：第二节拉普拉斯变换的性质
即得 [ f (t)] sF (s) f (0) .
三、微分性质
1. 导数的象函数 性质 [ f (t)] sF (s) f (0);
一般地，有 [ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1)(0).
其中， f (k) (0) 应理解为 lim f (k)(t ). t0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。
三、微分性质
2. 象函数的导数
性质 F(s) [ t f (t ) ];
一般地，有 F (n) (s) (1)n [ t n f (t ) ].
证明 由 F (s) f (t )estd t 有 0
F (s) d f (t )estd t [ f (t )est ]d t
20
1 (t cos t sin t) . 2
三微分性质象函数的导数性质3224已知再由象函数的导数性质有性质证明积分的象函数性质一般地有再由积分性质得根据微分性质有性质证明启示在laplace变换及其性质中如果取s为某些特定的值就可以用来求一些函数的广义积分
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c。且
F(s) [ f (t)], G(s) [ g(t)].
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
一、线性性质与相似性质
1. 线性性质 性质
F2 (s) ,
左边
南大复变函数与积分变换课件版93拉普拉斯逆变换
02
拉普拉斯逆变换的求解方 法
直接法
定义
直接法是根据拉普拉斯变换的定义 ，通过积分来求解逆变换的方法。
步骤
首先写出原函数的拉普拉斯变换式 ，然后对s进行积分，得到原函数的
表达式。
适用范围
适用于一些简单的函数，如指数函 数、三角函数等。
注意事项
在积分过程中需要注意积分的上下 限和积分的路径，确保积分的正确 性。
在积分方程中的应用
求解第一类积分方程
对于形如 (f(x) = int_0^x K(x,t)g(t)dt) 的积分方程，通过拉普 拉斯逆变换可以求解未知函数。
求解第二类积分方程
对于形如 (g(x) = K(x,t)h(t)) 的积分方 程，通过拉普拉斯逆变换也可以求解 未知函数。
在控制系统中的应用
线性时不变系统的分析
在控制系统中，拉普拉斯逆变换常用于分析线性时不变系统的响应和稳定性。
控制系统设计
通过拉普拉斯逆变换，可以将控制系统设计中的问题转化为代数问题，从而进 行优化和设计。
04
拉普拉斯逆变换的注意事 项
收敛域的问题
03
收敛域的定义
收敛域的确定
收敛域的重要性
拉普拉斯逆变换的收敛域是指使得积分收 敛的z值的范围。
在求解拉普拉斯逆变换时，需要先确定函 数的收敛域，以确保积分能够正确计算。
收敛域是拉普拉斯逆变换的基础，不正确 的收敛域可能导致错误的逆变换结果。
初值和终值定理
初值定理的定义
在复平面内，函数在无穷远处趋于零的性质称为初值定理。
终值定理的定义
函数在无穷远处趋于常数的性质称为终值定理。
初值和终值定理的应用
部分分式法
01
复变函数与积分变换-拉普拉斯变换
Complex Analysis and Integral Transform
第8章 拉普拉斯变换
复习、引入 6.1 拉普拉斯变换的概念 6.2 拉普拉斯变换的基本性质 6.3 拉普拉斯逆变换 6.4 卷积 6.5 拉普拉斯变换的应用
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二.求法举例
例1 求下列函数的拉普拉斯变换
(1)
u(t )
0, 1,
t0 t0
; (2) f (t) ekt ; (3) f (t) sin kt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解：(1)
L[u(t)] u(t)estdt estdt 1 est
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
F(s) 叫做 f (t) 的象函数. f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换或象原函数,记为
f (t) = ℒ 1 F(s)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
Complex Analysis and Integral Transform
解：（1） L[ f (t)] (t) cost u(t) sin te-stdt 0
(t)coste-stdt u(t) sin te-stdt
0
0
(t)est dt
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式1.复数复数是由实数和虚数组成的数，记作z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i2=-1。
复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即z*=a-bi。
2.复变函数复变函数是定义在复平面上的函数，即将复数作为自变量和函数值的函数。
设f(z)是复变函数，其中z=x+iy是复数，x和y是实数，则f(z)可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(xy)，其中u(xy)和v(xy)都是实函数，分别称为f(z)的实部和虚部。
3.欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，它描述了复数和三角函数之间的关系。
欧拉公式可以表示为e^ix=cos(x)+isin(x)，其中e 是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数。
4.柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是描述复变函数的重要方程，它表明如果一个复变函数f(z)在某个区域内连续且可微分，那么它满足柯西-黎曼方程。
柯西-黎曼方程可以表示为:дu/дx=дv/дyдu/ду=-дv/дx其中u(xy)和v(xy)分别是f(z)的实部和虚部。
二、积分变换公式1.傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为频率域内的积分。
傅里叶变换可以表示为:F(w)=∫f(t)e^(-jwt)dtf(t)=1/2π∫F(w)e^(jwt)dw其中F(w)是f(t)的傅里叶变换，f(t)是函数在时间域内的表示，w是频率，j是虚数单位。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种常用的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
拉普拉斯变换可以表示为:F(s)=∫f(t)e^(-st)dtf(t)=1/2πj[F(s)e^(st)ds其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，f(t)是函数在时间域内的表示，s是复数。
3.Z变换Z变换是一种离散的积分变换，它可以将一个离散函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
Z变换可以表示为:F(z)=∑f(n)z^(-n)f(n)=1/2πj∫F(z)z^n-1dz其中F(z)是f(n)的Z变换，f(n)是离散函数在时间域内的表示，z是复数。
复变函数与积分变换-拉普拉斯变换的性质
L[ f (t)] F(s),Re(s) C,则
L[ f'(t)] sF (s) f (0)
L f (n) (t) snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0)
n 1,2, Re(s) c 特别当 f 0 f 0 f n1 0 0 时，有
s
1 1
s
1 1
d
s
1 2
ln
s s
1 1
s
1 ln s 1. 2 s 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
4.位移性质：L f (t) F(s)Re(s) c,则
L et f t F (s ) Re(s ) c
f(t)
f(tt)
O
t
t
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例7
求函数
u(t
t )
0 1
t t 的拉氏变换. t t
已知 L[u(t)] 1 , 根据延迟性质 s
L[u(t t )] 1 est
s
u(t-t)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
8.2 拉普拉斯变换的基本性质
本讲介绍拉氏变换的基本性质, 它们在拉氏变换的 实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性 质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定
理的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c，
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
换成(0,+∞)；其次是指数衰减函数 所具有的特点，一般地，乘积
可使其变得绝对可积. 从而，对于乘积
，只要β选得适当，一般说
来，这个函数的Fourier变换存在，得
其中，f(t)=φ(t)H(t),s=β+iω，这就导出了一种新的积分变换——Laplace变换.
2021/7/7
2
定义8.1如果在实变数t≥0上有定义的函数f(t)使积分
例8.12求函数
的Laplace变换.
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20
像函数的积分性质常常用于求广义积分，因为
例8.13计算积分 解利用像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得
例8.14计算积分 解由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得
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21
(6)位移性质
这个性质表明了一个原函数乘以指数函数 的Laplace变换等于其像函数作位 移a. 例8.15 这个性质表明时间函数f(t)推迟τ个单位的Laplace变换等于它的像函数乘以指 数因子e－sτ，这个性质在工程技术中也称为时移性.
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5
定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，若存在两个常数M>0及σ>0,对于 一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，则称f(t)为指数级函数，σ为其增 长指数.
定理8.1（Laplace变换存在定理）若函数f(t)满足下列条件： ① t≥0的任一有限区间上分段连续； ② f(t)是指数级函数.
第8章 Laplace变换ຫໍສະໝຸດ 2021/7/71
Laplace变换是另一种积分变换，它在理论上及各种数学物理问题中都有重要
应用.
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
e 2j
jkt
e st dt
例3： 解：
求函数 f (t ) t m （m为正整数）的 Laplace变换。
1 m st m 1 st [ t e mt e dt ] L [t ] t e dt | 0 0 0 s m m m 1 st [ t m 1］ (Re(s) 0) t e dt L ［ s s 0 m m( m 1) m m 1 m2 故 L [t ] L [t ] L [ t ] 2 s s m! m( m 1) 2 1 m 1 L [ u ( t )] s sm
证明：
L [u(t ) f (t )]
st
0
u(t ) f (t )e st dt
s ( x ) dx f ( t )e dt 0 f ( x )e
x t
e
s
0
f ( x )e
sx
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系
( L ) f1(t ) f 2 (t ) (F )[ f1(t )u(t )] [ f 2 (t )u(t )]
由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏 卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律， 即：
1)、为什么要引入Laplace变换 经典Fourier变换的存在性定理要求原函数在实轴上
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绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如sin t , cos t , t n。
复变函数与积分变换讲稿 第二章 拉普l拉斯变换
第二章拉普拉斯变换(2)拉普拉斯（Laplace ）变换（简称拉氏变换）在电学、力学、控制论等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。
对某些问题，它比傅氏变换的适用面要广，这是因为它对像原函数)(t f 要求的条件比起傅氏变换来要弱的缘故。
§1 拉普拉斯变换的概念 一、从傅氏变换到拉氏变换傅氏变换要求函数满足狄氏条件，且在),(+∞-∞内绝对可积，但在工程技术中，变量是时间，定义在[]∞,0内，而且，许多常用的函数（例如单位阶跃函数，正弦、余弦，线性函数等），都不满足绝对可积的条件，所以我们对傅氏变换中的被积函数)()(t u t ⨯φ，使其积分定义在[]+∞,0，0)()(,0=⨯<t u t t φ，另外，再乘以指数衰减函数)0(>-σσt e ，使其衰减速度加快，当+∞→t 时，只要σ足够大，则t e t u t t σφ-⨯⨯<)()(,0就能满足绝对可积，因此傅氏变换就转换为拉氏变换。
即 ⎰⎰⎰+∞-+∞+-+∞∞---===00)()()()()()(dt e t f dt e t f dt e e t u t F pt t i t i t ωσωσσφω， 其中 ωσφi p t u t t f +=⨯=,)()()(，令)()(p F ip F =-σσ，则可得 ⎰+∞-=0)()(dt e t f p F pt 称该积分变换为拉普拉斯变换。
二、拉氏变换的概念定义1 设)(t f 为实变量t 的实值（或复值）函数，当0≥t 时有定义，如果积分⎰+∞-0)(dt e t f pt （其中ωσi p +=,为复参数）在p 的某一区域内收敛，则由此积分就确定了一个复变数p 的复函数)(p F ，即⎰+∞-=0)()(dt t f p F pt ，称该积分变换为拉普拉斯变换 （1）记为 [])()(t f L p F =，即 []⎰+∞-=0)()(dt e t f t f L pt ，并称)(p F 为)(t f 的拉氏变换的像函数。
复变函数课件-积分变换2-Laplace变换
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
复变函数和积分变换在电子信息工程中的应用
复变函数和积分变换在电子信息工程专业中的应用专业：电子信息工程班级：姓名：摘要：在信号与系统的理论研究中，复变函数与积分变换是一种重要数学工具，利用拉普拉斯变换和z变换可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代数方程而使其求解过程简化，本文主要从分析连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、完全响应方面着手，并通过专业中常用的经典方法进行比较，时域分析，频域分析，复频域分析方法比经典的常规方法更明了，简洁，规范。
得出在本专业学习中，复变函数与积分变换是一个不可缺少的有力教学工具。
关键词：拉普拉斯变换z变换信号与系统正文：1．拉氏变换在电子信息工程专业的应用经典解题方法和拉斯变换方法都能解决连续信号中的问题，两者有什么不同，哪种方法要好一点呢?我们通过对以下题目用不同的方法求解来进行比较1.已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程ttyx+tytyt)((),+8)(')(">=6初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解:经典方法(1) 求齐次方程y ''(t )+6y '(t )+8y (t ) = 0的齐次解y h(t )特征方程为0862=++s s 特征根为 4221-=-=s s ，齐次解 t t K K t y 3221h e e )(--+= t >0(2) 求非齐次方程y ''(t )+6y '(t )+8y (t ) = x (t )的特解y p(t )由输入x (t )的形式，设方程的特解为y p(t ) = C e -t t>0将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
(3) 求方程的全解t t t B A t y t y t y ---++=+=e 31e e )()()(42p h 131)0(=++=B A y 23142)0('=---=B A y 解得 A =5/2，B = -11/6 0,e 31e 611e 25)(42≥+-=---t t y t t t拉氏变换方法)()(8)]0()([6)0(')0()(s 2s X s Y y s sY y Sy S Y =+-+-----)(86186)0(6)0(')0()(22s X s s s s y y sy S Y +++++++=--- 2223)4)(2(8)4)(2()0(6)0(')0()(+-++=+++=++++=---s s s s s s s y y sy s y zi)()23()(42t u e e t Y t t zi ---=461221131)1)(4)(2(1)(+++-++=+++=-s s s s s s s Yzs t t t t zs e e e y 42)(612131---+-= 0;6112531)(42≥-+=---t e e e t y t t t2.已知某线性时不变系统的动态方程式为:y " (t )+5y ' (t ) +6y (t ) =4x (t ), t >0系统的初始状态为y (0-) = 1，y ' (0-) = 3，求系统的零输入响应y zi(t )。