7-6高阶线性微分方程解的结构解析
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第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
线性微分方程解的结构
c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
《高阶微分方程》PPT课件
y yc y .
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
高阶线性方程解析
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
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例.
解方程
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
一、求通解 练 习 题
(提示:
线性无关的解)
三、降阶法与常数变易法
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解
代入(1)式, 得
解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数)
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
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例. 解方程 y(4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0 即 (r2 1)2 0
一、概念的引入
例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速
度
物体便离开平衡位置O,上下振动.
确定物体的振动规律
解 受力分析
物体自由振动的微分方程
2、 y py qy 0 的解法
特征方程法
将其代入上方程, 得
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例.
解方程
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
一、求通解 练 习 题
(提示:
线性无关的解)
三、降阶法与常数变易法
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解
代入(1)式, 得
解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数)
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
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例. 解方程 y(4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0 即 (r2 1)2 0
一、概念的引入
例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速
度
物体便离开平衡位置O,上下振动.
确定物体的振动规律
解 受力分析
物体自由振动的微分方程
2、 y py qy 0 的解法
特征方程法
将其代入上方程, 得
阶线性微分方程解的结构与通解性质
稳定性应用举例
控制系统设计
在控制系统中，稳定性是至关重要的指标。通过设计控制器使 得系统达到稳定状态，可以确保系统的正常运行和安全性。
生态学研究
在生态学中，研究生物种群的动态变化时，稳定性是一个重要概念。通过 分析种群的稳定性，可以预测种群的发展趋势和制定相应的保护措施。
经济学分析
在经济学中，稳定性与经济增长、通货膨胀等宏观经济指标密切相关 。通过分析经济系统的稳定性，可以为政策制定者提供决策依据。
微分方程是描述自然现象、工程技术和社会科学等领域中变量间关系的数 学模型。
微分方程按照自变量个数可分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方 程研究一个自变量的函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、化学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
线性微分方程定义
线性微分方程是指关于未知函数及其各 阶导数都是一次方的方程，即方程中不 会出现未知函数及其导数的二次及以上 的项。
高阶线性微分方程的通解表达式较为复杂， 一般通过特征方程、比较系数等方法求解。
通解性质分析
唯一性
对于给定的初始条件，线性微分方程的通解是唯一的。
叠加性
若y1和y2分别是线性微分方程对应于f1(x)和f2(x)的特解，则 y=c1y1+c2y2（c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次性
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1+c2y2 （c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
积分因子法
通过构造一个积分因子$mu(x) = e^{int p(x)dx}$，将原方程转化为$mu(x)y' + mu(x)p(x)y = mu(x)q(x)$，即 $(mu(x)y)' = mu(x)q(x)$，然后两边积分得到通解。
高阶线性微分方程
"丿第51讲高阶线性微分方程一一线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程
y" + p(x)y' + q(x)y = 0
(*)
定理1若函数和y2(x)是二阶齐次线性方程(*)的两个解, 则它们的线
性组合y =。1无3) +。2光3 )也是该方程的解，其中 和C2是任意常
数.--叠加原理
(CM ++ P(Gyi + C2y^ + q(Ciyi + C2y-^
例1 (1)函数1, COs2的sin2%在整个实轴冊上是线性相关的函数.
(2)函数1, x, x2在任何区间QM)都是线性无关的.
＞两个函数在区间/上线性相关与线性无关的充要条件： %3)，，2(乂)线性相关 存在不全为0的k 1, k2,使
313) + *2,2 3)三 0
% 3) 短 ，亠
布三—稣(无妨设* 1葺)
1)+ …+ Qn_i(x)y' + Qn3)y = f(x) 二阶
线性微分方程
y〃 + p(x)y' + q(x)y = f(x)
— 「 、 「一阶线性方程y' + p(x)y = q(x)的通解为：
[p(X)dX -[p(X)dX
/
[p(X)dX y =
Ce， + q(X)e dX
ft
____
齐次方程通解丫 非齐次方程特解y *
=(。1无"+。2,2〃) + 0(Ciyi' +。2、2‘) + q(Cl、l +。2、2)
B=+ py/ + qyi) + py^ + q，2)= o
高阶线性微分方程解的结构-文档资料
2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程及其通解结构PPT课件
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例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意： 在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入， 确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
10
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第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构 二、n阶线性微分方程的通解结构
11
第11页/共24页
y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
17
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y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
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4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p
ln
y lnC1，
p
C1
y，即
dy dx
C1 y，分离变量得 :
2 y 1 x 1.
注意： 在求特解的过程中，
出现任意常数后，
马上用初值条件
代入， 确定任意常数，
可以使运算简化.
当出现几支函
数时，可根据已知条件定出其中一支.
10
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第四节
第十章
高阶线性微分方程及其通解结构
一、二阶线性微分方程的通解结构 二、n阶线性微分方程的通解结构
11
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y1( x) k2 (无妨设k1 0) y2 ( x) k1
y1( x) 常数
y2( x)
思考: 若 y1( x), y2( x)中有一个恒为0,则y1( x), y2( x)必线性 _相__关___ .
17
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y P(x) y Q(x) y 0 (1)
定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
1
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4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
高等数学7-6高阶线性微分方程—解的结构
1，cos 2 x , sin 2 x 线性相关
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的 通解.
例如 y y 0,
y1 cos x , y 2 sin x ,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
为通解.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
( 2)
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( D)
C1 ( e x e 2 ) C 2 ( e x e x )
*三、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设 y1是方程 (1)的一个非零特解，
令 y2 u( x ) y1
代入(1)式, 得
y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u ( y1 P ( x ) y1 Q ( x ) y1 ) u 0, 即 y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u 0,
xc1 ( x ) e x c ( x ) 0 2 c1 ( x ) e x c ( x ) x 1 2
c1 ( x ) x C 1，
c1 ( x ) 1 解得 c ( x ) xe x 2
x
c 2 ( x ) xe
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的 通解.
例如 y y 0,
y1 cos x , y 2 sin x ,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
为通解.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
( 2)
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( D)
C1 ( e x e 2 ) C 2 ( e x e x )
*三、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设 y1是方程 (1)的一个非零特解，
令 y2 u( x ) y1
代入(1)式, 得
y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u ( y1 P ( x ) y1 Q ( x ) y1 ) u 0, 即 y1 u ( 2 y1 P ( x ) y1 ) u 0,
xc1 ( x ) e x c ( x ) 0 2 c1 ( x ) e x c ( x ) x 1 2
c1 ( x ) x C 1，
c1 ( x ) 1 解得 c ( x ) xe x 2
x
c 2 ( x ) xe
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
高阶线性微分方程汇总
P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
高等数学高阶线性微分方程
x
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
高阶微分方程解的结构-精选文档
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
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y ( x ), y ( x ), , y ( x ) 定义: 设 是定义在区间 I 上的 1 2 n
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k 使得 , k , , k , 1 2 n 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x si
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
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二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
第七节 高阶线性微分方程解的结构
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
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y ( x ), y ( x ), , y ( x ) 定义: 设 是定义在区间 I 上的 1 2 n
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k 使得 , k , , k , 1 2 n 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x si
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
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二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
第七节 高阶线性微分方程解的结构
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二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 例如, 方程 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y
1
且
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) ②
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
线性无关
y1 ( x) k2 ( 无妨设 y2 ( x) k1 k1 0 ) y1 ( x) 常数 y2 ( x)
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
第6节 高阶线性微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
第 7章
二、线性齐次方程解的结构
三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法
教学目的与要求：
理解二阶线性微分方程解的结构 .
重点：二阶线性微分方程解的结构 .
难点：线性相关与线性无关
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
(虎克定律)
o x x
阻力
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m 2 d x dx 2 2 n k x0 2 dt dt (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 H 则得强迫振动方程: F H sin pt 作用，令 h ， m 2 d x dx 2 2 n k x h sin pt 2 dt dt
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
必需全为 0 ,
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
在任何区间 I 上都 线性无关.
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
2
化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
q ‖ q K
例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p( x) y q( x) y f ( x) , 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y ( n) a1 ( x) y ( n 1) an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x) y * ( x) 代入方程①左端, 得
( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * ) ( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x)
‖ q K q
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
2
例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , i L ∼ ~ E 由电学知 C
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P( x) y Q( x) P ( x) d x P ( x) d x P ( x) d x e 通解: y C e Q( x) e d x 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y