柯西_施瓦兹不等式的简单应用
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柯西 — 施瓦兹不等式在数学分支中的不同表现形式
n
已知 a 姨1- b2 +b 姨1- a2 =1， 求证 a2+b2=1 由柯西不等式， 得
a 姨1- b2 +b 姨1- a2 ≤[a2+(1- a2)][b2+(1- b2)]=1 当且仅当
2 b = 姨1- b 时， 上式取等号， 2 a 姨1- a
第 28 卷 第 2 期 （上 ） 2012 年 2 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition ）
Vol. 28 No. 2 Feb. 2012
柯西 - 施瓦兹不等式的简单应用
于海杰
本相关系数
n
原方程组可化为 x+y+z=9 x+w=6 (x2+y2+z2)(x2+w2)=486 r=
i = 1
軃 )(y - y 軃) Σ(x - x
i i n
姨Σ
i = 1 2 2
n
， 并指出 |r|≤1 且 |r| 越接近于
軃 )2Σ(yi- y 軃 )2 (xi- x
i = 1
运用柯西不等式得 x2+y2+z2≥ 9 =27， x2+w2≥ 6 =18 3 2 两式相乘， 得(x +y +z )(x +w )≥486，
例1 证明
柯西 - 施瓦兹 (Cauchy- Schwarz)不等式 , 又称柯西不等 式或施瓦兹不等式或柯西 - 布涅科夫斯基不等式,是历史上 著名的不等式之一 , 在许多数学学科里都有应用 . 本文就柯 西—施瓦兹不等式在数学不同分支的不同表现形式进行简 要阐述,并简单介绍了其在初等数学中的应用. 1
2 补：实数域中柯西—施瓦兹不等式中若令 a 劬 ai ， 即 bi 2 i
Σ(a b ) - Σa Σb →0
i = 1 i = 1 n n n 1≤i≤j≤n
(2)
而Σ(aibi)2- Σai2Σbi2=i = 1 i = 1 i = 1
∑ (aibj- ajbi)2
1≤i≤j≤n
∑ (aibj- ajbi)2→0圯aibj- ajbi→0圯 ai →k,k 为常数. bi
1
1
2
+(x+1)2 ≥ x + x+1 x+1 x 1
乙f(x)g(x)dx) ≤( 乙f(x)dx) ( 乙g(x)dx)
2 2 a a a
b
b
b
2
当且仅当 f(x)和 g(x)是线性相关函数时等式成立. 1.5 概率论中[1] 对任意随机变量 ξ 和 η 都有 |Eξη|2≤Eξ2 · Eη2，等式成 立当且仅当 P{η=t0ξ}=1， 这里 t0 是一个常数. 2
Σb
i = 1
= a2 =… = b1 b2
1
i
n
n
例5
设 ai,bi∈R(i=1,2,…,n)且Σai=Σbi，
i = 1 i = 1 n n
够更好地学习数学有着很大的意义. —— —— —— —— —— —— —— —— —— —
参考文献 : 〔1 〕 于海杰 . 柯西 — 施瓦兹不等式的证明 . 待发表 . 〔2 〕 徐利治 ， 等 . 大学数学解题法诠释 [M]. 合肥 : 安徽教育出版
例3
2.1 证明恒等式 利用柯西—施瓦兹不等式来证明恒等式，主要是利用 其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不 等式进行夹逼的方法获证. - 14 -
解方程组
x+y+z=9 x+w=6 x4+x2(y2+z2+w2)+w2(y2+z2)=486
解
2.4
解释样本线性相关系数[4] 在 《概率论与数理统计》 〉 一书中， 在线性回归中， 有样
· [ 左边 = (a+b+c)(a3+b3+c3)= [( 姨 a )2+( 姨 b )2+( 姨 c )2] · a3 + 姨b · b3 + 姨c · c3 )， ( 姨 a3 )2+( 姨b3 )2+( 姨 c3 )2≥( 姨a 即左 边≥(a2+b2+c2)2.
2 2 2
軃 ) bi (yi- y 此时， k 为常数 . 点 (xi,yi)i=1,2, … ,n 均在直 = =k， 軃 ) ai (xi- x 軃 =k(x- x 軃 )上， 线 y- y
n n n
(1)
当 |r|→1 时， Σ(aibi)2→Σai2Σbi2,即
i = 1 i = 1 i = 1 n i i 2 n n 2 i i = 1 2 i
下面只需证明 (a2+b2+c2)2≥ a +b +c ， 即需证 3(a2+b2+c2) 3 ≥1. 而 3(a2+b2+c2)=(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 知原不等式成立. 当且仅当 姨 a = 姨 b = 姨 c 即 a=b=c 时 （1 ） 处等号 姨 a3 姨b3 姨 c3 （2 ） 处等号成立； 知 成立； 当且仅当 1 = 1 = 1 即 a=b=c 时 a b c a=b=c 时原不等式等号成立.
2 求证： Σ ai ≥ 1 2 i = 1 ai+bi
i = 1
Σa
n
i
证明
由柯西变式，
n 2 2 n 2 n
Σ Σa Σ Σ Σa Σ Σ Σa Σ 1 左边 ≥ = = =
i i i i = 1 n i = 1 i = 1 n n n n i = 1
社 ,1999.
Σ(ai+bi)
i = 1
Σai+Σbi
軃 ) bi (yi- y 軃 =k 此时， k 为常数， 点 (xi,yi)均在直线 y- y = =k， ai 軃 x (xi- ) 軃 )附近， (x- x 所以 |r| 越接近于 1， 相关程度越大； 当 |r|→0 时， (ai,bi)不具备上述特征， 从而， 找不到合适的 軃 =k(x- x 軃 )附近 . 所以， 使得点(xi,yi)都在直线 y- y |r| 越接 常数 k，
i = 1
i = 1
Σai+Σai
i = 1
2
i = 1
Σa ，
i
〔3 〕 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 第二版 )[M]. 北京 : 高等教 育出版社 ,1991. 〔4 〕 浙江大学 ， 盛骤 ， 等 . 概率论与数理统计 ( 第三版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2001.
即原不等式成立.
bi2劬bi(ai∈R,bi∈R+)得推论
n
柯西变式： Σ ai ≥ i = 1 bi an 时等号成立. bn
2
Σ Σa Σ , 当且仅当 a
i i = 1 n
n
2
近于 0， 则相关程度越小. 总之，柯西—施瓦兹不等式作为数学不等式中一个基 础而且重要的不等式， 对解题时起了举足轻重的作用 . 除上 述情况之外， 柯西—施瓦兹不等式还可用来求函数极值 、 证 明数学相关命题 、 解三角问题等， 限于篇幅， 本文仅介绍上 述几种情况，对柯西—施瓦兹不等式的探究为我们今后能
（ 赤峰学院 初等教育学院，内蒙古 赤峰 024000 ）
摘 要：柯西 - 施瓦兹不等式在数学中应用广泛,在许多数学分支有着不同表现形式， 本文简单介绍了其在初等数学中 的应用. 关键词：柯西 - 施瓦兹不等式； 应用 中图分类号： O178 文献标识码： A 文章编号： 1673- 260X （2012 ） 02- 0014- 02
- 15 -
n 2 k k n n
解方程 因为
k =1
Σd b
≤(Σ|ak|2)(Σ|bk|2)， 当且仅当数列 a 和 b 成
k =1 k =1
姨x + x ·姨(x+1) + (x+1)
2 2 2 2
1
1
2
=2+
1 . x(x+1)
比例时等式成立. 1.3 欧式空间[1] 对于欧式空间中任意的向量 α， β 有 |(α,β)≤|α||β| 或(α, β) ≤(α,α)(β,β)(其中定义(α,β)是向量 α,β 的内积)， 当且仅当
1.1 实数域[1] 对任意实数 a1,a2, …… ,an 及 b1,b2, …… ,bn 有 (Σ ai,bi) ≤
2 i = 1
∴ab= 姨1- a2 ·姨1- b2 即 a2b2=(1- a2)(1- b2) 于是有 a2+b2=1成立. 2.2 解无理方程 （或方程组 ） 用柯西不等式解无理方程，是先把方程 （含有无理式 的 ） 运用柯西不等式化为不等式， 然后结合原方程把不等式 又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的 特性， 得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程， 进 而得到简单的整式方程， 从而求得原方程的解.
a
i i n
姨Σ
i = 1
n
， 由柯西不等
2 i
2 i i = 1
Σb
式有， |r|≤1
n n n 2 2 2
已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=1，
a3+b3+c3≥ a +b +c 求证： 3
证明
当 |r|=1 时， Σ(aibi)2=Σai2Σbi2
i = 1 i = 1 i = 1
由条件，
柯西 — 施瓦兹不等式的简单应用
姨x + x ·姨 (x+1) +(x+1) ≥2+ x+1 1 所以 x + 1 · (x+1) + 1 姨 x 姨 (x+1) ≥2+ x+1
2 2 2 2 2 2 2
1
1
当上式取等号时有 x(x+1)=
1 成立， 即 x(x+1)
x2+x+1=0 （无实根 ） 或 x2+x- 1=0， 即 x= - 1± 姨 5 . 2 经检验， 原方程的根为 x= - 1± 姨 5 . 2 用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取 等号的条件， 从而求得方程组的解.
2
姨x + x ·姨(x+1) + (x+1) = 姨x + x ·姨 (x+1)
2 2 2 2
1
1
1
1
2
+(x+1)2
由柯西不等式知
α,β 线性相关时， 等式才成立. 1.4 积分学中[1] 设 f(x)和 g(x)是在[a,b]上的实可积函数， 则 ( 即
姨x + x ·姨 (x+1)
2 2 2
2 2 2 2 2
1， 相关程度越大， |r|Baidu Nhomakorabea越接近于 0， 则相关程度越小.现在可用 柯西不等式解释样本线性相关系数.
n
当且仅当 x=y=z=w=3 时取等号，故原方程组的解为 x=y=z=w=3. 2.3 证明不等式
例4
軃， 軃， 现记 ai=xi- x bi=yi- y 则 r=
i = 1
Σa b
例2 解
2
n 2
n 2
n
(Σ ai) (Σ bi) ， 或
i = 1 i = 1
i = 1
Σa b
i i
≤
姨Σ 姨Σ
ai ·
i = 1 i = 1
n
n
bi ， 当且仅当
a1 = a2 =…= an 时等号成立. b1 b2 bn 1.2 复数域 若 a=(a1,a2,…,an)和 b=(b1,b2,…,bn)是两个复数序列， 则有
n
已知 a 姨1- b2 +b 姨1- a2 =1， 求证 a2+b2=1 由柯西不等式， 得
a 姨1- b2 +b 姨1- a2 ≤[a2+(1- a2)][b2+(1- b2)]=1 当且仅当
2 b = 姨1- b 时， 上式取等号， 2 a 姨1- a
第 28 卷 第 2 期 （上 ） 2012 年 2 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition ）
Vol. 28 No. 2 Feb. 2012
柯西 - 施瓦兹不等式的简单应用
于海杰
本相关系数
n
原方程组可化为 x+y+z=9 x+w=6 (x2+y2+z2)(x2+w2)=486 r=
i = 1
軃 )(y - y 軃) Σ(x - x
i i n
姨Σ
i = 1 2 2
n
， 并指出 |r|≤1 且 |r| 越接近于
軃 )2Σ(yi- y 軃 )2 (xi- x
i = 1
运用柯西不等式得 x2+y2+z2≥ 9 =27， x2+w2≥ 6 =18 3 2 两式相乘， 得(x +y +z )(x +w )≥486，
例1 证明
柯西 - 施瓦兹 (Cauchy- Schwarz)不等式 , 又称柯西不等 式或施瓦兹不等式或柯西 - 布涅科夫斯基不等式,是历史上 著名的不等式之一 , 在许多数学学科里都有应用 . 本文就柯 西—施瓦兹不等式在数学不同分支的不同表现形式进行简 要阐述,并简单介绍了其在初等数学中的应用. 1
2 补：实数域中柯西—施瓦兹不等式中若令 a 劬 ai ， 即 bi 2 i
Σ(a b ) - Σa Σb →0
i = 1 i = 1 n n n 1≤i≤j≤n
(2)
而Σ(aibi)2- Σai2Σbi2=i = 1 i = 1 i = 1
∑ (aibj- ajbi)2
1≤i≤j≤n
∑ (aibj- ajbi)2→0圯aibj- ajbi→0圯 ai →k,k 为常数. bi
1
1
2
+(x+1)2 ≥ x + x+1 x+1 x 1
乙f(x)g(x)dx) ≤( 乙f(x)dx) ( 乙g(x)dx)
2 2 a a a
b
b
b
2
当且仅当 f(x)和 g(x)是线性相关函数时等式成立. 1.5 概率论中[1] 对任意随机变量 ξ 和 η 都有 |Eξη|2≤Eξ2 · Eη2，等式成 立当且仅当 P{η=t0ξ}=1， 这里 t0 是一个常数. 2
Σb
i = 1
= a2 =… = b1 b2
1
i
n
n
例5
设 ai,bi∈R(i=1,2,…,n)且Σai=Σbi，
i = 1 i = 1 n n
够更好地学习数学有着很大的意义. —— —— —— —— —— —— —— —— —— —
参考文献 : 〔1 〕 于海杰 . 柯西 — 施瓦兹不等式的证明 . 待发表 . 〔2 〕 徐利治 ， 等 . 大学数学解题法诠释 [M]. 合肥 : 安徽教育出版
例3
2.1 证明恒等式 利用柯西—施瓦兹不等式来证明恒等式，主要是利用 其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不 等式进行夹逼的方法获证. - 14 -
解方程组
x+y+z=9 x+w=6 x4+x2(y2+z2+w2)+w2(y2+z2)=486
解
2.4
解释样本线性相关系数[4] 在 《概率论与数理统计》 〉 一书中， 在线性回归中， 有样
· [ 左边 = (a+b+c)(a3+b3+c3)= [( 姨 a )2+( 姨 b )2+( 姨 c )2] · a3 + 姨b · b3 + 姨c · c3 )， ( 姨 a3 )2+( 姨b3 )2+( 姨 c3 )2≥( 姨a 即左 边≥(a2+b2+c2)2.
2 2 2
軃 ) bi (yi- y 此时， k 为常数 . 点 (xi,yi)i=1,2, … ,n 均在直 = =k， 軃 ) ai (xi- x 軃 =k(x- x 軃 )上， 线 y- y
n n n
(1)
当 |r|→1 时， Σ(aibi)2→Σai2Σbi2,即
i = 1 i = 1 i = 1 n i i 2 n n 2 i i = 1 2 i
下面只需证明 (a2+b2+c2)2≥ a +b +c ， 即需证 3(a2+b2+c2) 3 ≥1. 而 3(a2+b2+c2)=(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 知原不等式成立. 当且仅当 姨 a = 姨 b = 姨 c 即 a=b=c 时 （1 ） 处等号 姨 a3 姨b3 姨 c3 （2 ） 处等号成立； 知 成立； 当且仅当 1 = 1 = 1 即 a=b=c 时 a b c a=b=c 时原不等式等号成立.
2 求证： Σ ai ≥ 1 2 i = 1 ai+bi
i = 1
Σa
n
i
证明
由柯西变式，
n 2 2 n 2 n
Σ Σa Σ Σ Σa Σ Σ Σa Σ 1 左边 ≥ = = =
i i i i = 1 n i = 1 i = 1 n n n n i = 1
社 ,1999.
Σ(ai+bi)
i = 1
Σai+Σbi
軃 ) bi (yi- y 軃 =k 此时， k 为常数， 点 (xi,yi)均在直线 y- y = =k， ai 軃 x (xi- ) 軃 )附近， (x- x 所以 |r| 越接近于 1， 相关程度越大； 当 |r|→0 时， (ai,bi)不具备上述特征， 从而， 找不到合适的 軃 =k(x- x 軃 )附近 . 所以， 使得点(xi,yi)都在直线 y- y |r| 越接 常数 k，
i = 1
i = 1
Σai+Σai
i = 1
2
i = 1
Σa ，
i
〔3 〕 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 第二版 )[M]. 北京 : 高等教 育出版社 ,1991. 〔4 〕 浙江大学 ， 盛骤 ， 等 . 概率论与数理统计 ( 第三版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2001.
即原不等式成立.
bi2劬bi(ai∈R,bi∈R+)得推论
n
柯西变式： Σ ai ≥ i = 1 bi an 时等号成立. bn
2
Σ Σa Σ , 当且仅当 a
i i = 1 n
n
2
近于 0， 则相关程度越小. 总之，柯西—施瓦兹不等式作为数学不等式中一个基 础而且重要的不等式， 对解题时起了举足轻重的作用 . 除上 述情况之外， 柯西—施瓦兹不等式还可用来求函数极值 、 证 明数学相关命题 、 解三角问题等， 限于篇幅， 本文仅介绍上 述几种情况，对柯西—施瓦兹不等式的探究为我们今后能
（ 赤峰学院 初等教育学院，内蒙古 赤峰 024000 ）
摘 要：柯西 - 施瓦兹不等式在数学中应用广泛,在许多数学分支有着不同表现形式， 本文简单介绍了其在初等数学中 的应用. 关键词：柯西 - 施瓦兹不等式； 应用 中图分类号： O178 文献标识码： A 文章编号： 1673- 260X （2012 ） 02- 0014- 02
- 15 -
n 2 k k n n
解方程 因为
k =1
Σd b
≤(Σ|ak|2)(Σ|bk|2)， 当且仅当数列 a 和 b 成
k =1 k =1
姨x + x ·姨(x+1) + (x+1)
2 2 2 2
1
1
2
=2+
1 . x(x+1)
比例时等式成立. 1.3 欧式空间[1] 对于欧式空间中任意的向量 α， β 有 |(α,β)≤|α||β| 或(α, β) ≤(α,α)(β,β)(其中定义(α,β)是向量 α,β 的内积)， 当且仅当
1.1 实数域[1] 对任意实数 a1,a2, …… ,an 及 b1,b2, …… ,bn 有 (Σ ai,bi) ≤
2 i = 1
∴ab= 姨1- a2 ·姨1- b2 即 a2b2=(1- a2)(1- b2) 于是有 a2+b2=1成立. 2.2 解无理方程 （或方程组 ） 用柯西不等式解无理方程，是先把方程 （含有无理式 的 ） 运用柯西不等式化为不等式， 然后结合原方程把不等式 又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的 特性， 得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程， 进 而得到简单的整式方程， 从而求得原方程的解.
a
i i n
姨Σ
i = 1
n
， 由柯西不等
2 i
2 i i = 1
Σb
式有， |r|≤1
n n n 2 2 2
已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=1，
a3+b3+c3≥ a +b +c 求证： 3
证明
当 |r|=1 时， Σ(aibi)2=Σai2Σbi2
i = 1 i = 1 i = 1
由条件，
柯西 — 施瓦兹不等式的简单应用
姨x + x ·姨 (x+1) +(x+1) ≥2+ x+1 1 所以 x + 1 · (x+1) + 1 姨 x 姨 (x+1) ≥2+ x+1
2 2 2 2 2 2 2
1
1
当上式取等号时有 x(x+1)=
1 成立， 即 x(x+1)
x2+x+1=0 （无实根 ） 或 x2+x- 1=0， 即 x= - 1± 姨 5 . 2 经检验， 原方程的根为 x= - 1± 姨 5 . 2 用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取 等号的条件， 从而求得方程组的解.
2
姨x + x ·姨(x+1) + (x+1) = 姨x + x ·姨 (x+1)
2 2 2 2
1
1
1
1
2
+(x+1)2
由柯西不等式知
α,β 线性相关时， 等式才成立. 1.4 积分学中[1] 设 f(x)和 g(x)是在[a,b]上的实可积函数， 则 ( 即
姨x + x ·姨 (x+1)
2 2 2
2 2 2 2 2
1， 相关程度越大， |r|Baidu Nhomakorabea越接近于 0， 则相关程度越小.现在可用 柯西不等式解释样本线性相关系数.
n
当且仅当 x=y=z=w=3 时取等号，故原方程组的解为 x=y=z=w=3. 2.3 证明不等式
例4
軃， 軃， 现记 ai=xi- x bi=yi- y 则 r=
i = 1
Σa b
例2 解
2
n 2
n 2
n
(Σ ai) (Σ bi) ， 或
i = 1 i = 1
i = 1
Σa b
i i
≤
姨Σ 姨Σ
ai ·
i = 1 i = 1
n
n
bi ， 当且仅当
a1 = a2 =…= an 时等号成立. b1 b2 bn 1.2 复数域 若 a=(a1,a2,…,an)和 b=(b1,b2,…,bn)是两个复数序列， 则有