同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R2
弹塑性力学课件-塑性基本概念
ij yxx
xy y
xz yz
11 21
12 22
13
23
zx zy z 31 32 33
（4-1）
由于剪应力的互等性， yx xy zx xz zy yz
3.1应力—应变曲线的理想化模型
（1）理想弹性（perfectly elastic） （2）理想刚塑性（rigid-perfectly elastic） （3）刚—线性强化（rigid-linear strain-hardening） （4）理想弹塑性（elastic-perfectly plastic） （5）弹—线性强化（elastic-linear strain-hardening）
1.3静水压力实验
所谓静水压力就如同均匀流体从四面八方将压力作用于物体。 （1）体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgeman实验公式)
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝ 7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。 说明第二项远小于第一项，可以 略去不计。
Bridgeman的实验结果表明， 静水压力与材料的体积改变之 间近似地服从线性弹性规律。 若卸除压力，体积的变化可以 恢复，因而可以认为各向均压 时体积变化是弹性的，或者说 塑性变形不引起体积变化。试 验还表明，这种弹性的体积变 化是很小的，因此，对于金属 材料，当发生较大塑性变形时， 可以忽略弹性的体积变化，即 认为在塑性变形阶段材料是不 可压缩的。
s
n1
一般加载规律
( ) E[1 ( )]
A
其中
( )
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
同济大学弹塑性力学试卷及习题解答.
弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）（每小题 2 分）（1）物体内某点应变为0 值，则该点的位移也必为0 值。
（2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。
3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。
（）4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。
（）5）对于常体力平面问题，若应力函数x,y 满足双调和方程 2 20，那么，由x,y 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（）（6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。
（）（7）Drucker 假设适合于任何性质的材料。
（）（8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（）（9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。
（）（10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。
P107；226 （）2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（每小题 2 分）（1）设x,y a1x a2x y a3y ，当a1,a2,a3满足_________________________________ 关系时x,y 能作为应力函数。
（2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________ 的一门学科。
（3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料_______________________ 。
（4）π 平面上的一点对应于应力的失量的 _____________________ 。
P65（5）随动强化后继屈服面的主要特征为：__________________________________________ 。
（6）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为_______________________ 。
同济大学弹性力学讲义
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
§1-2 弹性力学的基本假设 （1）连续性假设 假定所研究的固体材料是连续无间隙（无空洞）的介质，从微观上讲，固体材料中的原子与原子之
间是有空隙的，固体在微观上是间断的（或不连续的）；而从宏观上看，即使是很小一块固体，里面也 挤满了成千上万的原子，宏观上的固体看起来是密实而连续的，弹性力学正是从宏观上研究固体的弹性 变形及应力状态。根据这一假设，可以认为物体中的位移、应力与应变等物理量都是连续的，可以表示 为空间（位置）坐标的连续函数。
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学绪论
§1-1 弹性力学的研究对象与任务 弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外部作用一般包括：荷载、
温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 土木工程中的结构物设计是与力学是息息相关、紧密联系的。我们已学过材料力学及结构力学，那
如图 1-8 所示的物体，在水平力作用下，物体产生如虚线所示的变形，最大弹性变形 δ 与物体（最
小）尺寸相比很小，可忽略不计，物体与物体（最小）尺寸相比很小
（4）完全弹性假设 假设固体材料是完全弹性的，首先材料具有弹性性质，服从 Hooke（虎克）定律，应力与应变呈线 性关系，同时物体在外部作用下产生变形，外部作用去除后，物体完全恢复其原来的形状而没有任何残 余变形，即完全的弹性。 （5）无初始应力假设 假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外 部作用（荷载、温度等）所引起的。若物体中已有初始应力存在，则由弹性力学所求得的应力加上初 始应力才是物体中的实际应力。
弹性力学大大扩展了解决土木结构问题的范围。理论上，弹性力学包容材料力学及结构力学，可以 说弹性力学是土木工程中最基本的力学工具。
弹性力学_同济大学
变形前p x, y,变形后 pxu,yv.
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章 绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；
正应变 x , y，以伸长为正。
切应变 xy, 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
oz
x
P
yx α
B y
α
A
xy
C
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 -- 一点位置的移动，用 u, v表示,
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 --研究弹性体由于受外力、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形 变和位移。
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节 弹性力学的内容
（表示） σ x-- x 面上沿 x向正应力， xy-- x 面上沿 y向切应力。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O(z)
y
x
yx
xy
x
x
xy
yx
y
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
弹塑性力学讲义 第一章绪论
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R1
x yx zx m 0 0
xy y zy 0 m 0
xz
yz
z
0
0 m
x m
xy
xz
yx y m
yz
zx
zy
z
m
记
2
m 0 0 0 m 0 m ij 0 0 m
可得：
ij mij sij
sx yx zx
s1s2s3
5
4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）
lmn 1 3
fvx xl yxm zxn 1l fvy xyl ym zyn 2m fvz xzl yzm zn 3n
fv
f2 vx
f
2 vy
f2 vz
l2 2
1
2 2
m2
32n2
1 3
)
3
I3(sij) det(sij)
因为 (sx sy sz )2 0
s2x
s
2 y
s2z
-2(sxsy
sysz
szsx )
所以
(sxsy sysz szsx )
2 3
(s x s y
sysz
szsx
)
1 3
(s
xs
y
sysz
szsx
)
13[s2x
s
2 y
s
2 z
-
(s x s y
① E ；
② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服； ④ 强化；软化；
⑤
卸载，再加载，后继屈服，
s
s
1
初始屈服条件 s；
后继屈服条件
s
。
s
与塑性变形的历史有关，
同济大学弹塑性力学Ch5Constitutive
E = E = E = Eklij ijkl jikl ijlk
How comes the number of
parameters are reduced from 81 to 36 then to 21?
2012/11/6
X. Zhuang
17
General Hooke’s law 广义虎克定律
∂W σ ij = ∂ε ij
If we can work out W ( ε ) , then we can find the relation between σ ij and ij .
Green function 格林公式
ε
2012/11/6
X.Zhuang
9
Strain energy 应变能
= σ= σz, σ x′ σ= x , σ y′ y , σ z′ τ xy , τ y′z′ = −τ yz , τ z′x′ = −τ zx τ x′y′ =
For example if such plane is x-y plane then we will get the mapping between stresses and strains as
General Hooke’s law 广义虎克定律
In the initial state, we assume the absence of strain(初始状态无应变), it requires bij = 0 and c = 0
σ ij = bij + Eijklε kl = Eijklε kl
A large variety of constitutive equations for different materials Materials are too COMPLICATED… Here we only look at LINEAR ELASTIC MATERIAL （我们只关注线弹性材料）
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义第七章
2
2
2
1
1
2
2
2
又有 x y
所以极坐标的应 力协调方程为
2
( 2
1
1
2
2
2
)(
)
0
(7 6)
引入艾里应力函数U ,
平面坐标的应力分量经变换得到极坐标下的应力分量为 x cos2 y sin2 2xy sin cos
x sin2 y cos2 2xy sin cos
B
y
x
u u d
C
o
x
A
u
d
d
A
C
B
C
B
y
u u d
C
u u d
（2）设u 0,u 0
0
(u u d) u
1 u
d
u u
综合两种情况，得极坐标的几何方程
u
1 u u
(7 4)
1 u u u r
3、平面应力问题的物理方程
方程得
u
1 E
(1 v)
A
2
(1 3v)B 2(1 v)B ln
2(1
v)C
u
1
u
1 E
(1 v)
A
2
(3 v)B
2(1 v)B ln
2(1 v)C
(d )
1 u u u 0
(d)的第一式对 积分得
u
1 E
(1 v)
A
(1 3v)B
2(1 v)B(ln
1) 2(1 v)C
y y y
2 x2
(cos
1
sin
)(cos
1
弹塑性力学讲稿课件
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
同济大学弹性力学课件
应力－应变关系不再一一对应，
且一般是非线性的
单轴应力应变曲线
• 弹性、塑性 • 线性、非线性
典型的塑性本构模型
• 理想弹塑性模型 • 强化弹塑性模型 • 软化弹塑性模型
1）理想弹塑性模型
2）强化弹塑性模型
3）软化弹塑性模型
弹塑性力学基本方程
• 弹塑性力学的基本方程是：
• • • （1）平衡方程； （2）几何方程。 （3）本构方程。
1.3 塑性力学的主要内容
• （1）建立屈服条件。 • 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出 弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服 • （2）判断加载、卸载。 • 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进 行判断。 • （3）描述加载（或变形）历史。 • 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史， 在加载过程中必须对其历史进行记录。
形成独立学科： • 岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期； • 1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以 反映平均应力或体应变所导致的体积屈服； • 1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念， 于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了 土体实用计算模型 • 从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。 • 1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设 和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义第三章
z' xl32 ym32 zn32 yzm3n3 xzl3n3 xyl3m3
y'z' 2( xl2l3 ym2m3 zn 2n3 )
yz (m 2n3 m3n2 ) xz (l2n3 l3n2 ) xy (l2m3 l3m2 )
为转动分量
2.论证
利用转动分量、相对位移张量可分解成为两个张量：
u
x
v
x
w
u
y v
y w
u
z
v
z
x 1
2 xy
w
1 2
xz
1
2 xy
y 1
2 yz
1
2
1 2
xz yz
z
0
1 2
z
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
1 2
x
0
x y z
对称张量， 表示单元体 纯变形
反对称张量，表 示单元体的刚体 转动（有物体变 形引起单元体方 位变化）
B
B B B
ux, y, z
A
A
与A邻近的单元,B为
位移矢
量AA三 v( x, y, z) 个分量 w(x, y, z)
与A无限邻近的一点, 构成微分线段
u u(x dx, y dy, z dz)
位移矢
变形前微分线段AB
z)
z
(l
x
m
y
n
z
)
于是新坐标系中的应变分量为
x
u x
(l1
1-弹塑性力学第一章 绪 论 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件
1.1 研究内容
弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科， 是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体 内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
第一章 绪 论 (Introduction)
1.4 基本假设
假设的目的：为了简化研究 ✓ 连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积） ✓ 均质、各向同性假设 ✓ 弹、塑性体假设
弹性体——满足广义虎克定律； 塑性体——符合体积不可压缩规律
✓ 小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性： 各个变形瞬时）
✓ 无初始应力作用假设
第三讲弹塑性理论基础-损伤力学基础研究生课程-任晓丹
屈服函数 强化法则 塑性演化 相关流动与非相关流动
运动强化
数学表达式为： f(σ , q) = f(σ − q) − k(α) = 0 令 q = k(α)，k(α) = k，即 为经典随动强化 Melan-Prager 模型 q = cεp Ziegler 模型 ˙ =µ q ˙ (σ − q) ˙ = c εp − a α q 记忆模型：q
任晓丹
第三讲：弹塑性理论基础
概述 一维弹塑性理论 多维弹塑性理论 总结
实验现象：屈服和强化
有明显屈服点的钢材和没有明显屈服点的钢材
任晓丹
第三讲：弹塑性理论基础
概述 一维弹塑性理论 多维弹塑性理论 总结
实验现象：包兴格效应
任晓丹
第三讲：弹塑性理论基础
概述 一维弹塑性理论 多维弹塑性理论 总结
实验现象：混凝土的塑性
任晓丹 第三讲：弹塑性理论基础
概述 一维弹塑性理论 多维弹塑性理论 总结
实验现象：混凝土的塑性
单轴受压实验 约束受压实验 (/publications/research/infrastructure /pavements/05062/chapt2a.cfm)
任晓丹 第三讲：弹塑性理论基础
概述 一维弹塑性理论 多维弹塑性理论 总结
一维弹塑性物理模型
弹簧摩擦元模型 应变弹塑性分解 应力应变关系 σ = E(ε − εp ), σ ˙ = E(ε ˙−ε ˙p ) 任务：引入εp 的表达式，建立以 σ 、ε 及、εp 为状态量的闭 合的理论体系
任晓丹 第三讲：弹塑性理论基础
概述 一维弹塑性理论 多维弹塑性理论 总结
.
第三讲：弹塑性理论基础
. 损伤力学基础研究生课程 任晓丹
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义第六章
y
y
Fy
0
(6 8)
（2）几何方程
u x x
v y y
v u xy x y
(6 9)
（3）物理方程
x 1 ( x v y)
E y 1 ( y v x)
E
xy 2(1 v) xy
E
(6 11)
3、应变、应力协调方程
应变协调方程:
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
（2）应变分量
x
u x
f1( x, y)
y
v y
f2(x, y)
xy
v x
u y
f3(x, y)
z yz xz 0
平面应变的由来
（3）应力分量
将应变分量代入以应变表示应力的物理方程，可求得应
力分量：
x,y,xy为x, y的函数 yz xz 0
又 z 0 由物理方程的第三式的
z 1 [z v(x y)] 0
（2）应变分量
将上述应力分量代入物理方程可 求得应变分量
x x (x, y)
z v ( x y)
Ey y (x, y)Fra bibliotekyz 0
xy xy (x, y)
xz 0
畸变
2、基本方程的简化
平衡微分方程及几何方程与平面应变问题相同
（1）平衡微分方程
x
x
yx
y
Fx
0
xy
2 xy
xy
(1
v1
)(
2 x
x2
2 y
y2
fx x
fy y
)
2 x
x2
2 x
y2
弹塑性力学讲义
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形 过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
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第四章 应力与应变的关系（二）物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。
如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。
4.6 塑性的基础知识金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。
因此塑性变形与剪切变形有关。
（1）塑性变形不引起体积的变化；（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。
其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。
① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。
简单拉压时的塑性现象 ① εσE =；② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服；④ 强化；软化；⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s sσσ>'初始屈服条件 s σσ=； 后继屈服条件s σσ'=。
s σ' 与塑性变形的历史有关，)H(ps εσ='当 sσσ'<， 弹性阶段； s σσ'=， ⎩⎨⎧<>卸载加载0d 0d σσσσ⑥ Bauschinger 效应4.7 应力张量的分解（对第三章的补充）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m z yz xz zy m y xy zx yx mx m m m z yz xz zy y xy zx yx x 000000σστττσστττσσσσσστττστττσ记ij m m m m 000000δσσσσ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可得：ij ij m ij s +=δσσ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z yz xz zy y xy zx yx x ij s s s s ττττττm x x s σσ-=m y y s σσ-=m z z s σσ-=应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。
应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。
0s s s )s (I z y x ij 1=++=)()s s s s s s ()s (I 2zx2yz 2xy x z z y y x ij 2τττ+++++-=)s (det )s (I ij ij 3=因为 0)s s (s 2z y x =++)s s s s s s (-2s s sx z z y y x 2z2y2x++=++所以)s s s s s (s 31)s s s s s (s 32)s s s s s (s x z z y y x x z z y y x x z z y y x ++-++-=++-)]s s s s s (s -s s [s 31x z z y y x 2z 2y 2x ++++= ])s -s ()s -(s )s [(s 612x z 2z y 2y x ++-=])-()-()[(612x z 2z y 2y x σσσσσσ++-=所以)](6)-()-()[(61)s (I 2zx 2yz 2xy 2x z 2z y 2y x ij 2τττσσσσσσ+++++-=)s (I ij 2也可以写成如下形式：ijij 2zx 2yz 2xy 2z 2y 2x 2zx2yz 2xy x z z y y x ij 2s s 21)](2)s s s [(21)()s s s s s s ()s (I =+++++=+++++-=ττττττ如果坐标轴为主轴，则有0s s s s )s (I 332211ii ij 1=++==])-()-()[(61)s (I 213232221ij 2σσσσσσ++-=321m 3m 2m 1ij 3s s s )-)(-()()s (I =-=σσσσσσ4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）31n m l ===l n m l f 1zx yx x vx σττσ=++=m n m l f 2zy y xy vy στστ=++= n n m l f 3z yz xz vz σσττ=++=)(31n m l f f f f 2322212232222212vz 2vy 2vx v σσσσσσ++=++=++=m 321232221vz vy vx oct )(31nm l n f m f l f σσσσσσσσ=++=++=++=23212322212oct2v oct )(91)(31f σσσσσσστ++-++=-=)(231133221232221σσσσσσσσσ+--++=)(231133221232221σσσσσσσσσ+--++=213232221)-()-()(31σσσσσσ++-=])-()-()[(6132213232221σσσσσσ++-=)s (I 32ij 2=定义应力强度])-()-()[(21213232221i σσσσσσσ++-=)s (3I 23ij 2oct ==τ对于一维拉压问题σσ=1，032==σσσσ=i4.9 应变张量的分解（第四章的补充）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m z yz 21xz21zy 21m y xy 21zx 21yx 21m x m m m z yz 21xz 21zy 21yxy 21zx 21yx 21x000000εεγγγεεγγγεεεεεεγγγεγγγε记ij m m mm 000000δεεεε=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可得：ij ij m ij e +=δεε偏应变张量ij e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---m z yz 21xz21zy 21m y xy 21zx21yx 21m x εεγγγεεγγγεε主偏应变为 1e ，2e ，3e ，三个偏应变不变量为：0e e e J 3322111=++=' )e e e ()e e e e e e (J 2312232121133332222112+++++-='321ij 3e e e )e (det J =='其中2J '可表示为 ij ij 2e e 21J =')](6)-()-()[(612312232122x z 2z y 2y x εεεεεεεεε+++++-= )](23)-()-()[(612312232122x z 2z y 2y x γγγεεεεεε+++++-= ])-()-()[(61213232221εεεεεε++-= 定义应变强度2i J 32'=ε])-()-()[(92213232221εεεεεε++-=对于一维拉压问题εε=1，εεε21-32==（塑性变形时泊松比取0.5）εε=i4.10 应力空间A O A O A A A O OA '+''=''+''=直线 L （A O ''）上 321σσσ==，代表应力球张量。
垂直L ，通过坐标原点的平面称为π平面，0321=++σσσ注意到 0s s s 321=++可知A O '总是在π平面内的。
在π平面内投影()2322222=⎪⎭⎫⎝⎛-；32cos =β 即原来长度为1的变为32。
⎪⎭⎫ ⎝⎛σσ=⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ111161-,2232213223⎪⎭⎫ ⎝⎛σ3202⎪⎭⎫⎝⎛σσ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ-333361-,2232213223()()3131s s 2222x -=σ-σ=()()312312s -s 2s 61-261y -=σσ-σ=采用极坐标i ij 22232)s (2I y x r σσ==+=σσμσσσσσθ31--231x y tg 31312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==σμ为Lode 参数。
由 ()31s s 22x -= 可得σσθcos r 2x 2s s 31==-利用)s s (s 312+-=由 ()312s -s 2s 61y -=可得σσθsin r 32y 32s s 31-=-=+得到)32(sin r 32s 1πθσσ+=)32(sin r 32s 3πθσσ-=而σσθsin r 32)s s (s 312=+-=4.11 屈服条件(1)Tresca 屈服条件（图2-8（b ））k 21231max =-=σστ （k 即为屈服应力s σ） k 31=-σσ2k )(21x 31=-=σσ(2)Mises 屈服条件（图2-8（b ））圆的半径为32k 232kcos302k o==圆的方程为22232k y x ⎪⎭⎫⎝⎛=+因为()3122x σσ-=()312-261y σσσ-= 可得22132322212k)-()-()(=++-σσσσσσ因为213232221i )-()-()(21σσσσσσσ++-=所以 k i =σs 2I 3σ='(1)Tresca 条件与Mises 条件比较 取 s σ=k ， s σ为单向拉压时的屈服应力。
对于Tresca ：s 31σσσ=-，即1s31=-σσσ 对于Mises ：2s 2232y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+σ，即()2312s 31123123σμσσσ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y x (σσμθ31x y tg ==)2s 3132σμσσσ+=-拉压时 12=σμ，1s31=-σσσ剪切时 02=σμ，15.132s 31==-σσσ (4)Lode 实验4.12 加、卸载准则初始屈服面 0)(=ij f σ 后继屈服面0),(=k f ij σk 为硬化参数。
(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则0)(<ij f σ 弹性 0)(=ij f σ 且0)()(=∂∂=-+=ij ijij ij ij d f f d f df σσσσσ加载0)(=ij f σ 且0)()(<∂∂=-+=ij ijij ij ij d ff d f df σσσσσ卸载。
以ijf σ∂∂为分量的矢量就是函数f 的梯度，所以 0)(=ij f σ，0=⋅σd n 加载0)(=ij f σ，0<⋅σd n 卸载(2) 硬化材料的加载和卸载准则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫<⋅<∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 卸载⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋅=∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 中性变载⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫>⋅>∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 加载4.13 硬化模型（1） 单一曲线假设 单向拉压曲线 )(εσΦ=假设应力强度与应变强度的关系与单向拉压曲线一致，所以)(i i εσΦ= （2） 等向硬化条件 Mises 初始屈服条件 s i k σσ== 后继屈服条件)(⎰=pi i d H εσ，其中s H σ=)0(ij ij 2e e 21J =')(213232J 322222222i zx yz xy z y x ijij e e e e e γγγε+++++=='=因为 ij ij m ij e +=δεε，即m x εε-=x e ，m y εε-=y e , m z z e ε-ε=由于塑性变形只涉及形状的改变而没有体积的变化，所以px ε=p xe ，p y ε=p ye ，p z ε=p ze塑性应变增量强度222)(21)(3232zx p x pijp ij pi d d d d d γεεεε++==一维拉伸时，)(⎰=pi i d H εσ变为)()(⎰==ppd H H εεσ我们感兴趣的是H '。