事件的关系和运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件
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人教A版高中数学必修第二册教学课件 第10章 事件的关系和运算
提示：D＝“点数小于或等于 2”＝“出现 1 或 2 点”；AC＝“出 现 1 点”．
【例 1】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝“出现 1 点”，事件 C2＝“出现 2 点”，事件 C3＝“出现 3 点”， 事件 C4＝“出现 4 点”，事件 C5＝“出现 5 点”，事件 C6＝“出现 6 点”，事件 D1＝“出现的点数不大于 1”，事件 D2＝“出现的点数大 于 3”，事件 D3＝“出现的点数小于 5”，事件 E＝“出现的点数小于 7”，事件 F＝“出现的点数为偶数”，事件 G＝“出现的点数为奇数”， 请根据上述定义的事件，解答下列问题：
与事件 B 互斥．
(√ )
2．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
斥事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
C 解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事
件．
02
任务驱动式课堂
任务一 任务二 任务三
事件关系的判断
1．把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，
件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 含义 A 与 B 至少有一个发生
符号 A__∪__B_(或_A_＋__B_)
表示 图形 表示
2．交事件(积事件)
一般地，事件 A 与事件 B 同时 同时 发生，这样的一
定义
个事件中的样本点既在事件 A 中，也在事件 B 中， 我们称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件
因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以它 们是互斥事件；当恰有 2 名女生时，它们都不发生，所以它们不是对 立事件．
【例 1】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝“出现 1 点”，事件 C2＝“出现 2 点”，事件 C3＝“出现 3 点”， 事件 C4＝“出现 4 点”，事件 C5＝“出现 5 点”，事件 C6＝“出现 6 点”，事件 D1＝“出现的点数不大于 1”，事件 D2＝“出现的点数大 于 3”，事件 D3＝“出现的点数小于 5”，事件 E＝“出现的点数小于 7”，事件 F＝“出现的点数为偶数”，事件 G＝“出现的点数为奇数”， 请根据上述定义的事件，解答下列问题：
与事件 B 互斥．
(√ )
2．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
斥事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
C 解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事
件．
02
任务驱动式课堂
任务一 任务二 任务三
事件关系的判断
1．把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，
件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 含义 A 与 B 至少有一个发生
符号 A__∪__B_(或_A_＋__B_)
表示 图形 表示
2．交事件(积事件)
一般地，事件 A 与事件 B 同时 同时 发生，这样的一
定义
个事件中的样本点既在事件 A 中，也在事件 B 中， 我们称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件
因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以它 们是互斥事件；当恰有 2 名女生时，它们都不发生，所以它们不是对 立事件．
2019-2020学年高中数学人教A版(2019)必修第二册课件：10.1.2 事件的关系和运算
③ 至多有一个奇数和两个数都是奇数；
④ 至少有一个奇数和至少有一个偶数．
C 在上述事件中，是对立事件的是（ ）
A． ①
B． ②④
C． ③
D．①③
解析：①恰有一个偶数的事件和恰有一个奇数的事件，这两个事件有可能是同一事件， 故不是对立事件. ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数中，至少有一个是奇数的事件包含了两个数都是 奇数的事件，故不是对立事件. ③至多有一个奇数和两个数都是奇数中，至多有一个奇数的事件包括有一个是奇数的事 件和一个奇数都没有的事件，和两个数都是奇数的事件为对立事件. ④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，故不是对 立事件.故选C.
特别地，如果事件 B 包含事件 A，事件 A 也包含事件 B， 即 B A 且 A B ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B.
一般地，事件 A 与事件 B 至少有一个发生，这样的一个 事件中的样本点或者在事件 A 中，或者在事件 B 中，我们称 这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件（或和事 件），记作 A B （或 A+B）.可以用右图中的 绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
① 的两个事件是__________.
①至少有一个红球;至少有一个白球 ②恰有一个红球;都是白球 ③至少有一个红球;都是白球 ④至多有一个红球;都是红球
解析：对于①,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个 白球”可能为一个白球,一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对 于②,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取 两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于③,“至少有一个红球” 为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于④,“至多有一个 红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.
数学人教A版(2019)必修第二册10.1.2事件的关系和运算(共21张ppt)
练习 书本235页练习2
抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
判断下列结论是否正确
小结
A
互斥事件与对立事件的区别： 事件A和事件B是互斥事件，则有 ①若事件A发生，则事件B就不发生 ②若事件B发生，则事件A就不发生 ③事件A,B都不发生
而事件A和事件B是对立事件，仅有前两种情况
互斥事件不一定对立，但对立事件一定互斥
三、例题精析
例5.如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件
发现事件 发生，那么事件G一定发生，用集合表示为
包含事件 对于事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A （或事件A包含于事件B），记作
特别地，若
，则称
事件A与事件B相等，记作A=B
AB
二、探索新知---并事件/和事件
发现事件 和事件 至少有一个发生，那么事件 一定发生， 用集合表示为
称事件 为事件 和事件 的并事件
可能正常或失效．设事件A =“甲元件正常”, B =“乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件两个元件工
作状态的样本空间；
（3）用集合的形式表示事件
和事件
,并说明它们的含
义及关系.
例5. 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一 个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事 件A =“甲元件正常”, B =“乙元件正常”. （1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
例5. 如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每 个元件可能正常或失效．设事件A =“甲元件正常”, B =“乙元件正常”. （2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件两个元 件工作状态的样本空间；
数学人教A版必修第二册10.1.2？事件的关系和运算课件
【变式训练3】甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙
两人的位置情况.（1）写出这个试验的所有可能结果构成的集合；
（2）求这个试验的所有可能结果总数；（3）写出事件“甲、乙相邻” 和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的所有可能结果.
解：（1）从左到右记这三个位置为1，2，3，则这个实验的所有
第十章 概率
10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
1.了解随机事件的包含、互斥、对峙的含义，会判断
两个随机事件是否互斥、对峙.
2.了解随机事件的并事件、交事件的含义，能进行随
机事件的并、交运算.
重点：包含、互斥、对峙、并事件、交事件的含义. 难点：判断事件的关系、进行事件的运算.
事件的关系或运算以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A产生导致B产生
并事件（和事件）
A与B至少一个产生
A∪B或A+B
交事件或AB
互斥（互不相容）
A与B不能同时产生
互为对峙
A与B有且仅有一个产生
常考题型 题型一 事件的有关概念及运算
例1. 从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}； B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：
（1）A∩B∩ C 表示什么事件？ （2）在什么条件下有A∩B∩C＝A？
（3） C B表示什么意思？ （4）如果 A ＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书 都不是中文版的？
【解】（1）A∩B∩ C ＝{2000年或2000年前出版的中文版的数
学书}.（2）在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为 中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.（3） C B表示什么意思？ 表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.
10.1.2事件的关系和运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
（2）三个事件至少有一个发生表示为 A
B C；
（3）A 发生，B，C 不发生表示为 ABC ；
（4）A，B 都发生，C 不发生表示为 ABC ；
（5）A，B 至少有一个发生，C 不发生表示为 A
（6）A，B，C 中恰好有两个发生表示为 ABC
BC ；
ABC ABC
题 2（多选题）有甲､乙两种报纸供市民订阅，记事件 E 为“只订甲报纸”，事
• 显然，如果事件C1产生，那么事件G一定产生。
• 用集合表示就是 1 1,3,5,即C1 G
• 也就是说，事件G包含事件C1.
• 利用样本空间的子集表示事件，我们可以利用集合的知识研究随机事件.
• 事件的包含关系
• 一般地，若事件A产生，则事件B一定产生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事
• 事件A的对峙事件记作ҧ
• (如下图10.1-8所示)
• 综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号如下表
事件的关系或运算B
并事件(和事件)
A与B至少一个产生
A B或A B
交事件(积事件)
A与B同时产生
A B或AB
互斥(互不相容)
• ሺ2) 因为 ⊆ 1 , 所以1 包含事件
• 因为 ∩ = , 所以事件与事件互斥；
• 因为 ∪ = , ∩ = , 所以事件与事件互为对立事件。
• ሺ3) 因为 ∪ = , 所以事件是事件与事件的并事件；
• 因为1 ∩ 2 = , 所以事件是事件1 与事件2 的交事件。
C． A 与 B 一定互斥
D． A 与 B 一定不互斥
【答案】B
【分析】利用集合法判断.
【解】如图所示：
B C；
（3）A 发生，B，C 不发生表示为 ABC ；
（4）A，B 都发生，C 不发生表示为 ABC ；
（5）A，B 至少有一个发生，C 不发生表示为 A
（6）A，B，C 中恰好有两个发生表示为 ABC
BC ；
ABC ABC
题 2（多选题）有甲､乙两种报纸供市民订阅，记事件 E 为“只订甲报纸”，事
• 显然，如果事件C1产生，那么事件G一定产生。
• 用集合表示就是 1 1,3,5,即C1 G
• 也就是说，事件G包含事件C1.
• 利用样本空间的子集表示事件，我们可以利用集合的知识研究随机事件.
• 事件的包含关系
• 一般地，若事件A产生，则事件B一定产生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事
• 事件A的对峙事件记作ҧ
• (如下图10.1-8所示)
• 综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号如下表
事件的关系或运算B
并事件(和事件)
A与B至少一个产生
A B或A B
交事件(积事件)
A与B同时产生
A B或AB
互斥(互不相容)
• ሺ2) 因为 ⊆ 1 , 所以1 包含事件
• 因为 ∩ = , 所以事件与事件互斥；
• 因为 ∪ = , ∩ = , 所以事件与事件互为对立事件。
• ሺ3) 因为 ∪ = , 所以事件是事件与事件的并事件；
• 因为1 ∩ 2 = , 所以事件是事件1 与事件2 的交事件。
C． A 与 B 一定互斥
D． A 与 B 一定不互斥
【答案】B
【分析】利用集合法判断.
【解】如图所示：
事件的关系和运算【新教材】人教A版高中数学必修第二册精品系列PPT
5．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球观察颜色．设 事件 A 为“所取两个球至少有一个白球”，事件 B 为“所取 两个恰有一个红球”，则 A∩B 表示的事件为________． 解析：因为从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球， 这一随机试验的样本空间 Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}， 且 A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以 A∩B＝ {(白、红)}．故 A∩B 表示的事件为恰有一个红球． 答案：恰有一个红球
1 0 ． 1 .2 事 件 的 关系和 运算-【 新教材 】人教 A版（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件(共 25张P PT)
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[系统归纳]
1．事件的关系
互斥 给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不 AB＝∅或 事件 能同时发生，则称 A 与 B 互斥 A∩B＝∅
A
给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω
对立
A∩ A ＝
中所有不属于 A 的样本点组成的
事件 事件称为 A 的对立事件
∅且 A∪
A ＝Ω
图示
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C．2
D．3
解析：对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对
于④A⊆A∪B，即 A 与 B 的和事件包含事件 A，但两个事件
不能比较大小，故④错． 答案：C
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[系统归纳]
1．事件的关系
互斥 给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不 AB＝∅或 事件 能同时发生，则称 A 与 B 互斥 A∩B＝∅
A
给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω
对立
A∩ A ＝
中所有不属于 A 的样本点组成的
事件 事件称为 A 的对立事件
∅且 A∪
A ＝Ω
图示
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C．2
D．3
解析：对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对
于④A⊆A∪B，即 A 与 B 的和事件包含事件 A，但两个事件
不能比较大小，故④错． 答案：C
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事件的关系和运算【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件PPT
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2．事件的运算
定义
记法
事件 A 与事件 B 至少有一 事件 A 与事
个发生，这样的一个事件中 A∪B(或 件 B 的并事
的样本点或者在事件 A 中， A＋B) 件(和事件)
判断事件间关系的方法 (1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、 对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用 Venn 图分 析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[变式训练]
从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1～10 各 10 张)中任抽取 1 张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件， 是否为对立事件，并说明理由． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出牌的点数为 5 的倍数”与“抽出牌的点数大于 9”．
或者在事件 B 中
事件 A 与事件 B 同时发生， 事件 A 与事
这样的一个事件中的样本 A∩B(或 件 B 的交事
点既在事件 A 中，也在事件 AB) 件(积事件)
B中
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[思考发现]
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为 A，向上面至少有
一枚是正面为事件 B，则有
()
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A＝B
D．A<B
解析：由事件的包含关系知 A⊆B.
答案：A
2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件 A＝{出现的点数不大于 3}，
新教材2023版高中数学新人教A版必修第二册：事件的关系和运算课件
和事件进行区别． 批注❹ 对立事件是特殊的互斥事件，若A与B相互对立，则A 与B
互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分
不必要条件． 批注❺ 和事件包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)
事件A不发生，事件B发生；(3)事件A，B都发生．
夯实双基 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若A，B表示随机事件，则A∩ B与A∪ B也表示事件．( √ ) (2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( × ) (3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( √ ) (4)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个 发生．( × )
题后师说
判断互斥事件、对立事件的策略
巩固训练1 [2022·山东师范大学附中高一期中]抛掷一枚骰子，记事
件A＝“落地时向上的点数是奇数”，事件B＝“落地时向上的点数是
偶数”，事件C＝“落地时向上的点数是3的倍数”，事件对事件是互斥事件但不是对立事件
的是( )
题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
题后师说
事件间运算的方法
巩固训练2 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}， 事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上， 一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面 向上}．
3．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出 现正面”的对立事件是( )
A.只有2次出现反面 B.至多2次出现正面 C.有2次或3次出现正面 D.有0次或1次出现正面
答案：D
解析：连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面， 对立事件为有0次或1次出现正面，故选D.
互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分
不必要条件． 批注❺ 和事件包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)
事件A不发生，事件B发生；(3)事件A，B都发生．
夯实双基 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若A，B表示随机事件，则A∩ B与A∪ B也表示事件．( √ ) (2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( × ) (3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( √ ) (4)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个 发生．( × )
题后师说
判断互斥事件、对立事件的策略
巩固训练1 [2022·山东师范大学附中高一期中]抛掷一枚骰子，记事
件A＝“落地时向上的点数是奇数”，事件B＝“落地时向上的点数是
偶数”，事件C＝“落地时向上的点数是3的倍数”，事件对事件是互斥事件但不是对立事件
的是( )
题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
题后师说
事件间运算的方法
巩固训练2 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}， 事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上， 一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面 向上}．
3．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出 现正面”的对立事件是( )
A.只有2次出现反面 B.至多2次出现正面 C.有2次或3次出现正面 D.有0次或1次出现正面
答案：D
解析：连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面， 对立事件为有0次或1次出现正面，故选D.
数学人教A版(2019)必修第二册10.1.2事件的关系和运算(共33张ppt)
思考3：用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，事件E1=“点数
为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，
你能发现这些事件C2与之间的联系吗？
C2={2}，E1={1,2}和E2={2,3}
可以发现，事件E1和事件 E2同时发生，相当于事件C2发生．
用集合表示就是 1,2 2,3 2,即E1 E2 C2 .
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=Φ
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如，对于三个事件A，B，C，
A B C (或A B C )发生当且仅当A, B, C中至少一个发生，
A
B
C (或ABC )发生当且仅当 A, B, C同时发生.
这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
归纳:并事件（和事件）
一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事
件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称
这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作
A B或A B .
如图：绿色区域和黄色区域表示
这个并事件.
A
B
i
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； D1 1,2,3 D2 4,5,6
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； E1 1,2 E2 2,3
F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”;
F 2,4,6 G 1,3,5
……
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.
说明：互斥事件与对立事件的区别：
新教材人教A版必修第二册 事件的关系和运算 课件(47张)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
核心素养
1.通过对随机事件的并、交与互斥 1.了解随机事件的并、交与互斥的
的含义的学习，培养数学抽象素 含义．(重点)
养． 2．能结合实例进行随机事件的并、
2．通过随机事件的并、交运算， 交运算．(重点、难点)
培养数学运算素养.
情境 导学 探新 知
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出 现 1 点}；C2＝{出现 2 点}；C3＝{出现 3 点}； C4＝{出现 4 点}；C5＝{出现 5 点}；C6＝{出现 6 点}；D1＝{出现的点数不大于 1}；D2＝{出现 的点数不大于 3}；D3＝{出现的点数不大于 5}；E＝{出现的点数小 于 5}，F＝{出现的点数大于 4}，G＝{出现的点数为偶数)，H＝{出 现的点数为奇数}．
问题：在上述事件中，(1)事件 C1 与事件 C2 的并事件是什么？(2) 事件 D2 与事件 G 及事件 C2 间有什么关系？(3)事件 C1 与事件 C2 间有 什么关系？(4)事件 E 与事件 F 间有什么关系？
1．包含关系
定义
一般地，若事件 A 发生，则事件 B一定发生，我们就称事 件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)
【例 2】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事 件，如：A＝{出现 1 点}，B＝{出现 3 点或 4 点}，C＝{出现的点数 是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上 4 个事件的关系；
(2)求 A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
[思路探究] (1) 分析事件所包含的样本Байду номын сангаас → 判断事件间的关系 (2) 样本点表示各事件 → 进行事件的运算
10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
核心素养
1.通过对随机事件的并、交与互斥 1.了解随机事件的并、交与互斥的
的含义的学习，培养数学抽象素 含义．(重点)
养． 2．能结合实例进行随机事件的并、
2．通过随机事件的并、交运算， 交运算．(重点、难点)
培养数学运算素养.
情境 导学 探新 知
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出 现 1 点}；C2＝{出现 2 点}；C3＝{出现 3 点}； C4＝{出现 4 点}；C5＝{出现 5 点}；C6＝{出现 6 点}；D1＝{出现的点数不大于 1}；D2＝{出现 的点数不大于 3}；D3＝{出现的点数不大于 5}；E＝{出现的点数小 于 5}，F＝{出现的点数大于 4}，G＝{出现的点数为偶数)，H＝{出 现的点数为奇数}．
问题：在上述事件中，(1)事件 C1 与事件 C2 的并事件是什么？(2) 事件 D2 与事件 G 及事件 C2 间有什么关系？(3)事件 C1 与事件 C2 间有 什么关系？(4)事件 E 与事件 F 间有什么关系？
1．包含关系
定义
一般地，若事件 A 发生，则事件 B一定发生，我们就称事 件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)
【例 2】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事 件，如：A＝{出现 1 点}，B＝{出现 3 点或 4 点}，C＝{出现的点数 是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上 4 个事件的关系；
(2)求 A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．
[思路探究] (1) 分析事件所包含的样本Байду номын сангаас → 判断事件间的关系 (2) 样本点表示各事件 → 进行事件的运算
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件3：10.1.2 事件的关系和运算
【规律方法】
概ห้องสมุดไป่ตู้论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
Ω
样本空间(必然事件)
∅
不可能事件
w
基本事件(样本点)
集合论 全集 空集 元素
A －A A⊆B A∪B A∩B A∩B＝∅
随机事件 A 的对立事件 A 发生导致 B 发生 A 与 B 事件的和事件 A 与 B 事件的积事件 互斥，不同时发生
子集 A 的补集 A 是 B 的子集
【题型探究】
题型一 事件关系的判断与集合表示 例 1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出 2 个次品就停 止检查，最多检查 3 个产品． (1)写出该试验的样本空间 Ω，并用样本点表示事件：A＝{有 2 个产品是次品}，B＝{至少有 2 个正品}； (2)用集合的形式表示事件 A∪B； (3)试判断事件 C＝{至少 1 个产品是正品}与事件 B 的关系．
【基础自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 A＝B，则 A，B 同时发生或 A，B 同时不发生．( √ ) (2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．( √ )
(3)互斥事件一定是对立事件．( × )
2．做一做 (1)掷一枚骰子，设事件 A＝{出现的点数不大于 3}，B＝{出现 的点数为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是( ) A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为 2} C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件
(2)一批产品共有 100 件，其中 5 件是次品，95 件是合格品．
从这批产品中任意抽取 5 件，现给出以下四个事件：
事件 A：恰有一件次品；事件 B：至少有两件次品；
事件 C：至少有一件次品；事件 D：至多有一件次品．
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事 件 的 关 系 和运算 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
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2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成 的集合的交集为空集． (2)事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中 由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．
大于事件 A.其中正确命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对
于④A⊆A∪B，即 A 与 B 的和事件包含事件 A，但两个事件
不能比较大小，故④错． 答案：C
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A．A⊆B
B．A∩B＝{出现的点数为 2}
C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件
解析：由题意事件 A 表示出现的点数是 1 或 2 或 3；事
件 B 表示出现的点数是 2 或 4 或 6.故 A∩B＝{出现的点
数为 2}．
答：B
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
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事件间关系的判断 [例 1] 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加 演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它 们是不是对立事件： (1)“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”； (2)“至少有 1 名男生”与“全是男生”； (3)“至少有 1 名男生”与“全是女生”； (4)“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”．
斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中 靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不 中靶”与之互斥．
答案：D
4．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互
斥；③互斥事件不一定对立；④事件 A 与 B 的和事件一定
[思考发现]
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为 A，向上面至少有
一枚是正面为事件 B，则有
()
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A＝B
D．A<B
解析：由事件的包含关系知 A⊆B.
答案：A
2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件 A＝{出现的点数不大于 3}，
B＝{出现的点数为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是( )
的样本点或者在事件 A 中， A＋B) 件(和事件)
或者在事件 B 中
事件 A 与事件 B 同时发生， 事件 A 与事
这样的一个事件中的样本 A∩B(或 件 B 的交事
点既在事件 A 中，也在事件 AB) 件(积事件)
B中
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图示
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[说明] 1.互斥事件与对立事件的区别与联系 (1)区别：两个事件 A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：①若 事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发 生；③事件 A，B 都不发生． 而两个事件 A，B 是对立事件，仅有前两种情况，因此事件 A 与 B 是对立事件，则 A∪B 是必然事件，但若 A 与 B 是互斥事件，则不一定 是必然事件，即事件 A 的对立事件只有一个，而事件 A 的互斥事件可 以有多个． (2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而 事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
事件 事件称为 A 的对立事件
∅且 A∪
A ＝Ω
图示
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2．事件的运算
定义
记法
事件 A 与事件 B 至少有一 事件 A 与事
个发生，这样的一个事件中 A∪B(或 件 B 的并事
10 ．1.2 事件的关系和运算
新课程标准 1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例
进行随机事件的并、交运算． 2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性质，掌握随机事
件概率的运算法则. 新学法解读 借助集合间的关系及运算理解事件的相等与包含、事件的和 (并)、事件的积(交)以及事件的互斥与对立.
5．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球观察颜色．设 事件 A 为“所取两个球至少有一个白球”，事件 B 为“所取 两个恰有一个红球”，则 A∩B 表示的事件为________． 解析：因为从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球， 这一随机试验的样本空间 Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}， 且 A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以 A∩B＝ {(白、红)}．故 A∩B 表示的事件为恰有一个红球． 答案：恰有一个红球
图示
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定义
记法
互斥 给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不 AB＝∅或 事件 能同时发生，则称 A 与 B 互斥 A∩B＝∅
A
给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω
对立
A∩ A ＝
中所有不属于 A 的样本点组成的
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[系统归纳]
1．事件的关系
定义
记法
包含 一般地，如果事件 A 发生时，事件 关系 B 一 定 发 生 ， 则 称 “A 包 含 于
B”(或“B 包含 A”)
A⊆B 或 B⊇A
如果事件 A 发生时，事件 B 一定
发生；而且事件 B 发生时，事件 A
相等 也一定发生，则称“A 与 B 相等”， 关系 记作 A＝B.
A＝B
A＝B⇔A⊆B 且 B⊆A⇔A 与 B 有
相同的样本点
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2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成 的集合的交集为空集． (2)事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中 由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．
大于事件 A.其中正确命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对
于④A⊆A∪B，即 A 与 B 的和事件包含事件 A，但两个事件
不能比较大小，故④错． 答案：C
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A．A⊆B
B．A∩B＝{出现的点数为 2}
C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件
解析：由题意事件 A 表示出现的点数是 1 或 2 或 3；事
件 B 表示出现的点数是 2 或 4 或 6.故 A∩B＝{出现的点
数为 2}．
答：B
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
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事件间关系的判断 [例 1] 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加 演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它 们是不是对立事件： (1)“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”； (2)“至少有 1 名男生”与“全是男生”； (3)“至少有 1 名男生”与“全是女生”； (4)“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”．
斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中 靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不 中靶”与之互斥．
答案：D
4．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互
斥；③互斥事件不一定对立；④事件 A 与 B 的和事件一定
[思考发现]
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为 A，向上面至少有
一枚是正面为事件 B，则有
()
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A＝B
D．A<B
解析：由事件的包含关系知 A⊆B.
答案：A
2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件 A＝{出现的点数不大于 3}，
B＝{出现的点数为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是( )
的样本点或者在事件 A 中， A＋B) 件(和事件)
或者在事件 B 中
事件 A 与事件 B 同时发生， 事件 A 与事
这样的一个事件中的样本 A∩B(或 件 B 的交事
点既在事件 A 中，也在事件 AB) 件(积事件)
B中
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[说明] 1.互斥事件与对立事件的区别与联系 (1)区别：两个事件 A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：①若 事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发 生；③事件 A，B 都不发生． 而两个事件 A，B 是对立事件，仅有前两种情况，因此事件 A 与 B 是对立事件，则 A∪B 是必然事件，但若 A 与 B 是互斥事件，则不一定 是必然事件，即事件 A 的对立事件只有一个，而事件 A 的互斥事件可 以有多个． (2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而 事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
事件 事件称为 A 的对立事件
∅且 A∪
A ＝Ω
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2．事件的运算
定义
记法
事件 A 与事件 B 至少有一 事件 A 与事
个发生，这样的一个事件中 A∪B(或 件 B 的并事
10 ．1.2 事件的关系和运算
新课程标准 1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例
进行随机事件的并、交运算． 2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性质，掌握随机事
件概率的运算法则. 新学法解读 借助集合间的关系及运算理解事件的相等与包含、事件的和 (并)、事件的积(交)以及事件的互斥与对立.
5．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球观察颜色．设 事件 A 为“所取两个球至少有一个白球”，事件 B 为“所取 两个恰有一个红球”，则 A∩B 表示的事件为________． 解析：因为从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球， 这一随机试验的样本空间 Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}， 且 A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以 A∩B＝ {(白、红)}．故 A∩B 表示的事件为恰有一个红球． 答案：恰有一个红球
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定义
记法
互斥 给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不 AB＝∅或 事件 能同时发生，则称 A 与 B 互斥 A∩B＝∅
A
给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω
对立
A∩ A ＝
中所有不属于 A 的样本点组成的
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[系统归纳]
1．事件的关系
定义
记法
包含 一般地，如果事件 A 发生时，事件 关系 B 一 定 发 生 ， 则 称 “A 包 含 于
B”(或“B 包含 A”)
A⊆B 或 B⊇A
如果事件 A 发生时，事件 B 一定
发生；而且事件 B 发生时，事件 A
相等 也一定发生，则称“A 与 B 相等”， 关系 记作 A＝B.
A＝B
A＝B⇔A⊆B 且 B⊆A⇔A 与 B 有
相同的样本点
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