专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野

【例题精讲】

题型一、等腰三角形存在性问题

例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．

【答案】2.

【解析】

解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，

∴AC=2AB=4，BC=√42−22=2√3，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF=1

2

BC=√3，BF=

1

2

AC=2，EF∥BC，

由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t，

①当PF =FQ 时，

则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3；

②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ，

则PF =2DF ， ∵BF =CF ，

∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°，

则DF DQ ，PF ，

-t 2-2t ）

解得：t =

611

； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°，

而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立；

故答案为：2-√3或

611

+． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．

（1）求BC边的长；

（2）当∥ABP为直角三角形时，求t的值；

（3）当∥ABP为等腰三角形时，求t的值．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）在Rt∥ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16，∥BC=4（cm）；

（2）由题意知BP=t cm，

∥当∥APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，

即t=4；

∥当∥BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，

AP2=32+（t-4）2，

在Rt∥BAP中，AB2+AP2=BP2，

即：52+[32+（t-4）2]=t2，

解得：t=25

4

，

当∥ABP为直角三角形时，t=4或t=25

4

；

（3）如图所示，

∥当AB=BP时，

t=5；

∥当AB=AP时，BP=2BC=8cm，

t=8；

∥当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=（4-t）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，AP2=AC2+CP2，

所以t2=32+（4-t）2，

解得：t=25

8

，

综上所述：当∥ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=25

8

．

例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当∥ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．

【答案】（8，4）或（5

2

，7）.

【解析】

解：∥四边形OABC是矩形，B（8，7），

∥OA=BC=8，OC=AB=7，

∥D（5，0），

∥OD=5，

∥点P是边AB或边BC上的一点，

∥当点P在AB边时，OD=DP=5，

∥AD=3，

由勾股定理得：P A=√52−32=4，

∥P（8，4）．

当点P在边BC上时，只有PO=PD，此时P（5

2

，7）．

故答案为：（8，4）或（5

2

，7）．

题型二、直角三角形存在性问题

例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，∥B=90°，AC=60，∥A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：在ΔDFC中，∥DFC=90°，∥A=60°，DC=4t，

∥DF=2t

又∥AE=2t

∥AE=DF；

（2）能；

理由如下：

∥AB∥BC，DF∥BC，

∥AE∥DF．

又AE=DF，

∥ 四边形AEFD为平行四边形．

∥∥A=60°，AC=60，

∥AB=30，BC

∥AD=AC-DC=60-4t，

∥平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD

∥2t=60-4t，

解得：t=10

即当t=10时，四边形AEFD为菱形；

（3）当t=7.5或12时，ΔDEF为直角三角形；

理由如下：

∥∥EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．

在RtΔAED中，∥CDF=∥A=60°，

∥AD=2AE．即60-4t=4t，

∥t=7.5

∥∥DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，

∥∥ADE=∥DEF=90°．

∥∥C=90°-∥A=30°

可得：60-4t=t

解得：t=12

∥∥EFD=90°时，

∥DF∥BC，

∥点E运动到点B处，用了AB÷2=15秒，点D就和点A重合，点F也就和点B重合，点D，E，F不能构成三角形．此种情况不存在；

综上所述，当t=7.5或12时，∥DEF为直角三角形．

题型三、等腰直角三角形存在性问题

例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt∥ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则∥OA的长为______；∥点B的坐标为______．（直接写结果）

（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt∥ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．

（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA∥y轴，垂足为点A，作BC∥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt∥APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．