余式定理
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余式定理与因式定理
例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。
(2)设1537935699357)(2
345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。
类1. 15)(2
4-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。
类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123
3
4
5
。
类3. 以1+x 除5102610019992000
++-+x x x x
的余式为 。
类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322
-+x x 之
余式为25+x ，则)()15()()3(2
x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。
类5. 已之3
221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求
)()(x xg x h +除以1+x 的余式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。
例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。
(2)多项式)(x f 除以2-x ，322
++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以
)32)(2(2++-x x x 之余式。
类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。
类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。
类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12
++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以
)1)(2(2++-x x x 之余式。
Ans: 1. 12-x ，2. 12++x x ，3.222
++x x 。
例3. 多项式)(x f 以2)32(+x 及2
)2(-x 除之余式分别为9978-x ，6+x （deg 4)(≥x f ）：
(1)今以)2()32(-⋅+x x 除)(x f 之余式为 。 (2)今以)2()32(2
-+x x 除)
(x f
之余式为 。
类1. 多项式)(x f ，3)(deg ≥x f ，以2)1(+x 除之，余式为32+x ，以2)3(-x 除之余式为
23+-x ，试求(1)以)3)(1(-+x x 除之余式为 ，(2)以)3()1(2-+x x 除之余式
为 。
Ans: 1. (1)12--x ,(2)22
+-x 。
例4. 次数不小于3之多项式)(x f 以))((c x b x --，))((a x c x --，))((b x a x --除之余式
分别为13-x ，1+x ，32+x (1)求c b a ,,。(2)若)(x f 以))()((a x c x b x ---除之余
式为何？
例5. )(x f 是一四次多项式，以3)1(-x 除之得余式3，以2-x 除之得余式6，以2+x 除之
得余式138，求?)(=x f （须展开为降次排列）
类1. 已知3)(deg =x f ，以12-x 除之余式为4+x ，以12
+x 除之余式为2+-x ，求)(x f 。 Ans: 1. 32
3
++x x 。
例6. 多项式342)(72637-+-=x x x x f (1)以12+x 除)(x f 的余式为 。 (2)以
13-x 除)(x f 的余式为 。 (3)以15+x 除)(x f 的余式为 。
类1. 设1)(4893662000
-++++=x x x x x
x f ，则)(x f 除以(1)12-x 的余式为 ，
(2)13
-x 的余式为 。 Ans: 1. (2)22+x ,(2)x x 222
+。
例7. 1232)(23810254351-++-+-++=x x x x x x x x x f ，求12++x x 除)(x f 之余
式 。
类1. 设x x x x
x f -+-=113248
35)(，(1)求)(x f 除以12+-x x 的余式，(2)求)(x f 除以
1234++++x x x x 的余式。
类2. 设547)(8
2259+-+=x x x x f ，求)(x f 除以1234+-+-x x x x 的余式。
类3. 求1132132
10
+⨯+除以113132
4
+-之余数= 。 Ans: 1. (1)99+-x ,(2)x x x 252
3
+-，2. 6832
3
+-+x x x ，3. 171。
例8. 以322++x x 除32)43(++x x 所得之余式为 。
类1. 以322
++x x 除10
2)42(++x x 的余式为 。 类2. 3
2)342(++x x 除以422
++x x 的余式为 。 类3. 8
)2(+x 除以342
++x x 的余式为 。
Ans: 1. 1，2. 125-，3. 1。