余式定理
馀式定理
１§餘式定理與因式定理1.餘式定理：多項式)(x f 除以α-x 之餘式為)(αf ，推論：多項式)(x f 除以b ax -之餘式)(ab f 。
2.因式、倍式：設)(),(x g x f 為兩多項式，且0)(≠x g ，若存在)(x q 使得)()()(x q x g x f ⋅=，則稱)(x f 為)(x g 的倍式，)(x g 為)(x f 的因式。
3.因式定理：設R b a ∈,，0≠a ，)(x f 為一多項式，則b ax -為)(x f 的因式⇔0(=ab f 。
4.恆等式：0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ；若有相異的121,,,,+n n αααα 使得 0)()()()(121=====+n n f f f f αααα ，則0)(=x f1.設deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3，f (1) =- 9，則f (0) =。
【解答】- 13 【詳解】deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3則f (x) - 3 =a (x - 2)(x + 1)(x - 4)，即f (x) =a (x - 2)(x + 1)(x - 4) + 3x = 1代入⇒f (1) =a ⨯ (-1) ⨯ 2 ⨯ (- 3) + 3 =- 9⇒ a =- 2得f (x) =- 2(x + 2)(x + 1)(x - 4) + 3故f (0) =- 2 ⨯ (- 2) ⨯ 1 ⨯ (- 4) + 3 =- 13隨堂練習.若三次多項式g (x)的g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，g (1) = 4，試問(1) g (x) =。
(2)若多項式h (x) =x4-x2+ 1，則3 g(x) - 4h (x)被x - 1除的餘式為。
【解答】(1) - 2x (x + 1)(x - 2)(2) 8【詳解】(1)由g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，deg g (x) = 3，可設g (x) =ax(x + 1)(x - 2)又g (1) =a ⨯ 2 ⨯ (-1) = 4⇒ a =- 2，故g (x) =- 2x (x + 1)(x - 2)(2)令F (x) = 3g (x) - 4h (x)則所求餘式為F (1) = 3g (1) - 4h(1) = 3 ⨯ 4 - 4 ⨯ (1 - 1 + 1) = 12 - 4 = 82.deg f (x) = 2且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，則f (2002) =。
余式定理的推广
余式定理的推广余式定理是一个重要的数学定理，它指出，任何正整数都可以写成四个平方数之和，这四个平方数可以是不同的，或者完全相同。
它也是费马定理的特例。
它被认为是一个神奇的定理，因为它不仅有趣，而且非常实用。
然而，余式定理满足特定条件，而特定条件是正整数。
但很多时候，我们不仅希望推广余式定理，也希望扩展到负整数和小数的情况。
首先，让我们来看看如何推广到负整数的情况。
一般来说，负整数余式定理可以表示为：对于任意的负整数n，都有n=a+b+c+d，其中a,b,c,d是非负整数，并且存在至少一个a，b，c，d，且abcd的积为n的相反数的绝对值。
同样，我们也可以将余式定理推广到小数的情况。
一般来说，小数余式定理可以表示为：对于任意小数x，都有x=a+b+c+d+e..，其中a,b,c,d,e..是非负整数，并且存在至少一个a，b，c，d，e..，且abcd和ea..e的积为x的绝对值。
当我们把余式定理推广到负整数和小数时，它仍然称之为“余式定理”。
我们必须明确，余式定理仍然是一个重要的数学定理，它的推广仅仅是为了更好地理解其可能的应用。
另一方面，余式定理的推广也可能会有一些更深入的研究应用。
比如，如果我们知道余式定理可以推广到负整数和小数，那么我们就可以用它来推断一些更复杂的数学结论，因为它可以帮助我们解决一些以前很难解决的非常复杂的数学问题。
此外，余式定理的推广也可以应用于抽象代数学、密码学以及信息安全领域。
比如，在密码学中，余式定理可以用来进行加密以及解密，因为它的推广可以帮助我们解决大量更复杂的问题。
总之，余式定理是一个重要的数学定理，它的推广可以使其应用得更广泛，不仅仅是正整数应用，而且还可以扩展到负整数和小数的情况。
它对于数学，抽象代数学，密码学以及信息安全领域的研究都具有重要意义，从而带来了巨大的发展潜力。
余式定理若推荐优秀PPT
◎ 範例一
(1)設 f (x) x5 6x4 4x3 25x2 30x 20，則 f ( 7)
。
(2)試計算：77 50 75 6 74 4 73 25 72 30 7 8的值為 (A) 28 (B) －25 (C) 22 (D) 18 (E) 21 。_____________
f (b) 0。 a
◎ 範例二
設 f (x) 3x4 2x3 10x2 3x 2，下列何者為 f (x) 的因式？ (A) x 2 (B) x 3 (C) 2x 1 (D) 3x 1 (E) 3x 2。 ________________
餘式定理與因式定理
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2.因式定理：
餘式定理與因式定理
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1.餘式定理：
◎ 範例一
(1)設 f (x) x5 6x4 4x3 25x2 30x 20，則 f ( 7) 6
。
(2)試計算：77 50 75 6 74 4 73 25 72 30 7 12 的值為 (A) 28 (B) －25 (C) 22 (D) 18 (E) 21 。__(_C_)_________
◎ 範例二
設 f (x) 3x4 2x3 10x2 3x 2，下列何者為 f (x) 的因式？ (A) x 2 (B) x 3 (C) 2x 1 (D) 3x 1 (E) 3x 2。 (A)(D) ________________
餘式定理與因式定理
（a≠0）為
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。
常見的餘式求法如下：
1. 因式定理：設 f (x) 是多項式，c 為常數，若 x c 是 f (x) 的因式， 則 f (c) = 0。反之，若 f (c) = 0，則 f (x) 必含 x c 的因式。
余式定理推导过程
余式定理推导过程余式定理是整式除法的一个重要定理，它可以用来计算一个多项式除以另一个多项式后的余数。
余式定理的推导过程如下：设有两个多项式：被除式为f(x)，除式为g(x)，其中f(x)和g(x)都是实系数多项式，且g(x)≠0。
余式定理的主要内容是：对于任意实数a，将a代入f(x)中得到一个实数f(a)，再将a代入g(x)中得到一个实数g(a)，则存在唯一的一个实数r，使得f(x)=(x-a)×q(x)+r其中q(x)是一个实系数多项式，r是一个实数。
也就是说，多项式f(x)被g(x)除所得的余数是r。
这个等式也可以表示成f(a)=g(a)×q(a)+r的形式。
首先，考虑最简单的情况，即 g(x) 是一个一次多项式 (ax + b)。
由于 g(x) = (ax + b)，将 a 代入 f(x) 可得：f(a) = a × a + b。
所以，对于一次多项式 g(x)，f(a) 除以 g(a) 所得的余数就是 f(a)。
接下来，考虑g(x)是一个二次多项式。
设 g(x) = x^2 + px + q，假设 f(x) 是一个任意的多项式。
由余式定理可得：f(x)=(x-a)×q(x)+r将 g(x) 代入等式中可得：f(x) = (x-a) × (x^2 + px + q) + r对等式进行展开得：f(x) = x^3 + px^2 + qx - ax^2 - apx - aq + r整理得：f(x) = x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r根据多项式的相等，可得：x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r = f(x)由此可推出：x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r 的系数分别为f(x) 的系数。
根据这个等式，可知：r = -aq + r。
由于 -aq 为常数，所以对任意的 a，r 的值不变，可以记作 r(a)。
余式定理的推广
余式定理的推广余式定理是一个重要的数学定理，它得名于18世纪的法国数学家法拉第（Lagrange）。
它说明了两个相关的整数之和可以表示为某个整数的倍数。
这种定理的推广广泛用于数学及其他领域，因此，本文旨在阐释它的概念及其推广后出现的结果。
首先，让我们来回顾一下原始余式定理。
它认为，任何两个正整数a,b之和能够表示为某个整数n的倍数，即a +b = nk其中n是一个常数，而k代表要求所求的一个整数。
例如，9和25之和是34，因此，可以将其写成9 + 25 = 34 1根据余式定理，求出k的值：k = (a + b) / n也就是说，9和25之和等于34的一倍。
接下来，让我们看看余式定理的推广。
它指的是，两个相关的整数之和有可能表示为某个整数的不止一倍，而是可能表示为多个整数的倍数。
例如，9 + 25 = 5k + 6j其中k和j是要求所求的整数，n仍然是一个常数。
余式定理的推广还涉及到更多的相关整数，既可以是两个，也可以是三个，甚至更多。
例如，a +b +c = nk + mj其中k和j是要求所求的整数，n和m是常数。
余式定理的推广可以应用于多种情况，比如，在线性同余方程的解决中，可以利用余式定理的推广解决同余方程的更复杂情况。
而比如在几何、代数、分析等数学领域，余式定理的推广也被广泛应用。
此外，余式定理的推广还可以应用于分布学、数学物理学等其它领域。
在数学物理学中，余数定理的推广可以用来描述物理系统中随机移动粒子的规律。
总之，余式定理提供了一种简单有效的方法来描述和解决数学和其他领域中的问题。
因此，对此定理的理解和掌握将有助于我们更好地理解和解决上述问题。
余式定理
4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。
(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。
類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為 。
類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。
類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為 。
類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為 。
類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。
例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。
(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。
類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為 。
類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為 。
類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。
因式定理与余式定理
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述
余数定理总结归纳
余数定理总结归纳余数定理（又称为模运算定理或余式定理）是数论中的重要概念之一，由数学家费马于17世纪提出。
该定理描述了当一个整数被除以另一个不为零的整数时，所得到的余数具有一定的规律性。
本文将对余数定理进行总结归纳，并介绍其应用。
一、余数定理的基本定义余数定理指出，当一个整数a被除以一个不为零的整数b时，所得到的余数可用a和b的关系表达出来。
具体而言，设整数a和b满足a = kb + r，其中k为整数，r为余数，且满足0 ≤ r < |b|。
则称a除以b的商为k，余数为r，即a ≡ r (mod b)。
二、余数定理的特性根据余数定理的定义，我们可以总结出一些重要特性：1. 同余关系：如果两个整数a和b满足a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a和b对于模m同余，即r1 ≡ r2 (mod m)。
这意味着当两个整数除以同一个模m时，它们的余数相等。
2. 模的加法性质：设a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a + b ≡ (r1 + r2) (mod m)。
也就是说，将两个同余的整数相加后，其和仍然与模m 同余。
3. 模的乘法性质：设a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a × b ≡ (r1 × r2) (mod m)。
这表明两个同余的整数相乘后，其积与模m同余。
4. 模的幂次性质：对于整数a和b，如果a ≡ r (mod m)，则a^b ≡r^b (mod m)。
即同余关系在幂运算中仍然成立。
三、余数定理的应用余数定理在数论和代数等领域有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用场景：1. 素数判定：根据余数定理，如果一个整数a ≡ 0 (mod p)，其中p为素数，那么a一定是p的倍数，即a是一个合数。
因此，可以利用余数定理来进行素数的判定。
2. 同余方程：余数定理可以用于解决同余方程，即形如ax ≡ b (mod m)的方程。
余式定理精练
∴选(1)(2)(4)﹒
5.设多项式 f (x)除以 x 1，x2 2x 3 之余式依次为 2，4x 6，则 f (x)除以(x 1)(x2 2x 3)
的余式为
。
【解答】f (x) (x 1)(x2 2x 3) h(x) a(x2 2x 3) 4x 6
f (1) 2a + 10 2 a 4
5x
1
∴选(A)(B)(C)(D)
7.设 f (x)除以(x 1)2 的余式是 x 2，除以(x 2)2 的余式是 3x 4，则 f (x)除以(x 1)(x 2)2
的余式是
。
【解答】已知
f f
(x) (x)
( (
x x
1)2 q1 (x) x 2)2 q2 (x) 3x
2
f (1) a b 9
f
(2)
2a
b
16
a 7 b 2
∴
余式 7x 2
随堂练习.（
）设 f (x) 2x3 ax2 bx c﹐若 f (x)除以 x2 4x 1 的余式为 7x 1﹐
f (x)除以 x 1 的余式为 2﹐则 f (x)除以 x 1 的余式为 (1) 12 (2) 6 (3)6 (4)12﹒
∴ 余式为 4x2 12x 6
6.设 xf (x)除以 x2 x 1 的余式为 3x 2﹐求 f (x)除以 x2 x 1 的余式﹒ 【解答】设 f (x) (x2 x 1)q (x) (ax b)﹐则
xf (x) (x2 x 1)[xq (x)] (ax2 bx) (x2 x 1)[xq (x)] a(x2 x 1) [(b a)x a] (x2 x 1)[xq (x) a] [(b a)x a]
4 设 f (x) h (x)(x 1)2(x 2) 2 (mx n)(x 1) 2 (3x 2)
余式定理练习题
余式定理练习题余式定理是高中数学中的一个重要定理，用于解决多项式除法和余数的相关问题。
它在代数学中有广泛的应用，因此理解并掌握余式定理是十分重要的。
为了帮助读者更好地理解和运用余式定理，本文将介绍一些相关的练习题。
1. 练习题一已知多项式f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3，求f(x)除以(x-1)的余数。
解答：根据余式定理，我们可以通过将x-1代入多项式f(x)后计算得到余数。
即将x-1代入f(x)，得到：f(1) = 1^3 + 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 1 + 2 - 5 + 3 = 1因此，f(x)除以(x-1)的余数为1。
2. 练习题二已知多项式g(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x - 2，求f(x)除以(x+2)的余数。
解答：与上一题类似，我们将x+2代入多项式g(x)后计算得到余数。
即将x+2代入g(x)，得到：g(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - 4(-2) - 2 = 32 + 24 + 20 + 8 - 2 = 82因此，g(x)除以(x+2)的余数为82。
3. 练习题三已知多项式h(x) = 3x^5 - 2x^4 + 7x^3 - 6x^2 + x + 4，求h(x)除以(x-2)的余数。
解答：同样地，我们将x-2代入多项式h(x)后计算得到余数。
即将x-2代入h(x)，得到：h(2) = 3(2)^5 - 2(2)^4 + 7(2)^3 - 6(2)^2 + 2 + 4 = 96因此，h(x)除以(x-2)的余数为96。
通过这些练习题的解答，我们可以发现余式定理的运用非常简便。
只需要将待除式中的变量替换成除数并进行计算，我们就能得到所求的余数。
这个方法十分便捷，可以大大简化计算的过程。
需要注意的是，余式定理只适用于一元多项式，且要求除数的次数低于被除式的次数。
如果除数的次数高于被除式的次数，那么余数将等于被除式本身。
余式与因式定理知识点总结及练习
a
因式定理：设 f(x)为多项式﹐axb 为一次多项式 (1)若 f b =0﹐则 axb 是 f(x)的因式。
a
(2)若 axb 是 f(x)的因式﹐则 f b =0。 a
例 1：设 f(x)=x3+2x2+5x3﹐分别求 f(x)除以 x+2 与 2x1 的余式
若小明没有计算错误，求 a+b+c+d 的值﹒
一次因式？
【练习题】已知 a 为常数，且 x3 是 f(x)=x3+ax9 的因式，求 f(x)除以 x+1 的余式。
例 5：已知三次多项式 f(x)满足 f(1)=f(2)=0，f(3)=16 与 f(4)=66， 求 f(x)。
【练习题】已知 f(x)是三次多项式，满足 f(0)=f(1)=f(2)=0 且 f(3)=24， 求 f(x)=？
3. 已知 a、b 为常数，设多项式 f(x)=x3+3ax2+bx2 可被 x1
整除，且
以 x2 除 f(x)得余式为 2ห้องสมุดไป่ตู้求 a、b 的值﹒
4. 计算 1257．12458．123+16．122465．12+100 的值。
5. 设 f(x)为三次多项式
(1)已知 f(1)=f(2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求 f(x)=？
11.设 a 为正整数，且多项式 f(x)=x3ax2+x2 有整系数一次因 式，求 a=？
12. 下式是小明利用综合除法计算三次多项式 f(x)除以 x1 的算式﹐因 不小心将饮料翻倒在计算纸上，所以只能辨 识部分数字：（无法辨识的数字以英文字母代替）
余式定理及因式定理的应用
初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二( )班姓名：______________________________ 学号：_一、知识要点：1、f X的意义：已知多项式f x，若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x = c的多项式值，用f C表示。
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f X除以g x所得的商式为q x，余式为r x，则：f x =g x x q x +r x3、余式定理：多项式f(x)除以x-b之余式为f(b)；多项式f(x)除以ax-b之余式f(b)。
a4、因式定理：设a, b R , a=0 , f (x)为关于x的多项式，则x「b为f (x)的因式=f(b)=0;bax -b 为f(x)的因式=f ( )=0。
a二、余式定理应用：1、( 1)已知f(x) =2x33x -1 ,求f (x)除以(x -1)、2x 1 所得的余式；(2)设f (x)=2 x2+kx+10 除以2x - 1 余5，求k 的值；(3)以x2- 3x - 4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与-4x+7,求以x - 4除f(x)+g(x) 所得的余式。
2、设f (x) = x5- 6x4- 4x3- 25x230x - 6，求f ⑺。
3、计算：(1)125 -7 124-58 12316 122-460 12 -200 ；(2)115 - 4 114- 72 113-56 11215 11-L 5，则以 2x+1 除 f (x ).g (x ) 2 2 之余式是什么？2 2(2) f (X )除以x -1之余式为3x 2，且g(x)除以x ，2x-3之余式为5x 2，则x-1 除(x 3) f (x) (5x 2 1) g(x)的余式是什么？三、因式定理应用：1、设x - 2为f (x )=3x 3+x 2 - kx +5的因式，试求 k 的值。
2、已知x +1与x - 2都是x 4「3ax 2 • bx • 4的因式，试求a 与b 的值。
余式定理
§4-2 餘式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)⋅q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(-b a)。
f(a)的雙重意義：①多項函數f(x)在x=a的函數值。
②多項式f(x)除以x-a的餘式。
[例題1]求下列二小題：(1)求(x3+2x2-x-4)3除以x+3的餘式。
(2)設f(x)=1250x6-2790x5-3125x4+707x3+100x2+45x-62，則f(3)=？Ans：(1)-1000 (2)217[例題2]二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。
Ans：18(練習1)試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。
Ans：51(練習2)設二多項式f(x),g(x)以2x2-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？Ans：19 2(練習3)f(x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。
Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x-3)，再利用餘式定理。
[例題3]試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。
(2)設多項式f(x)不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以(x-1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除之餘-2，則求以(x-1)(x+1)(x-2)除f(x)的餘式。
多项式的长除法与余式定理
多项式的长除法与余式定理多项式的长除法是高中数学中的重要概念，它是解决多项式除法问题的一种有效方法。
同时，余式定理是多项式除法的一个重要结论，它在解决多项式问题时起到了重要的作用。
本文将详细介绍多项式的长除法和余式定理，并通过实例进行说明。
一、多项式的长除法多项式的长除法是一种将一个多项式除以另一个多项式的方法，它的步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂排列。
2. 将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的最高次项。
3. 用商的最高次项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
4. 重复步骤2和步骤3，直到无法再进行下去。
5. 当无法再进行下去时，所得的多项式即为最终的商，而最后一次相减得到的多项式即为最终的余数。
通过这种方法，我们可以将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
长除法的步骤繁琐，但是它是一种非常有效的方法，可以帮助我们解决各种多项式问题。
例如，我们将多项式x^3+2x^2-3x+1除以x-1，按照长除法的步骤进行计算：首先，将两个多项式按照降幂排列，得到x^3+2x^2-3x+1÷x-1。
然后，将被除式的最高次项x^3除以除式的最高次项x，得到商的最高次项x^2。
接下来，用商的最高次项x^2乘以除式x-1，得到x^3-x^2。
将x^3+2x^2-3x+1与x^3-x^2相减，得到3x^2-3x+1。
继续进行下一步，将3x^2除以x，得到3x。
用3x乘以除式x-1，得到3x^2-3x。
将3x^2-3x+1与3x^2-3x相减，得到1。
此时，无法再进行下去，所以最终的商为x^2+3x+3，余数为1。
通过长除法，我们得到了多项式的商和余数。
二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要结论，它表明，当一个多项式f(x)除以(x-a)时，所得的余数等于将a代入f(x)中所得的值。
换句话说，如果一个多项式f(x)除以(x-a)的余数为0，那么a就是f(x)的一个根。
例如，我们将多项式f(x)=x^3+2x^2-3x+1除以(x-1)时，所得的余数为1。
余式定理
餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。
有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。
餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。
f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。
(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。
範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為 。
解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。
範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為 。
解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式為何？解：x2+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1)(x2+3x+2)3= ( (x2+2x+3) + (x-1) )3= (x2+2x+3)3+ 3(x2+2x+3)2(x-1) + 3 (x2+2x+3)(x-1)2+ (x-1)3求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式= 求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x2-3x-4，2x2-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f(x)以2x2-9x+4除之餘式為何？解：f(x) = (x2-3x-4) ×p(x) + 4x-1 = (x-4)(x+1) ×p(x) + 4x-1f(x) = (2x2-3x+1) ×q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) ×q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x2-9x+4) ×S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) ×S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以2x2-9x+4除之餘式為2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) ×p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) ×q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c我們有f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c。
余式定理,因式定理
余式定理之袁州冬雪创作1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r.如果多项式r=0，那末多项式f(x)必定含有因式(x-a).反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那末，r=0.2概念当一个多项式f(x) 除以(x – a) 时，所得的余数等于f(a).例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4.3推论当一个多项式 f(x) 除以 (mx – n) 时，所得的余数等于f(n/m).例如：求当 9x^2+6x–7 除以 (3x + 1) 时所得的余数.设 f(x) = 9x^2 + 6x – 7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8. 4例题（全国港澳台华侨结合招生测验题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x²+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16.因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那末多项式f(x)必定含有因式x-a.反过来，如果f(x)含有因式x-a，那末，f(a)=0.2例题如图，此题可以操纵完全立方公式解答，但较为繁琐.仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0. 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（连系赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（连系因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±½），再用待定系数法（连系赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样便可以较便当的分解因式了.同时，将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的停止因式分解，也可以用来断定可否停止因式分解.4多项式的因式分解因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题.从定理的推论成果，这些问题基本上是等价的.若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程.方法如下：先设法找出多项式的一个零点.操纵因式定理确认是多项式的因式.操纵长除法计算多项式.中，所有知足条件的根都是方程式的根.因为的多项式阶数较要小.因此要找出多项式的零点能够会比较简单.别的欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式[1]推论：（一）若多项式各项系数为0，则一定有（x-1）因式（二）若多项式奇，偶次项系数和相等，则一定有（X+1）项更多内容参考《比赛自招（一）》8页。
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余式定理与因式定理
例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。
(2)设1537935699357)(2
345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。
类1. 15)(2
4-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。
类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123
3
4
5。
类3. 以1+x 除5102610019992000
++-+x x x x
的余式为 。
类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322
-+x x 之
余式为25+x ，则)()15()()3(2
x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。
类5. 已之3
221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求
)()(x xg x h +除以1+x 的余式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。
例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。
(2)多项式)(x f 除以2-x ，322
++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以
)32)(2(2++-x x x 之余式。
类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。
类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。
类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12
++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以
)1)(2(2++-x x x 之余式。
Ans: 1. 12-x ，2. 12++x x ，3.222
++x x 。
例3. 多项式)(x f 以2)32(+x 及2
)2(-x 除之余式分别为9978-x ，6+x （deg 4)(≥x f ）：
(1)今以)2()32(-⋅+x x 除)(x f 之余式为 。
(2)今以)2()32(2
-+x x 除)
(x f
之余式为 。
类1. 多项式)(x f ，3)(deg ≥x f ，以2)1(+x 除之，余式为32+x ，以2)3(-x 除之余式为
23+-x ，试求(1)以)3)(1(-+x x 除之余式为 ，(2)以)3()1(2-+x x 除之余式
为 。
Ans: 1. (1)12--x ,(2)22
+-x 。
例4. 次数不小于3之多项式)(x f 以))((c x b x --，))((a x c x --，))((b x a x --除之余式
分别为13-x ，1+x ，32+x (1)求c b a ,,。
(2)若)(x f 以))()((a x c x b x ---除之余
式为何？
例5. )(x f 是一四次多项式，以3)1(-x 除之得余式3，以2-x 除之得余式6，以2+x 除之
得余式138，求?)(=x f （须展开为降次排列）
类1. 已知3)(deg =x f ，以12-x 除之余式为4+x ，以12
+x 除之余式为2+-x ，求)(x f 。
Ans: 1. 32
3
++x x 。
例6. 多项式342)(72637-+-=x x x x f (1)以12+x 除)(x f 的余式为 。
(2)以
13-x 除)(x f 的余式为 。
(3)以15+x 除)(x f 的余式为 。
类1. 设1)(4893662000
-++++=x x x x x
x f ，则)(x f 除以(1)12-x 的余式为 ，
(2)13
-x 的余式为 。
Ans: 1. (2)22+x ,(2)x x 222
+。
例7. 1232)(23810254351-++-+-++=x x x x x x x x x f ，求12++x x 除)(x f 之余
式 。
类1. 设x x x x
x f -+-=113248
35)(，(1)求)(x f 除以12+-x x 的余式，(2)求)(x f 除以
1234++++x x x x 的余式。
类2. 设547)(8
2259+-+=x x x x f ，求)(x f 除以1234+-+-x x x x 的余式。
类3. 求1132132
10
+⨯+除以113132
4
+-之余数= 。
Ans: 1. (1)99+-x ,(2)x x x 252
3
+-，2. 6832
3
+-+x x x ，3. 171。
例8. 以322++x x 除32)43(++x x 所得之余式为 。
类1. 以322
++x x 除10
2)42(++x x 的余式为 。
类2. 3
2)342(++x x 除以422
++x x 的余式为 。
类3. 8
)2(+x 除以342
++x x 的余式为 。
Ans: 1. 1，2. 125-，3. 1。
例9. 设10234-+++nx mx lx x 有因式)2)(1(2+-x x ，求数对),,(n m l 之值为：(A) (-7,9,7)
(B) (7,9,-7) (C) (7,9,7) (D) (-7,9,-7) (E) (7,-9,-7)。
类1. 设232
++x x 为10)(234++++=bx ax x x x f 的因式，则=),(b a ？ 类2. 若122
++x x 为n x mx x x +++-2
3
4
2的因式，则=),(n m ？
类3. 设n 为正奇数，m 为正整数，则多项式m n x x x f )5()3()(+++=恒有下列那一个因式? (A)1+x (B)2+x (C)3+x (D)4+x (E)5+x 。
类4. 设1)(34++=bx ax x f 可被2)1(-x 整除，求b a ,之值。
类5. 若12+x 为22)(2345--++-=bx x x ax x x f 的因式，则=),(b a ？
类6. 设N c b a ∈,,且c b a >>，多项式17))((---b x a x x 有c x -的因式，则=),,(c b a ？ Ans: 1. )11,1(，2. )2,4(，3. (D)，4. 4,3-==b a ，5. )0,2
3
(-，6. )1,2,18(。
例10. 试求3552)(234-+-+=x x x x x f 的整系数一次因式。
并求0)(=x f 的根。
类1. 设121426296)(234-++-=x x x x x f ，已知0)(=x f 在区间)3
1,1(--及)2,1(内有有理根，(1)此有理根为 ，(2)另二根为 。
类2. 方程式044956)(2
3
4
=--++=x x x x x f 的所有有理根是 。
Ans: 1. (1)23,32-,(2)22±，2. 3
2,21-。
例11. 设)(x f 为三次多项式，若4)3()2()1(===f f f ，2)0(-=f ，试求)(x f ？
类1. 设)(x f 为三次式，且8)1(,2)0(,4)3()2(-=-==-=f f f f ，求)(x f 。
类2. 设)(x f 为三次多项式，且240)5(,0)3()2()1(====f f f f ，则=)4(f ？ Ans: 1. 211322
3
--+x x x ，2. 60。
例12. 设Z k ∈，22)(2
34--+-=kx kx x x x f 为整系数多项式，若已知)(x f 有整系数之
一次因式，求k 。
类1. 设N q p ∈,，22)(2
345-+-+-=x qx x px x x f 有整系数一次因式，则
=-q p 。
Ans: 1. –1。
例13. 设Z c b a ∈,,，且092
34=++++cx bx ax x 之四根相异之有理数，求c b a ,,。
类1. 设Z c b a ∈,,，多项式4)(2
34++++=cx bx ax x x f 可表为四个相异整系数一次因式的乘积，求c b a ++之值。
类2. 设Z c b a ∈,,，方程式01032
3
4
=++++cx bx x x 有四个相异有理根，求最大根。
Ans: 1. –5，2. 2。