7弹塑性有限元

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弹塑性有限元法

第六章弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系

弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件

A
A0
l0 l
l 0 未变形的长度 A 0 未变形的平面面积
FF l
A A0 l0
nom(ll0)
nominal
n o m 名义应力
真实应力
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）名义应变，每单位未变形长度的伸长。
noml0l
ll0 l0
l l0
1
l l0
1 nom
塑性性能的材料实验数据，提供的应变包括塑性应变和弹性应变，是材料的总体应变。所以总体应变分解为弹性和塑性应变两项。
弹性应变等于真实应力与弹性模量的比值。
t pl el
el / E
p lte lt/E
p l 真实塑性应变
t 总体真实应变
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
ln1nom
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
弹塑性力学的发展
早期精确算法线性问题
如今数字分析法非线性问题
实际的需要，软件应用计算 ANSYS、ABAQUS
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
PART.02
名义应力（变）与真实应力（变）
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
在ABAQUS中必须用真实应力和真实应变定义塑性。

弹塑性问题有限元分析

弹塑性问题的有限元分析
专硕-
1
材料的弹塑性行为实验
2
材料塑性行为的屈服准则
3
材料塑性行为的流动法则
4
材料塑性行为的强化准则
5
材料塑性行为的模型
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小变形情形下的弹塑性问题。
1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获得的，如下图所示
但不发生新的塑性流动
4、塑性强化准则该准则用来描述屈服面是如何改变的，以确定后续屈服面的新状态，一般可以有几种模型：等向强化模型随动强化模型混合强化模型 5、材料塑性行为的模型基于以上准则，在根据各种材料的应力应变曲线、经过归纳和分类给出以下几种典型的描述材料弹塑性行为的模型（1）、双线性Bauschinger随动强化（2）、多线性Bauschinger随动强化（3）、双线性等向强化（4）、多线性等向强化（5）、非等向强化（6）、Drucker-Prager模型所谓Bauschinger效应为反向屈服点到卸载点的数值为 2 yd 。
I1 1 2 3
I2 1 2 2 3 31(2)
I3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有
一些特殊的性质。
设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且1＞ 2＞ 3
如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2）
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实
验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过
以下关系来换算：
如果定义等效应力为
eq
3 2
y

弹塑性力学与有限元-应变分析

位移—由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生的变化；
如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

流体动力学
用于模拟流体流动和传热问题，如流体机械、航空航天和化工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设备性能，如电机、变压器和天线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体，每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应，确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性有限元法在各个工程领域中得到了广泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能和安全性。

弹塑性有限元在实际工作中的应用

弹性和塑性理论是现代变形固体力学的分支，弹性和塑性理论的任务，一般就是在实验所建立的关于材料变形的力学规律基础上，用严谨的数学方法来研究各种形状的变形固体在外载荷作用下产生的应力、应变和位移。

弹性理论研究的对象是弹性体，指的是一种物体在每一给定温度下，存在着应力和应变间的单值关系，与时间无关。

通常这一关系是线性的，当外力取消后，应变即行消失，物体能够完全恢复原来的形状，同时物体内部的应力也完全消失。

塑性理论研究物体塑性状态的形成及应力和变形规律，塑性状态是指物体应变足够大时，卸去外载后，物体不能恢复其原有形状而产生残余变形，塑性变形是能量的不可逆过程。

一、弹塑性有限元的优势在研究对象上，弹性和塑性理论除了更精确地研究一度空间问题外，更重要的是研究材料力学和结构力学不能解决的问题，例如板、壳等长度和宽度远大于厚度的二度空间问题，以及一些长、宽、厚都是同阶大小的三度空间问题。

在研究方法方面，弹性和塑性理论以其提出问题的普遍性和解答问题的严密性为特点。

在弹性和塑性理论中，一般不采用平面截面假设，而是对无限小的体积素列出平衡方程，将问题归结为求解一系列偏微分方程组，弹性和塑性理论最终提供的是整个物体内部的应力分布规律——应力场。

有限单元法的基本思路是把由无限个质点构成的物体，假想地划分成有限个简单形状的单元。

用这种有限个单元的集合体来代替原来的物体，各个单元之间靠结点连接，结点相当于一个铰链，单元之间的相互作用力靠结点传递。

物体被离散后，首先对其中的各个单元进行力学分析，找出单元间的结点力与结点位移的关系，以及各个单元存在着的相同的规律性。

单元分析后，再对整个物体进行力学分析，找出整个物体所有结点的载荷与位移的关系。

这些关系式构成一个线性方程组，引入边界条件后，求解这个方程组，就可以得出基本未知量的解；根据所得到的解，可以进一步得出各个单元的应变和应力。

利用弹塑性有限元法可以准确地找出金属在轧制时的弹性变形和塑性变形及没有发生变形的区域，此方法应用于冷轧时可进行更精确的计算。

第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解

Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖于塑性变形的大小和历史。后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom

s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹性状态）。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

弹塑性有限元分析汇编

基本实验有两个： 1) 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变之间的关系不但是非线性的，而且不是单值对应的。 2) 静水压力实验：静水压力可使材料的塑性增加，使原来处于脆性状态的材料转化为塑（韧）性材料。
2018/12/1 7
单轴试验下材料的弹塑性性态（2/3）
单轴实验经过以下阶段：
f 1, 2 , 3 C
考虑到塑性变形与静水压力无关的特点
F J 2 , J3 C
至今已出现许多屈服理论。我校俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。屈服函数：是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
第二章弹塑性有限元分析
目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问题）的有限元方法。特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹性的Hooke定律内容：
引言单轴试验下材料的弹塑性性态屈服条件、屈服面与屈服函数塑性本构关系弹塑性问题的有限元解法
2018/12/1
2018/12/1
9
屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件：材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，各应力分量可组成不同的屈服条件。屈服面：对于单向应力状态，其屈服条件可以写成
s
可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力－应变曲线上的一个临界点（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面称为屈服面。
强度限 b 弹性限 s
A
1) 线弹性阶段：加载开始直至比例极限，材料表现为线弹性行为。 2) 非线性弹性阶段：继续加载直至弹性限，材料表现出非线性弹性行为。在此之前完全卸载，材料将沿原加载曲线返回而无残余应变。（注：比例限与弹性限非常接近，一般不做区分） 3) 塑性阶段：继续加载，材料可承受更大应力，称为材料强化，并伴随出现塑性应变。至A点以前卸载，路径接近直线，即处于弹性卸载状态，其斜率等于加载斜率E。 4) 破坏点：继续加载至可承受的最大极限应力，试件出现颈缩而破坏，称为强度极限。

板料的弹塑性变形的有限元方法求解的一般步骤

板料的弹塑性变形的有限元方法求解的一般步骤
板料的弹塑性变形的有限元方法求解的一般步骤：首先建立冲压过程的力学模
型，其次建立相应的有限元分析模型，依据板料变形特性选定壳体单元类型并确定
有关参数，然后根据板料变形特性选定弹塑性本构关系及有关参数，依据板料和模
具的表面特性及其润滑状态选定摩擦定律及参数，最后对压料板的刚体运动和板料
的弹塑性变形进行求解。

在这些步骤之中，模型、参数的选取将影响到有限元模拟的精度。

而板料的弹
塑性本构关系作为影响有限元模拟精度的主要原因之一,对它的研究就显得尤为重
要。

在板料弹塑性本构关系的研究中,如果确定了材料的屈服准则,推导出弹塑性
矩阵，再结合一定的强化规律,就可推导出相应的本构关系的一般表达，在给出相
关屈服准则的表达式后即可方便地得到相应本构关系的显式表达，对于这些准则的
应用将起到积极的作用。

因此，对屈服准则的研究成为研究板料变形行为的关键问
题。

材料的本构关系是精确模拟材料变形的力学基础，引入正确的本构方程，是有限元模拟板材冲压成形的一个重要环节。

近年来，很多各向异性屈服准则相继提出，本文则主要对较有影响的一些各向
异性屈服准则进行介绍。

各向异性使板料在不同方向上的力学性能产生差异，对板料的屈
服行为包括初
始屈服和后继屈服均有显著影响，继而影响板料的本构关系。

如果确定了材料的初
始屈服面，即确定了屈服准则，那么结合一定的强化规律，就可以推导出相应的本
构关系式，而本构关系确定后，材料在变形过程中的应力应变行为也可以预测，因
此准确的描述板料的屈服行为对于研究板料塑性变形有着十分重的意义。

弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例

06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元方程的求解，得到各节点的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元模型的建立和网格划分，为求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进行可视化、分析和评估，为工程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态

弹塑性力学与有限元-屈服总则和弹塑性应力-应变关系

静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力或其不变量表示：
f(S1，S2，S3) 0 f(J1，J2，J3) 0 f(J2，J3) 0 (6.4)
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间
为讨论方便，在此引入应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力为坐标轴的空间。显然应力空间是一个六维空间，空间中的每一个点都代表一个应力状态，应力的变化在应力空间中将会给出一条曲线，称为应力路径，根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服点。把这些点连接起来就形成了一个曲面（超曲面）称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件。对于各向同性材料，屈服条件不应与坐标轴的选取有关，因此屈服条件可以在主应力空间中表示.
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间 L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。
其方程为 s1 s2 s3 显然，
L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。
s1
s3
L直线
s2
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 屈服曲线的方程
屈服曲面是一个等截面
柱面，其母线平行于L直线
，并且此柱面垂直于π平面。屈服曲线：屈服曲面与π 平面相交所得的一条封闭曲线，或称屈服轨迹。
屈服曲面
s 3 L(s1 s 2 s3)
平面
屈服曲线
o
s2

弹塑性问题有限元分析讲述

nz nz
xz yz
0 0
nx zx
ny zy
nz ( zz
n)
0
这是关于nx , ny , nz的齐次线性方程组，其非零解的条件为行列式
等于零
展开可得：
n3
I1
2 n
I 2
n
I3
0(1)
其中
I1 xx yy zz
I2
xx
yy
xx zz
zz
yy
xy2
2 yz
2 zx
设该点有一斜面的应力矢量为p，它与 ij 保持平衡，该斜面的法线n的方
向为p余1 弦为1nnxx、, pn2y、nz ，2n由y , 合p3 力平3衡nz 可，以于得是到该p面在上坐的标与轴p方等向价的的三正个应投力影分n 和别剪
应力 n 的关系为：
2 n
p2
n2
2 1
nx
22ny
32nz
px nx n , py ny n , pz nz n
其中 nx , ny , nz 为斜面外法线n的方向余弦
△ABC △S △BOC nx△S △COA ny△S △AOB nz△S
由 Fx 0
px△S xxnx△S yxny △S zxnz △S Fx△V 0
当OABC P :
弹性极限
应力
加载
卸载
塑性应变弹性应变
断裂应变
在实际结构中，真实的情况是材料处于复杂的受力状态，ij 即中的各个分量都存在，如何基于材料的单拉应力-应变实验曲线，来描述复杂应力状态下材料的真实弹塑性行为，就必须涉及屈服准则、塑性流动法则、塑性强化法则这三个方面的描述，有了这三个方面的描述就可以完全确定出复杂应力状态下材料的真实弹塑性行为

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹性本构关系：弹性本构关系是描述材料的弹性行为的数学模型。

常见的弹性本构模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型。

线性弹性模型假设应力与应变之间的关系是线性的，而非线性弹性模型则考虑了应力与应变之间的非线性关系，如Hooke定律和多项式模型等。

塑性本构关系：塑性本构关系是描述材料的塑性行为的数学模型。

常见的塑性本构模型有单一的本构模型和多线性本构模型。

单一本构模型假设应力与应变之间的关系是单调递增的函数，而多线性本构模型则将塑性行为分段描述，适用于复杂的应力和应变关系。

一般在工程中，弹性本构关系常与塑性本构关系相结合，用于模拟材料在加载过程中的弹性和塑性变形。

有限元方法：有限元方法是一种将连续介质离散成有限个子域，并建立一个代表离散网格的有限元模型进行求解的方法。

在弹塑性有限元方法中，将结构或材料划分成无限形状的有限个单元，每个单元都有一组本征坐标。

然后根据问题的对称性和几何形状，选择适当的数学模型，建立方程组。

模拟方法：在弹塑性有限元法中，首先要确定问题的边界条件，包括力、位移或边界反应。

然后，应用合适的数值方法，如有限差分法或有限元法，对弹塑性问题进行离散求解。

通常采用迭代法进行求解，不断更新单元应力和应变，直到达到一定的收敛准则。

在实际应用中，弹塑性有限元法可以用于模拟多种材料和结构的力学行为，如金属、混凝土、岩土、复合材料等。

通过合理选择材料模型和有限元网格，可以准确地模拟材料的应力、应变分布以及变形情况。

总之，弹塑性有限元法是一种基于有限元法的理论框架，用于模拟材料和结构在加载过程中的弹性和塑性行为。

它包括弹性本构关系、塑性本构关系、有限元方法和模拟方法等几个方面，可以应用于各种材料和结构的力学分析和设计中。

《弹塑性分析》课件

未来研究将更加关注多物理场耦合的弹塑性分析，如结构-流体-热等多物理场的相互作用，需要发展更为复杂和高效的数值方法。
新材料和新工艺的弹塑性分析
随着新材料和新工艺的出现，对新材料和新工艺的弹塑性分析将成为未来的重要研究方向，包括对超弹性、粘弹性、粘塑性等方面的研究。
人工智能在弹塑性分析中的应用
人工智能技术在许多领域都取得了显著的成果，未来可以将人工智能技术应用于弹塑性分析中，如利用机器学习算法进行模型预测和优化等。
03
建立每个单元的平衡方程，通过求解这些方程得到整个系统的
近似解。
弹塑性分析的有限元模型
材料属性
考虑材料的弹性模量、泊松比、屈服强度等参数。
初始条件
设定模型在分析开始时的状态，如初始应变、初始应力等。
边界条件
根据实际情况设定模型的边界条件，如固定、自由、受压等。
载荷
根据实际情况施加适当的载荷，如集中力、分布力等。
在建立弹塑性本构模型时，还需要考虑材料的硬化或软化行为，以及温度、应变速率等对材料力学行为的影响。
Hale Waihona Puke 03弹塑性分析的有限元方法
有限元方法的基本原理
离散化
01
将连续的物理系统离散成有限个小的单元，每个单元具有特定
的形状和大小。
近似解
02
用数学模型描述每个单元的行为，并使用近似解代替精确解。
平衡方程
弹塑性分析
目录
• 弹塑性分析概述 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性分析的有限元方法 • 弹塑性分析的实例 • 弹塑性分析的展望与挑战
01
弹塑性分析概述
弹塑性材料的定义与特性
弹塑性材料
弹性
塑性
弹塑性材料的特性

边坡稳定的弹塑性有限元分析法探讨

１强度折减弹塑性有限元法分析边坡稳定性的原理
ｌＴｄｓＳＮ
ｌ
—
３强度折减弹塑性有限元分析高边坡的模型
本文将岩体高边坡问３．１有限元模型
４边坡破坏状态的确定２对边坡进行强度折减弹塑性有限元分析时，边坡的稳定Ｉ通常采用生解的不收敛陛作为破坏标准。在最大迭代次数内，如果计算不能收敛，就意味着没有发现同时既能满足破坏准则又能满足整体平衡的应力分布，
科技论坛
・１５・
边坡稳定的弹塑性有限元分析法探讨
申启飞 ’ 夏正兵
（、１紫琅职业技术学院，苏南通２６０２南通市广播电视大学，苏南通２６０）江２００、江２００
摘
要：强度折减有限元分析法，最早由Ｇｉｈ等提出。ｒｓ￣ｔ在我国，郑颖人等将其称为“ 强度折减法” 这种方法分析边坡稳定性问题的。
基本思想与传统的极限平衡方法一致，可称之为强度储备安全系数法。均
关键词：强度折减；有限元分析；安全
位置和形状。基于强度折减理论的有限元法分析边坡稳定『生的基本原理，边是将研究发现，陛参数Ｅ和的值虽然对｛弹坡岩体的实际强度参数ｃｔ值同时除以一个折减系数得到一组影响，、ｎａ但对分析边坡的稳定数安全系数的影响却很小，故具体边坡的分析时，Ｅ和的取值可粗略些。岩体的重度７对是用于计算节点自重荷载折减后的新的ｃａ￣值，＇ｎ’ 即ｔｃ，一 — ｃ，的。廿｜的自重荷载与岩石的重度是成正比的。岩体的抗剪强度参数计：ａｃａ（ｒｔｎ— ｔｎ）ａ ‰ （算时采用有效指标ｃ１）和。当取值偏大，Ｃ或和的取值偏小时，计算然后将折减后的Ｃ、值作为新的材料参数代人有限元进行试的边坡安全系数是偏大的。与传统的极限平祛Ｉ坡的稳定陛问题一样，强度折减有限元ｊ算。当有限元计算收敛时，取稍大一些后再试算，直到有限元计算不收敛时为止。当由于强度参数的折减而造或有限元计算不收敛时，说明此分析中最重要的岩体参数是有效强度指标Ｃ、和重度。时岩体达到临界极限状态，发生剪切破坏。就可得到临界滑动而、边坡边３．３岩体重力荷载的计算坡的应力、和安全系数。位移在每—个单元匕ｊ由岩体自重产生的重力荷载ｐ）（按下面的积分式ｅ这种强度折减技术特别适合用有限元方法来实现，适合于对理想弹求得：塑性岩体的二维平而应变问题的分析。早在１７年Ｚｅｋｅｉ就用此９５ｉｎｉｃｗｅ：１＝＝方法分析边坡稳定，只是由于需要花费大量的机时而在具体应用中受到限制。后来，ｎ给出了用有限元方法分析边坡稳定性误差产生的原Ｗｏｇ其中，为单元而积，表示单元号。Ｓｅ这个积分结果是将每个单元的面因。现在，随着计算机的发展和有限元计算技术的提高，强度折减有限元积与岩体的重度的乘积作为单元重力荷载，然后再分配到各个节点上。法正成为边坡稳定分析研究的新趋势。例如，ｇｉ和ＭｔＵａ等ａｓ以及ｕ等４边坡的稳定安全系数的求解方法Ｄｗｏ等都对此做了进一步的研究。ａｓｎ传统的极限平衡法分析边坡稳定性时，最危险滑动而的准确搜索往２强度折减弹塑性有限元分析的基本方法往较为困难。纯粹的数值分析方法如有限元法等，通常也只能得出边坡按增量理论，岩体的弹塑ｌ生应力一应变关系为：应力、位移、生区等，塑ｌ而无法直接得到边坡的安全系数。强度折减技术与｛ｏ｝（一（一ｒ［１ｄ）ｄ＝【］１）ＤＤ）ｅ｛（有限元汁算方法的结合，２）则可以在计算边坡应力、位移、塑性区的基础上，式中，Ｄ】弹Ｉ矩阵，为塑性矩阵。［为生［】Ｄ直接得到边坡的破坏而特征和稳定Ｊ生安全系数。４１强度折减有限元分析法对边坡安全系数的定义『ｅＩｌＤ】ＤＩ［。Ｄｎａ指出，ｕｃｎ边坡安全系数可以定义为使边坡刚好达到临界破坏状［ｌＤＰ：ｌｌｌ！态时对岩体的剪切强度ｉ折减的程度，亍即定义安全系数是岩体的实际剪切强度与临界破坏时折减后的剪切强度的比值。按照强度折减理论，当由于强度参数的折减而造成有限元计算不收敛时，边坡发生剪切破坏，ｒ按下式计算：则在此前最后一次收敛计算所对应的强度参数的折减系数即可定ｒ＝一ｆ／一）ｏ（（义为边坡的稳定『安全系数即：４）生式中，为初始应力状态（ｆｏ弹性对应的屈服函数值为试探应力状态ｃ或一崖寸应的屈服函数。ｒｌ使用弹陛矩阵：ｒＯ使用完全塑性当＝时，当＝时，－Ｌ１ａ矩阵：＜＜时，当０ｒｌ表示单元由弹性向弹塑性状态过渡，使用弹一塑性矩式中，，分别为在有限元计算的最后一次收敛计算所对应的强ｃ、阵。度参数折减值。

弹塑性力学与有限元-若干应用实际考虑和线性代数方程组的解法

１.０
１.０
１.０
显然，当采用减缩积分时，当网格加密增加单元数，可以提高计算精
度, 较好地克服了剪力自锁．
《弹塑性力学与有限元》
若干应用实际考虑和线性代数方程组的解法等参单元计算中数值积分阶次的选择
➢ 数值积分与矩阵奇异性采用线性减缩积分却引出了另外的问题，即所谓奇异能量模式（ hourglassing－沙漏现象）而导致非正常变形出现．考察一小块矩形材料受纯弯曲，用线性减缩积分
网格划分：M1至M5，三角形单元数是矩形单元数的2倍;网格M5， T3、Q4的自由度为16，T6的自由度为42，Q8的自由度为36。
《弹塑性力学与有限元》
若干应用实际考虑和线性代数方程组的解法
建立有限元计算模型应遵循的一般原则
➢ 单元类型和形状的选择
此悬臂梁在端部的垂直位移需要考虑横向剪切的影响，可按弹性力学解出：
v
PL3 3EI
6PL 5GA4源自0.034.03单元（T：三角形Q：矩形） NDL单元自由度数
模型
积分点数
T3（CST）
6
位移模型
1
重点和应掌握的内容
➢ 建立有限元计算模型应遵循的一般原则 ➢ 采用基于最小位能原理的位移元进行有限元分析所得应力结果
的性质及其近似性的表现和常用的几种改善应力结果的方法 ➢ Wilson非协调元的特点和分片试验的意义及实施方法 ➢ 子结构方法的特点、使用条件和实施步骤 ➢ 有限元建模中有效利用结构对称性和周期性的方法 ➢ 高斯消去法和三角分解法的原理和算法步骤 ➢ 几种常见迭代解法的原理和计算步骤,以及它们的各自特点
建立有限元计算模型应遵循的一般原则
单元形状：三角形单元比较适合不规则形状四边形比较适合规则性状

弹塑性力学及有限元法_

写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43

弹塑性有限元课件

DB
J
d
d
d
Ve
二维问题
K e
B T
DBt d x d
y
1 1 B T 1 1
DBt
J
d
d
平面应力
K e 66
BT 63
D 33
B
tA
36
Kiei
K
e ji
K
e ij
K
e jj
Kiem
K
e jm
Kme i
Kme j
K
e mm
1
•
D
E
1
2
0
1 0
1
2
K
1
3 2
4
5
(a)
s r 1 (2) 3 4 5 6
1 (2) 3 4 5 66
(b)
d 3, f 2; B 312 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(a)
1
3
5
7
9
11
2
4
6
8
10
12
(b)
b比a情况可节省存贮单元
（5）[K]是一个奇异阵，在排除刚性位移后，它是正定阵。
m
K
u
m
K
e
u
m
BT
2 22
11 22
3
2 12
Dp
E
11 22 2
Q 1 2
11 22 22 11 22 11 2
1
11
22
12
1
22 11 12 1 2 122

弹塑性力学与有限元

x yx zx X 0 x y z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析

平衡微分方程
x xy xz 2u X 0( 2 ) x y z t yx y yz 2v Y 0( 2 ) x y z t zx zy z 2w Z 0( 2 ) x y z t
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
根据泰勒级数展开式，可得：
f 1 ( x , y , z ) 1 2 f 1 ( x, y , z ) 2 u1 f 1 ( x , y , z ) dx dx 2 x 2! x
略去高阶项后得到：
u u1 u dx x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
xy
yz
zx
u v y x
v w z y u w z x
说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变小 ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变大
应变分析
应变—位移关系

位移—由于外部因素如载荷或温度
变化,物体内部各点空间位置发生的
变化；

如果各点的位移完全相同，物体发
生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系

连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。