7弹塑性有限元

带人插值关系
ue
T
Fe
u e
T
N T G NT pt d l N T qt d x d y
Fe ＝N T G N T pt d l N T qt d x d y
＝Re Qe Pe
m
F Fe e1
集合体载 F Re Pe Qe R P Q
荷列阵
Fe (单元等效结点力）
u y1 u x 2 u y2
1
3
K11 1015 F2
K33 1015
F4 可 忽略!
1K11 1015 K11 1015ux1 K12uy1 K13ux2 K14uy2
u x1 1
7.2.4 等效结点力
按虚功原理单元节点力虚功
u e
T
Fe
ue T G ue T pt dl ue T qt d x dy
Ku F
此矩阵是单元刚度矩阵扩到 2n 2n后 在同一位置上子矩阵之和。
由于（7.28）中很多位置上子矩阵都为零，（7.30）式不必对全部单元求和
只对分块矩阵 Kres 的下标r=s 或r,s属于同一结点号码的那些单元求和。
其他摆在相应位置上。
[K]具有如下的性质：
1.[K]中每列元素是某一结点在坐标轴方向发生单位位移，其它结点位 移都约束为零时，在所有结点上坐标轴方向需施加的结点力。
7.2.2 整体刚度矩阵
m个单元n结点弹性体,结点位移是整个集合体的未知量，写成 u 3n1
将已知单元结点位移、刚度（影响系数）和结点力放在相应位置上，其余用零充填， 然后叠加
F eT 13n
0T 0T
0T FeT 0T
0T
u eT 13n
0T 0T
0T ueT 0T
0T
e
p
Re ,Pe ,Qe 分别为集中力、面力、体力移置到单元结点上得
到的等效结点力 均质等厚的三角形单元，重力引起的等效结点力只需把1/3的重量 移置到结点上;作用在长度为的L三角形一个边i,j上强度为p的均布 表面力，只需ptL/2把移置到结点i及j上 ;
线性分布载荷，如在结点i处强度为零，在结点j处强度为p， 则合力大小为ptL/2 ，只需将合力的1/3移置到结点i，2/3移置 到结点j.
2 11
2 22
11 22
3
2 12
Dp
E
11 22 2
Q 1 2
11 22 22 11 22 11 2
1
11
22
12
1
22 11 12 1 2 122
Q
112
222
2 11
22
21
2 12
2
1
9G
2
222
2P
D ep
E Q
11 22 2 P 112 2P
二次型uT K u 恒大于零 , [K]为正定阵
7.2.3 整体刚度矩阵的修正
置1法: 置0法
K11
K
21
K K
31 41
K12 K 22 K 32 K 42
K13 K 23 K 33 K 43
K14 ux1
K 24 K 34 K 44
u y1 u x 2 u y2
F1
9
11
2
4
6
8
10
12
(b)
b比a情况可节省存贮单元
（5）[K]是一个奇异阵，在排除刚性位移后，它是正定阵。
m
K
u
m
K
e
u
m
BT
DBtAu
uT K u eT DetA e1
e1
e1
m
只有在每个单元中都有
e 0,
才有eT DetA 0 e1
否则它大于零。整个集合体排除了刚性位移 e 0 即 u 0
d
硬化曲线上:
d dp
T
d d p
1
（2）
弹塑性共存: d de dp d Dde
d D d dp
（3)
T
T
2
d
D
d dp
（1)
T
T
d
p
D
d
D
d
p
T
d
p
Dd
T
D
T
1
dp
Dd
T
D
3
d
D
d
u 2n1
是各结点位移按结点号码从小到大依次排列组成(不相加）
u 2n1 u1T
u2T unT T
T
ui uxi uyi，
i 1, 2 n
结点力叠加:
F
e 2n1
1
i
j
m
Fie T ... Fje T ... Fme T
T
n
Fie Fxei Fyei T ,
1 222 1 2 S
11 33 1 2 S
22 33 1 2 S
1 332 1 2 S
S 2 2 1
3 3G
1112 S
2212 S
3312 S
1
2 12
2S
11 23 S
22 23 S
33 23 S
12 23 S
1
2 23
2S
11 S
31
22 S
计算步骤(从略)与技巧
（1）对于对称和反对称情况，可取部分物体作为计算模型
y
y
R
R
R
受纯弯曲的梁
x
O
R
R
x
（2）集中载荷作用点、分布载荷强度的突变点、 分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取作为结点。
(3)三条边不要差得太悬殊，以免计算中出现过大误差，
合理
7.3弹-塑性有限元- 弹-塑性矩阵推导
11 33 22 33 332
1112 2212 3312
2 12
11 23 22 23 33 23 12 23
2 23
11 31 22 31
33
31
12 31
23
31
2 31
1 1 2
112 S
D
E
ep 1
与加载前应 力水平有关,
与应力增量
无关
•
11 22 1 2 S
有任意性
K e ue Fe
Fe N T pd s S1
K e BT DBdVe Ve
三维问题
7.17
K e
B T
DBd
xd
yd
z
B 1 1 1
T
1 1 1
DB
J
d
d
d
Ve
二维问题
K e
B T
DBt d x d
y
1 1 B T 1 1
DBt
J
d
d
平面应力
K e 66
Fje Fxej
Fyej T ,
Fme Fxem
Fe T ym
单元i,j,m上结 点力分块矩阵
m
F Fe 2 n1 e 1
公共边等效节点力抵消
三角形单元
1
i
j
m
n
刚度矩阵
6×6扩充
1
Kiei
Kiej
Kiem
i
K e 2n2n
K
e ji
K
e jj
K
e jm
j
7.28
除对应 i、j、m行,
U
1 2
T dV
V
1 m
U 2 e1 Ve
e T e dVe
单元总势能泛函
e
1 2
Ve
T
e
e
d
Ve
ueT pd s
S1
e
1 2
ueT
Ve
BT
DBue
d Ve
ueT
S1
N
T
p d
s
u eT
BT
D
B
d
Ve
ue
N
T
p
d
s
0
Ve
S1
( X T QX ) 2QX X 2 X TQX
i、j、m列上的 九
Kme i
Kme j
Kme m
m
个双行双列的子矩
n
阵外，其余全是零。
K e 2n2n
ue 2n1
F
e 2n1
K e 2n2n
u 2n1
F
e 2n1
m
m
K 2 n2 n
K
e
B T
DBt
d
xdy
e1
e1
K11
K1i
K1 j
K1m
K1n
K
i1
Kii
ue ux
uy
T
uz
N ue
u e uxi uyi uzi uxm uym
uzm T
e x y z xy yz zx T Bue eT ueT BT
e x y z xy yz zx T DBue S ue
S DB
7.2.1单元刚度矩阵
变分原理中积分看成是不同子域积分的总和,求和的积分＝各 积分求和，故可将变分原理分别用于各个单元
7 小变形弹-塑性有限元法
弹性体体积为V，以m代表单元数；n表示结点总数。{u}表示系统结点位移
的列阵。
u ux1 uy1 uz1 ux2 uy2 uz2 uxn uyn uzn T
S
上外力
p
用静力等效的原则化到相应的结点上去,结点载荷列阵为:
F Fx1 Fy1 Fz1 Fx2 Fy2 Fz2 Fxn Fyn Fzn T
BT 63
D 33
B
tA
36
Kiei
K
e ji
K
e ij
K
e jj
Kiem
K
来自百度文库
e jm
Kme i
Kme j
K
e mm
1
•
D
E
1
2
0
1 0
1
2
K
e rs
Br
T
DBs tA
4
Et
1 2
brbs
1
2
cr cs
A
crbs
1
2
br cs
brcs
1
2
crbs
cr cs
1
2
brbs
2. [K] 的主元素是正的
3. [K]是对称矩阵。
Ksr
T
m
K
e sr
T
m
Bs T DBr T tA
e1
e1
m
m
Br T DBs
tA
K
e rs
K rs
e1
e1
（4） [K]是一个稀疏阵 只有当下标r=s,或s,r的结点号码同属于一个单元时才
不为零.
其非零元素呈带状集中分布在主对角线附近。这种矩阵称为带状矩阵
做代数和。
置大数法([K]中指定结点位移有关的主对角线元素乘上
一个大数){F} 中的对应元素换上结点位移指定值与同一个大 数的乘积
K11 1015 K 21
K 31
K 41
K12 K 22 K 32 K 42
K13 K 23 K33 1015 K 43
K14 K 24 K 34 K 44
u x1
31
33 S
31
12 S
31
23 S
31
1 2
2 31
S
7.36
轴对称变形 [D]ep表达式
11 z ,
22 r ,
33 ,
23 r 31 z 0
12 zr ,
d d z d r d d zr T
d d z dr d d zr T
1 1 2
增量理论
d D d ep
由Mises屈服条件(3.17)和Prandtl-Reuss 方程
3 2
ij
ij；
3 11 , 11 2
, 312 , 12
塑性应变增量矢量39页
3 ij
2
等效应变增量
式(3.48)
d
p ij
3 2
d
P
ij
dp
d
p
d
ij
d ij
d
T
r i, j, m; s i, j, m
平面应变 E E (1 2 ); (1 )
K res
E(1 )t
4(1 ) 1 2
A
brbs
1 2 2(1
)
cr cs
1
crbs
1 2 2(1 )
br cs
1
br cs
1 2 2(1
)
crbs
cr cs
1 2 2(1
)
brbs
Kij
Kim
Kin
m
K rs 22
K
e rs
e1
K 叠加
K
j1
K ji
K jj
K jm
K
jn
r 1, 2,
, n;
s 1, 2, , n
K
m1
K mi
K mj
Kmm
K
mn
K
n1
K ni
K nj
K nm
Knn
m
m
K e 2n2n
u 2n1
Fe 2n1
e1
e1
7.30
T
T
D d
D
D
D
T
T
D
Dd
ep
d
T
Dp
D
D
T
D
6行6列?
D DDp ep
7.34
D
3G
11
22
33
12
23
T 31
D
T
T
D
？
三维变形 [D]ep表达式
112
Dp
9G 2
3G
2
•
11 22 222
FF32
F4
已知 : ux1
1, ux2
3
1 0 0 0 ux1
1
0 0 0
K 22 0 K 42
0 1 0
K 24 0 K 44
u y1 u x 2 u y2
F2 F4
K 21 1 3
K 41 1
K
23
3
K 433
●把上式左端已知位移对应的i行i列的交叉刚度系数（i≠j）置 零●，已对知角位线移1,刚对3 度应系的数行（交i叉＝刚j）度置系1，数对乘应位的移载后荷移项至置右已端知与位载移荷；项
1 2
u eT 13n
Ke
3n3n
u
e
3n1
u eT 13n
F
e 3n1
m
e
1
m
ueT
K e ue
m
ueT Fe
e1
2 e1
e1
ueT
m
K
e
ue
m
Fe
0
e1
e1
m
m
K e ue Fe
e1
e1
Ku F
K
m
K
e
m
F Fe
e1
e1
平面应力三角形单元 集合体的结点位移列阵
z2
S
Dep
E
1
•
z r 1 2 S
1 r2 1 2 S
z 1 2 S
r 1 2 S
1 2 1 2 S
z
S
zr
r
S
zr
S
zr
1 2
2 zr
S
1
3 2
z2
r2
2
2
2 zr
2
7.39
7.38
平面应力 [D]ep表达式
33 23 31 0;
主对角线元素在内的半个斜带中每行元素个数（不是子矩阵数）为半带宽B
B d 1 f
d—相邻结点编号最大差值，f—结点自由度数。
1
3 2
4
5
(a)
s r 1 (2) 3 4 5 6
1 (2) 3 4 5 66
(b)
d 3, f 2; B 312 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(a)
1
3
5
7