运筹(第五章目标规划)资料
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第五章运筹学目标规划
目标约束（软约束）：引入正、负偏差变量后，对各 个目标建立的目标约束方程。
c x d d kj j k k Ek j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约 束(软约束)
原来的目标函数，在目标规划中只是成了问题要达到的
目标之一 ,“目标利润不低于12（百元 ）”, 可以表示 成 min{d1-}
利润（元/件）
I 5 4 6
II 10 4 8
资源限量 60 40
• 设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用 线性规划来描述和解决这个问题时，其 数学模型为： max z 6 x1 8 x2
5 x1 10x2 60 4 x1 4 x2 40 x ,x 0 1 2
例1.某企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在 A、B、C、D四种不同的设备上加工。各产品占用资源数 量，资源拥有量及产品利润见下表。问如何安排生产，才 能获得最大的总利润？
消耗 产品 甲 乙
设备
设备工作 台时
A
B C D 利润（百元/件）
2 1 4 0 2
2 2 0 4 3
12 8 16 12
解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性 规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
ｄ＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ｄ-——未达到目标的差值，称负偏差变量。
ｄ＋与ｄ－两者必有一个为零
（1）ｄ-＝0，ｄ＋>0 表示实际值超出规定目标值； （2）ｄ->0，ｄ＋＝0 表示实际值未达到目标值； （3）ｄ-=0，ｄ＋＝0 表示实际值同规定目标值恰好一致。
运筹学第五章 目标规划PPT课件
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2
OORR:S:SMM
6
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
OORR:S:SMM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2
OORR:S:SMM
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OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
OORR:S:SMM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
运筹学第5章-目标规划
[1/2] -1 1 1/2 -1/2
1/2 0 0 -3/2 3/2 1 -1
1
1
-1/2
3/2 -3/2
1
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20
注意：此时， P2行仍有负检验数，要选X2进基，因为d2+
的 检验数是
p1
3 2
p2 0
。
0
0
P1 0
0
P1 P2 0
CB XB b
x1
X2
d1-
d1+ d2-
d2+ d3-
min d
5x2
d
d
15
（4） “设备B既要充分利用，又要尽量不加班”可表示
为
min d d
4x1
d
d
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3、目标的优先级和权系数
不同的目标重要程度不同，优先级不同；
同一层次优先级的不同目标，重要程度不同，权重不同
优先级因子：P1, P2 , P3，,...且
n
aij x j bi ,
i 1,2,....m
j1
n
clj x j
dl
d
l
gl ,
l 1,2,....L
j1
xi
0,
d
l
,
dl
0, i
1,...,m;
j
1,...L
刚性约束 柔性约束
2020/5/30
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§5.2 目标规划的图解分析法
求解目标规划的思路： 刚性约束必须严格满足； 按优先级次序，从高层到低层逐层优化； 在不增加高层偏差值的情况下，使本层的偏差达到最小。
P1 d1- 10 [1] 0 1 -1
运筹学第五章 目标规划
3x1 5x2 d 2 d2 0
2 x1 3x2 d3 d3 100
s.t.
4 x1 2 x2 d4 d4 128
x1
x2
40 30
l 1,2,3,4
x1 , x2 , dl , dl 0
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
二、目标规划模型
产品 甲 乙 资 源 拥有量
例5.1 问题的提出：对例1.1[某企业生 资源 ２ ３ 100 产两种产品，需要两种原料,有关数据 Ａ Ｂ ４ ２ 120 见表。如何安排生产计划可使总的收 益最大。]企业管理人员又提出如下目 单件收益 ６ ４ （千元） 标要求: 第一目标P1：收益不低于180千元； 第二目标P2：甲乙的产量尽量满足5:3的关系； 第三目标P3：A资源要充分利用，但不能超额。B资源可超额利用， 但最多不能超额8个单位。A、B资源的权系数分别为7和3。 由市场预测可知，甲、乙的产量不能超过40和30件。如何制定 满足上述目标要求的生产计划方案. 试建立该问题的目标规划模型。
§5.1 问题的提出与目标规划模型
请思考:目标函数怎么写? 如果这么写:
min z d1 (d2 d2 ) (d 3 d3 ) d4
目标函数：管理目标和实际可能完成的目标之间的偏差最小。
是否能反应出目标的重要性程度，或层次关系?
东北林业大学
(d1-→0) (d２-，d2+ →0) (d3-， d3+ →0) (d4+→0)
东北林业大学
§5.3 应用举例
例 5.3 问题的提出：某纺织厂生产两种布料，窗帘布和衣料。 平均生产能力是1000米/小时，正常生产能力是每周80小时。 根据市场顶测，下周的销售量为：窗帘布70000米，衣料45000 米；每米窗帘布和衣料的利润分别为2.50元和1.50元。 工厂经理考虑实际管理日标如下： P1：避免开工不足，使职工正常就业； P2：加班时间不超过10小时; P3：努力达到最大销量,即窗帘布70000米，衣料45000米；目标 相对重要性程度按两种布料利润比值确定。 P4:尽可能减少加班.
2 x1 3x2 d3 d3 100
s.t.
4 x1 2 x2 d4 d4 128
x1
x2
40 30
l 1,2,3,4
x1 , x2 , dl , dl 0
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
二、目标规划模型
产品 甲 乙 资 源 拥有量
例5.1 问题的提出：对例1.1[某企业生 资源 ２ ３ 100 产两种产品，需要两种原料,有关数据 Ａ Ｂ ４ ２ 120 见表。如何安排生产计划可使总的收 益最大。]企业管理人员又提出如下目 单件收益 ６ ４ （千元） 标要求: 第一目标P1：收益不低于180千元； 第二目标P2：甲乙的产量尽量满足5:3的关系； 第三目标P3：A资源要充分利用，但不能超额。B资源可超额利用， 但最多不能超额8个单位。A、B资源的权系数分别为7和3。 由市场预测可知，甲、乙的产量不能超过40和30件。如何制定 满足上述目标要求的生产计划方案. 试建立该问题的目标规划模型。
§5.1 问题的提出与目标规划模型
请思考:目标函数怎么写? 如果这么写:
min z d1 (d2 d2 ) (d 3 d3 ) d4
目标函数：管理目标和实际可能完成的目标之间的偏差最小。
是否能反应出目标的重要性程度，或层次关系?
东北林业大学
(d1-→0) (d２-，d2+ →0) (d3-， d3+ →0) (d4+→0)
东北林业大学
§5.3 应用举例
例 5.3 问题的提出：某纺织厂生产两种布料，窗帘布和衣料。 平均生产能力是1000米/小时，正常生产能力是每周80小时。 根据市场顶测，下周的销售量为：窗帘布70000米，衣料45000 米；每米窗帘布和衣料的利润分别为2.50元和1.50元。 工厂经理考虑实际管理日标如下： P1：避免开工不足，使职工正常就业； P2：加班时间不超过10小时; P3：努力达到最大销量,即窗帘布70000米，衣料45000米；目标 相对重要性程度按两种布料利润比值确定。 P4:尽可能减少加班.
苏大 张芳华 运筹学课件第五章目标规划
b)Ⅰ 型 TV的日产量在 台以 Ⅰ 的日产量在15台以 的日产量在 上; c) 日利润超过 日利润超过140(百元 百元) 百元 a)原材料 的每日用量控制在 原材料A的每日用量控制在 原材料 90 公斤以内
第五章 目标规划
如何用目 标规划的 方法来描 述和解决 上述问题
15
优先因子:描述问题中目标重要性程度的差别,一般用 优先因子:描述问题中目标重要性程度的差别,一般用pi表 示,通常i值越小,代表的优先程度越高. 通常 值越小,代表的优先程度越高. 值越小 在目标规划中:对于最重要目标,赋予优先因子P1 第二位重要目标,赋予优先因子P2 以此类推,各个优先因子是一些特殊的正常数,它们之间有如 下关系: P1> >P2> >P3> >……"> >"远远大于
x1, x2, d1+,……d5+, d1-……d5- ≥0
第五章 目标规划
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目标规划的概念
概念
偏差变量:实际值与目标值之间差距的变量表示,通常以 di+ di-表示,分别为正,负偏差变量,且有di+》0, d 0 di- 》0, di+ di- =0 优先因子:描述问题中目标重要性程度的差别,一般用pi表 示,通常i值越小,代表的优先程度越高. 目标约束:用来描述允许对给定目标值有一定偏离程度的限 制条件.
第五章 目标规划
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但市场形势发生变化: 但市场形势发生变化: 供应 A 原料的厂家提出, 供应 原料的厂家提出, 减少10公斤的供应 公斤的供应; 减少10公斤的供应; Ⅰ型产品供不应求,必 Ⅰ型产品供不应求, 须扩展Ⅰ型产品的产量 须扩展Ⅰ x1 .
东风厂的管理部门提出对下一阶段生产经营要达到3个目标 : a)原材料 的每日用量控制在 原材料A的每日用量控制在 原材料 90 公斤以内; 公斤以内; b)Ⅰ 型 TV的日产量在 台以 Ⅰ 的日产量在15台以 的日产量在 上; c) 日利润超过 日利润超过140(百元 . 百元). 百元
运筹学课件--第五章 目标规划
例如
P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
16
OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获
利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
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OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获
利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
管理运筹学5 目标规划共69页文档
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
管理运筹学5 目标规划 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
管理运筹学5 目标规划 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
管理运筹学讲义第5章目标规划
C
•2
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• 2 • A • 6• 8 • 1 • x
管理运筹学讲义第5章目标规划 0
1
•二、升级调资问题
例 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵 守以下规定： • (1) 不超过月工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ、Ⅲ级的升级面不低于现有人数的20%且无越级提升； • (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有 10%要退休。 • 有关资料汇总于表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
• (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2)。 • (5) 当所有检验数 j≥0时，计算结束。表中的解即为满意解。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
例4 试用单纯形法来求解例2。 将例2的数学模型化为标准型：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
① 取xs，d1-，d2-，d3-为初始基变量，列初始单 纯形表，见表5-1。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
解 按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2， P3优先因子。这问题的数学模型是：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
目标规划的一般数学模型为
•
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为权系数。
管理运筹学讲义第5章目标规划
课堂练习：
某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元， 乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资 金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中 有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下 目标。 （1）第一目标：盈利5030000元以上； （2）第二目标：经销甲货物5000吨以上； （3）第三目标：经销乙货物18000吨以上； （4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。 试问应怎样决策？
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
运筹学第五章_目标规划
第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。
运筹学基础-目标规划
§5.1
目标规划问题的提出与目标规划模型
一、问题的提出
【引例1】某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙
两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元/kg，要求采购的总费用不得 超过20万元，购得原料的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少 于50kg，问如何确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购最多数量 的原料）。 分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设x1、x2分别为采 购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg）， y1为花掉的资金， y2为 所购原料总量．则： 2 x1 x2 200 x x 100 Miny1 2 x1 x2 1 2 目标函数为： Maxy x x 约束条件为： 2 1 2 x2 50 x1 , x2 0 注：此规划模型是一个多目标规划模型
（2）要求实际值小于目标值时，就是正偏差变量要尽可能地小，即 不希望d＋＞0，这时达成函数是：
min d
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（3）要求实际值大于目标值时，就是负偏差变量要尽可能地小，即 不希望d－＞0，这时达成函数是：
min d
目标规划
【例】
x1 x2 d d 0
设备负荷（台小时） 单位产品利润 (元)
分析:设x1、x2分别是计划期内甲、乙产品的产量．则该问 9.2 x1 4 x2 3600 题的数学模型为
max y1 70x1 120x2 max y2 x1 min y x 3 2
s.t. 4 x 5 x 2000 1 2 3 x1 10 x2 3000 x1 , x2 0
min d
17
目标规划
【又例】
运筹学课件 第五章-目标规划
第二步：建立决策目标约束
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间 的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找 出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实 现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定其 余目标的优先级。
第三步：建立指标偏差函数
目标规划的一般模型为：
其中
xj（ j 1,2,, n ）为决策变量；
Pk（ k 1,2,, K）为第k级优先因子； wkl , wkl 分别为第l 个目标约束的正负偏差变量的权
系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。
el（ l 1,2,, L）为目标的预期目标值；
d1+
d11+
1
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
3
-1
1
-1
单纯形方法——解决
在选择最优列时，先从检验数栏中最优等级 P1 行开始寻找最大正检验数。 如 P1行内有最大正检验数，就确定它为最优列，进行迭代。直到 P1行内检验 数没有正值为止，再转入P2 行寻找最大检验数。如此继续下去，直到所有检 验数全部检查完毕。找关键行是常数项被最优列系数除所得数的最小值所在的行。
来实现；
模型建立
指标偏离函数
第一优先级 决策目标
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
负偏差：决策 值小于目标值 的偏差部分
(mx1,ixn2 ){P1(d1
d
2
),
P2
(d3
),
P3
(d4
),
P4
(d1
1.5d
2
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间 的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找 出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实 现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定其 余目标的优先级。
第三步：建立指标偏差函数
目标规划的一般模型为：
其中
xj（ j 1,2,, n ）为决策变量；
Pk（ k 1,2,, K）为第k级优先因子； wkl , wkl 分别为第l 个目标约束的正负偏差变量的权
系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。
el（ l 1,2,, L）为目标的预期目标值；
d1+
d11+
1
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
3
-1
1
-1
单纯形方法——解决
在选择最优列时，先从检验数栏中最优等级 P1 行开始寻找最大正检验数。 如 P1行内有最大正检验数，就确定它为最优列，进行迭代。直到 P1行内检验 数没有正值为止，再转入P2 行寻找最大检验数。如此继续下去，直到所有检 验数全部检查完毕。找关键行是常数项被最优列系数除所得数的最小值所在的行。
来实现；
模型建立
指标偏离函数
第一优先级 决策目标
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
负偏差：决策 值小于目标值 的偏差部分
(mx1,ixn2 ){P1(d1
d
2
),
P2
(d3
),
P3
(d4
),
P4
(d1
1.5d
2
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
运筹学基础-目标规划(1)
设备负荷（台小时） 设备负荷（台小时） 单位产品利润 (元) 元
分析:设x1、x2分别是计划期内甲、乙产品的产量．则该问题的 9.2 x1 + 4 x 2 ≤ 3600 数学模型为 4 x + 5 x ≤ 2000 max y1 = 70 x1 + 120 x2 2 s.t. 1 max y2 = x1 3 x1 + 10 x 2 ≤ 3000 min y = x x1 , x 2 ≥ 0 3 2
min Z = f d +量的函数。 即达成函数是正、负偏变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况之一，对应每 种要求，可分别构造的达成函数是：
构造达成函数的方法
x1 − x2 + d − − d + = 0
如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、负偏变量 都要尽可能地小，这时函数是：
min d −
{ }
又如 2 x1 + 3 x 2 + d − − d + = 12 中力求利润指标不低于12元，达 成函数为：
min d −
{ }
设备B限制 x1 + 2 x 2 + d − − d + = 8 中必要时可以加班可表为：
min d −
{ }
设备A限制 2 x1 + 2 x 2 + d − − d + = 12 中既要求充分利用，又尽可 能不加班可表为：
min d + + d −
{
}
4. 目标的优先级与权系数
在一个多目标决策问题中，要找出使所有目标都达到最优的 解是很不容易的；在有些情况下，这样的解根本不存在(当这些目 标是互相矛盾时)。实际作法是：决策者将这些目标分出主次，或 根据这些目标的轻重缓急不同，区别对待。 在一个目标规划的模型中，如果两个不同目标重要程度相差悬殊， 为达到某一目标可牺牲其它一些目标，称这些目标是属于不同层次的 不同层次的 优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子P1，P2，…表示，并规 优先级 定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示“远大于”，表示Pk与Pk＋1，不是 同一各级别的量，即Pk与Pk＋1有更大的优先权。 对属于同一层次优先级 同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上 同一层次优先级 不同的权数 权数。权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大，表明 权数 该目标越重要。
运筹学课件 第五章多目标规划
目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
管理运筹学5 目标规划
目标规划问题及其数学模型
设d1-未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值
当利润小于3200时,d1－＞０且d1＋＝0,有 40x1+30x2+50x3+d1－=3200成立 当利润大于3200时，d1＋＞０且d1－＝０，有 40x1+30x2+50x3-d1+=3200成立 当利润恰好等于3200时，d1－=０且d1+=0,有
【解】 设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3。如果按线 性规划建模思路，最优解实质是求下列一组不等源自的解目标规划问题及其数学模型
40x1 30x 2 50x3 3200 x －1.5 x 0 2 1 x3 30 3 x1 x 2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x 2 x3 360 2 x1 3 x 2 5 x3 300 x1 0，x 2 0，x3 0
目标规划问题及其数学模型
2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：
min{d } 2 x 3 x d d 12 2 1
Page 12
3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：
min{d } x 2 x d d 8 2 1 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为： min{d d } 2 x 2 x d d 12 2 1
目标规划问题及其数学模型
Page 9
目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的 局限性？
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
偏差变量用下列符号表示： d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量 正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0; 故恒有d+×d-=0
运筹学：第5章 目标规划
n
aij x j bi ,
i 1,2,....m
j1
n
clj x j
dl
d
l
gl ,
l 1,2,....L
j1
xi
0,
d
l
,
dl
0, i
1,...,m;
j
1,...L
刚性约束 柔性约束
2021/4/18
14
§2 目标规划的图解分析法
求解目标规划的思路： 刚性约束必须严格满足； 按优先级次序，从高层到低层逐层优化； 在不增加高层偏差值的情况下，使本层的偏差达
d
3
d
4
d
4
3(d
3
d
3
)
d
4
29
0.25
5x2 15
满意解 F
d1
O
4x1 16
d1 2x1 3x2 15
x1
2021/4/18
16
§3 目标规划的单纯形解法
单纯形法求解目标规划的思路：
1.求解步骤与一般线性规划问题的单纯形法基本相同；
2.根据目标函数中的优先级次序，从高层到低层逐层优
26
1、第一优先级：检验和销售费用每月不超过4600元； 2、第二优先级：每月销售录音机不少于50台； 3、第三优先级：两车间的工时得到充分利用（重要 性权系数按每小时的管理费用比）； 4、第四优先级：甲车间加班不超过20小时； 5、第五优先级：每月销售电视机不少于80台； 6、第六优先级：两车间的加班总时间要控制（权系 数分配如3） 试确定该厂为达到上述目标的最优月度生产计划。
[1/2] -1 1 1/2 -1/2
1/2 0 0 -3/2 3/2 1 -1
运筹学05目标规划
i i
在实际中，可以根据决策者的要求， 引入正、负偏差变量和目标约束，并给不 同目标赋予相应的优先因子和权系数，构 造目标函数，建立模型。
例5.1模型建立
指标偏离函数
~
第一优先级 决策目标
1 2
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
3 4 1
在同一等级目标 中，赋予不同权 系数
在线性规划中，要求单个目标的优化，而目标 规划则强调使多个目标得到满意的解答 。 线性规划中，为得到一个可行解，必须满足所 有的约束条件。在目标规划中，并不认为所有 约束都是绝对的，因此对于非绝对的约束，目 标规划并不要求绝对满足，而是设法使各目标 离原先设定的意向指标值的偏差尽可能的小。
目
先满足P1 d =0, d =0
3
G3
再满足P4 ,使 d4 , 是 极小化，由于 d 4 d 3 的1.5倍，先考虑
最优解X1*=25， X2*=15，a*= （0，0，60，5）
4
G1
再满足P3 使 d 2 极小化
再满足P2 使 d =0
1
Hale Waihona Puke G4二、单纯形方法——例5.4
负偏差：决策 值小于目标值的 偏差部分
约束条件
目标规划的一般模型为：
~ min a s.t .
n P ( w d w d k kl l kl l ) k 1 l 1 K L
目标函数
a
j 1 n j 1
不含有偏差变量，为绝对 目标约束 目标约束
ij
x j ( , )b j
2 x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
在实际中，可以根据决策者的要求， 引入正、负偏差变量和目标约束，并给不 同目标赋予相应的优先因子和权系数，构 造目标函数，建立模型。
例5.1模型建立
指标偏离函数
~
第一优先级 决策目标
1 2
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
3 4 1
在同一等级目标 中，赋予不同权 系数
在线性规划中，要求单个目标的优化，而目标 规划则强调使多个目标得到满意的解答 。 线性规划中，为得到一个可行解，必须满足所 有的约束条件。在目标规划中，并不认为所有 约束都是绝对的，因此对于非绝对的约束，目 标规划并不要求绝对满足，而是设法使各目标 离原先设定的意向指标值的偏差尽可能的小。
目
先满足P1 d =0, d =0
3
G3
再满足P4 ,使 d4 , 是 极小化，由于 d 4 d 3 的1.5倍，先考虑
最优解X1*=25， X2*=15，a*= （0，0，60，5）
4
G1
再满足P3 使 d 2 极小化
再满足P2 使 d =0
1
Hale Waihona Puke G4二、单纯形方法——例5.4
负偏差：决策 值小于目标值的 偏差部分
约束条件
目标规划的一般模型为：
~ min a s.t .
n P ( w d w d k kl l kl l ) k 1 l 1 K L
目标函数
a
j 1 n j 1
不含有偏差变量，为绝对 目标约束 目标约束
ij
x j ( , )b j
2 x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
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2020/5/18
7
§1.2 目标规划的有关概念
1、正、负偏差变量 d , d ： x1, x2 等是决策变量；
d 是正偏差变量，表决策值超过目标值的部分； d 是负偏差变量，表决策值未达目标值的部分。
且有 d d 0 。
2、绝对约束和目标约束 ： 绝对约束：必须满足的等式约束或不等式约束。 如：A设备严格禁止超时使用，则
这里的目标只有一个！
2020/5/18
4
有时目标不只一个，例如考虑下列要求： 1、力求利润指标不低于15元； 2、Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2； 3、A为贵重设备，严格禁止超时使用； 4、设备C可适当加班，但要控制； 5、设备B既要充分利用，又要尽量不加班，在重要
性上，设备B是设备C的3倍。
要解决这样的问题，将上述的要求都加以考虑， 就要用目标规划的方法解决。
目标规划中的优先级及权重系数的确定往往需要靠 人的主观判断，是定性的，常常是模糊的，不是一 个确定的数值，但现在也有很多将其定量化的方 法，如层次分析法等这是处理目标规划时的一个难 点。
2020/5/18
13
一般的目标规划数学模型
K
L
min z Pk (kldl kldl )
k 1 l 1
● min d
表示“力求Ⅰ、Ⅱ两种产品
2 x1
x2
d
d
0
的产量比例不 1/ 2
”
2020/5/18
9
（2）目标函数也可转化为目标约束：
如：“力求利润指标不低于15元”可表示为
min
d1
2x1 3x2
d1
d1
15
（3）“设备C可适当加班，但要控制”可表示为
min d4
5x2
d4
d4
n
aij x j bi ,
i 1,2,....m
j1
n
clj x j
dl
d
l
gl ,
l 1,2,....L
j1
xi
0,
d
l
,
dl
0, i
1,...,m;
j
1,...L
刚性约束 柔性约束
2020/5/18
14
§2 目标规划的图解分析法
求解目标规划的思路： 刚性约束必须严格满足； 按优先级次序，从高层到低层逐层优化； 在不增加高层偏差值的情况下，使本层的偏差达
2020/5/18
5
目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经 营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。 目标规划是一种数学方法。
基本含义：在一定约束条件下，要求多个目标达 到或尽可能接近于给定的对应目标值。
特点：既保持了线性规划易于计算的特点，又克 服了线性规划只能解决单一目标优化问题的局限 性。
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
2020/5/18
1
第五章 目标规划
目标规划的数学模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形解法 目标规划的层次算法 目标规划的应用
2020/5/18
2
§1 目标规划的提出与数学模型 §1.1 引例
例1 生产计划问题
Ⅰ Ⅱ 能力
设备A 2 2
12
2x1 2x2 12
2020/5/18
8
目标约束：对于不严格限定的约束，在达到此目标
时允许发生正或负的偏差，可在这些约束中加入正
负偏差变量，成为目标约束。如：
（1）“Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2”可表示为
2x1 x2 0
●当允许此比例 1/ 2 时，即 2x1 x2 ，则引入负
偏差 d ，则该条件可表示为：2x1 x2 d 0 ●类似地有 2x1 x2 d 0，表示允许此比例 1/ 2。
程度。 4、目标函数：目标函数是要尽量缩小偏离目标值
假设：第一优先级：利润不低于15元； 第二优先级：Ⅰ、Ⅱ产品的数量尽量保持1:2； 第三优先级：C、B的工作时间控制，且B的重 要性是C的3倍。
2020/5/18
11
于是按照上例中的有关要求，该目标规划的 目标函数
min z P1d1 P2 (d2 d2 ) 3P3(d3 d3 ) P3d4
2020/5/18
6
目标规划产生与发展
目标规划的有关概念和数学模型是在1961年由美 国学者查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)首 次在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中 提出。当时是作为解一个没有可行解的线性规划 而引入的一种方法。这种方法把规划问题表达为 尽可能地接近预期的目标。
设备B 4 0
16
设备C 0 5
15
利润 2 3
Ⅰ，Ⅱ各生产多少, 可获最大利润?
2020/5/18
3
解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量 x1, x2 max Z 2x1 3x2 2x1 2x2 12 4x1 16 5x2 15 x1，x2 0
最优解：x1 3, x2 3, z 15
约 2x1 2x2 12
束 条
2x1 3x2 d1 d1 15
件
2 x1
x2
d
2
d
2
0
： 4x1
d3 d3 16
5x2
d
4
d
4
15
x1
,
x2
,
d
i
,
di
0
2020/5/18
12
目标规划特点： 可以同时考虑多个目标； 可以区分不同目标的优先程度及重要程度； 更加切合实际，更加灵活
到最小。
只有两个决策变量的目标规划可用图解法分析。
以上例为例，图解分析如下。
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15
x2
min z P1d1 P2 (d2 d2 ) 3P3(d3 d3 ) P3d4
2x1 2x2 12
d
2
2x1 x2 0
d
2
E(1.875,3.75)
F (2,4)
F
d
3
E
d
3
d
4
d
4
3(d
1965年，尤吉·艾吉里(Yuji · Ijiri)在处理多 目标问题，分析各类目标的重要性时，引入了赋 予各目标一个优先因子及加权系数的概念；并进 一步完善了目标规划的数学模型。
表达和求解目标规划问题的方法是由杰斯基莱恩 (Jashekilaineu)和桑 李(Sang Li)给出并加以 改进的。
15
（4）“设备B既要充分利用，又要尽量不加班”可
表示为 min d3 d3
4x1
d3
d
3
16
2020/5/18
10
3、目标的优先级和权系数 不同的目标重要程度不同，优先级不同；同一层
次优先级的不同目标，重要程度不同，权重不同 优先级因子：P1, P2, P3,... ，且 Pk Pk1 权重系数：1,2,3,... ， 数值的大小决定目标的重要