第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
三次函数的像和性质
三次函数的像和性质三次函数是指次数为3的一元多项式函数，可以表示为$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。
在这篇文章中，我们将探讨三次函数的像和性质。
一、三次函数的图像首先，让我们来了解一下三次函数的图像。
一般来说，三次函数的图像呈现出一种典型的"S"形曲线，也称为“小波浪线”。
具体来说，三次函数的图像可能表现为以下几种情形：1. 当$a>0$时，函数具有下凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$上升，再下降。
2. 当$a<0$时，函数具有上凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$下降，再上升。
3. 当$a=0$时，函数退化为二次函数。
二、三次函数的像一元函数$f(x)$的像指的是其所有可能输出的实数值的集合。
对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其像的计算方法为：1. 首先，我们需要求出$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，并找出其实根$x_1$和虚根$x_2$、$x_3$。
2. 如果$a>0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递减，在$x_1<x_2<x_3$处取得极小值，然后在$x_3<x$时单调递增。
3. 如果$a<0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递增，在$x_1<x_2<x_3$处取得极大值，然后在$x_3<x$时单调递减。
4. 如果$a=0$，则$f(x)=bx^2+cx+d$，此时求出抛物线的顶点，便可得到函数的像。
三、三次函数的性质接下来，我们来探讨一些三次函数的性质。
1. 零点和极值对于一元三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其零点和极值如下所示：1.1 如果$f(x_1)=0$，则$x_1$为$f(x)$的一次零点。
1.2 如果$f(x_2)=f(x_3)=0$，则$x_2$和$x_3$为$f(x)$的二次零点。
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
高中数学：三次函数图像与性质
三次函数的图像和性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ；性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。
（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）① 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1x ，2x ，f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图1,2：② 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）=0，即b 2-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2x ，f （x ）没有极值点，图像如图3,4：图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）＜0，即b 2-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图5,6：（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）① 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1x ，2x ，f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图7,8：图7 图8 图9 图10 图11 图12② 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）=0，即b 2-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2x ，f （x ）没有极值点，图像如图9,10：③ 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）＜0，即b 2-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图11，12：性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，(1) 当b 2-3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。
三次函数的图像与性质
三次函数的图像与性质形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。
我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。
１三次函数的图像与性质设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。
当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。
结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：当a>0时，f（x）的四种图象３推论设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。
方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。
类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。
４例题例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。
三次函数的图像和性质(用)ppt课件
a>o
y
0
o
x
y
图
象 0
o
x
0
y
o
x
a<0
y
o
x
y
o
x
y
o
x
3
引例1: 初识三次函数的图象
(1)试确定函数f (x) x3 3x
的单调区间，并在同一坐标系中画出 此函数与它的导函数图象
(2)若函数为f ( x) x3或 f ( x) 1 x3 x2 2x 1,图象又会如何？
3
4
(一) 三次函数的图像
函数/(x)的图象如右图
y
所示,则y =f (x)的图象
最有可能的是( )
O 12
xபைடு நூலகம்
y
y
y
y
O 1 2 x O 12x
2
O1
x
O
12 x
A
B
C
D
8
实战演练
函数 f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 32
在区间（1，4）内为减函数,试求实数 a
的取值范围.
y
单调性
01 4
导数符号
1
思考:
1.类比二次函数， 请同学们给出三次函数的定义？
形如y ax3 bx2 cx d(a 0) 的函数叫做三次函数
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
导数•f / ( x) 3ax2 2bx c(a 0)
2
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）
11
若方程ax3 bx2 cx d 0, a 0呢？
三次函数的图象与性质课件-2025届高三数学一轮复习
THANK YOU
(
).
. > 0, < 0, > 0, > 0
√
. > 0, < 0, < 0, > 0
. < 0, < 0, > 0, > 0
. > 0, > 0, > 0, < 0
y
P
x2
O
x1
x
【点拨】当三次函数有两个极值点 Δ > 0 时，若a > 0，则三次函数曲线形状为
单减， x1, x2 单增
极小值 f (x1)
极大值 f (x2)
Байду номын сангаас
0
y
o
y
x o
在上单调递减
无极值
f ( x) 的图像
对称中心
b
3a
(− ,f −
b
3a
x
)（即拐点，其横坐标为二阶导函数零点）
总结：
1.三次函数的单调性由a来决定； Δ > 0
若a > 0，则三次函数曲线形状为“N字型”；
若a < 0，则三次函数曲线形状为“反N字型”
2 + =0
∆= 4 2 −
f ( x)的单调性
12
f ( x) 的极值
a0
a0
0
0
y
y
0
y
y
x1
x
o x1
x2
o x
−∞, x1 ， x2,+∞
o
在上单调递增
单增， x1, x2 单减
极大值 f (x1)
极小值 f (x2)
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
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第37讲三次函数的图像与性质
三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.
①求a,b,c,d的值；
②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.
2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.
3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．
（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；
（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；
（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．
4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．
5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72
-，求a 的取值范围．。