最新与圆有关的专题综合讲义(六)
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与圆有关的专题综合讲义(六)
例1如图,半径为4的⊙O中直径AB垂直弦CD于E,过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P,连接DB并延长交CP于F,连接AC,AD,PD,OF.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若E为半径OB的中点,求线段OF的长度.
例2 如图甲,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角△DCE中,∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)问B、C、E三点在一条直线上吗?为什么?
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,试求的值;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(O°<α<90°)后,记为△D1CE1(图乙),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,则=_________.
例3 如图1,在平面直角坐标系中,半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D,点P为BC上一个动点(不与B、C点重合).连AP、BC交于点G,连FG交OB 于点E.
(1)请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上;
(2)当P为BC的中点时,求点G的坐标;
(3)如图2,连接PD,设△PAB的内切圆半径为r,求证:.
例4 如图,已知BC是⊙O的直径,P是⊙O上一点,A是的中点,AD⊥BC于点D,BP与AD相交于点E.
(1)当BC=6且∠ABC=60°时,求的长;
(2)求证:AE=BE.
(3)过A点作AM∥BP,求证:AM是⊙O的切线.
例5 如图,在△ABC中,AB=BC.以AB为直径作圆⊙O交AC于点D,点E为⊙O上一点,连接ED并延长与BC的延长线交于点F.连接AE、BE,∠BAE=60°,∠F=15°,解答下列问题.
(1)求证:直线FB是⊙O的切线;
(2)若BE=cm,则AC=_________cm.
例6 如图(1),直线y=kx+1与y轴正半轴交于A,与x轴正半轴交于B,以AB为边作正方形ABCD.
(1)若C(3,m),求m的值;
(2)如图2,连AC,作BM⊥AC于M,E为AB上一点,CE交BM于F,若BE=BF,求证:AC+AE=2AB;(3)经过B、C两点的⊙O1交AC于S,交AB的延长线于T,当⊙O1的大小发生变化时,的值变吗?
若不变证明并求其值;若变化,请说明理由.
例7 如图,E点为x轴正半轴上一点,⊙E交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,P点为劣弧上一个动
点,且A(﹣1,0),E(1,0).
(1)如图1,求点C的坐标;
(2)如图2,连接PA,PC.若CQ平分∠PCD交PA于Q点,当P点在运动时,线段AQ的长度是否发生变化;若不变求出其值,若发生变化,求出变化的范围;
(3)如图3,连接PD,当P点在运动时(不与B、C两点重合),给出下列两个结论:①的值不变,②
的值不变,其中有且只有一个是正确的,请你判断哪一个是正确的,并求其值.
例8 如图①,直线AB的解析式为y=kx﹣2k(k<0)与x轴、y轴分别交于A、B两点,∠ABO=60°.经过A、O两点的⊙O1与x轴的负半轴交于点C,与直线AB切于点A.
(1)求C点的坐标;
(2)如图②,过O1作直线EF∥y轴,在直线EF上是否存在一点D,使得△DAB的周长最短,若存在,求出D 点坐标,不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接OO1与⊙O1交于点G,点P为劣弧GF上一个动点,连接GP与EF的延长线交于H 点,连接EP与OG交于I点,当P在劣弧GF运动时(不与G、F两点重合),O1H﹣O1I的值是否发生变化,若不变,求其值,若发生变化,求出其值的变化范围.
与圆有关的专题综合讲义(六)
参考答案与试题解析
1.如图,半径为4的⊙O中直径AB垂直弦CD于E,过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P,连接DB并延长交CP于F,连接AC,AD,PD,OF.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若E为半径OB的中点,求线段OF的长度.
;
CD=4CD=2(
2.如图甲,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角△DCE中,∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)问B、C、E三点在一条直线上吗?为什么?
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,试求的值;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(O°<α<90°)后,记为△D1CE1(图乙),若M1是线段BE1的中点,N1是线
段AD1的中点,则=.
ON= AE
BD
OM=AE
MN=
=
OM
故答案为:
3.如图1,在平面直角坐标系中,半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D,点P为BC上一个动点(不与B、C 点重合).连AP、BC交于点G,连FG交OB 于点E.
(1)请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上;
(2)当P为BC的中点时,求点G的坐标;
(3)如图2,连接PD,设△PAB的内切圆半径为r,求证:.
AC=AE=4
PQ=QM=r
,所以r+4(
EG
=
,
.
AO=4
4
,
﹣
=
PQ=QM=r
DQ=DB=4
r+4(
4.如图,已知BC是⊙O的直径,P是⊙O上一点,A是的中点,AD⊥BC于点D,BP与AD相交于点E.(1)当BC=6且∠ABC=60°时,求的长;
(2)求证:AE=BE.
(3)过A点作AM∥BP,求证:AM是⊙O的切线.
的长,继而求得
的中点,即可求得
的中点,由垂径定理的知识,即可求得
BC=×
l==
的中点,